Mathématiques Financières Exercices Licence 2, 2015-16 - Université Paris 8 J.CORIS & C.FISCHLER & S.GOUTTE 1 TD 1 : Suites numériques et somme de suites Exercice 1. Pour chacune des suites ci-dessous, répondre aux questions suivantes : Est-ce une suite monotone? Est-ce une suite minorée? majorée? bornée? Est-ce une suite arithmétique? géométrique? (a) u n = n 2 5n (b) u n = n+1 n 2 +1 (c) u n+1 = 2u n 1 avec u 0 = 2 (raisonner par récurrence). Exercice 2. Construire des exemples de suites avec les propriétés suivantes : (a) une suite décroissante et minorée ; (b) une suite croissante et majorée ; (c) une suite géométrique qui ne soit ni croissante, ni décroissante. Exercice 3. (a) Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r = 3, telle que u 16 = 20. Calculer u 0 et u 1000. (b) Soit (v n ) une suite géométrique de raison r = 1.2, telle que v 5 = 10. Calculer v 0 et v 10. Exercice 4. ( ) n+2 (a) Montrer que u n = 2 est une suite géométrique. Trouver sa raison et son premier terme. (b) Soit (u n ) une suite géométrique de raison r = 1.08 et de premier terme 50. Trouver le n minimal tel que u n 100. (c) Une banque vous propose d ouvrir un compte d épargne rémunéré à 7% (taux annuel composé). Combien de temps faudra-t-il attendre pour que la somme d argent placée initialement sur ce compte double? Ce temps s appelle le temps de doublement. Exercice 5. Supposons qu une pomme coûte aujourd hui 1 euro. Supposons également que le taux d inflation est constant et égal à 4% annuels. (a) (b) Trouver le prix u n de 100 pommes dans n années. Trouver le nombre v n de pommes que l on pourra acheter pour 100 euros dans n années. Quelles sont les propriétés des suites (u n ) et (v n )? 1
Exercice 6. Calculer les sommes suivantes : (a) 1 + 2 + 3+ +100 (b) 12 + 7 + 2 3 8 13 18 23 (c) 17 n=5 (4n + 1) (d) 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 11 (e) 9 n=2 1 (f) 10 n=0 3 n 50 1,03. n Dans les deux exercices suivants, on suppose que le taux d intérêt sans risque du marché est constant et égal à 4% annuels. 2 TD 2 : Taux intérets simples et composés. Taux continus et équivalents Exercice 1. Trouver le taux équivalent pour les taux d intérêt suivants : (a) 5% par an avec capitalisation trimestrielle ; (b) 7% par an avec capitalisation mensuelle ; (c) taux continu de 4%. Exercice 2. A quel taux annuel a t on placé un capital de 20000 euros ayant généré un intéret de 2500 euros après deux ans? Exercice 3. On suppose que le taux d intérêt r est de 6%. (a) Trouver le taux équivalent annuel. (b) Trouver le taux proportionnel mensuel. Exercice 4. Quel taux d intéret simple annuel permet de doubler son capital en 5 ans? Quel taux d intéret composé annuel permet de doubler son capital en 5 ans? Exercice 5. Votre conseiller en placement vous recommande un investissement qui rapporterait un rendement annuel de 5% capitalisé par mois. Quel est le taux périodique? Si vous placez 1000 euros dans ces conditions, combien aurez vous accumulé en 3 ans? Exercice 6. Lequel des deux placements suivants est le plus intéressant? 1. Taux nominal de 5% par an avec versements mensuels des intérêts. 2. Taux nominal de 15% par an avec versements annuels. 2
Exercice 7. Ordonner les taux d intéret suivant du plus rémunérateur au moins rémunérateur 1. 5% par an. 2. 0,5% par mois. 3. 25% tous le 5 ans. 4. cycle de 3 ans :10% la première année et 4% par an pendant 2 ans. 3 TD 3 : Flux financier, Actualisation et Capitalisation Exercice 1. On suppose que le taux d intérêt r est continu. (a) Si r = 6%, quelle est la valeur future de 100e dans quatre ans? (b) Si r = 7%, quelle somme d argent faut-il placer aujourd hui pour récupérer 10000 e dans 10 ans? Dans les exercices 2 4, on suppose que le taux d intérêt r est de 6%. Exercice 2. Quelle est la valeur future de 1000e dans 3 ans? Exercice 3. Vous avez obtenu un crédit de consommation de 8000e que vous devez rembourser par mensualités de 390e pendant trois ans. (a) Quel est le coût total du crédit (la somme de tous les payements non actualisés moins le montant obtenu)? (b) Quelle est la valeur actuelle de tous les remboursements? (c) Quelle est la valeur actuelle du coût de crédit? Exercice 4. Décider si le projet suivant est rentable : investir 5000e par an pendant 5 ans et recevoir ensuite 500e par mois pendant 6 ans (la première mensualité sera payée un mois après le dernier investissement). Exercice 5. On place 700e le 1er janvier 2010 et 1500e le 1er janvier 2011 et on dispose ainsi de 2346.75e au 1er janvier 2012. Quel était le taux r? Exercice 6. Pierre emprunte à Paul 15000 euros au taux mensuel de 0,5%. A la fin du premier mois, il lui rembourse 1000 euros A la fin du deuxième et du troisième mois, il lui rembourse 1500 euros A la fin du quatrième et du cinquième mois, il lui rembourse 2000 euros. Il désire solder sa dette à la fin du sixième mois. Combien devra-il verser? 3
4 TD 4 : VAN et Arbitrage Exercice 1. Vous avez la possibilité d investir 50000 euros aujourd hui pour monter une entreprise qui rapportera 7000 euros par an pendant 10 ans à partir de la deuxième année. On a alors que la Valeur actuelle de l investissement (ou F 0 ) vaut V a (investissements) = 50000. Supposons que le taux du marché est de 4% par an. Vous avez donc une alternative au placement proposer qui est de placer c est 50000 euros sur un compte, sans risque, rémunéré à 4% par an et bénéficier ainsi des intérêts. 1. Utiliser ce taux comme le taux d actualisation r pour calculer la valeur actuelle des cash-flows futurs du projet. 2. Conclure sur la rentabilité du projet. Exercice 2. Votre banque vous propose une formule d épargne logement ayant les caractéristiques suivantes : vous placez 10 000 euros la première année, puis la banque vous verse 23 000 euros la deuxième année, puis vous remboursez la troisième année la somme de 13 200 euros. Chaque versement a lieu en début d année. 1. En supposant que le taux de calcul est r, calculer la valeur actuelle nette de ce placement. Application numérique avec r = 6%. 2. Donnez la formule permettant de définir le taux de rendement interne de cette opération (TRI). 3. Montrez que cette équation admet deux solutions. Interprétez. Exercice 3. Décider, en utilisant la méthode de la VAN, si les projets d investissement suivants sont rentables. (a) Vous avez la possibilité d acheter un terrain pour 10000 euros. Vous êtes sûr que sa valeur va doubler dans les cinq prochaines années. Si par ailleurs votre banque vous offre des comptes rémunérés à 8% par an, cet investissement dans un terrain, est-il rentable? (b) Monsieur Dupont qui a 65 ans se demande si cela vaut la peine d acheter une rente auprès d une compagnie d assurance. La compagnie lui demande aujourd hui une prime de 10000e, et en contrepartie, elle lui versera une rente de 1000e chaque année pour tout le reste de sa vie. Si un placement alternatif dans un fond commun peut lui rapporter 8% par an, et que Monsieur Dupont espère vivre jusqu à 80 ans, a-t-il intérêt à acheter cette rente? 4
Exercice 4. Considérez les deux projets mutuellement exclusifs suivants : Projet T = 0 T = 1 T = 2 T = 3 A -60 000 40 000 20 000 15 000 B -60 000 2 000 30 000 55 000 Le taux d actualisation pour cette catgéorie de projet est de 12%. 1. Tracer les graphiques VAN / TRI pour les deux projets. 2. Quel projet devrait être accepté selon le critère de la VAN? 3. Quel est le taux d actualisation pour lequel la VAN des deux projets est identique? 4. En déduire quel projet devrait être accepté selon le critère du TRI. 5. Dites si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux : A un taux d actualisation de 8%, il y a contradiction de choix entre le critère de la VAN et du TRI. A un taux d actualisation de 20%, il y a contradiction de choix entre le critère de la VAN et du TRI. Dans le but de maximiser la richesse de ses actionnaires, l entreprise devrait retenir le projet A. Si le taux de rendement exigé pour ce genre de projet passait de 12% 15%, ceci aurait pour conséquence de diminuer le taux de rendement interne des projets A et B. Exercice 5. Supposons que sont cotés sur le marché deux produits financiers identiques mais à des prix différents : un à 90 euros et l autre à 100 euros. Construire un arbitrage, que vous expliquerez, à partir de cela? 5 TD 5 : Obligations, Courbe de Taux et Réplication de portefeuille Exercice 1. Quelle est la valeur actuelle d une obligation zéro-coupon de valeur faciale 5000e et qui arrive à l échéance dans 2 ans avec un taux sans risque de r = 6%? Exercice 2. Quelle est la valeur actuelle d une obligation de valeur nominale 1000e, d échéance 5 ans et qui verse des coupons annuels au taux nominal de 8%? Exercice 4. Montrer qu il y a un arbitrage si au même instant sur un marché financier est en vente la même obligation zéro coupon au prix de 180 euros, de maturité 3 ans mais avec deux nominals diffrents N 1 = 220 et N 2 = 250. 5
Exercice 5. Quatre obligations A, B, C et D de nominal 1000 euros sont présentes sur le marché avec comme caractristiques : Obligation Maturité Coupon Prix A 1 an 5% 1000 B 2 ans 7% 1100 C 3 ans 11% 1125 D 4 ans 10% 1100 1. Construire la courbe des taux par terme. On suppose que r 0 = 3%. 2. Quel est le prix de non arbitrage d une obligation zéro-coupon de nominal 100 euros et de maturité 3,5 ans? Calculer le taux zéro-coupon d échance 3,5 ans par interpolation linaire. Exercice 5. Répliquer en terme de Zéro-Coupons le produit financier suivant en utilisant des taux sans risques annuels de différentes maturits que l on notera r i pour la taux annuel de maturité i an(s). A la fin du premier mois, on gagne 1000 euros A la fin du deuxième et du troisième mois, on gagne 1500 euros A la fin du quatrième et du cinquième mois, on gagne 2000 euros. 6