Feuille de révision n 3 pour le brevet Cette feuille est constituée d exercices tirés des annales des brevets des années antérieures et traite les chapitres abordés en classe depuis le deuxième brevet blanc. Elle constitue donc un bon entraînement pour l épreuve du 25 Juin mais ne peut suffire. Pour réviser, il est conseiller de reprendre les deux première feuille qui vous ont été données durant l année, refaire les contrôles bilan et apprendre les propriétés et formules qui sont dans vos cahiers de cours et dans le livre. Important : Les trois feuilles de révisions sont accessibles sur le site du collège : http://college-moulinavent.fr/ Exercice 1 (Probabilités) : Caroline souhaite s équiper pour faire du roller. Elle a le choix entre une paire de rollers gris à 87 et une paire de rollers noirs à 99. Elle doit aussi acheter un casque et hésite entre trois modèles qui coûtent respectivement 45, 22 et 29. 1. Si elle choisit son équipement (un casque et une paire de rollers) au hasard, quelle est la probabilité pour que l ensemble lui coûte moins de 130? 2. Elle s aperçoit qu en achetant la paire de rollers noirs et le casque à 45, elle bénéficie d une réduction de 20% sur l ensemble. a. Calculer le prix, en euros et centimes, de cet ensemble après réduction. b. Cela modifie-t-il la probabilité obtenue à la question 1? Justifier la réponse. Correction de l exercice 1 : 1. Les différents équipements possibles sont : - Rollers gris à 87 et casque à 45 pour un montant de 132. - Rollers gris à 87 et casque à 22 pour un montant de 109. - Rollers gris à 87 et casque à 29 pour un montant de 116. - Rollers gris à 99 et casque à 45 pour un montant de 144. - Rollers gris à 99 et casque à 22 pour un montant de 121. - Rollers gris à 99 et casque à 29 pour un montant de 128. Il y a donc en tout 6 équipements possibles. Parmi ces équipements, il y en a 4 qui coûtent moins de 130. On en déduit que la probabilité pour que l ensemble coûte moins de 130 est égale à donc. 2. Réduction : a. Les rollers noirs et le casque à 45 coûtent 144. 0,8 = 115,2 Après une réduction de 20%, cet ensemble coûtera 115,20. b. Il y aura donc maintenant 5 équipements coûtant moins de 130, donc la probabilité pour que l ensemble coûte moins de 130 devient égale à.
Exercice 2 (probabilités, tableur) : Un bijoutier achète un lot de 220 perles de Tahiti. Un contrôleur qualité s intéresse à leurs formes (ronde ou baroque) et à leurs couleurs ( grise ou verte). 35% des perles sont de couleur verte, et parmi celles-ci 13 sont de forme ronde. Il y a 176 perles de forme baroque. Il note les résultats dans la feuille de calcul ci-dessous : A B C D 1 Rondes Baroques Total 2 Grises 3 Vertes 4 Total 220 1. Pour obtenir le nombre de perles vertes à partir des informations données dans l énoncé, quelle formule doit-on saisir en D3? Parmi les quatre formules proposées, recopier sur votre copie la bonne formule : = D4 * 1,35 220 * 35/100 = D4 * 0,35 = B3 + C3 2. Compléter le tableau ci-dessus. 3. On choisit au hasard une perle de ce lot. a. Quelle est la probabilité pour que cette perle soit de forme baroque? b. Quelle est la probabilité de tirer une perle baroque verte? Correction de l exercice 2: 1. Pour obtenir le nombre de perles vertes à partir des informations données dans l énoncé, on doit saisir en D3 la formule : = D4 * 0,35 2. 35% de 220 = 0,35 220 = 77 donc il y a 77 perles vertes. A B C 1 Rondes Baroques Total 2 Grises 31 112 143 3 Vertes 13 64 77 4 Total 44 176 220 3. Choix d une perle : a. Il y a 176 perles baroques sur les 220 perles, donc la probabilité de tirer une perle baroque est égale à = b. Il y a 64 perles baroques vertes sur les 220 perles, donc la probabilité de tirer une perle baroque verte est égale à = Exercice 3 (Angles inscrits, angles au centre) : Le Pentagone est un bâtiment hébergeant le ministère de la Défense des Etats-Unis. Il a la forme d un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon OA = 238 m. Il est représenté par le schéma cidessous. 1. Calculer la mesure de l angle. 2. La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [AB] au point M. Justifier que (OM) est aussi la bissectrice de l angle et la médiatrice de [AB]. 3. Prouver que [AM] mesure environ 140 m. 4. En déduire une valeur approchée du périmètre du Pentagone.
Correction de l exercice 3: 1. Puisque ABCDE est un pentagone régulier de centre O, alors : = 360 5 = 72 L angle mesure 72. 2. Le pentagone ABCDE est inscrit dans un cercle de centre O, donc OA = OB. On en déduit que AOB est un triangle isocèle en O. Puisque AOB est un triangle isocèle en O, alors (OM), hauteur issue de O, est aussi la bissectrice de l angle et la médiatrice de [AB]. 3. Puisque (OM) est la bissectrice de l angle, alors = 2 = 72 2 = 36. Puisque (OM) est la médiatrice de [AB], alors AOM est un triangle rectangle en M. Dans le triangle rectangle AOB, d après la définition du sinus : sin = donc sin 36 = donc AM = sin 36 238 soit AM 140 m. [AM] mesure environ 140 m. 4. Puisque (OM) est la médiatrice de [AB], alors M est le milieu de [AB], donc AB = 2 AM.m On en déduit que : AB 2 140 280 m. 5 280 = 1400 donc le périmètre du Pentagone est environ égal à 1400 m. Exercice 4 (angles inscrits et angles au centre) : On considère la figure ci-dessous qui n est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de refaire la figure. ABD est un triangle isocèle en A tel que l angle mesure 75. C est le cercle circonscrit au triangle ABD. O est le centre du cercle C. [BM] est un diamètre de ce cercle. 1. Quelle est la nature du triangle BMD? Justifier la réponse. 2. Calculs : a. Calculer la mesure de l angle. b. Citer un angle inscrit qui intercepte le même arc que l angle. c. Justifier que l angle mesure 30. 3. On donne : BD = 5,6 cm et BM = 11,2 cm. Calculer DM. On arrondira le résultat au dixième près. Correction de l exercice 4: 1. On sait que [BM] est un diamètre du cercle et que D est un point de ce cercle. Or : si un triangle est inscrit dans un cercle et qu un de ses côtés est un diamètre du cercle, alors ce triangle est un triangle rectangle. On en déduit que BMD est un triangle rectangle en D. 2. Calculs : a. Puisque BAD est un triangle isocèle en A alors : = et = 180 2 = 180 2 75 = 30 b. est un angle inscrit qui intercepte le même arc que l angle inscrit. c. Puisque deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure, alors : = = 30. 3. BMD est un triangle rectangle en D. D après le théorème de Pythagore : BM² = BD² + MD² donc 11,2² = 5,6² + MD² On en déduit que MD² = 11,2² - 5,6² = 94,08 Donc MD = 94,08 9,7 cm [MD] mesure environ 9,7 cm.
Exercice 5 (racines carrées) : 1) On donne = 27+5 12 300. a. Sophie pense que B peut s écrire plus simplement sous la forme 3 3. Prouver que Sophie a raison. b. Eric pense que Sophie a raison car, avec sa calculatrice, lorsqu il calcule 27+5 12 300 et 3 3, il trouve deux fois le même résultat : 5,196152423. Que pensez-vous du raisonnement d Eric? 2) On donne $ = %&. Sophie et Eric calculent C : Sophie trouve 1 et Eric trouve -4. Qui a raison? Justifier. Correction 5 : 1) = 27+5 12 300 = 9 3+5 4 3 100 3 = 9 3+5 4 3 100 3 =3 3+10 3 10 3 =3 3 b. La calculatrice ne permet pas de prouver l égalité. En effet il s agit de l affichage d une valeur approchée, rien ne nous dit que les chiffres derrière le 3 sont aussi les mêmes. 2) $ = %& = % = % = 4, donc c est Eric qui a raison. Exercice 6 (système d équations) : Deux compositions de meubles sont exposées en magasin, la première au prix de 234 euros et la deuxième au prix de 162 euros. Quel est le prix de la composition ci-dessous? Expliquer la démarche suivie.
Correction de l exercice 6 : Soit ( le prix d un grand meuble et ) le prix d un petit meuble. 2(+2) =234 (1) Le problème précédent peut se traduire par le système suivant :* (+3) =162 (2) On va résoudre ce système à l aide de la méthode par substitution : Dans (2) on exprime ( en fonction de ) : ( =162 3) Dans (1), on remplace ( par 162 3): Calcul de ( : On sait que : (+3) =162 Donc (+3 22,5=162 Calcul du prix de la composition choisie : La composition choisie coûte 328,50. 2(162 3))+2) =234 324 6)+2) =234 324 4) =234 4) =234 324 4) = 90 ) = 90 4 ) =22,5 (+67,5=162 ( =162 67,5 ( =94,5 3(+2) =3 94,5+2 22,5=328,5
Exercice 7(Agrandissement et réduction) : Sur la figure suivante, SABCD est une pyramide à base rectangulaire, de hauteur [SH], où H est le centre du rectangle ABCD. On donne : AB = 8 cm, BC = 6 cm et SH = 12 cm. 1. Calculer AC. En déduire AH. 2. Calculer le volume de la pyramide SABCD. 3. Démontrer que SA = 13 cm. On note A le point de [SA] tel que SA = 3,25 cm. On coupe la pyramide par le plan parallèle à la base passant par A. On obtient une petite pyramide SA B C D. 4. a) Calculer le coefficient de réduction de SA B C D par rapport à SABCD. b) En déduire le volume de SA B C D. 5. Où aurait-il fallu placer A pour obtenir une pyramide dont le volume est huit fois plus petit que celui de la pyramide SABCD? Justifier. Correction de l exercice 7 : 1. ABC est un triangle rectangle en B donc selon le théorème de Pythagore on a : ²+$² = $² 8²+6² = $² $ =100 Donc $ =10 01 Dans un rectangle les diagonales se coupent en leur milieu donc : 2 =10 2 =5 01. 2. 4 5678 = B : = =288 01². Le volume de la pyramide SABCD est de 288 cm². 3. ; 2 est un triangle rectangle en H, donc selon le théorème de Pythagore on a : ; =;2 +2 ; =12 +5 ; =169 ; =13 01 =>?@ABAC CéEAFGB 4. a) < = =, =0,25. Le coefficient de reduction est 0,25. =>?@ABAC F?FGFH=B b) 4 5 I 6 I 7 I 8 I = < 4 5678 =0,25 288 =4,5 01 Le volume de SA B C D est 4,501. 5. 2 =8, donc pour que le volume soit 8 fois plus petit il aurait fallu que le coefficient de réduction soit, c est-à-dire que A soit au milieu de [SA].
Exercice 8 (fonctions linéaires et affines) : Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique. Offre A : 1,20 euro par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site. Offre B : 0,50 euro par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35 euros. 1. Calculer, pour chaque offre, le prix de 30 morceaux téléchargés par an. 2. Expressions : a. Exprimer, en fonction du nombre ( de morceaux téléchargés, le prix avec l offre A. b. Exprimer, en fonction du nombre ( de morceaux téléchargés, le prix avec l offre B. 3. Soit J et K les deux fonctions définies par : J:( 1,2( et K:( 0,5(35 a. L affirmation ci-dessous est-elle correcte? Expliquer pourquoi. «J et K sont toutes les deux des fonctions linéaires». b. Représenter sur une feuille de papier millimétré, dans un repère orthogonal, les représentations graphiques des fonctions J et K. On prendra 1 cm pour 10 morceaux en abscisse et 1 cm pour 10 en ordonnée. 4. Déterminer le nombre de morceaux pour lesquels les prix sont les mêmes. 5. Déterminer l offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l année. 6. Si on dépense 80 euros, combien de morceaux peut-on télécharger avec l offre B? Correction de l exercice 8 : 1. Avec l offre A : 1,2'3036 Avec l offre B : 0,5'303550 2. Expressions : a. 1,2( b. 0,5(35 3. Fonctions : a. K est une fonction de la forme N(O et O P0, c est donc une fonction affine (non linéaire), l affirmation est donc fausse. b. Voir le graphique. 4. Deux méthodes : a. Graphiquement, on voit que les deux prix sont les mêmes pour 50 morceaux. b. Par le calcul : Prix ( ) Nombre de morceaux 1,2( 0,5(35 1,2("0,5( 35 0,7( 35 ( 35 0,7 ( 50 5. Graphiquement, on voit que l offre la plus avantageuse pour 60 morceaux est l offre B. 6. Graphiquement, on voit que si on dépense 80 avec l offre B, on peut télécharger 90 morceaux.
Exercice 9 (fonctions linéaires et affines) : Julien dispose de quinze jours de vacances. Il contacte l agence de voyages «à la voile» pour préparer une croisière en voilier au départ de Fort-de-France. L agence lui propose deux formules : Formule A : 75 par jour de croisière ; Formule B : un forfait de 450, puis 25 par journée de croisière. 1. Recopier et compléter le tableau suivant : Nombre de jours 5 8 14 ( Prix (en ) avec la 375 formule A Prix (en ) avec la formule B 575 2. Avec 250, combien de jours Julien peut-il partir avec la formule B? Justifiez votre réponse. 3. On note J et K les fonctions définies par : J(()=25(+450 et K(()=75(. Représenter graphiquement les fonctions J et K pour ( compris entre 0 et 15. Les unités choisies sont : 1cm pour 1 jour sur l axe des abscisses ; 1cm pour 50 sur l axe des ordonnées. 4. Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de jours la formule B devient plus avantageuse que la formule A. 5. Julien décide finalement de faire une croisière de 7 jours. a. Déterminer, par lecture graphique, la formule la plus intéressante pour lui et le prix correspondant. b. Par son comité d entreprise, Julien obtient une réduction de 5% sur le prix de cette croisière. Combien vont lui coûter finalement ces vacances? Correction de l exercice 9 : 1. Tableau : Nombre de jours 5 8 14 ( Prix (en ) avec la 375 600 1050 75Q formule A Prix (en ) avec la formule B 575 650 800 25Q+450 2. Avec 250, Julien n a même pas de quoi payer le forfait de 450 de la formule B. Il ne peut donc pas partir avec la formule B avec aussi peut d argent. 3. On constate que J est une fonction affine car de la forme N(+O et K est une fonction linéaire car de la forme N(. On en déduit donc que les représentations graphiques de J et K sont des droites. Il suffit donc d en connaître deux points. ( 0 15 ( 0 15 J(() 450 825 K(() 0 1125 Donc A(0 ; 450) et B(15 ; 825) appartiennent à la représentation graphique de J. Et C(0 ; 0) et D(15 ; 1 125) appartiennent à la représentation graphique de K.
Suite de la correction de l exercice 9 : 4. La formule B devient plus avantageuse à partir de 9 jours de croisière. 5. Pour 7 jours de croisière : a. La formule A est la plus avantageuse pour 7 jours de croisière. Julien devra payer 525. b. 5% de 525, revient à faire : 525=26,25 La réduction de son comité d entreprise est donc de 26,25. Le voyage coûtera donc à Julien : 525 26,25=RST,UV.
Exercice 10 (fonctions linéaires et affines) : Au cours d une embauche pour la cueillette des pêches, un ouvrier agricole, a le choix entre trois formules de salaire : Formule A : un salaire mensuel de 930. Formule B : une somme mensuelle de 310 à laquelle s ajoute 40 par tonne de pêches cueillie. Formule C : un salaire basé uniquement sur la cueillette, 80 par tonne de pêches cueillie. 1. Reproduire et compléter le tableau suivant : Nombre de tonne de pêche cueillie dans un mois 5 11 15 Salaire mensuel en avec la formule A Salaire mensuel en avec la formule B Salaire mensuel en avec la formule C 2. Si l on appelle ( la quantité de pêches récoltée en tonnes, exprimer le salaire correspondant à chaque formule. 3. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les fonctions définies par : J(()=930 ; K(()=310+40( et h(()=80(. On choisira comme unité : 1cm pour une tonne sur l axe des abscisses, 1cm pour 100 sur l axe des ordonnées. 4. Lecture graphique : a. Sachant que pour un mois donné cet ouvrier agricole gagnerait le même salaire avec les formules B et C, lire sur le graphique la quantité de pêches récoltée en tonnes. On laissera apparaître les pointillés aidant à la lecture. Donner une valeur approchée du résultat. b. Répondre par le calcul à la question précédente et donner le résultat exact. 5. Par lecture graphique, préciser la formule la plus avantageuse pour l ouvrier s il espère cueillir 13 tonnes dans le mois (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture). Quel serait alors son salaire? Correction de l exercice 10: 1. Tableau : Nombre de tonne de pêche cueillie dans un mois 5 11 15 Salaire mensuel en avec la formule A 930 930 930 Salaire mensuel en avec la formule B 510 750 910 Salaire mensuel en avec la formule C 400 880 1200 2. On appelle ( la quantité de pêches récoltées en tonnes : a. Formule A : 930 (le salaire ne dépend pas de () b. Formule B : 310+40( c. Formule C : 80( 3. Jet K sont des fonctions affines et h est même une fonction linéaire donc leurs représentations graphiques sont des droites. Grâce au tableau de valeurs de la question 1., on peut tracer ces droites :
Suite de la correction de l exercice 10 : 4. Lecture graphique : a. L ouvrier a récolté environ 7,8 tonnes de pêches. b. On résout l équation : K(()=h(() C est-à-dire : 310+40( =80( Donc en isolant ( dans l un des membres : 310+40( 40( =80( 40( D où : 310=40( Et donc : ( =310 40=7,75 L ouvrier a donc récolté 7,75 tonnes de pêches. 5. Pour 13 tonnes récoltées, l ouvrier doit choisir la formule C avec laquelle il gagnera 1 040. Exercice 11 (statistiques) : Dans un collège, une enquête a été menée sur «le poids des cartables des élèves». Pour cela, on a pesé le cartable de 48 élèves du collège. Les résultats de cette enquête sont inscrits dans le tableau ci-dessous : Poids en kg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Effectifs 1 2 4 2 5 11 8 8 3 4 Effectifs cumulés croissants 1 3 7 9 14 25 33 41 44 48 1. Calculer l étendue de cette série statistique. 2. Déterminer la médiane de cette série statistique. 3. Déterminer les valeurs du premier quartile et du troisième quartile de la série. 4. Une personne affirme : «Plus de trois quarts des 48 élèves viennent en cours avec un cartable qui pèse 5kg ou plus.» A-t-elle raison? Justifier votre réponse.
Correction de l exercice 11: 1. 10 1=9 L étendue est de 9kg. 2. L effectif total de cette série est de 48, c est un nombre pair donc il y a deux valeurs centrales : la 24 ème et la 25 ème car 48 2 =24. Poids en kg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Effectifs 1 2 4 2 5 11 8 8 3 4 Effectifs cumulés croissants 1 3 7 9 14 25 33 41 44 48 La 24 ème valeur et la 25 ème valeur sont des 6 d après les effectifs cumulés croissants. On en déduit donc que la médiane est : M= Y =6. 3. 48 4=12 donc le premier quartile est la 12 ème valeur de la série : Z =5 48 4 3 =36 donc le troisième quartile est la 36 ème valeur de la série : Z =8 4. Comme Z =5, cela signifie qu au moins 75%, c est-à-dire trois quarts des 48 élèves ont un sac qui pèse 5kg ou plus donc cette personne a raison. Exercice 12 (racines carrées et équations produit-nul) : Les questions suivantes sont indépendantes les unes des autres : 1. Soit =3 15 2 35 2 84 Ecrire A sous la forme N O où a et b sont des entiers naturels à déterminer. Le détail des différents calculs effectués devra figurer sur votre copie. 2. Soit =(2( 3)² et $ =(2( 3)( 5(+2) a. Ecrire B+C sous la forme d un produit de deux facteurs du premier degré. b. Résoudre l équation B+C=0 Correction de l exercice 12 : 1. D une part : 3 15 2 35 =3 3 5 2 7 5 =3 3 5 2 7 5 =3 2 5 5 3 7 =6 5 3 7 =30 21 D autre part, 2 84=2 4 21 =2 4 21=2 2 21=4 21 Enfin, 7 =7 =7 =7 21 Donc en remplaçant dans =3 15 2 35 2 84 105 =30 21 4 21 7 21 =19 21 5 2. Calcul littéral : a. +$ =(2(+3) +(2(+3)( 5(+2) =(2(+3)(2(+3)+(2(+3)( 5(+2) =(2(+3)[(2(+3)+( 5(+2)\ =(2(+3)[2(+3 5(+2\ =(2(+3)( 3(+5) b. +$ =0 revient donc à résoudre l équation produit nul : (2(+3)( 3(+5)=0 Or un produit de facteurs est nul revient à ce que l un de ses facteurs soit nul : soit 2(+3 =0 soit 3(+5=0 soit 2( = 3 soit 3( = 5 soit ( = 1,5 soit ( = Cette équation a donc deux solutions -1,5 et.