Chapitre VI. Connexions et fonctions numériques

Chapitre VI Connexions et fonctions numériques Concepts : -> Extension aux fonctions -> Opérateurs connexes -> Géodésie numérique -> Nivellements et auto-dualité Applications : -> Etude des extrema -> Préservation des contours -> Filtres forts -> Segmentation J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 1

Passage au Numérique Trois passages du du binaire au au numérique sont à envisager. La La géodésie C'est le le plus simple. Dilatation et et érosion étant croissantes, il il suffit de de définir les les opérations numériques via via leurs correspondantes binaires, appliquées seuil par seuil. Les applications Ce Ce ne ne sont plus les les mêmes qu'en binaire. Priorité est est donnée ici ici au au traitement des extrema et et à la la préservation des contours. La La connexité La La tâche est est plus difficile. Il Il faut :: --soit généraliser le le concept de de connexion aux treillis complets, et et trouver des connexions adaptées aux fonctions numériques -- soit partir des fonctions pour induire des connexions ensemblistes sur sur leurs supports. On On ne ne présentera ici ici que ce ce second point de de vue, plus simple, mais moins puissant. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 2

Treillis de Fonctions (rappel) E étant un un ensemble arbitraire, et et T désignant R, R, Z ou ou une de de leurs parties fermées, les les fonctions f f :: E T forment à leur tour un un treillis,, noté T E,, pour l'ordre produit :: f f g ssi ssi f(x) g(x) pour tous x E,, et et où où le lesup et etl'inf dérivent des sup et etinf infnumériques, i.e. i.e. (( ff i )(x) i = ff i (x) i (x) (( ff i )(x) i = ff i (x) i (x).. On On convient de de noter 0 à la la fois le le minimum dans T et et dans T E Dans T E,, les les fonctions impulsions :: k x,t (y) x,t (y) = t t si si x = y ;; k x,t (y) x,t (y) = 0 si si x y sont sup-génératrices i.e. i.e. tout f f :: E T est est un un supremum d'impulsions. La La démarche précédente s' s' étend directement aux produits de de treillis de de type T, T, c'est à dire aux fonctions multivariées (( e.g. couleur). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 3

Treillis des partitions (rappel) Définition :: On On appelle Partition d un espace E toute application D: D: E σ(e) telle que (i) (i) x E,, x D(x) (ii) (ii) (x, (x, y) y) E, E, soit D(x) = D(y) soit D(x) D(y) = Les partitions de de E forment un untreillis γ pour l ordre selon lequel D D' D' quand chaque classe de de D est est incluse dans une classe de de D'. D'. Le Le plus grand élément de de γ est est E lui-même, et et le le plus petit celui qui pulvérise E en en la la totalité de de ses ses points. Le sup des deux types de cellules est le pentagone où leurs frontières coïncident. Leur inf, plus simple, s obtient par intersection des cellules. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 4

Connexions induites par des fonctions But :: Soit φ une connexion sur surσ(e) et et f f :: E T. T. Nous voulons construire un un critère régional σ sur sur f f tel tel que :: (i) (i) x E,, f(x) vérifie σ ;; (ii) (ii) A, A, B φ,, avec A B,, si si ff vérifie σ sur A et et sur B, B, alors f f vérifie σ sur A B.. Résultat :: Une telle propriété génère une sous-classe φ σ de de φ qui est est une seconde connexion sur sur σ(e). En En particulier, φ σ partitionne l espace E classes maximales vérifiant le le critère σ. σ. Exemple :: Les zones où où ff est est constante. Les composantes connexes de σ(r 1 ) according φ σ sont soit - les segments en rouge; - ou, ailleurs, les points. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 5

A x z y Connexion lisse B T λ λ{ { x y f E Connexion lisse :: E = R n n,, muni de de la la connexité par arcs,, et et la la fonction f f :: E T est est fixée. la la classe φ σ(r n n )) composée i) i) des singletons, plus de de l l ensemble vide ;; ii) ii) de de tous les les ouverts Y σ(r n n )) tels que f f est est k-lipschitz le le long de de tous les les chemins inclus dans Y, Y, constitue une seconde connexion sur sur σ(r n n ), ), appelée connexion lisse. Implémentation :: Soit H(x) est est le le cercle unité de de Z 22 au au point x. x. La La partition associée à φ admet pour classes non ponctuelles les les composantes connexes de de X = { x ΥE ;; sup{ f(x) --f(y), y Υ H(x)} k } J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 6

Exemple de connexion lisse (I) Commentaire : Les deux phases de la micrographie ne peuvent pas être séparées par seuillage. Les connexions lisses les classent selon leur rugosité. a) Image initiale: micrographie électronique de roche b) connexion lisse de paramètre 7 c) connexion lisse de paramètre 6 (- en sombre, les composantes connexes ponctuelles - en blanc, chaque particule est base d un cylindre) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 7

Connexion par sauts Connection par sauts :: E = R n n,, muni de de la la connexité par arcs,, et et la la fonction f f :: E T est est fixée. La La classe φ σ(r n n )) composée :: i) i) des singletons, plus de de l l ensemble vide ;; ii)de tous les les ensembles connexes contenant un un minimum, et et où où les les valeurs de de f f sont à moins de de k au au dessus du du minimum ;; constitue une seconde connexion sur sur σ(r n n ), ), appelée connexion par sauts à partir des minima.. De De la la même manière, on on peut partir des maxima, ou ou prendre l intersection des deux connexions.. k { T m 0 Y Composante connexe dans la connexion par sauts de valeur k à partir des minima. f E J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 8

Exemple de connexion par sauts a) Image initiale : section polie de grains d alumine b) connexion par sauts d amplitude 12: - en sombre, ensemble des composantes connexes ponctuelles - en blanc, bases (connexes) des cylindres c) Skiz de la réunion des points sombres de l image b) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 9

Opérateurs connexes Définition :: Un Un opérateur ψ :: T E E T T E E sur sur les les fonctions numériques est est dit dit connexe (( pour pour un un critère σ) σ) quand la la partition de de E par par ψ(f) ψ(f) est est plus plus grande que que celle celle de de E par par f. f. a) b) c) d) Trois images mosaïques, dues à C. Vachier, obtenues par fusion des régions de la LPE du gradient de a): b) par dynamique ; c) selon les aires ; d) par volumes. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 10

Opérateurs connexes, planaires, et croissants A partir d ici, nous considérons uniquement i i )) les les critères portant sur sur les les zones plates des fonctions ;; ii ii )) les les opérateurs ψ :: T E T T E qui sont planaires et et croissants.. Propriétés de de base :: Tout opérateur connexe binaire (resp. et et croissant) induit sur sur T E,, via via les les section planes, un un unique opérateur connexe (resp. et et croissant) (( H. H. Heijmans ));; En En particulier, les lesdémarches géodesiques s étendent au au cas numérique ;; Leurs éventuelles propriétés d être des filtres forts, de de constituer des semigroupes, etc.. sont transmises aux opérateurs connexes induits sur sur T E.. On On remarquera qu une opération peut être anti-extensive sur sur T E,, et et extensive sur sur le le treillis γ des partitions (les ouvertures par reconstruction, par ex.). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 11

Dilatations Géodésiques Numériques (I) Soient f,g f,g deux fonctions numériques de der dd dans R, R, telles que g f. f. La La dilatation géodésique binaire de de taille λ appliquée seuil par seuil aux sections de de f f marquées par celles de de g induit sur sur f f une dilatation δ f,λ f,λ (g) (g) (S.Beucher). En En d autres termes (L.Vincent), le le sous-graphe de deδ f,λ f,λ (g) (g) est est formé des points du du sous-graphe de de f f reliés au au sous-graphe de de g par un un chemin: -- non descendant; -- de de longueur λ. λ. f g δ f,λ (g) dilatation géodésique numérique de g relativement à f J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 12

Dilatations Géodésiques Numériques (II) La La version digitale part de de la la dilatation géodésique de de taille unité δ f (g) f (g) = inf inf (g (g + B, B, f) f) que l'on itère n fois pour obtenir la la taille n δ f f,n(g) = δ (n) f (n) f (g) (g) = δ f f (δ (δ f f......(δ (δ f f (g))). Les érosions euclidienne et et digitale se se déduisent des dilatations correspondantes par la la dualité ε f (g) f (g) = m --δ f (m f (m--g) g),, différente du du cas géodésique binaire. f g ε f,λ (g) érosion géodésique numérique de f relativement à g J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 13

Reconstruction Numérique L'ouverture de de f f par reconstruction selon g, g, est est le le supremum des dilatation géodésiques de de g dans f, f, considéré comme fonction de de f: f: γ rec rec (f (f;; g) g) = {δ f,λ (g) f,λ (g),, λ>0 } avec pour fermeture duale pour le le négatif ϕ rec rec (f (f;; g) g) = m --γ rec rec (m- f f ;; m- m-g) g) Trois exemples sont très utiles: -L' érosion-reconstruction; -Leswamping, reconstruction d'une fonction marquée par ses ses maxima; -L' ouverture par contraste, qui mène à l'extraction des maxima. f g γ rec (f ; g) Reconstruction numérique de g dans f J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 14

Erosion-Reconstruction Objectif : Préservation des contours Alors que l'ouverture par érosion-dilatation modifie les contours des éléments, l'ouverture par reconstruction les restitue sans changement s'ils n'ont pas été éliminés par le filtrage. Dans cette reconstruction : - la référence est le signal original, Elément structurant :B Dilatation - le marqueur est un érodé de la référence: Original Erosion Reconstruction Ouverture morpho. γ rec ( f ; ε B (f) ) = {δ f (n) (ε B (f)), n > 0 } Ouverture par reconst. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 15

Application à l'examen du fond de l oeil Commentaire: Le but est d' extraire et de localiser les anévrismes. Les opérateurs par reconstruction garantissent qu'on retire exclusivement les pics petits et isolés ( étude de F. Zana et J.C. Klein) a) Image initiale b) fermeture par c) différence a) moins b) dilatation-reconstruction suivie d'un seuillage suivie d'ouverture par érosion- reconstruction J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 16

Swamping (reconstruction par marqueurs) Objectif : Reconfigurer les maxima d'une fonction par ouverture connexe ( par reconstruction) Moyens : On utilise des marqueurs i.e. une fonction à 2 niveaux (0,m) qui identifie les pics à garder. Le procédé de reconstruction crée une fonction égale à l'originale dans les zones d'intérêt et élimine les extrema non marqués Le résultat fournit la plus grande fonction f et possédant des maxima aux points marqués. On le nomme le swamping de f par ouverture (S.Beucher, F.Meyer), cf. la version par fermeture in X-6. Rec. marqueur: m Swamping de f par le marqueur m f J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 17

Exemple de swamping: ouverture de contraste Objectif : Les ouvertures morphologiques ou par érosion-reconstruction éliminent les composantes en fonction de leur structure spatiale (taille, forme). Le but du filtre de contraste est d'éliminer les composantes de faible contraste (M.Grimaud). Moyens : Original Cette transformation s'interprète au C moyen d' une reconstruction où: Résultat - la référence est le signal original; - le marqueur de l'ouverture est le signal original diminué d'une constante c. γ rec (f ; f-c) = {δ f (n) (f-c), n > 0 } J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 18

Maxima et Ouverture de Contraste Un Un point x du du graphe de de f f est est sur sur un un maximum quand aucun chemin qui le le joint aux autres points du du graphe n'est strictement ascendant. Les maxima sont des parties connexes plates entourées de de points situés tous plus bas. Ils Ils sont donc obtenus par résidus de de l'ouverture de de contraste, lorsque la la valeur du du décalage est est 1. 1. Plus généralement, le le résidus associé au au décalage c extrait les les maxima entourés d'une zone descendante de de hauteur 8c. 8c. On On les les nomme maxima étendus (S. (S. Beucher). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 19

Filtres forts par reconstruction Proposition(J.Serra): Soit γ rec rec une ouverture par reconstruction sur sur T E qui ne ne crée pas de de pores, et et soit ϕ rec rec la la fermeture duale pour le le complément d une ouverture de de ce ce type (( mais pas nécessairement γ rec rec ). ). Alors :: ν = ϕ rec rec γ rec rec et et µ = γ rec rec ϕ rec rec sont des filtres forts. [[ Tout pore de de X, X, d abord bouché par ϕ rec rec (X),, puis restitué par γ rec rec (X) devient pore de de X γ rec rec ϕ rec rec (X), et et il il n y en en a pas d autres d où µ(ι µ(ι µ) µ) = µ.] µ.] En En particulier, ΙΙ γ rec rec ϕ rec rec est est une ouverture (appréciée pour son top-hat quand on on l étend aux fonctions numériques, cf. cf. IV-9). Proposition (J.Crespo, J.Serra) :: Soient {γ {γ rec rec i et {ϕ rec i } et {ϕ rec i } i une granulométrie et et une anti-granulométrie du du type précédent, alors :: 1) 1) Les filtres alternés séquentiels associés N ii et et M ii sont forts;et 2) 2) Les deux opérateurs Ψ n ={ϕ i γ i i, i, 1 i n} et et Θ n = {γ {γ i ϕ i i, i, 1 i n} sont aussi des filtres forts. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 20

Semi-groupes de filtres par reconstruction Proposition (Ph. Salembier, J.Serra): Soit γ rec rec une ouverture par reconstruction sur sur E et et ϕ une fermeture qui ne ne crée pas de de composantes connexes. Alors :: ϕ γ rec rec γ γ rec rec ϕ (( γ rec rec ϕγ rec rec = ϕ γ rec rec ϕ γ rec rec ϕ=γ rec rec ϕ) ϕ) [ϕγ rec rec est est invariant pour γ rec rec car carϕ, ϕ, extensive, ne ne peut qu élargir les les composantes connexes déjà existantes de de γ rec rec (X) ]] Proposition (Ph. Salembier, J.Serra): Soit {γ {γ rec rec i } i une granulométrie et et {ϕ {ϕ i } i une anti-granulométrie des types précédents.. Alors :: 1) 1) pour tout i, i, les les deux produits de de composition ν i i rec i et i rec i = ϕ i γ rec i et µ i = γ rec i ϕ i i vérifient i les les relations j i j i ν i ν i j = j ν j et j et µ i µ i j = j µ jj [On a toujours j i j i µ j j µ i i µ j j.. De De plus, ici ici γ rec rec j j =γ rec i rec j j =γ rec i j rec j j γ rec i i rec j ϕ j =γ rec i γ rec j ϕ j =γ rec i ϕ j γ rec j ϕ j γ rec i ϕ i γ rec jj ϕ j j ]] 2) 2) En En conséquence, les les A.S.F. associés N i et i et M i forment i le lesemi groupe N j N j i =N i i N i j = j N sup(i,j) ; sup(i,j) ; M j M j i =M i i M i j = j M sup(i,j) sup(i,j) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 21

Exemple d une pyramide de F.A.S connexes Connexion par zones plates ( i.e. ϕ = 0 ). Chaque contour est préservé ou supprimé, mais jamais déformé : la partition initiale croit par action des filtres successifs, qui sont forts et forment un semi groupe FAS de taille 8 FAS de taille 4 Image initiale FAS de taille 1 (éléments structurants hexagonaux) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 22

Adjacence On On dérive des ouvertures par marqueur un un opérateur auto-dual, nommé nivellement, du du à F.Meyer. Introduisons d abord la la notion d adjacence :: Adjacence (J. (J. Serra): Soit φ une connexion sur sur σ(e). Les ensembles X,Y σ(e) sont dits adjacents quand X Y est est connexe, alors que X et et Y sont disjoints. Pour la la connexion digitale définie M par l ouverture de de carré 2x2,, le le marqueur ponctuel M de de la la figure X bien qu qu adjacent à aucun grain de de l ensemble X, X, l est à X lui-même. Protection contre l adjacence :: la la connexion φ protège de de l adjacence, quand pour tout élément M σ(e) et et toute famille {B {B i i ;i I} dans φ, φ, il il est est équivalent que M ne ne soit adjacent à aucun des B ii ou ou à leur réunion B B i. i. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 23

Nivellements Etant donné un un ensemble marqueur M, M, considérons A σ(e) et et soit ~ γ M (A) la la réunion des grains de de A qui rencontrent M ou ou qui lui lui sont adjacents (disjoints de de M mais dont l union avec un un grain de de M est est connexe) ~ ϕ M (A) la la réunion de de A et et des pores inclus dans M, M, et et non adjacents à M cc Définition (F. (F. Meyer) :: On On appelle nivellement λ le lesupremum d activité λ = γ M ϕ M i.e. i.e. λ(a) A = γ M A, A, et et λ(a) A c c = ϕ M A c c ;; λ agit sur sur A comme l ouverture γ M,, et et sur sur A cc comme la la fermeture ϕ M.. Auto-dualité: L application (A,M) λ (A,M) de de σ(e) σ(e) σ(e) est est autoduale. Si Si M dépend lui lui même de de A, A, i.e. i.e. M= µ(a), alors le le nivellement, en en tant que fonction de de A seulement, est est auto-dual ssi ssi µ l est déjà. L extension du du nivellement aux fonctions numériques se se note (( f f,, g )) Λ (( f f,, g )) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 24

Propriétés des nivellements Voici quelques propriétés des nivellements qui justifient leur intérêt: Proposition(F.Meyer): le le nivellement (A,M) λ (A,M) est est une application croissante de de σ(e) σ(e) σ(e) qui admet l expression equivalente: λ = γ M (( ϕ M ) ) Proposition(G.Matheron): Les deux applications ~ A λ Μ (A),, à M fixé, et et ~ M λ Α (M),, à A fixé, sont idempotentes (et (et sont donc des filtres connexes sur sur σ(e) )).. Proposition(J.Serra): Le Le nivellement A λ Μ (A) est est un un filtre fort, produit commutatif de de ses ses deux primitives, i.e. i.e. λ = γ M 1 ϕ M = ϕ M 1γ M ssi ssila la connexion φ protège de de l adjacence ;; λ vérifie alors la la relation de de stabilité γ x ( x ( I λ )) = γ x γ x γ x λ, x λ, préservant le le sens des variations grains/pores J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 25

Exemple Image initiale : Joueur de fifre, de E. MANET Marqueurs : filtres alternés carrés de taille 2 (non auto-dual) Image initiale, 83.776 pels dont 34.835 en zones plates Nivellement selon ϕ γ zones plates : 53.813 Nivellement selon γ ϕ zones plates : 53.858 J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 26

Dualité pour les fonctions Notons 0 et et m les les extrema numériques (( i.e. i.e. ceux de de l l axe des gris T ). ). L involution qui remplace l opération de de complément f m --f f.. Or Or il il vient pour le le nivellement Λ m --Λ (( m --f f,, m -g -g)) = Λ (( f, f, g )) (1) (1) ce ce qui signifie que l l application f, f, g Λ(f, g) g) est est toujours auto-duale. De De plus, si si g se se déduit de de f f par une opération auto -duale, i.e. i.e. g = g(f), avec m -g -g(( m --f f )) = g (( f f )) (2) (2) (convolution, médiane), alors le le nivellement f f Λ(f, g(f)) est est auto-dual. On On remarquera que la la rel. (2) (2) est est différente de de l invariance par involution g (( m --f f )) = g (( f f )) Cette dernière, vérifiée par le le module du du gradient, or or par les les extrema étendus, par exemple, n entraine pas l auto-dualité de de f f Λ(f). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 27

Exemple de dualité Marqueur : réunion des maxima et minima de dynamique 8 h ( invariance pour le complément). Image initiale zones plates: 34.835 h = 80 zones plates : 57.445 J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 28

Nivellements comme fonctions du marqueur Etudions l application M λ A (M) quand le le marqueur M varie, à A fixé. L ensemble A génère l ordre 9 A de de la la A-activité, sur sur σ(e), par les les relations M 1 9 1 A M 22 Si Si M 11 rencontre A ou ou lui lui est est adjacent, alors M 22 rencontre A ou ou lui lui est est adjacent et et si si M 22 rencontre A cc ou ou lui lui est est adjacent, alors M 11 rencontre A cc ou ou lui lui est est adjacent.. M 1 M2 A Proposition (J. (J. Serra): Si Si M 11 9 A M 22 il il vient λ M1 M1 λ M2 M2 (A) = λ M2 M2 λ M1 M1 (A) = λ M2 M2 (A) Cette pyramide granulométrique permet de de doser l activité des marqueurs. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 29

Exemple de Pyramide Marqeur (auto-dual): image initiale, après avoir attribué zéro aux h-extrema Image initiale zones plates : 34.835 Nivellement pour h = 50 zones plates : 58.158 Nivellement pour h = 80 zones plates : 59.178 J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 30

Exemple de réduction de bruit Marqueur (auto-dual) : Convoluée gaussienne de taille 5 de l image initiale a) Image initiale, plus 10.000 points de bruit b) Convolution gaussienne of a) c) Nivellement de a) par b) zones plates : 46.900 J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 31

Références Sur la la géodésie :: Les éléments essentiels de de la la géodésie numérique ont été été découverts par S.Beucher et et F.Meyer dans les les années 80, et et publiés dans {BEU90} et et {MEY90}. L.Vincent {VIN93}, P. P. Soille {SOI91} et et C.Vachier {VAC95} y l ont complétée d importantes contributions algorithmiques. Sur les les opérateurs connexes :: Dans {MEY90} et et {SAL92}, la la reconstruction est est utilisée pour modifier l homotopie d une fonction, en enmulti-résolution. L ouverture par contraste est est introduite dans {GRI92}. Les pyramides d opérateurs connexes apparaissent dans{ser93, ils ils servent pour la la compression et et le le filtrage des séquences dans {MGT96}, {SAL96}, {PAR94}, {CAS97} et et {DEC97}. Les nivellements sont dus à F.Meyer {MEY98}, cf cfaussi {MAT97} et et {SER98b}. Sur les les connexions pour les les fonctions (( ch. XVIII): La La notion de de connexion sur sur un un treillis, avec application aux fonctions, est est due à J.Serra {SER98a et et b}. b}. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 32