COLLÈGE LA PRÉSENTATION BREVET BLANC Mai 2013 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Classe de 3 e Durée : 2 heures Présentation et orthographe : 4 points Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments usuels de dessin. EXERCICE 1 (4 points) 1) Calculer A et donner un arrondi à 0,01 près. 927 A= 486 13 8 = 927 486 104 = 927 382 2,43 2) Donner l'écriture scientifique de B. B= 3 105 6 10 3 = 3 105 6 103 2 10 8 =100 10 8 2 10 8 =98 10 8 =9,8 10 7 3 10 11 11 3 10 3 10 11=1 10 6 3) Calculer C. C= 442,5 72 2,5 5 4) Comparer les nombres D et E. = 442,5 122,5 = 320 5 5 = 64=8 E= 1 6+ 5 = 1 6+ 5 6 5 6 5 = 6 5 6 2 5 2 = 6 5 6 5 = 6 5=D EXERCICE 2 (4 points) On cherche à résoudre l'équation (4 x 3) 2 9=0. 1) Le nombre 3 4 On remplace x par 3 4 est-il solution de cette équation? et le nombre 0? dans cette équation, et on vérifie si l'égalité est vraie : ( 4 3 4 3 ) 2 9=(3 3) 2 9=0 2 9= 9 0. Donc 3 4 2) Prouver que, pour tout nombre x, (4 x 3) 2 9=4 x(4 x 6). n'est pas solution de cette équation. On développe le membre de gauche de cette égalité, puis on factorise l'expression obtenue : (4 x 3) 2 9=16 x 2 24 x+9 9=16 x 2 24 x=4 x(4 x 6) 3) Déterminer les solutions de l'équation (4 x 3) 2 9=0. On vu au 2) que (4 x 3) 2 9=4 x(4 x 6). Donc résoudre (4 x 3) 2 9=0 revient à résoudre 4 x(4 x 6)=0. Or, si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul. Donc 4 x=0 ou bien 4 x 6=0, soit x=0 ou bien x= 3 2. Cette équation a deux solutions : 0 et 3 2. Page 1 sur 5
EXERCICE 3 (3 points) v représente la vitesse moyenne, d la distance parcourue et t la durée du parcours. Les trois grandeurs vérifient la relation : v= d. t Recopier et compléter le tableau suivant. Les réponses seront inscrites avec leurs unités. v d t a 70 km/h 350 km 5h b 9 m/s 450 m 50 s c 25 m/s 3 000 m 2 min EXERCICE 4 (5 points) Calcul de la longueur BC : ABC est un triangle rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² BC² = 300² + 400² BC² = 90 000 + 160 000 BC² = 250 000 BC = 500 m Calcul des longueurs CD et DE : Les droites (AE) et (BD) se coupent en C et les droites (AB) et (DE) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : CA CE = CB CD = AB ED, soit avec les valeurs numériques : 400 1000 =500 CD = 300 DE. On a alors : CD= 500 1000 400 =1250 et DE= 300 1000 =750. 400 Longueur totale du trajet : On en déduit la longueur totale du trajet ABCDE : AB + BC + CD + DE = 300 + 500 + 1 250 + 750 = 2 800 m. Page 2 sur 5
EXERCICE 5 (7 points) On donne BD = 4 cm ; BA = 6 cm et DBC = 60. Il n'est pas demandé de faire une figure en vraie grandeur. 1) Montrer que BC = 8 cm. Dans le triangle BCD rectangle en D : cos ĈBD = BD BC, soit cos 60 = 4 BC d'où BC = 4 cos60 = 8 cm. 2) Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième. Dans le triangle BCD rectangle en D : tan ĈBD = CD BD soit tan 60 = CD 4 3) Calculer AC. Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC² d'où AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ; donc AC = 10 cm. 4) Quelle est la valeur de tan BAC. Dans le triangle ABC rectangle en B : tan BAC = BC BA = 8 6 = 4 3. 5) En déduire la valeur arrondie au degré de BAC. On en déduit que BAC = arctan ( 4 3 ) 53 d'où CD = 4 tan 60 6,9 cm. EXERCICE 6 (9,5 points) M. Dubois réfléchit à son déménagement. Il a fait réaliser deux devis. 1) L'entreprise A lui a communiqué le graphique présent en annexe. Celui-ci représente le coût du déménagement en fonction du volume à transporter. a) Quel serait le coût pour un volume de 20 m 3? Vous laisserez vos tracés apparents. Pour un volume de 20 m 3, le coût serait de 600 euros. b) Le coût est-il proportionnel au volume transporté? Justifier. La représentation graphique du coût du déménagement en fonction du volume à transporter est une droite passant par l'origine du repère, c'est donc la représentation graphique d'une situation de proportionnalité. c) Soit g la fonction qui à x, volume à déménager en m 3, associe le coût du déménagement avec cette entreprise. Exprimer g(x) en fonction de x. g ( x)=30 x Page 3 sur 5
2) L'entreprise B lui a communiqué une formule : f (x)=10 x+800 où x est le volume (en m 3 ) à transporter et f (x) le prix à payer (en ). a) Calculer f (80). Que signifie le résultat obtenu? f (80)=10 80+800=800 +800=1600. Cela signifie que pour un volume de 80 m 3 transporté par l'entreprise B, le coût du déménagement serait de 1600 euros. b) Déterminer par le calcul l'antécédent de 3 500 par la fonction f. On résout l'équation 10 x +800=3500 10 x=3500 800 ; 10 x=2700 ; x= 2700 10 ; x=270. Cela signifie que pour 3500 euros, l'entreprise B peut transporter un volume de 270 m 3. c) Représenter graphiquement la fonction f sur le graphique présent en annexe. 3) M. Dubois estime à 60 m 3 le volume de son déménagement. Quelle société a-t-il intérêt à choisir? Vous justifierez graphiquement votre réponse en laissant vos tracés apparents. On trace une droite verticale à l'abscisse 60, et on regarde quelle représentation graphique cette droite coupe en premier. Il s'agit de la représentation graphique de la fonction f, donc M. Dubois a intérêt à choisir l'entreprise B pour son déménagement, car cela lui coûtera moins cher. EXERCICE 7 (3,5 points) Une classe de 3 e est composée de 25 élèves. Certains sont externes, les autres sont demi-pensionnaires. Le tableau ci-dessous donne la composition de la classe. Garçon Fille Total Externe 2 3 5 Demi-pensionnaire 9 11 20 Total 11 14 25 1) Recopier et compléter le tableau. 2) On choisit au hasard un élève de cette classe. a) Quelle est la probabilité pour que cet élève soit une fille? p (F) = 14 25 b) Quelle est la probabilité pour que cet élève soit externe? p (E) = 5 25 c) Si cet élève est demi-pensionnaire, quelle est la probabilité que ce soit un garçon? p D (G)= 9 20 Page 4 sur 5
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