Introduction au cours de physique () Exercices : Petites variations, valeurs moyennes Calculs de petites variations Méthode De manière générale : il est souvent plus simple de faire une différentiation simple ou logarithmique des expressions mathématiques sans calculer de dérivée partielle Ex- empérature à la surface des planètes La température à la surface de la erre est reliée à la température de surface du Soleil S par une relation de la forme : = K S D, où K est une constante et D la distance erre-soleil (cette loi en s appelle «loi du corps noir») On donne comme valeurs moyennes : = 3 K, S = 6 K et D = 5 6 km ) Dans cette question, S est supposée constante De quelle distance faudrait-il que la erre se déplace pour faire varier sa température de C? Que peut-on prévoir sur Mars (D = millions de km) et sur vénus (D = 8 millions de km)? ) De combien de degrés la température de surface du Soleil varie-t-elle lorsque varie de C? Ex- Volume d un cylindre On considère un cylindre de dimensions R = R =, m et h = h =, m Quelle est la variation relative de son volume : ) quand on diminue le rayon de mm? ) quand on diminue le rayon de mm et que l on augmente la hauteur de mm? Ex-3 Compression adiabatique d un gaz parfait On considère un gaz de volume V = V =, m 3 et de pression P = P = 5 Pa enfermé dans un cylindre surmonté d un piston On appuie rapidement sur le piston jusqu à diminuer le volume de L On utilise comme modèle de gaz celui du gaz parfait et comme modèle de transformation celui de la transformation adiabatique ( échanges thermiques nuls entre le gaz et le milieu extérieur) Dans ces conditions, pression et volume sont liés par la «loi de Laplace» : PV γ = cte (γ =, ) ) Calculer P dp, la variation relative de pression correspondante (en %) P P ) Puis calculer P dp, la variation absolue de pression Ex- Horloge à balancier Le balancier d une horloge qui bat la seconde est assimilable à un pendule simple On rappelle la relation entre période et longueur l : l = π (On prendra g = 9, 8 ms ) g ) Quelle est la période du blancier de l horloge? ) Calculer la longueur l de ce balancier 3) Que vaut, variation de la période, pour une petite variation de la longueur l = cm? Indications : Comme l l, on peut utiliser le calcul différentiel avec la notation infinitésimale : l dl et d ) On désire que la précision du fonctionnement de l horloge soit de s par jour Quelle doit être alors la précision l sur la valeur de la longueur?
Exercices Petites variations et valeurs moyennes 8-9 Ex-5 Satellite artificiel soumis à des frottements L énergie mécanique E m et la vitesse v d un satellite en orbite circulaire sont données en fonction du rayon r de son orbite par les relations : E m = G m m r et v = G m r Dans ces expressions G est la cte de gravitation universelle, m la masse de la terre et m celle du satellite et l énergie mécanique est négative ) lorsque, par suite des frottements, son énergie mécanique diminue : E m de m est de quel signe? Comment varie le rayon? et la vitesse? ) L énergie mécanique diminue de % Que vaut la variation relative du rayon? de la vitesse? Ex-6 Repérage et déplacement élémentaire d un point (**, cf cours de Mécanique) Il y a différentes manières de repérer un point M dans l espace Par exemple, on peut utiliser les coordonnées cartésiennes (x, y, z) ou z bien les coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) z Les relations de passage des coordonnées sphériques aux coordonnées M x = r cos ϕ sinθ cartésiennes sont : y = r sinϕsinθ θ z = r cos θ On suppose que M de déplace de manière élémentaire autour de sa position initiale jusqu au point M : Selon qu on utilise les coordonnées cartésiennes ou les coordonnées sphériques, on peut écrire : M x M x + dx M r M r + dr y y + dy et θ θ + dθ z + dz ϕ + dϕ z ϕ ) Exprimer les déplacements élémentaires selon les trois directions du repère cartésien (différentielles dx, dy, dz) en fonction des variations élémentaires dr, dϕ et dθ ) En déduire dr, dθ et dϕ en fonction de dx, dy et dz 3) vérifier que cela est compatible { avec les relations de passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques : r = } x + y + z z ; cos θ = x + y + z ; tanϕ = y x x x O ϕ r M y y Dérivées Ex-7 Calcul d une dérivée Calculer la dérivée temporelle de la fonction fonctions f(t) = A exp(λt)cos(ωt+ϕ) dans lesquelles A, λ, ω et ϕ sont des constantes Que peut-on dire des dimensions et des unités de A, λ, ω? Ex-8 Fonction d état d un gaz parfait Les paramètres d un gaz qui suit le modèle du gaz parfait sont régis par la fonction d état : PV = nr où la pression apparaît comme une fonction des variables, V et n ) Écrire P sous la forme P = P(, V, n) ) Déterminer les dérivées partielles d ordre : P, P V P 3) En déduire les dérivées croisées d ordre : V, P et P n n, P V, P n V, P n et P V n Quelle propriétés des dérivées croisées a-t-on mis en évidence? http ://pcsi-unautreregardover-blogcom/ qadripcsi@aolcom
8-9 Exercices Petites variations et valeurs moyennes Fonctions du temps et valeurs moyennes Ex-9 Fonctions sinusoïdales ) Représenter sur un même graphe les fonctions cos ωt et cos ωt après avoir linéarisé cette deuxième fonction ) On note = π la période des oscillations de la première fonction ω Quelle est alors la période des oscillations de la deuxième? 3) Calculer les valeur moyennes de cos(ωt + ϕ) et de cos (ωt + ϕ) Vérifier graphiquement ce calcul Retenir les résultats et les utiliser pour l exercice suivant Ex- Intensité et puissance électrique en régime sinusoïdal Soient u(t) = U cos(ωt+ϕ) la tension aux bornes d un dipôle et i(t) = I cos(ωt) l intensité qui traverse le dipôle La puissance instantanée reçue par le dipôle vaut p(t) = u(t)i(t) Calculer : ) la valeur moyenne de l intensité < i(t) > ) la valeur efficace de l intensité I eff 3) la valeur moyenne de la puissance < p(t) > Ex- Redressement mono-alternance On considère un circuit en régime sinusoïdal dans lequel une diode ne laisse passer que les alternances positives du courant Recopier les graphes de l exercice «Fonctions sinusoïdales», et y tracer au stylo rouge les alternances qui correspondraient à un courant i(t) positif de valeur crête égale à I max = A, puis le graphe correspondant à i (t) ) Quelles sont les périodes de i(t) et de i (t)? ) Définir la fonction i(t) en distinguant deux intervalles de temps Calculer < i > et < i > Quelle est alors la valeur efficace du courant? Développements limités Ex- Limite de visibilité On suppose la terre sphérique, de rayon R = 6 km ) Depuis le point A à une altitude H = A A au-dessus du niveau du sol terrestre on observe l horizon : on voit donc jusqu au point B de la surface terrestre Déterminer la limite de visibilité l, longueur de l arc de cercle A B ) En déduire jusqu à quelle distance on peut voir, par beau temps, depuis le sommet de la our Eiffel sachant que le troisième étage est à 76 m au-dessus du sol A H A' O θ l R B qadripcsi@aolcom http ://pcsi-unautreregardover-blogcom/ 3
Exercices Petites variations et valeurs moyennes 8-9 Solution Ex- En considérant que les variations des variables et D en ), et S en ) sont assimilables à des petits accroissements, on peut appliquer le calcul différentiel ) = K S D ln = lnk + ln S lnd Si la température de la erre chute de C, = K Et dans cette question S est supposée fixe (d S = ), d où : d = d S S dd D ( ) D = D ( ) = D = D = 5 6 3 = 6 km Cl : il faudrait que la erre s éloigne d un million de kilomètres du Soleil pour que la température en surface chute de C On peut déduire de ( ) la température qu aurait la erre si elle se trouvait sur l orbite de Mars (ou de Vénus) en imaginant pour cela que la erre s éloigne (ou se rapproche) du Soleil d une distance D : ( ) = = D D (avec = 3 K et D = 5 6 km) À partir de ce modèle, on peut déduire l ordre de grandeurs des températures de Mars ou de Vénus qui sont des planètes comparables en taille et en constitution à la erre (planètes telluriques) : D = D Mars D erre = +7 6 km, soit : = M = 7 K, et donc M = 3 K t M = 3 C ce qui est l ordre de grandeur, les températures sur Mars évoluant entre et 7 C D = D Vénus D erre = 6 km, soit : = V = + K, et donc V = 3 K θ V = +69 C ce qui ne correspond pas du tout aux mesures effectuées donnant une température t V 8 C! ceci vient du fait que, sur Vénus, l «effet de serre» est bien plus important que sur erre ) D étant fixe : D = Alors ( ) d = d S S Supposer = + C (sans autre origine que le Soleil) implique une élévation de la température du Soleil de : S = S = + C http ://pcsi-unautreregardover-blogcom/ qadripcsi@aolcom
8-9 Exercices Petites variations et valeurs moyennes Solution Ex-9 ) cos (ωt) = + cos(ωt) ) cos (ωt) = + cos(ω t) avec π ω = ω = π, soit = 3) < cos(ωt + ϕ) > - 3 cos ωt cos(ωt + ϕ)dt = [ ] sin(ωt + ϕ) ω = cos ωt t Retenir : Les moyennes temporelles d un cosinus ou d un sinus sont nulles : < cos(ωt + ϕ) >=< sin(ωt + ϕ) >= Pour calculer la moyenne de cos (ωt + ϕ), on peut travailler sur sa période ou conserver la durée qui correspond au double (multiple entier, donc) de cette période : < cos (ωt+ϕ) > cos (ωt+ϕ)dt = ( + ) cos(ωt) dt = dt+ cos(ωt)dt Soit : < cos (ωt + ϕ) >= [ ] + [ ] ω sin(ωt + ϕ) = Retenir : La moyenne temporelle d un cosinus (ou d un sinus) élevé au carré est égale à /: < cos (ωt + ϕ) >=< sin (ωt + ϕ) >= Solution Ex- ) D après ce qui précède : < i(t) >= car < cos(ωt) >= ) La calcul de I eff a été effectué en classe (IP/II) : I eff = < i (t) > = I max pour un régime sinusoïdal Comme ici, I max = I, on en déduit que : I eff = I Retenir : En régime sinusoïdal, il est équivalent d écrire : i(t) = I max cos(ωt + ϕ) ou bien i(t) = I eff cos(ωt + ϕ) car Ieff = I max 3) En utilisant la linéarisation de cos acos b, on trouve que < p(t) >=< u(t)i(t) >= UI cos ϕ Solution Ex- ) les signaux i(t) et i (t) ont la même période = π ω [ pour t, 3 ] ) i(t) = I [ 3 cos ωt pour t, 5 ] < i(t) >= 5 i(t)dt = 5 3 cos(ωt)dt - i(t), i (t) 3 cos ωt cos ωt t On trouve : < i(t) >= I π = I max π Sur le même intervalle, on a : < i (t) >= I, soit : I eff = I = I qadripcsi@aolcom http ://pcsi-unautreregardover-blogcom/ 5