Principes de Finance

Principes de Finance 8. Investissement en avenir incertain. Efficience des marchés Daniel Andrei Semestre de printemps 2012 Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 1 / 190

Dates et lieux pour les prochains cours Date Matin (9:15-12:00) Après-midi (13:15-16:00) 19.04.2012 Amphimax 351 Amphimax 351 26.04.2012 03.05.2012 10.05.2012 Ascension 24.05.2012 Amphimax 351 Amphimax 351 31.05.2012 Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 2 / 190

Plan I Applications aux décisions d investissement en incertitude Le coût du capital (WACC ou CMPC) Impact de l endettement sur les betas Risque de l entreprise ou risque du projet II L efficience des marchés Qu est ce que l efficience? Formes de l efficience Quelques énigmes et anomalies Conséquences pour la gestion de portefeuille Conséquences pour les décisions d entreprise Efficience des marchés et arbitrage III Introduction IV La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Vision traditionnelle Modigliani-Miller 1 Modigliani-Miller 2 Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 3 / 190

Plan (suite) V La structure financière en présence d impôts VI Faillite, coûts d agence et information Les coûts de détresse financière Les coûts et bénéfices d agence La théorie du financement hiérarchique VII Résumé VIII Introduction IX Les modalités de rémunération des actionnaires X La décision de rendre des capitaux aux actionnaires XI Dividendes ou rachats d actions? Le versement d un dividende Le rachat d actions Modigliani-Miller et la politique de distribution XII L effet des imperfections La fiscalité Les coûts de transactions et les côuts de détresse financière Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 4 / 190

Plan (suite) Les coûts d agence Les asymétries d information XIII Résumé XIV Introduction XV Comprendre les options Les options d achat et les options de vente La rentabilité d une position optionnelle La relation de parité call-put Stratégies optionnelles Assurance de portefeuille XVI L évaluation des options Les déterminants du prix d une option Le modèle à une période Le modèle à deux périodes XVII Résumé XVIII Stratégie de réplication dynamique (suite) Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 5 / 190

Plan (suite) XIX Les probabilités risque-neutre Le modèle à une période Le modèle à deux périodes Le modèle multi-périodique Conséquences d un monde risque-neutre XX La formule de Black-Scholes Le cas limite du modèle binomial Evaluation d un call européen Evaluation d un put européen Le portefeuille de réplication Exemple (examen été 2005) XXI Résumé Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 6 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Le coût du capital (WACC ou CMPC) Introduction Lorsqu une entreprise fait face à une décision d investissement, ni les flux financiers ni le taux d actualisation ne sont connus. Il faut donc les estimer. Il existe deux solutions 1 L entreprise peut escompter l équivalent certain des flux au taux sans risque, ou 2 Escompter l espérance des flux financiers à chaque période à un taux reflétant le risque du projet. Le but de cette session est de déterminer le taux d actualisation qui refléte le risque systématique du projet. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 7 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Le coût du capital (WACC ou CMPC) Le coût du capital (WACC ou CMPC) d une entreprise est défini par la rentabilité exigée sur le portefeuille des financements de cette entreprise. Il est utilisé pour actualiser les cash flows des projets de la même classe de risque. Lorsqu on détermine le coût du capital de l entreprise, il faut prendre en compte sa structure financière. Si l entreprise n est financée que par des fonds propres, tous les flux de trésorerie disponibles reviennent aux actionnaires. Dans ce cas le coût du capital est déterminé grâce au CAPM, de la manière suivante: 1 Tout d abord, on estime le β grâce au modèle de marché r j r f = α j + β j (r M r f ) + ε j (1) 2 Ensuite, en considérant l espérance de l équation (1), on calcule le coût du capital µ j = r f + β j (µ M r f ) + α j (2) Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 8 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Le coût du capital (WACC ou CMPC) α j mesure la distance du titre j à la SML. Selon CAPM, α j ne devrait pas être significativement différent de zéro. Exemple: utiliser des rentabilités historiques pour estimer le β de IBM, sur la période 86-97 (gauche) et 98-09 (droite). Le β est chaque fois significatif et ne change pas beaucoup d une période à l autre. Estimer le β à partir de données historiques: on représente sous la forme d un nuage de points les rentabilités excédentaires de l action en fonction des rentabilités excédentaires du marché. La figure représente également la droite qui passe au milieu du nuage de points (la droite des moindres carrés). La pente de cette droite est le β de l entreprise: la variation espérée du rendement excédentaire de l actif pour une variation de +1% de la rentabilité excédentaire du portefeuille de marché. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 9 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Le coût du capital (WACC ou CMPC) 10 8 y = 0.99*x 0.03 IBM 1986 1997 IBM 86 97 linear 10 8 y = 0.91*x + 0.031 IBM 1998 2009 IBM 98 09 linear 6 6 Rentabilité excédentaire de IBM 4 2 0 2 4 Rentabilité excédentaire de IBM 4 2 0 2 4 6 6 8 8 10 10 5 0 5 10 Rentabilité excédentaire du marché 10 10 5 0 5 10 Rentabilité excédentaire du marché Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 10 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Le coût du capital (WACC ou CMPC) En général le β obtenu est positif, car il est rare de trouver un actif évoluant en sens inverse du marché (par exemple l or). On parle souvent du marché comme une vague de fond qui emporte tout sur son passage. Pourquoi ne pas estimer les rentabilités espérées directement à partir des données? Ce serait simple et direct, mais cette méthode pose un problème statistique: l estimation de la moyenne des rendements à partir des données historiques est moins précise qu à partir de CAPM. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 11 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Le coût du capital (WACC ou CMPC) Dans le cas où l entreprise est financée par des dettes et des fonds propres, le coût du capital est une moyenne pondérée du coût de la dette µ D et du coût des fonds propres µ E (on vient de voir comment le calculer). Dans ce cas on parle de Coût Moyen Pondéré du Capital (CMPC) ou Weighted Average Cost of Capital (WACC). Il représente le rendement d un portefeuille contenant tous les titres émis par l entreprise. Il s obtient en calculant la moyenne pondérée de la rentabilité attendue de la dette et des actions WACC = D D + E µ D + E D + E µ E (3) où D est la valeur de la dette et E (pour equity) la valeur des fonds propres sur le marché. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 12 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Le coût du capital (WACC ou CMPC) Exemple L entreprise X a un levier de 2 (la dette est deux fois plus grande que les capitaux propres). Le taux d intérêt sans risque est de r f = 6%. Sa dette n est pas risquée et le β de ses fonds propres est β E = 1.5. Le rendement attendu du portefeuille de marché est de µ M = 12%. Puisque la dette est sans risque, son rendement attendu est de µ D = r f = 6%. Le rendement attendu des fonds propres vaut µ E = r f + β E (µ M r f ) = 6% + 1.5(12% 6%) = 15% (4) Avec un levier de 2, la dette représente 2/3 de la valeur totale de l entreprise.par conséquent, le WACC de l entreprise X est de WACC = 2 3 6% + 1 15% = 9% (5) 3 Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 13 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Impact de l endettement sur les betas Une relation similaire existe pour les β. Si A = D + E représente les actifs de l entreprise, on a β A = D D + E β D + E D + E β E (6) On peut prouver que les deux approches sont équivalentes, en partant de la définition du WACC: WACC = D D + E µ D + r f + β A (µ M r f ) = r f + β A = E D + E µ E ( D D + E β D + D D + E β D + E D + E β E ) (µ M r f ) E D + E β E (7) Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 14 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Impact de l endettement sur les betas Pour l entreprise X de l exemple précédent, on peut déduire que le β des actifs est de β A = 2 3 0 + 1 1.5 = 0.5 (8) 3 Le β des actifs obtenu dans l équation (6) est aussi appelé le β à endettement nul. Il mesure le risque de marché d une entreprise sans prendre en compte l effet de sa dette. En partant de l équation (6): β E = β A + D E (β A β D ) (9) Cette équation montre que l endettement crée un levier financier. Pour mieux comprendre, reprenons notre exemple. L entreprise X veut passer à un levier de 3. La dette reste toujours sans risque. Le risque de l ensemble des actifs est inchangé, donc le nouveau β des capitaux propres est β E = 0.5 + 3(0.5 0) = 2 (10) Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 15 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Impact de l endettement sur les betas et on obtient comme rentabilité attendue des capitaux propres µ E = r f + β E (µ M r f ) = 6% + 2(12% 6%) = 18% (11) Par conséquent, l endettement n augmente pas le risque ou la rentabilité des actifs, mais il accroît le risque des capitaux propres. Les actionnaires demandent donc une rentabilité supérieure pour compenser ce risque financier. L effet de l endettement sur le β permet de comprendre pourquoi des entreprises d un même secteur économique affichent des bêtas différents, alors qu elles sont exposées au même risque économique: il suffit qu elles possèdent des structures financières différentes. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 16 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Impact de l endettement sur les betas Rentabilités attendues et β avant le refinancement Μ 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Β Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 17 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Impact de l endettement sur les betas Rentabilités attendues et β après le refinancement Μ 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Β Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 18 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Risque de l entreprise ou risque du projet Les méthodes relatives au choix d investissements ont été présentées au début du cours. La démarche classique est d estimer dans un premier temps les flux de trésorerie disponibles (FTD) d un projet, puis d actualiser ces flux à un taux égal au coût du capital du projet (r CMPC ), ce qui permet de déterminer la VAN: VAN = FTD 1 (1 + r CMPC ) 1 + FTD 2 (1 + r CMPC ) 2 + FTD 3 3 +... (12) (1 + r CMPC ) Le coût du capital relatif au projet est identique à celui de l entreprise sous l hypothèse d égalité de risque et de structure financière entre l entreprise et le projet: 1 Le risque de marché du projet est égal au risque de marché de l ensemble des projets d investissement de l entreprise. 2 L entreprise ajuste son niveau d endettement en permanence pour conserver inchangé son levier. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 19 / 190

Applications aux décisions d investissement en incertitude Risque de l entreprise ou risque du projet En réalité, il est fréquent qu un projet envisagé par une entreprise ne présente pas les mêmes caractéristiques que les projets déjà entrepris par celle-ci, et donc que leurs risques ne soient pas identiques. Par exemple, LVMH, entreprise spécialisée dans le luxe, est présente entre autres dans les secteurs des vins et spiritueux (Moët et Chandon) et les montres (Tag Heuer). Evidement, un projet de Tag Heuer n aura pas le même risque qu un projet Moët et Chandon. De plus, le risque des différents projets de l entreprise est influencé par la façon dont ils sont financés. Dans ces cas, le coût du capital doit être ajusté à la hausse ou à la baisse pour obtenir le taux d actualisation adéquat pour le projet. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 20 / 190

L efficience des marchés Qu est ce que l efficience? L hypothèse d efficience des marchés découle de la concurrence entre investisseurs pour trouver des opérations à VAN positive. Elle implique que les actions sont échangées à un prix juste, étant donné les flux de trésorerie futurs auxquels elles donnent droit et l information dont disposent les investisseurs. Exemple: si les investisseurs sont nombreux à penser, pour une raison ou pour une autre, qu une entreprise est sous-évaluée, ils achèteront en masse ses actions, ce qui fera augmenter leur prix; et inversement en cas de surévaluation. Tout cycle régulier dans l évolution des cours sera donc éliminé par la concurrence qui existe entre investisseurs! Le premier à remarquer que les prix suivent une marche au hasard (random walk) a été Bachelier en 1900. Dans sa thèse sur la théorie de la spéculation, il déduit que l espérance mathématique de rendement d un spéculateur est nulle. Selon sa théorie, sur un marché boursier, ni les acheteurs, ni les vendeurs ne peuvent réaliser des profits systématiques. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 21 / 190

L efficience des marchés Qu est ce que l efficience? Eugene Fama, par une série de publications, va devenir le père de l efficience des marchés. En 1970 Fama publie dans The Journal of Finance le début d une trilogie intitulée Efficient Capital Markets : A Review of Theory and Empirical Work. Il définit l efficience informationnelle ainsi :un marché est efficient quand, à chaque instant, les prix incorporent toute l information pertinente et disponible. Depuis, de nombreux tests de cette théorie ont été effectués. Prennons comme exemple l indice de marché français (MSCI France). Chaque point du graphique suivant montre un couple de rentabilité de l indice pour deux jours successifs. Le diagramme ne met en évidence aucune relation entre les rentabilités de deux jours successifs. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 22 / 190

L efficience des marchés Qu est ce que l efficience? 10 8 MSCI France Index 6 4 Return today 2 0 2 4 6 8 10 10 5 0 5 10 Return yesterday Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 23 / 190

L efficience des marchés Formes de l efficience Eugene Fama propose trois types d efficience informationnelle: la forme faible, semi-forte et forte. La différence entre elles est le type d information que reflètent les prix: 1 Dans la forme faible de l efficience, les prix reflètent toute l information contenue dans les cours passés (les prix historiques). 2 Dans la forme semi-forte, les prix reflètent toute l information publique et facile à interpréter, telle que le contenu des journaux, les annonces des entreprises, leurs rapports annuels, etc. 3 Enfin, dans la forme forte de l efficience, les prix reflètent toute l information, publique comme privée et/ou difficile à interpréter. La forme forte contient la forme semi-forte, qui elle-même contient la forme faible. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 24 / 190

L efficience des marchés Formes de l efficience Lorsqu une information est publique, ses effets sur les flux futurs peuvent être complexes à analyser. Exemple avec un article apparu récemment (vendredi 16 avril 2010) dans LE TEMPS: Roche innove contre le cancer du sein. Nous sommes fiers de notre pipeline qui comprend 110 projets, dont dix nouvelles molécules en développement avancé, explique Severin Schwan. Parmi elles, la substance T-DM1 au parcours original. Le projet, piloté par les chercheurs américains de Genentech, est actuellement en phase II, ce qui repousse normalement la mise sur le marché du médicament à deux ou trois ans. Or Roche, qui se dit impressionné par les résultats des essais cliniques, est déjà en discussion avec les autorités américaines d homologation (FDA), en vue du dépôt d un dossier. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 25 / 190

L efficience des marchés Formes de l efficience Forme faible de l efficience Si la forme faible est satisfaite, l analyse technique est inutile. Il n est pas possible de prévoir le rendement du mois prochain à partir du rendement de ce mois, et non plus de réaliser des profits sur la base des indicateurs tel que celui de la moyenne mobile. Cette forme d efficience est plus ou moins satisfaite dans le monde réel. En effet, comme précisé plus tôt, les prix suivent approximativement une marche au hasard (random walk). Pour tester la forme faible de l efficience il suffit de mesurer la rentabilité de quelques stratégies d investisseurs qui prétendraient voir des tendances dans les cours boursiers, ou construire des tests statistiques (par exemple corrélation de prix d un titre d un jour à l autre). Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 26 / 190

L efficience des marchés Formes de l efficience Forme semi-forte de l efficience Si les informations publiques s interprètent facilement, tous les investisseurs sont en mesure de déterminer leur influence sur la valeur de l entreprise. Dans ce cas, la concurrence entre les investisseurs est intense et le prix de l action réagit de manière presque instantanée à l arrivée de nouvelles informations. Exemple 1: l entreprise pharmaceutique X annonce publiquement qu un de leurs médicaments allait être retiré de la vente en raison de la découverte d effets secondaires. Les flux de trésorerie disponibles devraient chuter de 85 millions d euros par an au cours des dix prochaines années. Les investisseurs réagissent à cette information immédiatement, et la baisse du prix de l action devrait être quasi instantanée. Pour tester la forme semi-forte de l efficience, on mesure la rapidité avec laquelle les cours des actions réagissent à différentes annonces (annonces de résultats, de dividende, publication d information macroéconomique,...). Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 27 / 190

L efficience des marchés Formes de l efficience Exemple 2: NEW YORK (Reuters), 16 avril 2010 - Goldman Sachs a été accusée de fraude vendredi par l autorité des marchés financiers américains, qui lui reproche d avoir trompé les investisseurs lors de la conception et la commercialisation d un produit financier complexe lié à des prêts immobiliers subprime. Cette opération aurait coûté plus d un milliard de dollars (741 millions d euros) aux investisseurs. L action Goldman Sachs a dégringolé de près de 13%, à 160.7 dollars. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 28 / 190

L efficience des marchés Formes de l efficience Exemple 3: NEW YORK (Reuters), 17 février 2011 - Rosetta Stone Inc. announced that for the fourth quarter of 2011, it expects revenues of approximately $74.2 million on sales, compared to previously issued guidance of $76-$81 million. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 29 / 190

L efficience des marchés Formes de l efficience Forme forte de l efficience Certaines informations ne sont pas publiques ou pas immédiates d accès. De surcroît, même lorsqu une information est publique, ses effets sur les flux futurs peuvent être complexes à analyser. Exemple: l entreprise pharmaceutique X vient d annoncer la mise au point d un nouveau médicament et n attend plus que l autorisation de mise sur le marché. La probabilité d obtenir l autorisation de mise sur le marché est de 10%. Si l entreprise obtient l autorisation, la valeur de marché augmentera de 750 millions d euros, ou 15 euros par action. Tous les investisseurs savent que la probabilité d obtenir l autorisation est de 10%. Le prix de l action devrait donc augmenter le jour de l annonce de 10% 15 = 1.5. Avec le temps, les analystes et les experts du domaine vont procéder à leur propre évaluation des chances d obtention de l autorisation de mise sur le marché. Le cours de l action X s ajuste donc immédiatement à l annonce et évolue ensuite en fonction des anticipations des investisseurs. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 30 / 190

L efficience des marchés Formes de l efficience 8 Cours possibles de l action X 7.5 7 6.5 Cours boursier 6 5.5 5 4.5 4 0 100 200 300 400 500 600 Temps (jours) Si la forme forte de l efficience est satisfaite, alors il n est pas possible de réaliser des profits sur la base d une information privé ou difficile à interpréter. On peut la tester en analysant les recommandations d analystes professionnels et en étudiant des fonds d investissement susceptibles de battre le marché. Cette forme est rarement satisfaite dans la pratique. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 31 / 190

L efficience des marchés Quelques énigmes et anomalies L hypothèse d efficience des marchés est une représentation assez exacte de la réalité. Il existe toutefois certaines anomalies: 1 Les taux de rentabilité sont anormalement élevés pour les entreprises de petite taille. 2 Énigme de l annonce des résultats: il semble que les investisseurs ne réagissent pas complètement à l annonce et n en comprennent la signification qu à partir du moment où de nouvelles informations arrivent. 3 Anomalie du marché et finance comportementale: personne n est rationnel à 100%, 100% du temps, notamment dans l attitude face au risque et dans la façon d estimer les probabilités. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 32 / 190

L efficience des marchés Conséquences pour la gestion de portefeuille En moyenne, les fonds de placement et les investisseurs ne parviennent pas à faire mieux que le marché. Un gestionnaire de portefeuille ne disposant pas d informations privilégiées devrait donc acheter le portefeuille de marché plutôt que de tenter de faire mieux. En d autres termes, en l absence d information privilégiée, il faut préférer une gestion dite passive à une gestion active. La raison est que le portefeuille de marché reflète déjà l information de tous les acteurs. C est malgré tout plutôt réjouissant. En effet, cela signifie que les investisseurs peuvent acheter des actions, même sans compétence ou information particulière, en ayant la certitude que le prix qu ils paient reflète effectivement toutes les informations disponibles. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 33 / 190

L efficience des marchés Conséquences pour les décisions d entreprise La valeur de marché d une action est fonction des flux futurs auxquels elle donne droit. Le dirigeant d une entreprise doit donc, s il désire travailler dans l intérêt de ses actionnaires: Focaliser son attention sur la VAN et les flux de trésorerie disponibles. Ne pas succomber à l illusion comptable. Beaucoup des dirigeants font l erreur de se concentrer sur le résultat net comptable, ignorant les flux de trésorerie disponibles. La comptabilité ne devrait donc pas orienter les décisions des dirigeants. Ne pas hésiter à avoir recours à des opérations financières pour financer les investissements. Si les marchés sont efficients, l entreprise peut émettre des actions à un prix équitable, et donc lever des capitaux sur les marchés financiers pour financer des investissements à VAN positive. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 34 / 190

L efficience des marchés Efficience des marchés et arbitrage Il ne faut pas confondre l hypothèse d efficience des marchés et le fonctionnement d un marché normal fondé sur l absence d opportunités d arbitrage. Une opportunité d arbitrage apparaît lorsque deux actifs dont les flux futurs sont identiques ont des prix différents. L hypothèse d efficience des marchés établit que des actifs de risque équivalent doivent avoir la même rentabilité espérée. Si deux investisseurs ont une perception différente du risque et de la rentabilité, il est peu probable que l efficience des marchés soit parfaitement validée. Elle doit plutôt s envisager comme une représentation idéale visant à caractériser un marché très concurrentiel. Principes de Finance 8. Efficience des marchés Printemps 2012 35 / 190

L efficience des marchés Efficience des marchés et arbitrage Principes de Finance 9 et 10. Politique de financement Daniel Andrei Semestre de printemps 2012 Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 36 / 190

Introduction Motivation Jusqu à présent, nous avons étudié comment investir au mieux son argent. On s est intéressé à la partie gauche du bilan (les actifs). Dans ce chapitre (et le suivant), on va étudier la partie droite du bilan (les passifs). On va étudier la façon dont une entreprise doit se financer: on parle alors de structure de capital (ou structure de financement). L entreprise doit-elle se financer par des fonds propres (actions) ou avec de la dette (créances)? Nous verrons que sous certaines conditions, le choix entre dette et actions n a aucune influence sur la valeur de l entreprise, le prix de ses actions ou son coût de capital. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 37 / 190

Introduction Structure financière d une entreprise Les entreprises satisfont leurs besoins financiers soit en réinvestissant leurs bénéfices, soit en faisant appel à des sources de financement externes. Lorsqu une entreprise lève des capitaux auprès d investisseurs externes, elle choisit le type de titres financiers qui sont émis. En général, les entreprises choisissent de se financer par un mélange de capitaux propres (actions) et de dette (créances). Exemple Considérons un modèle simple, dans lequel une entreprise est liquidée en fin d année. La valeur de la dette à rembourser est de 100. Les actifs de l entreprise en fin d année peuvent être entre 0 et 300. Si les actifs sont plus petits que 100, l entreprise se déclare en faillite et ses actionnaires ne reçoivent rien. Si les actifs sont supérieurs à 100, les actionnaires reçoivent ce qui reste après remboursement des dettes. Graphiquement nous avons: Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 38 / 190

Introduction Structure financière d une entreprise: Actions 300 250 200 150 100 Actifs de l'entreprise Valeur des actions 50 0 0 50 100 150 200 250 300 Valeur des actifs de l'entreprise Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 39 / 190

Introduction Structure financière d une entreprise: Dette 300 250 200 150 100 50 Actifs de l'entreprise Valeur de la dette 0 0 50 100 150 200 250 300 Valeur des actifs de l'entreprise Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 40 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Vision traditionnelle Exemple: Financement par capitaux propres Selon la conjoncture économique, la valeur des actifs d une entreprise l année prochaine serra égale à 1 400 CHF (avec une probabilité de 50%) ou 900 CHF (avec une probabilité de 50%). L entreprise n a aucune dette tous les flux de trésorerie disponibles reviennent aux actionnaires le rendement des actifs est donc égal au rendement des capitaux propres: r A = r E (13) Le taux d intérêt sans risque est de 5%. Le revenu varie selon la conjoncture économique et donc il intègre un risque de marché les actionnaires exigent une prime de risque de 10%. Le coût du capital de l entreprise est donc de 15%. La valeur aujourd hui des capitaux propres de l entreprise est de V U = 0.5 1 400 + 0.5 900 1.15 = 1 000 Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 41 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Vision traditionnelle Exemple: Financement par capitaux propres et endettement L entreprise emprunte 500 CHF. La dette est sans risque, puisque dans les deux cas l entreprise peut rembourser sa dette. Dans un an, les créanciers seront remboursés, ensuite les actionnaires seront rémunérés, selon le tableau suivant: Année 0 Année 1 Valeur initiale Croissance Récession Créanciers D = 500 525 525 Actionnaires E =? 875 375 Entreprise endettée V L =? 1 400 900 Quelle est la valeur des capitaux propres (E) dans ce cas? Selon la vision traditionnelle, la valeur des capitaux propres de l entreprise endettée est supérieure à 500 CHF, car la valeur actuelle des flux de trésorerie des actionnaires actualisés à 15% est: 0.5 875 + 0.5 375 E = = 543 1.15 Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 42 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Vision traditionnelle Exemple: Financement par capitaux propres et endettement L entreprise emprunte 500 CHF. La dette est sans risque, puisque dans les deux cas l entreprise peut rembourser sa dette. Dans un an, les créanciers seront remboursés, ensuite les actionnaires seront rémunérés, selon le tableau suivant: Année 0 Année 1 Valeur initiale Croissance Récession Créanciers D = 500 525 525 Actionnaires E = 543 875 375 Entreprise endettée V L = 1 043 1 400 900 Quelle est la valeur des capitaux propres (E) dans ce cas? Selon la vision traditionnelle, la valeur des capitaux propres de l entreprise endettée est supérieure à 500 CHF, car la valeur actuelle des flux de trésorerie des actionnaires actualisés à 15% est: 0.5 875 + 0.5 375 E = = 543 1.15 Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 43 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Vision traditionnelle L erreur de raisonnement Selon la vision traditionnelle, l endettement influence la valeur de l entreprise. Mais le recours à l endettement augmente le risque supporté par les actionnaires, selon le tableau suivant: Rentabilité Sensibilité ( R) Croissance Récession Entreprise non endettée 40% -10% 50% Entreprise endettée 61% -31% 92% Donc les actionnaires d une entreprise endettée exigent une rentabilité espérée plus élevée pour compenser le risque plus grand qu ils courent. Mais quel devrait être ce nouveau taux d actualisation? En 1958, Franco Modigliani et Merton Miller ont trouvé la réponse à cette question d une façon surprenante. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 44 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Vision traditionnelle Levier synthétique et arbitrage Si les deux entreprises (non endettée U, et endettée L) sont présentes sur le marché simultanément, une opportunité d arbitrage existe. Un investisseur va acheter les 1 000 CHF d actions de U. Ensuite il va emprunter 500 CHF, afin de répliquer la dette de L. Enfin, il vend à découvert les 543 CHF des fonds propres de L. Il va donc enregistrer un gain d arbitrage de 43 CHF: Année 0 Année 1 Coût Initial Croissance Récession Achat des actions U -1 000 1 400 900 Emprunt 500-525 -525 Vente des actions L 543-875 -375 TOTAL 43 0 0 L opportunité d arbitrage va réduire le prix des actions L jusqu à 500 CHF. La Loi du Prix Unique conduit donc à la conclusion que le total des dettes et des capitaux propres doit être de 1 000 CHF. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 45 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Vision traditionnelle La solution La valeur des capitaux propres de l entreprise endettée est donc de 500 CHF. On obtient une valeur totale de l entreprise de 1000 CHF: Année 0 Année 1 Valeur initiale Croissance Récession Créanciers D = 500 525 525 Actionnaires E = 500 875 375 Entreprise endettée V L = 1 000 1 400 900 En moyenne, les actionnaires de l entreprise endettée reçoivent une rémunération de r E = 0.5 (875/500 1) + 0.5(375/500 1) = 25% Ainsi, l endettement d une entreprise augmente le risque des actions, même si on suppose que le risque de faillite est nul. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 46 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Modigliani-Miller 1 Modigliani et Miller La vision traditionnelle part de la droite du bilan - la structure financière - pour expliquer la gauche - la valeur d entreprise. Mais les investisseurs peuvent, pour leur propre compte, modifier la structure financière de l entreprise soit en combinant différents instruments financiers de celle-ci, soit en empruntant ou prêtant par eux-mêmes. Modigliani et Miller disent qu il faut procéder en sens inverse. Les actifs de l entreprise ont une certaine valeur, qui détermine combien valent les actions et les dettes de l entreprise, la somme valant toujours autant que les actifs. Proposition 1 de Modigliani-Miller Dans le cadre de marchés de capitaux parfaits, la valeur totale d une entreprise est égale à la valeur de marché des flux de trésorerie de ses actifs; cette valeur n est pas influencée par la structure financière de l entreprise. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 47 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Modigliani-Miller 1 WACC et Modigliani-Miller La valeur de marché des titres émis par une entreprise est égale à la valeur de marché de ses actifs, que l entreprise soit endettée ou non: V A = V U = V L = D + E (14) Nous savons que la rentabilité d un portefeuille est égale à la moyenne pondérée des rentabilités des titres qui le composent. Cette moyenne pondérée s appelle le coût moyen pondéré du capital, ou WACC (Weighted Average Cost of Capital): WACC = D D + E r D + E D + E r E = r A (15) Selon Modigliani et Miller, si les marchés sont parfaits, le WACC d une entreprise est indépendant de sa structure financière. Graphiquement: Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 48 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Modigliani-Miller 1 Vision traditionnelle 0.5 0.4 0.3 0.2 Coût des capitaux propres re 0.1 WACC Coût de la dette rd 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Taux d'endettement D D E Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 49 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Modigliani-Miller 1 Modigliani-Miller 0.5 0.4 Coût des capitaux propres re 0.3 0.2 WACC 0.1 Coût de la dette rd 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Taux d'endettement D D E Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 50 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Modigliani-Miller 1 Vision traditionnelle vs MM La théorie traditionnelle de la structure du capital préconise une structure financière optimale sur la base du raisonnement suivant: En augmentant la part de la dette de manière modérée on peut réduire le coût du capital et donc augmenter la valeur de l entreprise. Au-delà d un certain seuil, l exigence de rendement des actionnaires re augmente parce que le risque financier s accroît. Si la part de la dette est augmentée encore plus, le coût du capital est augmenté et la valeur de l entreprise diminuée. Le théorème de Modigliani et Miller dit que la valeur de l entreprise dépend uniquement de la valeur de ses actifs. La structure financière n a aucun effet sur la valeur de l entreprise et sur son coût du capital. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 51 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Modigliani-Miller 2 Modigliani-Miller 2 Dans notre exemple, les actionnaires exigent une rentabilité espérée de 15% pour l entreprise non endettée et 25% pour l entreprise endettée. Partant de l équation (15) il est possible d exprimer la rentabilité des actions d une entreprise endettée comme: r E = r A + D E (r A r D ) (16) Ceci signifie que le levier financier augmente le taux de rendement moyen de l action, mais pas son cours. Proposition 2 de Modigliani-Miller Le coût des capitaux propres d une entreprise endettée est égal au coût des capitaux propres d une entreprise non endettée plus une prime de risque proportionnelle au levier en valeur du marché de l entreprise. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 52 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Modigliani-Miller 2 Endettement et bénéfice par action Revenons à notre premier Exemple. On considère une entreprise non endettée qui a émis 100 actions. Le bénéfice par action de l entreprise non endettée est Valeur des actifs BPA = (17) Nombre d actions U L entrprise modifie sa structure financière en empruntant 100, pour racheter 50 actions.le nouveau bénéfice par action de l entreprise endettée est Max[0, Actifs Dette] BPA = (18) Nombre d actions L Il en résulte que la sensibilité du BPA est plus forte pour les entreprises endettées que pour les entreprises non endettées (le BPA d une entreprise endettée est plus volatil). Graphiquement: Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 53 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Modigliani-Miller 2 Endettement et bénéfice par action 4 3 En faveur des actionnaires 2 1 En défaveur des actionnaires 0 0 50 100 150 200 250 300 Valeur des actifs de l'entreprise Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 54 / 190

La structure financière dans le cadre de marchés parfaits Modigliani-Miller 2 Levier financier et risque systématique L effet de l endettement sur le risque des titres d une entreprise peut également être mesuré à l aide du bêta. Le bêta d un portefeuille est égal à la moyenne pondérée des bêtas des titres qui le composent: β A = D D + E β D + E D + E β E (19) Lorsqu une entreprise modifie sa structure financière sans modifier sa politique d investissement, β A reste inchangé. Par contre, β E change pour intégrer la modification du risque due à la modification de l endettement: β E = β A + D E (β A β D ) (20) Donc, le rendement des fonds propres augmente avec le levier financier parce que le risque systématique augmente. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 55 / 190

La structure financière en présence d impôts Que signifient marchés parfaits? Sous l hypothèse de perfection des marchés financiers, les décisions financières ont une VAN nulle. Les théorèmes de MM montrent que le choix de la structure financière n influence pas la valeur de l entreprise. Il devrait y avoir donc autant de structures financières que d entreprises. Mais comment expliquer que la quasi-totalité des laboratoires pharmaceutiques et entreprises de biotechnologies aient des taux d endettement très faibles (<10%) alors que le taux d endettement des constructeurs automobiles est de presque 40%? Parce que le raisonnement est fait en marchés parfaits. Trois conditions sont nécessaires pour que les marchés des capitaux soient parfaits: 1 Les agents économiques peuvent acheter ou vendre les mêmes titres, à des prix concurrentiels. 2 Il n y a ni impôts, ni coûts de transaction, ni frais d émission des titres. 3 Les décisions de financement de l entreprise ne modifient pas la politique d investissement. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 56 / 190

La structure financière en présence d impôts Que signifient marchés parfaits? (suite) La structure financière optimale dépend donc des imperfections de marché: fiscalité, coûts d agence, coûts de détresse financière et asymétries informationnelles. Les propositions de Modigliani et Miller établissent que le véritable objectif de la politique financière doit être d exploiter les imperfections de marché pour créer de la valeur. Cette section est consacrée à l une des principales imperfections existant sur les marchés financiers: la fiscalité. Les agents économiques doivent payer des impôts sur les revenus qu ils tirent de leurs activités. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 57 / 190

La structure financière en présence d impôts La fiscalité L impôt est calculé sur le bénéfice après paiement des intérêts d emprunts. Le recours à l endettement réduit donc le montant de l impôt. Il y a donc une incitation pour les entreprises à s endetter. Il y a maintenant trois acteurs qui reçoivent des flux financiers de l entreprise: les actionnaires, les créanciers, et le fisc, comme montré en Figure 1. Dans une telle situation, l entreprise peut économiser des impôts en utilisant de la dette plutôt que des fonds propres comme source de financement. La déductibilité fiscale des charges d intérêts est donc source de gains pour les actionnaires et les créanciers. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 58 / 190

La structure financière en présence d impôts La fiscalité (suite) 1000 Impôts 800 600 400 200 Flux de trésorerie avant impôts Impôts Rémunération des actionnaires Rémunération des actionnaires Paiement d'intérêts Economie d'impôts 0 Figure 1 : Répartition des flux de trésorerie (avant impôt) entre actionnaires, créanciers et état. La deuxième barre représente le cas de l entreprise non endettée. La troisième barre représente le cas de l entreprise endettée. En augmentant les charges d intérêts l entreprise réduit son imposition. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 59 / 190

La structure financière en présence d impôts La fiscalité (suite) Exemple Le résultat d exploitation de l entreprise XYZ est de 200 000 CHF. XYZ paye 70 000 à ses créanciers au titre de charges d intérêts. Les conséquences de l endettement sur le résultat net de XYZ sont visibles dans le tableau suivant. Avec endettement Sans endettement Résultat d exploitation 200 000 200 000 Produits d intérêts 20 000 20 000 Charges d intérêts -70 000 0 + Résultat financier -50 000 20 000 Résultat courant avant impôts 150 000 220 000 Impôts (35%) -52 500-77 000 Résultat net 97 500 143 000 Total des revenus des investisseurs 167 500 143 000 Table 1 : Compte de résultat de XYZ, avec et sans endettement Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 60 / 190

La structure financière en présence d impôts La fiscalité (suite) On remarque que la situation des investisseurs est meilleure lorsque l entreprise est endettée, alors que son résultat net est plus faible. L endettement réduit donc les flux dont peuvent bénéficier les actionnaires. Mais l endettement permet également d accroître les capitaux disponibles pour l ensemble des investisseurs (actionnaires et obligataires). XYZ peut verser à ses investisseurs 167 500 CHF, contre 143 000 en absence d endettement. Avec des informations suffisantes, il est possible de quantifier l effet de la dette sur la valeur totale de l entreprise. Supposons que le montant de la dette est de D, le taux d intérêt r et le taux d imposition de l entreprise t c (pour corporate tax rate). Le flux supplémentaire de la société endettée à ses créanciers et actionnaires est de t c rd, appelé avantage fiscal de la dette. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 61 / 190

La structure financière en présence d impôts La fiscalité (suite) Si la dette est émise au pair, on a r = r D. Si, de surcroît, le risque de l avantage fiscal est identique à celui de la dette elle-même (ce qui sera par exemple le cas si l entreprise s attend à ne jamais subir de pertes), on peut escompter l avantage fiscal de la dette au taux r D. Pour une dette perpétuelle ou qui sera refinancée à échéance, la valeur actuelle de l avantage fiscal sera de VAN (avantage fiscal) = t crd r = t c D (21) On peut alors énoncer le résultat suivant: Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 62 / 190

La structure financière en présence d impôts La fiscalité (suite) Proposition 1 de Modigliani-Miller en présence d impôts La valeur d une entreprise endettée excède celle d une entreprise non endettée de la valeur actuelle des économies d impôts permises par la déductibilité fiscale des intérêts: V L = V U + t c D (22) Il faut aussi ajuster le coût moyen pondéré du capital pour tenir compte de cette économie d impôt. Puisque les intérêts sont déductibles du revenu imposable, le coût de la dette pour l entreprise n est en fait que de (1 t c )r D. Le coût moyen pondéré du capital est donc de WACC = D D + E (1 t c)r D + E D + E r E (23) Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 63 / 190

La structure financière en présence d impôts La fiscalité (suite) En posant un taux d imposition nul dans l équation (23) on revient au WACC sans impôts. L existence des impôts réduit donc le WACC de l entreprise. Partant de l équation (23), on obtient en réarrangeant WACC = D D + E r D + E D + E r E D D + E t cr D (24) Le dernier terme représente la réduction du WACC liée aux économies d impôt. On obtient donc que le coût du capital n est plus indépendant de la structure financière en raison des impôts. Soit V U la valeur de l entreprise non endettée et r A le rendement sur ses actifs après impôts. L entreprise endettée peut payer à ses investisseurs le bénéfice de l entreprise non endettée, r A V U, plus l avantage fiscal des intérêts sur une année, t c rd. Comme ce montant doit être égal au flux total aux investisseurs, on a r A V U + t c rd = r E E + r D D (25) Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 64 / 190

La structure financière en présence d impôts La fiscalité (suite) En simplifiant, on obtient que l on peut aussi écrire r E E = r A V U (1 t c )r D D (26) V U r E = r A E (1 t D c)r D E Puisque V L = V U + t c D = D + E, on a (27) V U = E + (1 t c )D (28) En insérant dans (27) on obtient le résultat suivant: Proposition 2 de Modigliani-Miller en présence d impôts r E = r A + D E (1 t c)(r A r D ) (29) Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 65 / 190

La structure financière en présence d impôts La fiscalité (suite) Comme nous l avons mentionné plus haut, le WACC n est pas constant. En effet, si l on insère (29) dans (23) on obtient WACC = D D + E (1 t c)r D + = D D + E (1 t c)r D + ( D = 1 t c D + E E D + E r E E D + E ( r A + D E (1 t c)(r A r D ) ) r A (30) Le coût moyen pondéré du capital est donc une fonction décroissante du montant de la dette D. Lorsque D est très faible, on a WACC = ra. Lorsque D est élevé, on a WACC = ra (1 t c ). Lorsqu il n y a pas d impôts (t c = 0), le WACC est égal au rendement sur les actifs, r A, quelle que soit la structure financière. ) Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 66 / 190

La structure financière en présence d impôts Exemple (ancien examen 2006) La société Y est entièrement financée par des fonds propres et a émis 1 000 actions. Y réalise un bénéfice annuel moyen de 10 000 CHF. Le bénéfice réalisé chaque année est distribué intégralement sous forme de dividende. Chaque action vaut actuellement 50 CHF sur le marché. Le taux sans risque est de 2% et le rendement espéré du portefeuille de marché de 10%. On suppose pour le moment qu il n y a pas d impôts. La valeur totale de marché de l entreprise peut être déterminée en multipliant le nombre d actions par leur cours V = 1 000 50 = 50 000 Le rendement attendu sur les actions est r E = 10 000 50 000 = 0.2 = r A Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 67 / 190

La structure financière en présence d impôts Exemple (ancien examen 2006) (suite) Le β des actifs est déterminé en utilisant la SML: β A = r A r f µ M r f = 2.25 Y décide d émettre de la dette au pair pour un montant de 10 000 CHF. Cette dette est perpétuelle et son β vaut 0.375. Le taux d intérêt sur la dette est donc de 5%. L entreprise peut donc racheter 10 000/50 = 200 actions. La dette vaut alors 10 000 et les fonds propres 40 000. Nous sommes dans un monde sans impôts. Donc, le coût moyen pondéré du capital est indépendant de la structure financière et est égal au rendement attendu sur les fonds propres de l entreprise non endettée, 20%. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 68 / 190

La structure financière en présence d impôts Exemple (ancien examen 2006) (suite) On suppose désormais que la société Y est imposée au taux de 30% sur le bénéfice qu elle réalise. Si elle ne modifie pas sa structure financière, le bénéfice disponible pour les actionnaires est désormais réduit du montant des impôts et vaut donc 0.7 10 000 = 7 000. La valeur de la société non endettée est de V U = 7 000 0.2 = 35 000 La valeur de l entreprise endettée est supérieure à celle de l entreprise non endettée d un montant égal à la valuer actuelle de l avantage fiscal V L = V U + t c D = 35 000 + 3 000 = 38 000 avec un valeur de la dette de 10 000 et des fonds propres de 28 000. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 69 / 190

La structure financière en présence d impôts Exemple (ancien examen 2006) (suite) Après l annonce mais avant le rachat d actions, chaque action vaut 38 000/1 000 = 38. La société peut donc racheter 10 000/38 = 263.16 actions. Le montant annuel des intérêts est de 10 000 5% = 500. Le bénéfice avant impôts vaut alors 9 500 et le bénéfice net 9 500 0.7 = 6 650. Le rendement attendu sur les fonds propres se monte à r E = 6 650 28 000 = 23.75% En présence d impôts, le coût moyen pondéré du capital est donné par WACC = 10 000 38 000 (1 0.3) 5% + 28 000 38 23.75% = 18.42% 000 Le changement de structure financière a permis d accroître la valeur totale de l entreprise d un montant égal à la valeur actuelle de l avantage fiscal, 3 000. Il a donc été judicieux pour les actionnaires. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 70 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts de détresse financière L analyse précédente suggère que les entreprises devraient choisir une structure financière leur permettant de profiter de manière optimale de la déductibilité fiscale des intérêts. Pourtant, aujourd hui les charges d intérêts représentent à peine 20 à 30% du résultat d exploitation des grandes entreprises. Ainsi, les entreprises utilisent beaucoup moins la dette que ce que la déductibilité des intérêts laisse présager. Pourquoi les entreprises sont-elles aussi peu endettées? Une explication possible est qu un déterminant important de la structure financière des entreprises n a pas été pris en compte dans l analyse. Le recours à la dette induit d autres coûts que ceux qui ont été analysés pour l instant. Ce coût supplémentaire absent de l analyse est assez évident: l augmentation du taux d endettement augmente la probabilité de faillite. La dette met donc de la pression sur l entreprise. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 71 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts de détresse financière Une entreprise lourdement endettée ne pouvant faire face à ses obligations peut entrer dans une situation de détresse financière. Dans la mesure où celle-ci occasionne des coûts, l entreprise devra en tenir compte lors du choix de sa structure de capital. Les coûts de détresse financière peuvent prendre différentes formes: Coûts directs: frais de justice et d avocat, le coût d opportunité pour les créanciers qui doivent attendre avant de recevoir (une partie de) leur argent. Enron, le courtier américan en énergie ayant fait faillite en 2001, a dépensé 750 millions de dollars pour payer ses avocats et ses experts en comptabilité. Les coûts directs représentaient 10% environ de la valeur des actifs. Coûts indirects: perte de clients, rupture de contrats avec les fournisseurs, démissions et démotivation des salariés, hausse des impayés sur les créances clients, pertes liées à des ventes forcées d actifs. Une étude consacrée aux entreprises fortement endettées établit que celles-ci affichent une valeur inférieure de 10 à 20% à celles d entreprises comparables mais moins endettées. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 72 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts de détresse financière Il est possible de comparer les avantages de la dette (la déductibilité fiscale des intérêts) à ses inconvénients (coûts de détresse financière). En effet, toute entreprise est incitée à augmenter son endettement pour bénéficier d économies d impôt, mais l augmentation de la dette accroît le risque que l entreprise rencontre des difficultés financières. Suivant cette théorie, la valeur d une entreprise endettée est égale à la valeur d une entreprise non endettée, augmentée de la valeur actuelle des économies d impôt réalisées et diminuée de la valeur actuelle des coûts de détresse financière: V L = V U + t c D VA(Coûts de détresse financière) (31) L endettement optimal maximise V L. Une des conséquences de cette analyse est que plus les coûts de détresse financière sont importants, plus l entreprise aura tendance à se financer par fonds propres. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 73 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts de détresse financière Cette théorie permet d expliquer un certain nombre de faits, notamment pourquoi le levier financier dépend du type d entreprise. En effet, les coûts de détresse financière sont en général plus élevés pour les actifs immatériels que pour les actifs matériels. Par conséquent, les entreprises ayant surtout des actifs matériels facilement réalisables auront tendance à utiliser de la dette pour ses avantages fiscaux. En revanche, les entreprises dont les actifs sont surtout immatériels feront plutôt appel aux fonds propres. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 74 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts de détresse financière Exemple (ancien examen 2003) Le bénéfice avant intérêts et impôts d une entreprise est en moyenne de 100 CHF par an. Elle a émis des dettes d une valeur de 1 000 CHF rémunérées à 6% par an. Le rendement sur ses fonds propres est de 10% par an. Le taux d imposition sur les bénéfices des entreprises est de 40%. Le bénéfice après impôts est de 24: Bénéfice avant intérêts et impôts 100 Intérêts 60 Bénéfice avant impôts 40 Impôts (40%) 16 Bénéfice après impôts 24 Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 75 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts de détresse financière Exemple (ancien examen 2003) (suite) La valeur totale des fonds propres est donc égale à 24/0.1=240 CHF. Nous savons que les dettes valent 1 000 CHF. Donc, la valeur totale de l entreprise est de 1 240 CHF. On peut donc calculer le coût moyen pondéré du capital et le rendement des actifs WACC = r A = D D + E (1 t c)r D + E D + E r E = 0.04839 WACC = 0.0714 D 1 t c D+E Si l entreprise n était pas endettée, sa valeur serait V U = V L t c D = 1 240 0.4 1 000 = 840 Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 76 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts de détresse financière Exemple (ancien examen 2003) (suite) Le rendement sur les fonds propres serait donc de 60/840=0.0714, ce qui correspond au rendement sur les actifs calculé plus haut. Supposons maintenant que l entreprise encourt également des coûts de détresse financière de K (D) = D 2 /5 000. En supposant que les dettes valent toujours 1 000 et restent rémunérées à 6%, la valeur de l entreprise est de V L = V U + t c D K (D) = 840 + 400 200 = 1 040 Comme la dette vaut toujours 1 000, la valeur des fonds propres est de 40. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 77 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts de détresse financière Exemple (ancien examen 2003) (suite) Comme l entreprise fait un trade-off entre valeur actuelle des économies d impôt et valeur actuelle des coûts liés aux difficultés financières, on peut se demander si la structure de capital est optimale. La valeur de D doit maximiser V L = V U + t c D K (D) = V U + 0.4D D2 5 000 La condition de premier ordre pour un maximum est de donc D = 1 000 est bien optimal. 0.4 D 2 500 = 0 Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 78 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts et bénéfices d agence Coûts d agence En plus des coûts de détresse financière, il existe un autre canal par lequel la structure financière peut influencer les flux de trésorerie futurs d une entreprise: les coûts d agence. Les coûts d agence sont liés à des conflits d intérêts entre les différentes parties prenantes d une entreprise (actionnaires, créanciers,...). Ceux-ci, par des stratégies égoïstes, réduisent la valeur totale de l entreprise. Ces coûts augmentent avec le levier financier et ont donc des effets comparables à ceux des coûts de détresse financière. Prenons un exemple. L entreprise ABC fait face à de sérieuses difficultés financières. Elle doit rembourser un prêt d un million CHF à la fin de l année. La valeur de marché de ses actifs n est que de 900 000 CHF. Sans modification de sa stratégie, l entreprise sera contrainte de déposer le bilan. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 79 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts et bénéfices d agence Coûts d agence (suite) Les dirigeants de ABC ont un projet très risqué qui ne demande aucun investissement supplémentaire. Avec 50% de chance, la valeur des actifs de l entreprise passera à 1.3 millions CHF. Sinon, la valeur des actifs sera 300 000 CHF seulement. La valeur moyenne espérée des actifs d ABC sera donc de 800 000 CHF. Les stratégies sont comparées dans le tableau suivant (en milliers de CHF) Valeur de marché des actifs de l entreprise Valeur de marché de la dette Valeur de marché des capitaux propres Ancienne stratégie Nouvelle stratégie Succès Echec Espérance 900 1300 300 800 900 1 000 300 650 0 300 0 150 Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 80 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts et bénéfices d agence Coûts d agence (suite) Les actionnaires n ont donc rien à perdre à la mise en oeuvre de la nouvelle stratégie, et ils tirent profit d un projet avec un gain négatif. Les créanciers y perdent. Plus généralement, les dettes peuvent amener les actionnaires à prendre plus de risques parce que ce sont les créanciers qui subissent le gros des pertes si les choses se terminent mal. Il peut donc exister un problème de sur-investissement. Si ABC ne met pas en place la stratégie précédente, elle peut profiter d une autre opportunité d investissement. Il s agit d investir aujourd hui 100 000 CHF pour obtenir dans un an 150 000 CHF, donc une rentabilité sans risque de 50%. Si le taux d intérêt sans risque est de 5%, cet investissement a une VAN clairement positive. ABC ne peut pas autofinancer le projet, ni prendre de l endettement supplémentaire. Les stratégies sont comparées dans le tableau suivant (en milliers de CHF) Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 81 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts et bénéfices d agence Coûts d agence (suite) Ancienne stratégie Nouvelle stratégie Valeur de marché des 900 900 actifs de l entreprise VAN du nouveau projet 0 150 Valeur de marché totale 900 1 050 de l entreprise Valeur de marché de la 900 1 000 dette Valeur de marché des capitaux propres 0 50 Si les actionnaires acceptent de financer les 100 000 CHF d investissement, ils n en retirent que 50 000. La VAN du projet est négative du point de vue des actionnaires, qui refusent de le financer. Il peut donc exister un problème de sous-investissement. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 82 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts et bénéfices d agence Coûts d agence (suite) Cela peut aller encore plus loin: lorsqu une entreprise fait face à des difficultés financières, les actionnaires ont intérêt à retirer des liquidités de l entreprise. Ils peuvent revendre des actifs de l entreprise pour se verser immédiatement un dividende exceptionnel. De plus, les actionnaires peuvent préférer maintenir une entreprise en vie alors qu elle vaudrait plus si elle était dissoute parce que l essentiel reviendrait aux créanciers en cas de dissolution immédiate. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 83 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts et bénéfices d agence Bénéfices d agence L endettement fait apparaître des bénéfices d agence et peut créer ou améliorer les incitations des dirigeants à gérer l entreprise dans l intérêt des actionnaires: Le recours à l endettement peut éviter ou limiter la dispersion de l actionnariat, ce qui favorise le contrôle des dirigeants par les actionnaires et une gestion efficace de l entreprise. La dette réduit la probabilité qu une entreprise réalise des investissements à VAN négative. La crainte des difficultés financières peut conduire les dirigeants à gérer l entreprise de manière plus efficace. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 84 / 190

Faillite, coûts d agence et information Les coûts et bénéfices d agence Inclure les coûts et bénéfices d agence Il faut donc ajouter deux termes à la valeur d une entreprise endettée, pour qu elle intègre les coûts et le bénéfices des incitations liées à l endettement: V L = V U + t c D VA(Coûts de détresse financière) VA(Coûts d agence de l endettement) +VA(Bénéfices d agence de l endettement) L endettement optimal maximise V L. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 85 / 190

Faillite, coûts d agence et information La théorie du financement hiérarchique Pecking Order Theory La théorie du financement hiérarchique repose sur le concept d asymétrie d information: les dirigeants en savent plus sur les risques et la valeur de leur entreprise que des investisseurs extérieurs. En augmentant l endettement, le dirigeant de l entreprise peut envoyer au marché un signal sur les bonnes perspectives de l entreprise, sans pour autant révéler les informations qu il détient. L annonce d émission d actions transmet l information au marché que le dirigeant pense que les actions sont surévaluées. Dès réception de ce signal, les investisseurs exigent de payer un prix plus faible pour une action. Émettre des actions est donc coûteux pour les actionnaires. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 86 / 190

Faillite, coûts d agence et information La théorie du financement hiérarchique Pecking Order Theory (suite) L asymétrie d information modifie le choix entre le financement interne et externe et entre les émissions de dettes et d actions. Elle conduit à une hiérarchie des modes de financement: 1 Les investissements sont d abord financés par des fonds internes, essentiellement par le réinvestissement des bénéfices, 2 Ensuite, ils sont financés par émissions d obligations, puis par l utilisation des titres hybrides 3 En dernier lieu, les entreprises émettent des actions. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 87 / 190

Faillite, coûts d agence et information La théorie du financement hiérarchique Exemple L entreprise Z veut financer un investissement de 10 millions de CHF. Si Z s endette sur une période d un an, le taux d intérêt est de 7%. Pourtant, le dirigeant de Z pense que le taux d intérêt que devrait payer Z en l absence d asymétrie d information est de 6%. Si Z émet des actions, le dirigeant anticipe qu il faudra les vendre 5% en dessous de leur vraie valeur. Enfin, Z peut autofinancer l investissement. Pour autofinancer le projet, Z doit s abstenir de distribuer 10 millions de CHF de dividendes aux actionnaires. Avec le financement par endettement, Z devra payer 10.7 millions de CHF. En valeur actuelle, cela représente 10.094 millions de CHF. Avec le financement par actions, Z devra émettre 5% d actions de plus, donc 10.5 millions afin d en retirer que 10 millions. Pour Z, l autofinancement est la source de fonds la moins coûteuse, suivie par la dette et enfin par les actions. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 88 / 190

Résumé Les différents titres émis par une entreprise pour lever des capitaux constituent sa structure financière. Sous l hypothèse de perfection des marchés de capitaux, la valeur de l entreprise est indépendante de sa structure financière (proposition 1 de Modigliani-Miller) Si les marchés sont parfaits, les décisions financières sont à VAN nulle. Elles ne créent ni ne détruisent de la valeur. Les charges d intérêts sont déductibles de l assiette fiscale de l impôt sur les sociétés. L endettement augmente donc les revenus disponibles pour l ensemble des investisseurs créanciers et actionnaires. La valeur totale d une entreprise endettée est égale à la valeur totale d une entreprise non endettée plus la valeur actuelle des économies d impôt. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 89 / 190

Résumé En présence d impôts, le WACC diminue lorsque l endettement de l entreprise augmente. La procédure de faillite d une entreprise implique des coûts directs et indirects. La valeur totale d une entreprise endettée est égale à la valeur totale d une entreprise non endettée plus la valeur actuelle des économies d impôt moins la valeur actuelle des coûts de détresse financière. Des coûts d agence apparaissent lorsque des conflits d intérêts sont possibles entre les différentes parties prenantes. L endettement fait apparaître des bénéfices d agence et peut créer ou améliorer les incitations des dirigeants à gérer l entreprise dans l intérêt des actionnaires. Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 90 / 190

Résumé La valeur totale d une entreprise endettée est égale à la valeur totale d une entreprise non endettée plus la valeur actuelle des économies d impôt moins la valeur actuelle des coûts de détresse financière moins la valeur actuelle des coûts d agence de l endettement plus la valeur actuelle des bénéfices d agence de l endettement. Du fait des asymétries d information en faveur des dirigeants, les entreprises favorisent l autofinancement et l endettement comme sources de financement plutôt que l émission d actions: c est la théorie du financement hiérarchique (Pecking Order Theory). Principes de Finance 9 & 10. Financement Printemps 2012 91 / 190

Résumé Principes de Finance 11. Politique de dividende Daniel Andrei Semestre de printemps 2012 Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 92 / 190

Introduction Lorsqu une entreprise dispose de flux de trésorerie élevés, celle-ci doit décider de leur affectation. Il n y a que deux possibilités: 1 Les flux peuvent être utilisés pour financer de nouveaux projets ou tout simplement pour augmenter la trésorerie de l entreprise; 2 Les flux peuvent être distribués aux actionnaires. Cette décision constitue la politique de distribution de l entreprise. Flux de trésorerie disponibles Conservation des flux de trésorerie par l entreprise Distribution des flux de trésorerie aux actionnaires Financement de projets d investissement Augmentation de la trésorerie Rachat d actions Versement de dividendes Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 93 / 190

Introduction La redistribution aux actionnaires se fait sous forme de dividende, ou de rachat d action, voire de réduction de capital. Un dividende est donc une rémunération de l actionnaire qui provient des bénéfices réalisés (on ne parlera pas ici des dividendes de liquidation qui représentent la part qui revient à l actionnaire en cas de liquidation de la société). Ce n est donc pas un enrichissement de l actionnaire mais une simple modification de la composition de son patrimoine. Les théorèmes de Modigliani et Miller nous disent que sous certaines conditions, la structure financière n a pas d influence sur la valeur de l entreprise. Dans cette section, nous verrons qu une analyse similaire peut être faite pour la politique de dividende. Ensuite, nous analyserons les effets qui peuvent se produire si les conditions d application du théorème ne sont pas remplies. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 94 / 190

Les modalités de rémunération des actionnaires Dans la pratique, on rencontre les formes de dividendes suivantes: en espèce: le dividende est en général payé une fois par an, en proportion de la valeur nominale des actions; sous forme d actions (par exemple, un dividende de 10% signifie que chaque actionnaire reçoit une action pour chaque 10 actions qu il possède); sous forme de prestation en nature (par exemple, remontées mécaniques, compagnies aériennes); par rachat d actions (soit open market, soit par une offre publique d achat aux actionnaires). Nous allons regarder de plus près comment fonctionnent le paiement en espèces et le rachat d actions. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 95 / 190

Les modalités de rémunération des actionnaires Le versement de dividendes Les dividendes représentent un transfert de capitaux de l entreprise vers les actionnaires. Ils ne peuvent pas dépasser le bénéfice distribuable de l entreprise. Chaque année, le Conseil d administration propose à l Assemblée générale des actionnaires une affectation possible du résultat distribuable de l exercice. Si l Assemblée générale approuve cette répartition, elle fixe le montant du dividende et la date à laquelle le dividende sera versé. La majorité des entreprises qui versent des dividendes le font à intervalles réguliers, tous les trimestres (aux États-Unis) ou tous les ans (en France). Il arrive parfois qu une entreprise décide de verser un dividende exceptionnel, de montant fréquemment supérieur à celui du dividende normal. Microsoft a ainsi décidé en 2004 de verser 3 dollars par action, alors que son dividende annuel était de 8 centimes! Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 96 / 190

Les modalités de rémunération des actionnaires Microsoft (from washingtonpost.com, Wednesday, July 21, 2004) Microsoft Announces Payouts to Investors Microsoft Corp., which has amassed an unparalleled cash hoard of nearly $60 billion from its world-dominating software business, announced yesterday that it would return a large chunk of it to shareholders, much of it through a one-time dividend of $3 for every share held by investors. With 10.79 billion shares outstanding as of March 31, the company will pay out more than $32 billion in that one stroke, pending approval of the plan by shareholders. Company chairman and founder Bill Gates stands to get about $3.3 billion, and he pledged yesterday to give the entire amount to his family s foundation, already the nation s largest. Chief executive Steven A. Ballmer would get about $1.2 billion. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 97 / 190

Les modalités de rémunération des actionnaires Le rachat d actions Pour rendre à ses actionnaires une partie des flux de trésorerie disponibles, l entreprise peut également racheter une partie de ses propres actions. Le plan de rachat d actions doit être approuvé par l Assemblée générale des actionnaires. Ce programme précise les objectifs du rachat d actions et également les modalités et les conséquences de l opération: pourcentage de capital visé (plafonné à 10%); durée de l opération (maximum 18 mois); financement du rachat des actions (utilisation de la trésorerie disponible ou endettement); analyse des conséquences du programme (structure financière, bénéfice par action, fiscalité). Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 98 / 190

La décision de rendre des capitaux aux actionnaires Le cas des marchés parfaits Jusqu à présent, nous avons implicitement supposé que l entreprise avait décidé de rendre à ses actionnaires des capitaux. Maintenant on va s interroger sur les raisons qui poussent une entreprise à décider de rendre des capitaux à ses actionnaires. Conservation des flux de trésorerie par l entreprise Financement de projets d investissement Flux de trésorerie disponibles Augmentation de la trésorerie Distribution des flux de trésorerie aux actionnaires Rachat d actions Versement de dividendes Nous verons que, si les marchés financiers sont parfaits, il est équivalent pour une entreprise ayant financé tous les projets à VAN positive de rendre à ses actionnaires les capitaux inutilisés ou de les conserver et les placer sur les marchés financiers. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 99 / 190

La décision de rendre des capitaux aux actionnaires Le cas des marchés parfaits (suite) Exemple L entreprise X possède 1 000 000 CHF de trésorerie excédentaire. Elle a deux possibilités: (i) placer cette somme en bons du Trésor de maturité un an et rémunération 6%, ou (ii) verser immédiatement à ses actionnaires sa trésorerie excédentaire, les actionnaires achetant eux-mêmes les bons du Trésor.Dans le cas (ii) les actionnaires reçoivent immédiatement 1 000 000 CHF. Dans le cas (i) les actionnaires reçoivent l année prochaine 1 060 000, dont la valeur actuelle est de 1 000 000 CHF. Les actionnaires sont donc indifférents entre les deux possibilités: Modigliani-Miller et la politique de distribution Dans le cadre de marchés parfaits, le choix de l entreprise entre distribution et conservation à des fins de placement de sa trésorerie excédentaire n influence pas sa valeur. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 100 / 190

Dividendes ou rachats d actions? Comment les entreprises choisissent-elles entre versement d un dividende ou rachat d actions? Flux de trésorerie disponibles Conservation des flux de trésorerie par l entreprise Distribution des flux de trésorerie aux actionnaires Financement de projets d investissement Augmentation de la trésorerie Rachat d actions Versement de dividendes Si les marchés de capitaux sont parfaits (cadre d hypothèses de Modigliani et Miller), ce choix n a aucune importance. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 101 / 190

Dividendes ou rachats d actions? Exemple Z est une entreprise uniquement financée par capitaux propres. Il y a 10 millions d actions en circulation. A partir de l année prochaine, les flux de trésorerie disponibles FTD anticipés sont de 48 millions de CHF par an. Le coût du capital de l entreprise est de 12%. La valeur de Z correspond donc à la valeur des flux de trésorerie futurs: V U = VA(FTD) = 48 = 400 millions de CHF (32) 0.12 L entreprise Z a deux choix pour rendre aux actionnaires les flux de trésorerie disponibles pour les années prochaines: versement de dividendes ou rachat d actions. Nous verrons que si les marchés sont parfaits, les investisseurs sont indifférents au choix de l entreprise entre dividendes et rachat d actions. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 102 / 190

Dividendes ou rachats d actions? Le versement d un dividende Avec des FTD de 48 millions de CHF, le dividende par action pour les années suivantes sera de 4.80 CHF. Aujourd hui (une année avant le premier versement du dividende) la valeur d une action est de 40 CHF. Dans une année, juste avant la distribution du dividende, le prix sera de 44.80 CHF. Une fois le dividende payé, le prix de l action chute, d un montant égal au dividende détaché, pour arriver de nouveau à 40 CHF. Si la baisse est plus faible, un investisseur pourrait réaliser un gain sans risque en achetant des actions juste avant le détachement de dividende et en les revendant juste après. Si la baisse est plus forte, un investisseur pourrait réaliser un gain sans risque en vendant à découvert juste avant le détachement de dividende et en rachetant juste après. La chute du prix des actions lors d un versement de dividende est cohérente donc avec l absence d opportunité d arbitrage. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 103 / 190

Dividendes ou rachats d actions? Le versement d un dividende Et ainsi de suite pour les années suivantes. Graphiquement: 12 50 Nombre d'actions millions 10 8 6 4 2 Valeur par action 40 30 20 10 0 0 2 4 6 8 10 Temps 0 0 2 4 6 8 10 Temps La richesse des actionnaires n est donc pas modifiée par le versement d un dividende: ils détiennent initialement une action valant 44.80 CHF; après détachement, ils ont 4.80 CHF de dividendes et une action valant 40 CHF, soit un total identique de 44.80 CHF. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 104 / 190

Dividendes ou rachats d actions? Le rachat d actions Si Z décide de ne pas verser de dividendes dans une année, mais plutôt racheter des actions, elle peut donc racheter 48/44.8 = 1.071 millions d actions. Il reste donc 8.929 millions d actions en circulation. Le prix de l action dans une année restera à 44.80 CHF. Il est également possible de raisonner à partir de la valeur actualisée des dividendes. A l avenir, Z aura des flux de trésorerie disponibles annuels de 48 millions de CHF, ce qui correspond à un dividende par action de 48/8.929 = 5.38 CHF. Suite au rachat d actions, le prix d une action de Z est donc de 5.38/0.12 = 44.80 CHF. Et ainsi de suite pour les années suivantes. Graphiquement: 12 120 10 100 Nombre d'actions millions 8 6 4 Valeur par action 80 60 40 2 20 0 0 2 4 6 8 10 0 0 2 4 6 8 10 Temps Temps Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 105 / 190

Dividendes ou rachats d actions? Modigliani-Miller et la politique de distribution Que préfèrent les actionnaires? Si les marchés sont parfaits, un rachat d actions par l entreprise n a aucun effet sur le prix de l action. Ce prix est identique au prix cum-dividende qu aurait eu l action si un dividende avait été versé. Si un actionnaire a besoin de liquidités alors que Z a décidé de racheter des actions, il suffit que l actionnaire vende une partie de ses actions. On parle dans ce cas de dividende synthétique. Si Z verse un dividende et qu un actionnaire ne désire pas en bénéficier, il peut utiliser les dividendes reçus pour acheter des actions supplémentaires. Un investisseur peut donc librement modifier la composition de son portefeuille entre liquidités et actions: Modigliani-Miller et la politique de dividendes Si les marchés financiers sont parfaits, la politique de dividendes n est pas créatrice de valeur pour l actionnaire. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 106 / 190

L effet des imperfections La fiscalité La fiscalité des entreprises Si les marchés sont imparfaits, il convient de modifier le cadre d analyse pour intégrer les conséquences de ces imperfections. Ces dernières peuvent conduire l entreprise à choisir une politique de distribution plutôt qu une autre. Pour voir de quelle manière les résultats précédents sont modifiés par la prise en compte de la fiscalité, revenons à notre premier exemple. On suppose un taux d imposition des bénéfices de 35%. Si X verse un dividende maintenant, les actionnaires reçoivent immédiatement 1 000 000 CHF. Si X conserve et place ses liquidités, l entreprise bénéficie d une rentabilité après impôt de (1 0.35)0.06 = 3.9% sur les bons du Trésor. Le dividende versé dans un an sera de 1 039 000 CHF. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 107 / 190

L effet des imperfections La fiscalité La fiscalité des entreprises (suite) Ceci est inférieur au 1 060 000 CHF que les investisseurs auraient pu obtenir s ils avaient eux-mêmes placé 1 000 000 CHF en bons du Trésor. Si les entreprises paient des impôts alors que les actionnaires ne sont pas imposés, les actionnaires supportent un surcoût fiscal lorsque les entreprises décident de conserver et de placer leur trésorerie excédentaire. En présence d impôt, la détention d une trésorerie excédentaire alourdit donc la charge fiscale de l entreprise. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 108 / 190

L effet des imperfections La fiscalité La fiscalité des actionnaires La décision de distribuer les flux de trésorerie peut avoir des conséquences fiscales sur les actionnaires, s ils sont imposés. Lorsqu une entreprise décide de verser des dividendes, les actionnaires sont imposés au taux d imposition sur les dividendes, t div. Si l entreprise opère un rachat d actions, les actionnaires qui vendent leurs titres (pour profiter d un dividende synthétique) sont imposés au taux d imposition sur les plus-values, t pv. Dans de nombreux pays, le traitement fiscal des dividendes et des plus-values financières est différent. En Suisse, les dividendes sont imposés comme revenu, alors que les plus-values financières ne le sont pas. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 109 / 190

L effet des imperfections La fiscalité La fiscalité des actionnaires (suite) Lorsque le taux d imposition sur les dividendes t div est supérieur au taux d imposition sur les plus-values t pv, les actionnaires réalisent des économies d impôt si l entreprise rachète des actions plutôt que de verser des dividendes. Dans ce cas, la politique de distribution optimale consiste à ne verser aucun dividende. Les taux d imposition peuvent être différents d un investisseur à l autre. Du fait de ces différences, tous les actionnaires n ont pas la même préférence pour le rachat d actions ou le paiement de dividendes. Les entreprises, en adoptant une politique de distribution particulière, peuvent donc attirer certains types d actionnaires plutôt que d autres. C est ce que l on appelle un effet de clientèle. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 110 / 190

L effet des imperfections La fiscalité Exemple (ancien examen été 2004) Une entreprise entièrement financée par fonds propres a un bénéfice annuel moyen de 10 000 CHF. Elle a actuellement 1 000 actions sur le marché, et le rendement attendu sur ces actions est de 16%. L entreprise paie la moitié de son bénéfice sous forme de dividende et utilise l autre moitié pour racheter ses propres actions. Le paiement de dividende a lieu juste avant le rachat d actions. Le paiement de dividende et le rachat d actions pour l année en cours viennent d avoir lieu, et nous sommes dans un monde sans impôts. Le cours des actions de l entreprise est égal à P 0 = 10 0.16 = 62.5 avec une valeur totale des fonds propres de E 0 = 62 500 CHF. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 111 / 190

L effet des imperfections La fiscalité Exemple (ancien examen été 2004) (suite) Dans une année, le bénéfice total de l entreprise est de 10 000 CHF. La valeur de chaque action augmente donc de 10 CHF, à 72.5 CHF. Après le paiement du dividende, la valeur sera de 67.5 CHF. Il reste R 1 = 5 000 CHF pour racheter des actions. Soit N 0 le nombre d actions initiales, K 1 le nombre d actions rachetées après une année et P 1 leur prix. Ils satisfont le système d équations { K1 P 1 = R 1 (N 0 K 1 )P 1 = E 0 (33) avec solutions K 1 = N 0R 1 E 0 +R 1 et P 1 = E 0+R 1 N 0. On trouve K 1 = 74 et P 1 = 67.5. Il reste donc 926 actions dans le marché. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 112 / 190

L effet des imperfections La fiscalité Exemple (ancien examen été 2004) (suite) Dans deux ans, le bénéfice moyen est toujours de 10 000 CHF. Comme il y a 926 actions, le cours de chaque action avant paiement de dividende et rachat est de 78.3 CHF. Le dividende par action est de 5.4 CHF. Ensuite, on utilisé le même système d équations pour trouver K 2 = 68.6 et P 2 = 72.9. On suppose maintenant que les dividendes sont imposés au taux de 40%, mais que les gains en capital et les rachats d actions ne sont pas imposés. Le rendement attendu sur les actions de l entreprise demeure de 16%. En tout, les actionnaires reçoivent une rente perpétuelle de 8 000 CHF, dont 3 000 dividendes et 5 000 rachat d actions. Le cours des actions est égal à P 0 = 50, avec une valeur totale des fonds propres de E 0 = 50 000. Dans une année, la valeur de chaque action augmente à 58 CHF. Après le paiement du dividende, la valeur sera de 55 CHF. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 113 / 190

L effet des imperfections La fiscalité Exemple (ancien examen été 2004) (suite) L entreprise rachète pour 5 000 CHF d actions, donc 91 actions. Il reste 909 actions, et leur cours est de 55 CHF. Dans deux ans, le cours augmente à 63.8 CHF. Le dividende payé par action est de 5.5 CHF, mais le cours ne chute que du montant reçu par les actionnaires, 3.3 CHF. Le cours des actions après le paiement de dividende est donc de 60.5 CHF, et l entreprise rachète 82.6 actions. On constate que le nombre d actions rachetées est supérieur dans le cas avec impôts. Ceci est dû au fait que le cours des actions est plus faible, mais que le montant utilisé pour les racheter est le même. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 114 / 190

L effet des imperfections Les coûts de transactions et les côuts de détresse financière On estime en général que les coûts de transaction directs associés à une émission de titres sont compris entre 1 et 3% pour les obligations et 3.5 à 7% pour les actions. En conservant des disponibilités pour couvrir leurs besoins futurs, les entreprises évitent les coûts de transaction associés à la recherche et l obtention de capitaux nouveaux. La conservation de liquidités par l entreprise permet aussi de réduire la probabilité d une insuffisance future de liquidités. Les entreprises présentant une cyclicité prononcée de leur activité peuvent être incitées à conserver des disponibilités pour traverser les périodes pendant lesquelles le résultat d exploitation est négatif. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 115 / 190

L effet des imperfections Les coûts d agence Le dirigeant d une entreprise disposant de liquidités excessives peut décider de leur affectation sans l accord des actionnaires. Il peut donc investir dans de projets à VAN négative, des dépenses somptuaires, ou des acquisitions réalisées à des prix prohibitifs. Les incitations des dirigeants sont souvent différentes de celles des actionnaires. Les dirigeants préfèrent naturellement que l entreprise conserve le maximum de liquidités, car cela augmente les ressources qu ils contrôlent et facilite la mise en oeuvre de stratégies non rentables. De plus, cela réduit le taux d endettement de l entreprise, ce qui fait baisser son risque de faillite et la probabilité de licenciement du dirigeant. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 116 / 190

L effet des imperfections Les asymétries d information Une autre imperfection doit être intégrée au raisonnement: l existence d asymétries d information. Lorsque les dirigeants détiennent des information de meilleure qualité que les investisseurs, une décision relative à la politique de distribution est susceptible d envoyer un signal au marché. Les entreprises payant des dividendes élevés sont considérées comme très rentables, celles payant peu de dividendes comme pas ou peu rentables. Une augmentation du dividende signale que le dirigeant est convaincu que l entreprise pourra verser durablement des dividendes plus élevées. Une baisse de dividende est interprétée par les actionnaires comme un signe de mauvaise gestion. Les entreprises éviteront donc de réduire leurs dividendes. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 117 / 190

L effet des imperfections Les asymétries d information Dans un tel environnement, les entreprises paient donc des dividendes afin de signaler leur rentabilité élevée aux actionnaires. C est le contenu informationnel des dividendes qui justifie leur existence, et non pas une préférence quelconque des actionnaires pour un flux de liquidité stable. En conclusion, ce n est pas le niveau du dividende qui est important mais le changement (càd la variation) des dividendes. Les dividendes présentent donc toujours un aspect beaucoup plus stable et lisse que les bénéfices des entreprises. Cette pratique des entreprises, que l on retrouve dans tous les pays, s appelle le lissage des dividendes. Considérons un modèle simple (John Lintner, 1956) qui tient compte de ces faits. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 118 / 190

L effet des imperfections Les asymétries d information Soit φ la proportion que l entreprise vise à distribuer à long terme et EPS t le bénéfice par action en période t. Alors, le niveau de dividende visé en période t, D t, est de Le changement de dividende visé est donc de D t = φeps t (34) D t D t 1 = φeps t D t 1 (35) Supposons maintenant que les actionnaires préfèrent un accroissement continu des dividendes à d abrupts changements. Par conséquent, seule une fraction a du changement (35) est effectuée dans l année courante: ( ) D t D t 1 = a D t D t 1 = a (φeps t D t 1 ) (36) Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 119 / 190

L effet des imperfections Les asymétries d information En groupant les termes on obtient D t = aφeps t + (1 a)d t 1 (37) Nous avons une relation similaire pour la période t 1. En remplaçant en (37) on obtient D t = aφeps t + aφ(1 a)eps t 1 + (1 a) 2 D t 2 (38) En répétant ce exercice de substitution, on obtient [ n ] D t = aφ (1 a) i EPS t i + (1 a) n+1 D t n 1 (39) i=0 Le dividende cette période est donc une moyenne pondérée des bénéfices de cette année et des années précédentes. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 120 / 190

L effet des imperfections Les asymétries d information Le contenu informationnel des rachats d actions est différent. Un des signaux transmis par l annonce d un rachat d actions est que les actions sont actuellement sous-évaluées. Si les dirigeants estiment les actions de l entreprise surévaluées, ils n annonceront pas de plan de rachat d actions, car cela constituerait une opération à VAN négative pour l entreprise et ses actionnaires. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 121 / 190

Résumé Dans le cadre d hypothèses posées par Modigliani-Miller, le choix entre distribution et conservation des liquidités n a aucune influence sur la valeur de l entreprise, si l entreprise place ses liquidités excédentaires pour qu elles rapportent un intérêt. Dans le cadre d hypothèses posées par Modigliani-Miller, le choix entre dividendes et rachats d actions n a aucune conséquence sur la valeur de l entreprise ou la richesse des actionnaires. L existence d imperfections de marché rend important le choix entre dividendes et rachat d actions: L existence de l impôt sur les sociétés impose un coût (fiscal) supplémentaire aux entreprises qui conservent des liquidités excédentaires. Malgré ce coût fiscal additionnel, la détention de liquidités excédentaires peut être justifiée par la volonté de minimiser les coûts de transaction associés à l obtention de nouveaux capitaux. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 122 / 190

Résumé La détention de liquidités excessives impose à l entreprise des coûts d agence: investissements dans des projets peu rentables ou des dépenses somptuaires. Lorsque le taux d imposition sur les dividendes est supérieur au taux d imposition sur les plus-values, la politique optimale consiste à ne verser aucun dividende. Selon la théorie du signal, les entreprises ont pour habitude d éviter les modifications brutales de leur niveau de dividende. Ce comportement de lissage améliore la prévisibilité des dividendes. L annonce d un rachat d actions envoie un signal positif au marché, car les rachats d actions sont plus probables lorsque le dirigeant estime les actions de l entreprise sous-évaluées. Principes de Finance 11. Dividendes Printemps 2012 123 / 190

Résumé Principes de Finance 12. Théorie des options I Daniel Andrei Semestre de printemps 2012 Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 124 / 190

Introduction Une option offre à son détenteur le droit, et non l obligation, d acheter ou de vendre dans le futur un actif qualifié d actif sous-jacent à un prix fixé aujourd hui. si l option permet d acheter, on parle alors d option d achat ou de call. si l option permet de vendre, on parle alors d option de vente ou de put. Les options les plus répandues sont celles qui ont pour actif sous-jacent une action. En plus des options sur les actions ordinaires, les investisseurs peuvent maintenant en négocier sur les indices boursiers, les obligations, les marchandises, les devises, les conditions météorologiques et même la volatilité des actifs financiers. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 125 / 190

Introduction Dans ce cours, nous allons voir comment fonctionnent les options d achat ou de vente et de quelle manière leur payoff dépend du cours de l actif sous-jacent. comment les options peuvent être combinés pour réaliser des stratégies d investissement profitables, ou pour réduire le risque d un portefeuille. comment déterminer la valeur d une option sur la base de valeurs observables sur le marché. Avant tout, quelques notions de vocabulaire: lorsque le détenteur décide de profiter de l opportunité dont il dispose, il exerce l option. le prix auquel le détenteur achète ou vend l actif sous-jacent, lorsque l option est exercée, est appelé prix d exercice (strike price). les options européennes ne sont exerçables qu au moment de l échéance du contrat. les options américaines sont exerçables à tout moment entre leur émission et la date d échéance du contrat. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 126 / 190

Introduction s il est possible de tirer profit d un exercice immédiat d une option, cette dernière est dans la monnaie (in the money). Dans le cas contraire, on parle d option en dehors de la monnaie (out of the money). une option est un contrat entre deux parties: l acheteur de l option a une position longue, tandis que le vendeur (ou option writer) à une position courte. les options peuvent être échangées de gré à gré (on parle alors de marchés OTC, pour Over-The-Counter) ou sur des marchés organisés. Le Chicago Board Options Exchange (CBOE) fut instauré en 1973 pour permettre aux investisseurs d acheter et de vendre des options sur actions ordinaires. Le CBOE fut presque instantanément un succès et d autres places financières ont depuis copié cet exemple. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 127 / 190

Comprendre les options Les options d achat et les options de vente On considère un call européen de prix d exercice K. Soit S T le cours du sous-jacent à l échéance de l option en période T. Lorsque à l échéance le prix du sous-jacent est supérieur au prix d exercice, la valeur du call est égale à S T K. Au contraire, lorsque le prix du sous-jacent est inférieur au prix d exercice, le détenteur de l option n exerce pas le call: la valeur de l option est donc nulle. La valeur de l option call à l échéance, C T, est donnée par la relation suivante: C T = max [S T K,0] (40) L acheteur du put exercera l option si le prix du sous-jacent est inférieur au prix d exercice. La valeur P T du put à l échéance est donc: P T = max [K S T,0] (41) Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 128 / 190

Comprendre les options Les options d achat et les options de vente Le profil de gain pour un acheteur de call ou de put arrivant à échéance est représenté dans le graphique suivant (lignes noires): 100 Call sans ou avec coût d'achat 100 Put sans ou avec coût d'achat 50 50 0 0 50 50 100 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent 100 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent Si on prend en compte le coût d achat des options, le gain à l expiration peut être plus faible que le coût d achat initial de l option. Ceci est représenté dans le graphique par les lignes rouges. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 129 / 190

Comprendre les options Les options d achat et les options de vente Le vendeur de l option est dans l obligation de vendre (dans le cas d un call) ou d acheter (dans le cas d un put) au prix d exercice spécifié par le contrat, si l option est exercée. Cet investisseur se trouve alors dans la situation symétrique à celle de l acheteur du contrat. 100 Call long et short 100 Put long et short 50 50 0 0 50 50 100 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent 100 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent Ceci illustre le fait que les options sont des titres à somme nulle. Au gain éventuel du détenteur correspond une perte pour l émetteur. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 130 / 190

Comprendre les options Les options d achat et les options de vente Comme le prix d une action ne peut pas être négatif, la perte réalisée par un vendeur de put est limitée au prix d exercice. En revanche, la perte d un vendeur de call est potentiellement illimitée. Acheter plusieurs options va modifier le profil de gain du détenteur comme montré dans le graphique suivant: 100 Call un ou deux 100 Put un ou deux 50 50 0 0 50 50 100 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent 100 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 131 / 190

Comprendre les options La rentabilité d une position optionnelle Il est également possible de calculer les rentabilités potentielles des positions optionnelles détenues jusqu à échéance: La perte maximale pour l acheteur est de 100%. On peut obtenir des rentabilités très élevées en cas du hausse important du sous-jacent (pour le call) ou baisse importante du sous-jacent (pour le put). 10 Rentabilité du call à l'échéance 10 Rentabilité du put à l'échéance 8 8 6 6 4 4 2 2 0 0 2 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent 2 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent Le risque associé à une position optionnelle est donc plus important que celui d une position dans l actif sous-jacent. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 132 / 190

Comprendre les options La relation de parité call-put Supposez que vous achetez un call et vendez un put avec une maturité T et un prix d exercice K identiques. Votre payoff à l échéance est 100 Call 100 Put 100 Call Put 50 50 50 0 0 0 50 50 50 100 100 100 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent Valeur du sous jacent Valeur du sous jacent Votre gain ou perte à l échéance est de C T P T = max [S T K,0] max [K S T,0] = max [S T K,0] + min[s T K,0] = S T K (42) Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 133 / 190

Comprendre les options La relation de parité call-put A l échéance en période T, nous avons donc C T P T = S T K. Nous avons donc deux stratégies présentant le même profil de gain à l échéance: 1 Acheter un call et vendre un put, avec un coût aujourd hui de C t P t 2 Acheter une action et emprunter au taux sans risque une valeur faciale de K, avec un coût aujourd hui de S t VA(K), ou VA(K) denote la valeur actuelle du prix d exercice. D après la Loi du prix unique, ces deux stratégies doivent avoir le même coût initial: C t P t = S t VA(K) (43) Cette relation de parité peut être exprimée de différentes manières, donnant à chaque fois des positions équivalentes. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 134 / 190

Comprendre les options La relation de parité call-put Le prix d un call européen est: C t = P t + S t VA(K) (44) elle signifie qu acheter un call est équivalent à acheter un put et une action, et emprunter un montant égal à la valeur actuelle du prix d exercice. Le prix d un put européen est: P t = C t S t + VA(K) (45) elle signifie qu acheter un put est équivalent à acheter un call, vendre une action (short) et investir un montant égal à la valeur actuelle du prix d exercice dans un actif sans risque. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 135 / 190

Comprendre les options Stratégies optionnelles Le straddle L investisseur détient jusqu à échéance un call et un put de mêmes prix d exercice et dates d expiration. Le profil de gain (brut et net de primes) est illustré dans le graphique suivant. 100 Call 100 Put 100 Straddle 50 50 50 0 0 0 50 50 50 100 100 100 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent Valeur du sous jacent Valeur du sous jacent Plus le prix du sous-jacent est éloigné du prix d exercice (peu importe la direction), plus le gain est élevé. A utiliser si on anticipe des larges mouvements du prix du sous-jacent, sans pour autant avoir d anticipations quant au sens de ces mouvements. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 136 / 190

Comprendre les options Stratégies optionnelles Le strangle Stratégie similaire au straddle, sauf que le prix d exercice du put est plus petit que le prix d exercice du call. 100 Call 100 Put 100 Strangle 50 50 50 0 0 0 50 50 50 100 100 100 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent Valeur du sous jacent Valeur du sous jacent On peut choisir d acheter un put avec prix d exercice plus éloigné quand nous sommes plus confiants dans la direction du mouvement du sous-jacent. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 137 / 190

Comprendre les options Stratégies optionnelles L écart papillon (butterfly spread) Cette stratégie est fondée sur l utilisation de quatre options de même échéance écrites sur le même sous-jacent, avec trois prix d exercices différents. Le profil de gain est le suivant: 100 Calls long 70, 2 x short 100, long 130 100 Butterfly Spread 50 50 0 0 50 50 100 100 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent Valeur du sous jacent Cette stratégie génère des profits lorsque le prix du sous-jacent reste stable. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 138 / 190

Comprendre les options Assurance de portefeuille Il est possible d utiliser les options pour protéger un portefeuille contre une baisse potentielle de sa valeur. Il suffit pour cela d acheter une option put. Le profil de gain à l échéance du portefeuille constitué sera: 200 Action 100 Put 200 Assurance de portefeuille 150 50 150 100 0 100 50 50 50 0 100 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent Valeur du sous jacent 0 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 139 / 190

Comprendre les options Assurance de portefeuille En utilisant la relation de parité call-put, nous pouvons obtenir le même portefeuille en prenant une position longue en bons du Trésor (faire un prêt) plus une option call: 200 Bons du trésor 100 Call 200 Assurance de portefeuille 150 50 150 100 0 100 50 50 50 0 100 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent Valeur du sous jacent 0 0 50 100 150 200 Valeur du sous jacent Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 140 / 190

L évaluation des options Les déterminants du prix d une option Avant d arriver au calcul des prix des options, il est utile d étudier les différents facteurs qui influencent le prix des calls et des puts: 1 Prix d exercice: plus le prix d exercice est grand, plus le prix du call est faible et celui du put élevé. 2 Prix du sous-jacent: plus le prix de marché du sous-jacent est élevé, plus le prix du call est élevé et celui du put faible. 3 Volatilité: la valeur d une option augmente généralement avec la volatilité du sous-jacent. 4 Date d exercice: plus l échéance d une option call est lointaine, plus elle a de la valeur; pour le put, l effet est ambigu. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 141 / 190

L évaluation des options Les déterminants du prix d une option Le prix d une option ne peut pas être négatif. Le gain maximum associé à une position longue en put est obtenu lorsque le prix du sous-jacent tombe à 0. Le gain est alors égal au prix d exercice du put. Un put ne peut donc valoir plus que son prix d exercice. Si un call avait un prix d exercice nul, son détenteur exercerait toujours l option et recevrait gratuitement le sous-jacent. Par conséquent, un call ne peut donc valoir plus que l actif sous-jacent. La valeur intrinsèque d une option correspond à sa valeur en cas d exercice immédiat. Une option américaine ne peut donc pas valoir moins que sa valeur intrinsèque. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 142 / 190

L évaluation des options Les déterminants du prix d une option Le premier modèle d évaluation des options présenté est le modèle binomial, développé par Cox, Ross et Rubinstein en 1979. Ce modèle repose sur l hypothèse que le prix de l action sous-jacente ne peut prendre que deux valeurs à la période suivante. Cette hypothèse semble trop simplificatrice, mais en effet nous pouvons toujours diviser l intervalle jusqu à maturité en de plus faibles intervalles pour rendre le modèle plus réaliste. Il est donc facile de généraliser ce modèle en augmentant le nombre de périodes tout en diminuant leur longueur, comme dans le graphique suivant. Avec un modèle à n périodes, le nombre final d états de la nature est égal à n + 1. De plus, on peut prouver que si on fait tendre n vers infini on tombe sur la formule de Black et Scholes. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 143 / 190

L évaluation des options Les déterminants du prix d une option 120 Une période 130 2 périodes 115 110 105 100 95 90 85 80 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 120 110 100 90 80 70 1 1.5 2 2.5 3 180 10 périodes 300 30 périodes 160 250 140 120 100 80 200 150 100 60 50 40 0 2 4 6 8 10 12 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 144 / 190

L évaluation des options Le modèle à une période On suppose qu une action ne peut prendre que deux valeurs dans une période. Dans ce cas, il est possible de valoriser le prix d une option en construisant un portefeuille de réplication. La valeur à la fin de ce portefeuille correspond exactement au profil de gain de l option. Ce portefeuille est uniquement composé de bons du Trésor et de l action sous-jacente. Puisque le profil de gain du portefeuille est par construction identique à celui de l option, par application de la Loi du prix unique, les valeurs du portefeuille et de l option doivent être égales en début de période. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 145 / 190

L évaluation des options Le modèle à une période Exemple On considère un call européen expirant dans une période et ayant pour sous-jacent une action. Le prix d exercice est de 61 CHF. L action ne verse pas de dividende. Elle vaut 60 CHF au départ et ne peut prendre que deux valeurs à la fin: 50 CHF ou 72 CHF. Le bon du Trésor offre un taux de rendement de 5% sur la période. Il est possible de résumer ces informations grâce à un arbre binomial: S 0 = 60 B 0 = 1 C 0 =? S1 u = 72 B1 u = 1.05 C1 u = max [72 61;0] = 11 S1 d = 50 B1 d = 1.05 C1 d = max [50 61;0] = 0 Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 146 / 190

L évaluation des options Le modèle à une période Exemple (suite) On définit δ et b comme respectivement le nombre d actions et le montant de l emprunt en bons de Trésor, afin de répliquer le profil de gain du call en fin de période. Dans le deux états de nature, la valeur de ce portefeuille de réplication est: { 72δ + 1.05b = 11 50δ + 1.05b = 0 (46) La solution unique de ce système de deux équations à deux inconnues est δ = 0.5, b = 23.81 (47) Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 147 / 190

L évaluation des options Le modèle à une période Exemple (suite) Ainsi, un portefeuille composé d une position longue de 0.5 actions et d un credit (b < 0) de 23.81 CHF réplique parfaitement la valeur de l option à l échéance (en période 1). On peut le vérifier en remarquant que: { 72 0.5 1.05 23.81 = 11 50 0.5 1.05 23.81 = 0 (48) Par conséquent, pour éviter l arbitrage, le prix de l option sur le marché en période 0 doit être égal au coût du portefeuille de réplication: 60δ + b = 60 0.5 23.81 = 6.19 CHF Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 148 / 190

L évaluation des options Le modèle à une période Exemple (suite) Si le prix du call était différent, il existerait une opportunité d arbitrage. Supposons que le prix du call était de 7.19 CHF. On pourrait réaliser un profit en achetant le portefeuille de réplication à 6.19 CHF et en vendant le call à 7.19 CHF. Ces deux portefeuilles ayant les mêmes profils de gains futurs, il n y a aucun risque à faire cela, et on réalise un profit immédiat de 1 CHF par option vendue. Le principal avantage de la formule précédente est qu il n est pas nécessaire de connaître les probabilités associées à la hausse et la baisse du prix de l action pour évaluer l option. Ce résultat est remarquable: ces probabilités dépendent des croyances de chaque investisseur, complexes à estimer. La connaissance de ces probabilités est inutile, de même que celle de l espérance de rentabilité de l action qui dépend directement de ces probabilités. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 149 / 190

L évaluation des options Le modèle à une période Formule générale Le raisonnement sous-jacent au modèle binomial ayant été exposé, il est maintenant possible de généraliser cette analyse. On considère un nombre fini de périodes t = 0,...,T. On suppose que le prix actuel de l action est de S 0. Chaque période, le cours du sous-jacent peut soit monter (S t+1 = us t, u > 1) si le marché et haussier, soit descendre (S t+1 = ds t, d < u) si le marché est baissier. Le taux d intérêt sans risque d une période à l autre est de r. Pour éviter l arbitrage, il faut que d < 1 + r < u. Soit K le prix d exercice. L objectif est d évaluer le prix actuel, C 0, d un call dont la valeur sera C u 1 si le prix de l action monte et C d 1 dans le cas contraire. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 150 / 190

L évaluation des options Le modèle à une période Formule générale (suite) L arbre binomial de ce problème s écrit donc de la manière suivante (l actif sans risque n est plus représenté): S 0 C 0 =? S u 1 = us 0 C u 1 = max S d 1 = ds 0 C d 1 = max [ ] S1 u K;0 [ ] S1 d K;0 Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 151 / 190

L évaluation des options Le modèle à une période Formule générale (suite) On construit, comme précédemment, un portefeuille de réplication du profil de gain du call à l échéance. Ce portefeuille est composé de δ actions et d un emprunt de montant b. Le système de deux équations à deux inconnues est le suivant: { δs u 1 + (1 + r)b = C1 u δs1 d + (1 + r)b = C 1 d (49) La solution représente la composition du portefeuille de réplication dans le modèle binomial: δ = C 1 u C 1 d S1 u Sd 1 b = C u 1 C d 1 S 0 (u d) = C 1 d u C 1 ud (1+r)(u d) = C 1 u δsu 1 1+r = C 1 d δsd 1 1+r La formule donnant la valeur de δ peut s interpréter comme la sensibilité du prix du call aux variations du prix de l action. (50) Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 152 / 190

L évaluation des options Le modèle à une période Formule générale (suite) Une fois connue la composition du portefeuille de réplication, il est aisé de calculer le prix du call en début de période; il est égal au coût de constitution du portefeuille de réplication: C 0 = δs 0 + b (51) Le portefeuille de réplication est composé d une position de δ actions et un emprunt de b. Le beta du portefeuille, et donc de l option vaut: β Option = δs 0 δs 0 + b β S + b δs 0 + b β Bons du Trésor = δs 0 δs 0 + b β S (52) Le beta d un call est toujours supérieur à celui de l action sous-jacente. A l inverse, le beta d un put est négatif. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 153 / 190

L évaluation des options Le modèle à deux périodes Pour rendre le modèle binomial plus réaliste, il s avère utile de l étendre au cas multi-périodique. Si on considère l évolution de l action de l exemple précédent sur deux périodes nous avons: S 0 = 60 C 0 =? S u 1 = 72 C u 1 =? S d 1 = 50 C d 1 =? S uu 2 = 86.40 C uu 2 = 25.40 S ud 2 = 60.00 C ud 2 = 0 S dd 2 = 41.67 C dd 2 = 0 Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 154 / 190

L évaluation des options Le modèle à deux périodes Nous allons utiliser la propriété principale du modèle binomial: à chaque période, seuls deux prix de l action sont possibles à partir d un état de nature donné. Il faut donc raisonner de manière récursive, en partant de la fin de l arbre. Supposons qu en période 1, S 1 = 72. Le reste de l arbre est alors: S u 1 = 72 C u 1 =? S uu 2 = 86.4 C uu 2 = 25.4 S ud 2 = 60.0 C ud 1 = 0 Cette partie de l arbre binomial est semblable à celle étudiée dans notre premier exemple. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 155 / 190

L évaluation des options Le portefeuille de réplication est alors et le prix du call est δ1 u = C 2 uu C 2 ud S2 uu Sud 2 b1 u = C 2 uu δu 1 Suu 2 = 1 + r Le modèle à deux périodes = 25.4 = 0.962 86.4 60 (53) 25.4 83.127 = 54.98 1.05 (54) C u 1 = δ u 1S u 1 + b u 1 = 14.29 (55) Si on suppose maintenant qu en période 1, S 1 = 50, on observe que le call est sans valeur quel que soit l état de nature qui se réalisera à la date 2. Donc le call ne vaut rien à la date 1, et le portefeuille de réplication est simplement δ d 1 = 0 et bd 1 = 0. La valeur du call dans les deux états de la nature possibles de la date 1 est maintenant connue. Il est donc possible de reculer d une période et de déterminer la valeur du call à la date 0. L arbre binomial correspondant à la première période est: Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 156 / 190

L évaluation des options Le modèle à deux périodes S 0 = 60 C 0 =? S u 1 = 72 C u 1 = 14.29 S ud 2 = 50.00 C ud 1 = 0 On a alors δ 0 = C 1 u C 1 d = 0.65 et b S1 u 0 = C 1 u δ 0S1 u Sd 1+r = 30.94, et le prix du 1 call est donc de C 0 = δ 0 S 0 + b 0 = 8.04. Pour résumer: Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 157 / 190

L évaluation des options Le modèle à deux périodes S 0 = 60 C 0 = 8.04 δ 0 = 0.65 b 0 = 30.94 S1 u = 72 C1 u = 14.29 δ1 u = 0.96 b1 u = 54.98 S1 d = 50.00 C1 d = 0 δ1 d = 0 b1 d = 0 S uu 2 = 86.40 C uu 2 = 25.40 S ud 2 = 60.00 C ud 2 = 0 S dd 2 = 41.67 C dd 2 = 0 Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 158 / 190

L évaluation des options Le modèle à deux périodes Si le nombre de périodes devient très grand, la distribution binomiale converge vers une distribution normale. C est ce qu on utilise dans la méthode de Black-Scholes. La méthode de Black-Scholes est pour ainsi dire le cas limite de la méthode binomiale. Cette idée représente donc le fondement du modèle de Black et Scholes: il est possible de répliquer le profil de gain d une option à chaque date en modifiant la composition du portefeuille de réplication à toutes les dates intermédiaires. Cette technique est connue sous le nom de stratégie de réplication dynamique (dynamic trading strategy). Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 159 / 190

Résumé Une option offre à son détenteur le droit, et non l obligation, d acheter ou de vendre dans le futur un actif qualifié d actif sous-jacent à un prix fixé aujourd hui. La valeur d un call à l échéance est: La valeur d un put à l échéance est: C T = max [S T K,0] (56) P T = max [K S T,0] (57) Un investisseur ayant une position courte sur une option est contraint par le choix du détenteur de l option. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 160 / 190

Résumé La parité call-put établit une relation entre la valeur d un call européen et celles d un put européen et du sous-jacent: C t = P t + S t VA(K) (58) Une option peut être évaluée grâce à un portefeuille qui réplique son profil de gain dans les différents états de la nature. Le prix de l option est égal à la valeur du portefeuille de réplication. Pour que ce portefeuille réplique parfaitement le profil de gain de l option, il est nécessaire d ajuster en permanence sa composition, en fonction des variations de prix de l actif sous-jacent. Le beta d un option peut être calculé à l aide du beta de son portefeuille de réplication. Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 2012 161 / 190

Résumé Principes de Finance 13. Théorie des options II Daniel Andrei Semestre de printemps 2012 Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 162 / 190

Stratégie de réplication dynamique (suite) Reprenons le modèle de la semaine passée: S 0 = 60 C 0 = 8.04 δ 0 = 0.65 b 0 = 30.94 S1 u = 72 C1 u = 14.29 δ1 u = 0.96 b1 u = 54.98 S1 d = 50.00 C1 d = 0 δ1 d = 0 b1 d = 0 S uu 2 = 86.40 C uu 2 = 25.40 S ud 2 = 60.00 C ud 2 = 0 S dd 2 = 41.67 C dd 2 = 0 Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 163 / 190

Stratégie de réplication dynamique (suite) On suppose qu en période 1, S 1 = 72. La modification du portefeuille de réplication est: acheter 0.96 0.65 = 0.31 unités du sous-jacent (en d autres termes, augmenter la position long de 0.65 à 0.96 actions), ce qui coûte 0.31 72 = 22.49 CHF. augmenter le montant de l emprunt de 30.94 1.05 = 32.49 à 54.98, donc de 22.49 CHF. Le montant nécessaire pour acheter l actif risqué correspond au montant obtenu en augmentant l emprunt. On dit alors que la stratégie est auto-financée. On suppose qu en période 1, S 1 = 50. La modification du portefeuille de réplication est: vendre 0.65 unités du sous-jacent et encaisser 0.65 50 = 32.49 CHF. liquider le montant de l emprunt, càd rembourser 30.94 1.05 = 32.49 CHF. Les deux montants sont de nouveau les mêmes, donc la stratégie est auto-financée. Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 164 / 190

Les probabilités risque-neutre Dans le modèle binomial, il n est pas nécessaire de connaître les probabilités des différents états de la nature futurs. Si ces probabilités étaient connues, on pourrait valoriser l option comme une espérance actualisée au taux approprié: C 0 = 1 1 + µ C E 0 [C 1 ] (59) Le problème est qu on doit estimer le taux d actualisation (µ C ) approprié, qui dépend du degré d aversion au risque des investisseurs. Il existe toutefois un cas particulier dans lequel il est simple de calculer le taux d actualisation: lorsque tous les investisseurs sont neutres vis-à-vis du risque. Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 165 / 190

Les probabilités risque-neutre Le modèle à une période Nous allons reprendre le calcul du cours précédent. On considère un call européen expirant dans une période et ayant pour sous-jacent une action. L arbre binomial de ce problème s écrit de la manière suivante: S 0 C 0 =? S u 1 = us 0 C u 1 = max S d 1 = ds 0 C d 1 = max [ ] S1 u K;0 [ ] S1 d K;0 Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 166 / 190

Les probabilités risque-neutre Le modèle à une période On construit un portefeuille de réplication du profil de gain du call à l échéance. La solution est δ = C 1 u C 1 d b S 0 (u d) = C 1 d u C 1 ud (1+r)(u d) Le prix du call en début de période est égal au coût de constitution du portefeuille de réplication: (60) C 0 = δs 0 + b = C 1 u C 1 d u d + C 1 du C 1 ud (1 + r)(u d) ( = C u 1 1+r d u d + C d 1 1 + r 1 1+r d u d ) (61) Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 167 / 190

Les probabilités risque-neutre Si nous interprétons les grandeurs 1+r d u d probabilités, nous avons C 0 = qc u 1 + (1 q)cd 1 1 + r Le modèle à une période ( et 1 1+r d u d, q 1 + r d u d ) comme des Le prix de l option aujourd hui est alors donné par la valeur actuelle de l espérance du prix de l option demain, E Q 0 [C 1]: C 0 = 1 1 + r EQ 0 [C 1] = 1 [ ] qc1 u + (1 q)c1 d 1 + r (62) (63) Dans l exemple du cours précédent (call européen expirant dans une période, K = 61, S 0 = 60, S1 u = 72, Sd 1 = 50, r = 0.05) nous pouvons calculer: q = 1 + r d u d = 1.05 0.83 1.2 0.83 = 0.59, 1 q = 0.41 (64) Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 168 / 190

Les probabilités risque-neutre Le modèle à une période Le prix du call aujourd hui est donc de C 0 = qc u 1 + (1 q)cd 1 1 + r = 0.59 11 + 0.41 0 1.05 = 6.19 (65) qui correspond exactement au prix trouvé par la méthode du portefeuille de réplication. Ce calcul ne nécessite toujours pas d hypothèse sur les probabilités réelles de la hausse ou la baisse du sous-jacent. Cela signifie que les probabilités q et (1 q) ne sont pas égales aux vraies probabilités. Elles représentent la manière dont les probabilités réelles (toujours inconnues) doivent être ajustées pour que le taux d actualisation soit égal au taux sans risque. Pour cette raison, on donne à q et (1 q) le nom de probabilités risque-neutre. Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 169 / 190

Les probabilités risque-neutre Le modèle à une période Dans un monde risque-neutre, le rendement attendu sur tous les actifs est le taux sans risque, r. Ceci signifie qu on peut obtenir directement les probabilités risque-neutre à partir du prix de l action: S 0 = 1 1 + r EQ 0 [S 1] = qus 0 + (1 q)ds 0 1 + r La seule inconnue dans l équation précédente est q. On obtient effectivement q = 1 + r d u d Le calcul est vérifié dans notre exemple aussi: (66) (67) 0.59 72 + 0.41 50 1 + r = 60 (68) Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 170 / 190

Les probabilités risque-neutre Le modèle à une période L évaluation des actifs financiers à l aide des probabilités risque-neutre est très rapide. Une fois les probabilités risque-neutre calculées, n importe quel actif financier peut être valorisé, simplement en actualisant au taux sans risque l espérance de son profil de gain calculée avec les probabilités risque-neutre. Le gain en vitesse de calcul va être évident si on considère le modèle multi-périodique, pour la simple raison que nous n avons plus besoin de construire à chaque période et dans chaque état de nature le portefeuille de réplication. Le calcul des prix des options à l aide des probabilités risque-neutre est donc une deuxième méthode d évaluation des options. Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 171 / 190

Les probabilités risque-neutre Le modèle à deux périodes On considère l évolution de l action de l exemple précédent sur deux périodes: S 0 = 60 C 0 =? q 1 q S u 1 = 72 C u 1 =? S d 1 = 50 C d 1 =? q 1 q q 1 q S uu 2 = 86.40 C uu 2 = 25.40 S ud 2 = 60.00 C ud 2 = 0 S dd 2 = 41.67 C dd 2 = 0 Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 172 / 190

Les probabilités risque-neutre Le modèle à deux périodes Les probabilités risque-neutre ne se modifient pas au cours du temps puisque le taux de variation du prix de l action ne change pas d une période à l autre (u et d restent constants). Nous avons maintenant 3 états de nature à la fin: État C uu C ud Probabilité 2 = 25.4 q 2 = 0.35 2 = 0 2q (1 q) = 0.48 C2 dd = 0 (1 q) 2 = 0.17 On remarque que la somme des trois probabilités est 1. Le prix du call est alors donné par C 0 = 1 (1 + r) 2 EQ 0 [C 0.35 25.4 + 0.48 0 + 0.17 0 2] = (1 + r) 2 = 8.04 (69) Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 173 / 190

Les probabilités risque-neutre Le modèle multi-périodique Nous avons vu comment la méthode binomiale fonctionne et considéré des exemples à une et deux périodes. Pour un nombre arbitraire de périodes n, le prix du call est donné par C 0 = = 1 (1 + r) n E Q 0 [C n] 1 (1 + r) n n n! [ ] (70) k!(n k)! qk (1 q) n k max S 0 u k d n k K,0 k=0 Nous allons voir dans un instant que si le nombre de périodes devient très grand, alors que la maturité reste la même, la durée de chaque période va tendre vers 0 et la distribution binomiale converge vers une distribution normale. C est ce qu on utilise dans la méthode de Black-Scholes. Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 174 / 190

Les probabilités risque-neutre Conséquences d un monde risque-neutre Le modèle binomial ne nécessite aucune hypothèse sur les préférences des agents, les probabilités d occurrence des états de la nature futurs ou la rentabilité anticipée du sous-jacent. Dans un monde réel, il est probable que les investisseurs manifestent de l aversion au risque. L espérance de rendement de tout actif financier doit donc être actualisée à un taux supérieur au taux sans risque. Dans un monde risque-neutre, l espérance de rendement des actifs risqués correspond exactement au taux de rendement sans risque. Pour concilier ces deux visions, le prix de l action dans le monde risque-neutre doit être exactement égal au prix de l action dans le monde réel. Il faut donc ajuster les probabilités réelles (inconnues) afin d avoir égalité entre les deux prix. Ensuite, le prix de n importe quel actif dérivé peut être obtenu en actualisant au taux sans risque l espérance risque-neutre des flux monétaires futurs versés par cet actif. Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 175 / 190

La formule de Black-Scholes Pour dériver leur formule, Black et Scholes ont supposé que le cours de l action était une variable continue, et que pour répliquer une option, les investisseurs devaient donc continuellement ajuster leurs avoirs en actif sous-jacent. Leur formule fonctionne remarquablement bien dans la réalité, où les actifs s échangent de manière intermittente et où les prix sautent d un niveau à un autre. C est aussi un modèle très flexible: il peut être adapté à l évaluation d options sur une variété d actifs avec des caractéristiques spéciales tels que les devises étrangères, les obligations et les contrats à terme. Il a donc eu beaucoup d influence et est devenu un modèle standard pour l évaluation des options. Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 176 / 190

La formule de Black-Scholes La formule de Black et Scholes peut sembler difficile, mais elle est très facile à appliquer. Voici les informations dont nous avons besoin: S t = cours actuel du titre sous-jacent K = prix d exercice de l option σ = écart-type par année du taux de rentabilité de l action (capitalisation en continu) T = date d échéance, le temps jusqu à échéance étant T t r = taux d intérêt annuel, continûment composé Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 177 / 190

La formule de Black-Scholes Le cas limite du modèle binomial On considère un call européen expirant dans une année (T = 1) et ayant pour sous-jacent une action. Le prix d exercice est de 100 CHF. L action vaut 100 CHF au départ et a une volatilité annuelle de σ = 0.2. Le taux sans risque est de r = 0.05. Si on évalue le call en prenant une seule période, nous trouvons C 0 = 12.16. Si nous prenons 2 périodes, nous avons C 0 = 9.54. Pour 3 périodes, nous avons C 0 = 11.04. 4 périodes C 0 = 9.97, 5 périodes C 0 = 10.81, 6 périodes C 0 = 10.1256, et ainsi de suite. Plus on augmente le nombre de périodes, plus le prix semble converger vers une valeur située autour de 10.5 (plus précisément 10.45), comme dans le graphique suivant: Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 178 / 190

La formule de Black-Scholes Le cas limite du modèle binomial 12.5 Convergence du modèle binomial 12 11.5 Valeur du call 11 10.5 10 9.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Nombre de périodes Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 179 / 190

La formule de Black-Scholes Le cas limite du modèle binomial A noter que chaque fois quand on change le nombre de périodes n, il faut re-calculer les u, d et r correspondants avec la formule suivante: u = e σ T n, d = 1 u et r = er T n 1 (71) Il devrait donc y avoir une limite quand le nombre de périodes augmente à infini. Cette limite est donnée par la formule de Black-Scholes. Dans ce cas, nous sommes en temps continu. Avant, nous étions en temps discret. Comme la méthode binomiale, la méthode de Black-Scholes repose sur un argument d arbitrage. Toutefois, le portefeuille de réplication n est pas modifié de période en période, mais en continu. Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 180 / 190

La formule de Black-Scholes Evaluation d un call européen La formule de Black-Scholes pour évaluer un call sur une action est avec d 1 = ln [ C t = S t N (d 1 ) Ke r(t t) N (d 2 ) (72) ] S t Ke r(t t) σ T t + σ T t 2 et d 2 = d 1 σ T t (73) et N (d) représente la fonction de densité de la loi normale cumulée (càd N (d) est la probabilité qu une variable aléatoire x normalement distribuée puisse être inférieure ou égale à d). Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 181 / 190

La formule de Black-Scholes Evaluation d un call européen Prix du call 50 40 30 20 10 20 40 60 80 100 120 140 Prix de l'action Dans l exemple précédent, nous trouvons d 1 = 0.35, d 2 = 0.15, N (d 1 ) = 0.6368, N (d 2 ) = 0.5596 et finalement C 0 = 10.45. Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 182 / 190

La formule de Black-Scholes Evaluation d un put européen Nous pouvons calculer la valeur du put par la rélation de parité r(t t) P t = C t S t + Ke = Ke r(t t) [1 N (d 2 )] S t [1 N (d 1 )] = Ke r(t t) N ( d 2 ) S t N ( d 1 ) (74) Prix du put 100 80 60 40 20 20 40 60 80 100 120 140 Prix de l'action Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 183 / 190

La formule de Black-Scholes Le portefeuille de réplication On peut facilement déterminer la composition du portefeuille de réplication dans le modèle de Black-Scholes. Dans le modèle binomial l équation établissant le prix d un call était C t = δs t + b (75) En comparant cette expression avec la formule de Black-Scholes pour un call (72), il est possible d identifier le nombre d actions et l investissement dans l actif sans risque nécessaires à la construction du portefeuille de réplication: δ = N (d 1 ) et b = Ke r(t t) N (d 2 ) (76) En partant de la formule de Black-Scholes pour un put (74), nous obtenons la composition du portefeuille de réplication: δ = N ( d 1 ) et b = Ke r(t t) N ( d 2 ) (77) Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 184 / 190

La formule de Black-Scholes Exemple (examen été 2005) Ancien examen été 2005 Les actions d une entreprise sont cotées en permanence et valent actuellement 50 CHF sur le marché. Leur rendement attendu continûment composé est de 10% par an, et la volatilité annuelle de leur rendement est de 15%. Le taux d intérêt de l actif sans risque continûment composé est de 5% par an. On considère une option put européenne ayant une maturité de quatre ans et un prix d exercice de 45. Les paramètres à utiliser dans le modèle de Black-Scholes sont S t = 50, K = 45, r = 0.05, T t = 4 et σ = 0.15. On obtient alors d 1 = 1.1679, d 2 = 0.8679, N ( d 1 ) = 0.1214, N ( d 2 ) = 0.1927 et comme valeur de l option put P t = Ke r(t t) N ( d 2 ) S t N ( d 1 ) = 1.0293 (78) Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 185 / 190

La formule de Black-Scholes Exemple (examen été 2005) Ancien examen été 2005 (suite) On désire répliquer la vente à découvert de 500 options put. Pour répliquer une option put, il faut placer Ke r(t t) N ( d 2 ) = 7.1008 (79) CHF dans l actif sans risque et vendre N ( d 1 ) = 0.1214 actions à découvert. Pour répliquer la vente à découvert de 500 options put, il faut donc emprunter 3 550.42 CHF et acheter 60.7150 actions. Vous détenez 1 000 actions de la société et désirez vous prémunir contre une baisse de la valeur de votre portefeuille en dessous de 45 000 CHF dans quatre ans. Vous désirez toutefois conserver vos actions, car vous considérez qu elles ont un bon potentiel de hausse. Pour couvrir le risque de baisse, on peut acheter 1 000 options put avec un prix d exercice de 45. Ceci coûte 1 029.346 francs. Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 186 / 190

La formule de Black-Scholes Exemple (examen été 2005) Ancien examen été 2005 (suite) On suppose maintenant qu aucune option ne soit disponible sur le marché pour assurer votre portefeuille. Pour répliquer l achat de 1 000 options put, il faut investir 7 100.8 CHF dans l actif sans risque et vendre à découvert 121.4 actions. La position totale est donc de 7 100.8 CHF dans l actif sans risque et 1 000 121.4 = 878.6 actions. Lorsque le cours du sous-jacent baisse, nous allons vendre de plus en plus du sous-jacent à découvert, et placer un montant plus élevé dans l actif sans risque. Cette modification de la position reflète la probabilité de plus en plus élevée que le put soit exercé. Lorsque le cours du sous-jacent monte, nous allons acheter des actions en réduisant le montant placé dans l actif sans risque. Cette modification de la position reflète la probabilité de plus en plus élevée que le put ne soit pas exercé. Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 187 / 190

Résumé Résumé Les probabilités risque-neutre sont les probabilités qui permettent d égaliser le prix observé de l action avec l espérance actualisée au taux sans risque des prix futurs de cette dernière. Dans un arbre binomial, la probabilité risque-neutre q associée à l état de la nature haussier de l actif sous-jacent est donnée par q = 1 + r d u d (80) Le prix de n importe quel actif dérivé peut être obtenu en actualisant au taux d intérêt sans risque l espérance (calculée à l aide des probabilités risque-neutre) des flux monétaires futurs versés par cet actif. Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 188 / 190

Résumé Résumé (suite) Cinq paramètres sont nécessaires pour évaluer une option dans le modèle de Black-Scholes: le prix de l actif sous-jacent S t, sa volatilité σ, le prix d exercice de l option K, sa date d expiration T et le taux sans risque r. Il n est pas nécessaire de connaître l espérance de rendement de l actif sous-jacent pour valoriser une option. La formule de Black-Scholes pour évaluer un call est C t = S t N (d 1 ) Ke r(t t) N (d 2 ) (81) avec N (d) la valeur de la fonction de répartition d une loi normale centrée réduite au point d et d 1 = ln [ ] S t Ke r(t t) σ T t + σ T t 2 et d 2 = d 1 σ T t (82) Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 189 / 190

Résumé Résumé (suite) La formule de Black-Scholes pour évaluer un put est P t = Ke r(t t) N ( d 2 ) S t N ( d 1 ) (83) Le portefeuille de réplication dans le modèle de Black-Scholes s écrit Pour un call δ = N (d 1 ) et b = Ke r(t t) N (d 2 ) (84) Pour un put δ = N ( d 1 ) et b = Ke r(t t) N ( d 2 ) (85) Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2012 190 / 190