PHRE Collection Mathématiques e Laurent Ploy Professeur au Collège Vincent uriol à Revel () Roger Brault Professeur au Lycée Maréchal Soult à Mazamet (8) Ludovic Requis Professeur au Lycée de Touscayrats (8) Cahier d activités Nom : Prénom : Classe :
Maquette de couverture : N. Piroux Maquette intérieure : F. Jély Mise en page : CMB Graphic Dessins techniques : G. Poing Suivi éditorial : J. Cottereau Crédit photographique couverture : Phare de Peggy s Point, Canada Jean Guichard Hachette Livre 0,, quai de Grenelle, 790 Paris Cedex. SBN : 978--0-00- Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n autorisant, aux termes des articles L. - et L. -, d une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective», et, d autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d exemple et d illustration, «toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l éditeur ou du Centre français de l exploitation du droit de copie (0, rue des Grands-ugustins 7006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles et suivants du Code pénal.
SMMRE Nombres et calculs Calcul numérique Calcul littéral 8 rithmétique Racine carrée 7 dentités remarquables et applications 0 6 Systèmes d équations néquations rganisation et gestion de données 7 Notion de fonction 0 8 Proportionnalité et fonctions linéaires 9 Fonctions affines 9 0 Probabilités Statistiques 9 Géométrie Théorème de Thalès et sa réciproque Trigonométrie dans le triangle rectangle 8 Géométrie dans l espace 6 ngles inscrits Polygones réguliers 69 Grandeurs et mesures 6 ires et volumes 7 7 Grandeurs et mesures 77
C H P T R E Calcul numérique SC Effectuer des opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire. SC Utiliser les règles de calcul sur les puissances. JE REVS LE CURS... ÉCRTURES FRCTNNRES Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs avec b et d non nuls. a b + c b = a + c ; a b c d = ac ; Et si c 0, on a : a b : c d = a b bd c b d. SC Calculer, puis simplifier si possible les fractions suivantes : = 9 8 + 8 = B = 7 = C = = D = + 6 7 = 6 8 = 7 = 7 = 9 9 6 = 7 6 + 6 6 = 6 = SC Calculer, puis simplifier si possible les expressions suivantes : = 7 9 = 7 9 = 77 6 B = = 7 = 6 7 ( ) C = ( ) 6 = 7 = 7 SC Calculer, puis simplifier si possible le résultat des expressions suivantes : = 6 7 : 9 = 6 7 9 = 7 = 0 B = : ( 6) = 8 8 6 = 8 = 6 C = : 8 = 8 7 C = 7 = 9 0 D = 8 : 7 8 = 9 8 D = 9 8 8 7 = 6 CHPTRE CLCUL NUMÉRQUE SC Calculer, puis simplifier si possible le résultat des expressions suivantes : = + 7 = + 6 = 9 6 + 6 = 6 = B = 7 7 : = 7 7 = 7 7 B = 7 = = C = ( + ) : ( 7) = C = ( 6 : ) ( = 7) 6 7 = 6 SC Calculer les expressions suivantes et donner chaque résultat sous forme d une fraction la plus simple possible. 0 8 = + 9 = 6 6 B = 9 : = B = C = : ( ) = : ( 6 9 6) C = : ( 6 ) = ( 6 ) C = ( 0 = = 6 6 = 6 7 = 8 8 6 6 = 7 6 + = = + 6 ) : ( 7 7 7) 6 9 = 9
JE REVS LE CURS... CLCULER VEC DES PUSSNCES a désigne un nombre relatif et n un nombre entier positif non nul. n a : a n = a a... a et a n = a n = a a... a r ew n e q facteurs r ee n w ee facteurs a et b désignent deux nombres non nuls, n et p désignent deux nombres entiers relatifs. a n a p n + p = a a n a = a n p (a n ) p n p = a a n b n n = (a a b) n p q b n = ( a b) n 6 SC Calculer chaque expression sans calculatrice. a) ( ) 6 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = b) = = 8 c) = = d) = = = 9 e) ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 f) ( 7) 0 = g) = = 0, h) 7 = 7 7 = 9 9 SC Pour chaque expression, déterminer une écriture sans parenthèses. a) (a) = a = 9a b) (0b) = 0 b = 000b c) ( x x = x 6 ) = d) ( y 7 ) = e) ( a) = f) ( x 7y ) 0 = ( ) y 7 = y 9 ( a ) = 9a 7 SC Écrire chaque nombre sous la forme a n. a) 7 7 + = 7 = 7 b) ( 6 ) = 6 = 8 c) 7 = 7 = d) 7 = + 7 = e) (6 ) = 6 ( ) = 6 f) 0 0 = 0 = 0 7 g) = = 7 h) = ( ) = 8 SC Écrire chaque produit sous la forme a n. a) = ( ) = 6 b) 0 7 7 = (0 ) 7 = 0 7 c) 9 9 = ( ) 9 = 9 d) 0 00 = (0 00) = 000 e) (7 ) = 7 = 7 6 f) 0 0 = 0 ( 7) = 0 7 g) ( ) = = h) ( ) = = 8 = 8 0 SC Compléter les égalités suivantes : a) = b) 0 7 0 = 0 c) 7 7 8 = 7 d) 6 6 = 6 e) (0 ) = 0 6 f) = 8 SC Écrire chaque expression sous la forme a n. a) 76 7 = 7 6 + = 7 7 b) 7 ( ) = 7 = 7 = 8 c) 9 ( ) = 9 = 9 = d) 8 = 8 + ( ) + = 0 e) 0 9 0 0 = 9 + (0 ) 0 0 = 0 6 0 0 = 0 6 + 0 = 0 f) 7 = 7 = 8 g) ( ) = h) (0 ) 0 = + 0 = + 0 = 0 0 = 0 = 0 CHPTRE CLCUL NUMÉRQUE
JE REVS LE CURS... L ÉCRTURE SCENTFQUE D UN NMBRE L écriture scientifique d un nombre décimal positif est l unique forme a 0 n dans laquelle le nombre a est un nombre décimal ayant un seul chiffre avant la virgule, ce chiffre étant non nul, et n est un nombre entier relatif. Donner l écriture décimale des produits suivants : a) 7, 0 = 7 b), 0 = 0,000 c) 9, 0 = 900 d) 8, 0 = 0,08 e) 7 0 7 = 70000 000 f) 0 6 = 0,000 Donner l écriture scientifique des nombres suivants : a) 0,0000 = 0 b) 90000000 = 9 0 7 c) 07 00 =,07 0 d) 0,07 =,7 0 e) 90000 =,9 0 8 f) 0,00008 = 8, 0 Donner l écriture scientifique des produits suivants : a) 0 =, 0 0 =, 0 b) 0,07 0 = 7, 0 0 = 7, 0 c) 9 0 7 = 9, 0 0 7 = 9, 0 8 d) 0,0009 0 8 = 9 0 0 8 = 9 0 ) Calculer les expressions suivantes : = 0 7 0 9 = 7 0 0 9 = 0 9 = 0 B =, 0 8 0, 0 B =, 0, 0 8 0 B = 0,96 0 8 + B = 0,96 0 C = 0 7 0 C = 0 7 0 C = 60 0 7 C = 60 0 9 ) Donner les résultats en écriture scientifique. =, 0 0 =, 0 B = 9,6 0 0 = 9,6 0 C =,6 0 0 9 =,6 0 7 6 ) Calculer les expressions suivantes : = 8 0 (0 ) 6 0 8 8 = 0 (0 ) 6 0 8 = 0 0 0 8 = 0 + 8 = 0 B = 07 0 (0 ) 8 7 B = 7 B = 0 0 0 8 B = 0 0 8 = 0 0 ) Donner les résultats en écriture scientifique. = 0 et B = 0 0 = 0 7 ) Calculer les expressions suivantes : B = B = 07 0 0 8 7 0 = 8 0 6 (0 ) 7 = 0 8 0 6 (0 ) 0 = 0, 8 0 6 0 = 0, 0 8 6 + = 0, 0 7 B = 0 7 (0 ) 0 6 (0 6 ) 9 7 B = 0 7 (0 ) 7 0 6 (0 6 ) B =, 0 7 0 0 6 0 6, 0 0, 0 9 ) Donner les résultats en écriture scientifique. =, 0 0 7 =, 0 6 B =, 0 0 9 =, 0 8 6 CHPTRE CLCUL NUMÉRQUE
Questions à Choix Multiples Pour chacune des questions suivantes, entourer la (ou les) bonne(s) réponse(s). ttention : l peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé! Les trouver toutes. Énoncé B C D 8 7 + = 7 9 9 = 7, 6 70 6 0 6 : 9 = 0 8 6 9 6 9 : 7 = 7 6 9 est égal à 6 6 8 7 7 est égal à 7 7 9 0 0 est égal à 08 0 6 0 8 0 ( 9x) est égal à 8x 9x 8x 8x 6 7,8 0 est égal à 78 00 000 78 000 0,000 078 0,000 007 8 7 L écriture scientifique de 0 6 0 est 0 0 0 0 0 0, 0 CHPTRE CLCUL NUMÉRQUE 7
C H P T R E Calcul littéral SC Calculer la valeur d une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. SC Transformer une expression littérale du premier degré à une variable. JE REVS LE CURS... DÉVELPPER, FCTRSER ET RÉDURE UNE EXPRESSN Si a, b et k désignent des nombres relatifs, on a : k(a + b) = ka + kb. Si a, b, c et d désignent des nombres relatifs, on a : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. SC Développer, puis réduire ces expressions : a) 6(a ) ( + a) = 6a a = a b) (b 8)( + b) = b + b 8 8b = b b 8 c) ( x)( x) = 0 x x + x = x 7x 0 Développer, puis réduire ces expressions : = (a )(a + ) a( + a) = 6a + a 8a 0 a a = 6a + a 0 B = (b 7) (b )( b) B = 6b (b b + b) B = 6b b + b + b B = b 0b 8 SC n donne les expressions et B suivantes : = (x + )(x ) et B = x(x + ) ( 9 x) ) Calculer et B pour x = = ( ( ) + )( ( ) ) = ( ) = B = ( ) ( ( ) + ) ( 9 ( )) = 8 ( ) ( ) = 6 + 6 = ) Développer, puis réduire les expressions et B. = (x + )(x ) = x x + 0x = x + 7x B = x(x + ) ( 9 x) = x + 6x + 8 + 6x = x + x + 8 ) Les expressions et B sont-elles égales? Non, les expressions et B ne sont pas égales. SC Factoriser chacune de ces expressions : a) a + = a + = (a + ) b) b 9 = 7 b 7 7 = 7(b 7) c) x + x = x + x x = x( + x) d) y 8y = y y y = y(y ) Factoriser chacune des expressions suivantes : = ( x) (x + ) + x (x + ) = (x + )[( x ) + x ] = (x + )( x + x ) = (x + )( + x ) B = (x + )(x + ) (x + )(x 7) B = (x + )[(x + ) (x 7)] B = (x + )(x + x + 7) B = (x + )(x + ) C = (x + )( x) (x + ) C = (x + )( x) (x + ) C = (x + )[( x) ] = (x + )( x) D = (7x )( x) ( x)(x + ) D = ( x)[(7x ) (x + )] D = ( x)(7x x ) D = ( x)(6x 9) E = ( x) (x )( x) E = ( x)[( x) (x )] E = ( x)( x x + ) E = ( x)(6 6x) 8 CHPTRE CLCUL LTTÉRL
JE REVS LE CURS... RÉSUDRE UNE ÉQUTN Résoudre une équation d inconnue x, c est trouver toutes les valeurs possibles du nombre x qui vérifient l égalité. Chacune de ces valeurs est une solution de l équation. 6 Résoudre les équations suivantes : ) x 7 = x 7 + 7 = + 7 x =, donc x = Vérification : 7 = 7 = L équation admet une solution :. ) (x ) = 6 8x = 6 8x = 6 + 8x = 8 x =, Vérification : (, ) =, = 6 L équation admet une solution :,. ) x = 0 x = 0 x = 6 6 Vérification : = 0 = 0 L équation admet une solution : 6. 7 Résoudre les équations suivantes : ) x + = x x + x = 7x = 7, donc x = Vérification : er membre : ( ) + = + = 9 e membre : ( ) = + = 9 L équation admet une solution :. ) 7(x ) (x + ) = 0 x 7 x = 0 6x = 0 6x = x = Vérification : 7( ) ( + ) = 7 7 = 0 L équation admet une solution :. 8 Un groupe de 60 personnes, composé d élèves de e et de professeurs, veut visiter un musée ; les places «élèves» sont à et les places «professeurs» sont à 8. Le groupe paie 8. Combien y a-t-il d élèves dans ce groupe? Choix de l inconnue : n note x le nombre d élèves du groupe. Le nombre de professeurs est alors 60 x. Mise en équation : x + 8(60 x) = 8 Résolution : x + 80 8x = 8 x + 80 = 8, donc 80 8 = x 6 = x, donc = x Vérification : + 8(60 ) = 70 + 8 = 8 Conclusion : l y a élèves dans ce groupe. 9 Dans une classe de e, des élèves ont choisi l anglais comme LV, ont choisi l espagnol, et les derniers élèves ont choisi l allemand. Combien y a-t-il d élèves dans cette classe? Choix de l inconnue : n note x le nombre d élèves dans cette classe. Mise en équation : x + x + = x Résolution : = x x x = x 8 x x = x = x Vérification : + + = 6 + 6 + = Conclusion : l y a élèves dans cette classe. CHPTRE CLCUL LTTÉRL 9
JE REVS LE CURS... ÉQUTN PRDUT NUL Si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. utrement dit : si a b = 0, alors a = 0 ou b = 0. 0 Résoudre les équations suivantes : ) (x 6)(x + 8) = 0 Si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. Donc : x 6 = 0 ou x + 8 = 0 x = 6 x = ou ou x = 8 x = Vérification : 6 = 0 Le premier facteur est nul. ( ) + 8 = 0 Le deuxième facteur est nul. Cette équation a deux solutions : et. ) ( x)(x + ) = 0 Si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. Donc : x = 0 ou x + = 0 = x ou x =, = x ou x =, Vérification :, = 0 Le premier facteur est nul. (,) + = 0 Le deuxième facteur est nul. Cette équation a deux solutions :, et,. ) (x 7)(x ) = 0 Si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. Donc : x 7 = 0 ou x = 0 x = 7 ou x = x = 7 ou x = Vérification : 7 7 = 0 Le premier facteur est nul. = 0 Le deuxième facteur est nul. Cette équation a deux solutions : 7 et. n note = (x + ) + (x + )(x ). ) Factoriser. = (x + )[(x + ) +(x )] = (x + )(x + + x ) = (x + )(6x + ) ) Résoudre l équation = 0. (x + ) + (x + )(x ) = 0 (x + )(6x + ) = 0 Si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. Donc : x + = 0 ou 6x + = 0 x = ou 6x = x = ou x = 0, Vérification : ( ) + = 0 Le premier facteur est nul. 6 ( 0,) + = 0 Le deuxième facteur est nul. L équation = 0 a deux solutions : et 0,. n note B = (x )(x + ) (x + )(x ). ) Factoriser B. B = (x )[(x + ) (x + )] B = (x )(x + x ) B = (x )( x ) ) Résoudre l équation. (x )(x + ) (x + )(x ) = 0 (x )( x ) = 0 Si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. Donc : x = 0 ou x = 0 x = ou = x x = ou x = Vérification : ( ) = 0 Le premier facteur est nul. ( ) = 0 Le deuxième facteur est nul. L équation B = 0 a deux solutions : et. 0 CHPTRE CLCUL LTTÉRL
UTLSER LE CLCUL LTTÉRL n considère les expressions suivantes : E = x + x + et F = (x + )(x + ) (x + )(x + ) ) Développer, puis réduire F. F = F = F = x + x + 9x + 6 (x + x + 6x + ) x + x + 9x + 6 x x 6x x + x + ) Factoriser F. F = (x + )(x + ) (x + )(x + ) F = (x + )[(x + ) (x + )] F = (x + )(x + x ) = (x + )(x + ) ) En déduire une factorisation de E. Comme E = F, alors E = (x + )(x + ). ) Résoudre l équation : x + x + = 0. (x + )(x + ) = 0 Si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. Donc : x + = 0 ou x + = 0 x = ou x = Vérification : ( ) + ( ) + = 9 + = 0 ( ) + ( ) + = + = 0 Cette équation a deux solutions : et. ) Factoriser = (x )(x + ) (x ). = (x )(x + ) (x ) = (x )[(x + ) ] = (x )(x + ) ) Résoudre l équation : (x )(x + ) (x ) = 0. (x )(x + ) = 0 Si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. Donc : x = 0 ou x + = 0 x = ou x = x = ou x = Vérification : ( ) = 0 ( + = 0 ) Cett équation a deux solutions : et. n considère l expression = (x ) (x ). ) Développer, puis réduire. = = = 9x x + 0 ) Factoriser. = (x )(x ) (x ) 9x x x + x + (x )[(x ) ] = (x )(x 6) ) Choisir la meilleure expression pour calculer. lorsque : a) x = 0 = 9 0 0 + 0 = 0 b) x = = ( )( 6) = 0 = 0 6 Dans une classe de troisième, il y a eu fois plus d élèves qui ont eu la moyenne au premier contrôle de mathématiques, que d élèves qui ne l ont pas eue. u contrôle suivant, il y a eu élèves de plus qui n ont pas eu la moyenne, et maintenant ils sont aussi nombreux que ceux qui l ont eue. Combien y a- t-il d élèves dans cette classe? Choix de l inconnue : n note x le nombre d élèves dans cette classe. Mise en équation : u premier contrôle, des élèves ont eu la moyenne, soit : x. u deuxième contrôle, les élèves ayant eu la moyenne sont au nombre de : x. ls représentent alors la moitié de la classe. Donc : x = x. Résolution : x x = x 6 x 6 = x =, donc x = 0 6 Vérification : er membre : 0 = 0 = e membre : 0 = Conclusion : l y a 0 élèves dans cette classe. CHPTRE CLCUL LTTÉRL
Questions à Choix Multiples Pour chacune des questions suivantes, entourer la (ou les) bonne(s) réponse(s). ttention : l peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé! Les trouver toutes. Énoncé B C D 7 x ( x) est égal à x x 7x 9x x 0x x 0x 8 a (a b + ) est égal à a b + a b a + b a + b + 9 (x + )( + x) est égal à x + 6x x + 0x + x x + 0 x x est égal à x( x) (8x x ) x(8 x) x( x ) La forme développée de (x )( x) (x )(x + ) est (x )( x) (x )(8 x) 8x + 8x 8x + 8x 8 La forme factorisée de (x + )(x ) (x ) est (x )( x ) (x )( x + 8) x + 7x + 0 x + 7x 0 L équation x + 8 = x a pour solution(s) L équation (x + ) = 8 a pour solution(s) L équation (x )( + x) = 0 admet comme solution(s) 6 L équation (x )(x ) = (x ) admet comme solution(s) 0, 0,7 CHPTRE CLCUL LTTÉRL
C H P T R E rithmétique SC Déterminer les diviseurs communs à deux entiers. JE REVS LE CURS... DVSBLTÉ a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b 0. n dit que b est un diviseur de a lorsqu il existe un nombre entier positif n tel que : a = n b. Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs ( et lui-même ) est un nombre premier. Effectuer les divisions euclidiennes suivantes : a) par 7 b) par c) 8 par 9 a) 7 7 Donc = 7 7 + b) 7 Donc c) Donc = + 7 8 9 0 8 = 9 + Compléter le tableau suivant avec U ou NN. est divisible par par par par par par 9 0 78 7 86 non oui oui non oui non oui non oui oui non oui non non oui non oui non oui non non oui non non oui SC Compléter les égalités suivantes : a) 6 = 6 b) = 6 = 8 = 6 = = 6 = 7 8 = 6 7 Les diviseurs de sont :,,, 6, 7,, et. Les diviseurs de 6 sont :,,, 7, 8,, 8 et 6. Les diviseurs communs à 6 et sont :,, 7 et. ) Donner la liste des diviseurs de chacun des nombres suivants : a) 8 b) 6 c) 7 d) 9 e) a) Les diviseurs de 8 sont,,,, 6, 8,, 8, et 8. b) Les diviseurs de 6 sont,, 7, 9, et 6. c) 7 Les diviseurs de 7 sont,,,, et 7. d) Les diviseurs de 9 sont et 9. e) Les diviseurs de sont,, 7 et. ) Parmi ces nombres, lequel est un nombre premier? 9 est un nombre premier. Pour chacun des nombre suivants, justifier s il est premier ou pas. a) 77 b) c) 9 d) 9 a) 77 n est pas premier, il est divisible par. b) est premier. c) 9 est premier. d) 9 n est pas premier, il est divisible par 7. CHPTRE RTHMÉTQUE
JE REVS LE CURS... NTN DE PGCD a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs. Le PGCD de a et b est le plus grand des diviseurs communs des nombres a et b. n dit que deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à. 6 SC Compléter. ) Les diviseurs de sont,,,, 6, 8, et. Les diviseurs de 6 sont,,,, 6, 9,, 8 et 6. Les diviseurs communs à et 6 sont,,,, 6 et. Donc PGCD (; 6) =. ) Les diviseurs de 80 sont,,,, 8, 0, 6, 0, 0 et 80. Les diviseurs de 0 sont,,, 7,,, et 0. Les diviseurs communs à 80 et 0 sont et. Donc PGCD (80; 0) =. 7 SC En s inspirant de l exercice précédent, déterminer le calcul des PGCD suivants : ) PGCD (; 9). Les diviseurs de sont,,, 6, 9, 8, 7 et. Les diviseurs de 9 sont, 7 et 9. Le seul diviseur commun à et 9 est. Donc PGCD (; 9) =. ) PGCD (9 ; 6). Les diviseurs de 9 sont, 7, et 9. Les diviseurs de 6 sont,, et 6. Les diviseurs communs à 9 et 6 sont et. Donc PGCD (9; 6) =. 8 Compléter le calcul du PGCD de 078 et par l algorithme d Euclide. Dividende Diviseur Reste 078 98 98 98 0 Donc PGCD( 078 ; ) = PGCD (; ) = PGCD ( ; 98 ) = PGCD ( 98 ; ) = 9 Déterminer le PGCD de 9 et de 999. Dividende Diviseur Reste 999 9 07 9 07 8 07 8 7 8 7 0 Donc PGCD (999; 9) = PGCD (9; 07) = PGCD (07; 8) = PGCD (8; 7) = 7 0 ) Les nombres et 7 sont-ils premiers entre eux? Justifier la réponse. Les diviseurs de sont,,, 8, 6 et. Les diviseurs de 7 sont,, 9 et 7. Le diviseur commun à et 7 est. Donc PGCD (; 7) =. Les nombres et 7 sont premiers entre eux. ) Justifier, sans calcul, que 96 et 7 60 ne sont pas premiers entre eux. Les nombres 96 et 7 60 sont tous les deux divisibles par. n en déduit que 96 et 7 60 ne sont pas premiers entre eux. ) Les nombres et sont-ils premiers entre eux? Justifier la réponse. = + et = Donc PGCD (; ) = PGCD (; ). Les nombres et sont premiers entre eux. ) Les nombres et 7 sont-ils premiers entre eux? Justifier la réponse. Les nombres et 7 sont tous les deux divisibles par. n en déduit que et 7 ne sont pas premiers entre eux. CHPTRE RTHMÉTQUE
JE REVS LE CURS... FRCTNS RRÉDUCTBLES Si le numérateur et le dénominateur d une fraction sont premiers entre eux, alors cette fraction est irréductible. Si l on divise le numérateur et le dénominateur d une fraction par leur PGCD, alors la fraction obtenue est irréductible. Rendre irréductibles les fractions suivantes : a) 6 = 9 = 9 b) 8 7 = = 77 c) = 7 = 7 9 d) = = e) 78 = 7 = 7 f) 7 = 9 7 = 9 7 ) Déterminer le PGCD de 6 et de. Dividende Diviseur Reste 6 0 Donc PGCD (6; ) = PGCD ( ; ) = ) Rendre irréductible la fraction 6. 6 = 8 7 = 8 7 ) Déterminer le PGCD de 680 et de 9. Dividende Diviseur Reste 9 680 680 70 70 8 70 8 0 Donc PGCD (9; 680) = PGCD (680; ) = PGCD (; 70) = PGCD (70; 8) = 8 ) Rendre irréductible la fraction 680 9. 680 9 = 8 8 8 = 8 Un collectionneur de timbres décide de se séparer d une partie de sa collection, soit 8 timbres français et timbres étrangers. Pour cela, il souhaite faire des lots de la manière suivante : tous les lots sont identiques ; le stock de timbres doit être entièrement réparti. Déterminer le nombre maximum de lots que peut constituer le collectionneur, ainsi que le nombre de timbres français et de timbres étrangers dans chaque lot. Choix de l inconnue : n note x le nombre maximum de lots que peut constituer le collectionneur. Mise en équation : Le nombre x est un nombre entier positif. l doit être un diviseur commun à 8 et à. De plus, x doit être le plus grand possible. Donc x = PGCD (8; ). Résolution : Dividende Diviseur Reste 8 9 9 00 9 00 00 67 67 0 Donc PGCD (8; ) = PGCD (; 9) = PGCD (9; 00) = PGCD (00; ) = PGCD (; 67) = 67 Conclusion : Le collectionneur peut constituer 67 lots. De plus, 8 : 67 = 9 et : 67 =. Donc chaque lot est constitué de 9 timbres français et timbres étrangers. CHPTRE RTHMÉTQUE
Questions à Choix Multiples Pour chacune des questions suivantes, entourer la (ou les) bonne(s) réponse(s). ttention : l peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé! Les trouver toutes. Énoncé B C D 6 est un multiple de diviseur de multiple de 6 diviseur de 6 7 7 est divisible par 6 8 Les diviseurs de sont 6 et 7, 6, 7 et,,, 6, 7,, et,,,, 6, 7,, et 9 Les nombres 6 et 0 ont exactement un diviseur commun deux diviseurs communs trois diviseurs communs quatre diviseurs communs 0 Les nombres et n ont pas de diviseur commun ont un seul diviseur commun sont des nombres premiers sont premiers entre eux Les nombres et 76 n ont pas de diviseur commun ont un seul diviseur commun sont des nombres premiers sont premiers entre eux Le PGCD de 68 et de 8 est 7 Le PGCD de 68 et de 00 est 8 8 Pour rendre irréductible la fraction 6 9, on simplifie par 6 Un collège désire répartir 79 filles et 7 garçons en équipes mixtes. Le nombre de filles et le nombre de garçons doivent être les mêmes dans chaque équipe. Et le nombre d équipes doit être maximal. lors l y a filles par équipe. l y a 7 garçons dans chaque équipe. l y a 6 joueurs par équipe. le PGCD de 6 et de 9 l y a équipes. 6 CHPTRE RTHMÉTQUE
C H P T R E Racine carrée SC Déterminer à la calculatrice la racine carrée d un nombre positif. JE REVS LE CURS... DÉFNTN ET PRPRÉTÉ a désigne un nombre positif. La racine carrée du nombre a est le nombre positif dont le carré est a. La racine carrée de a se note a. n a : a 0 ( a ) = a et a = a Déterminer mentalement la racine carrée des Calculer : nombres suivants : a) ( ) = ( ) = 9 = a) 9 = b) 9 = 7 c) 00 = 0 d) 0,0 = 0, e) 0,0 = 0, f) 0 = 0 g) = h) 8 6 = 9 b) (0 ) = 0 ( ) = 00 = 00 c) ( 7) = ( 7 ) = 7 = 8 d) (6 ) = 6 ( ) = 6 = 7 e) ( ) = ( ) = = 0 f) ( 6 ) = ( ) ( 6 ) = 6 6 = 96 Calculer mentalement la racine carrée des nombres suivants : a) 9 = b) 6 9 = 6 c) 7 = 7 d) ( 6) = 6 e) (, ) = f) ( 7), = 7 Calculer mentalement la racine carrée des nombres suivants : a) ( 7) = 7 b) ( ) = c) ( ) = d) ( ) = e) ( ) = f) ( 0, ) = 0, SC Déterminer, à l aide de la calculatrice, l arrondi au centième de chaque nombre. a), b) 0 6, c) 7, d) 0,8 0,89 e) 0,87 f), g) h),, 6 Réduire chaque expression : a) 7 + 7 = ( + ) 7 = 7 b) 8 + = (8 + ) = 9 c) = ( ) = d) + 7 = ( + 7) = e) 6 + 7 6 6 = ( + 7 ) 6 = 0 f) 9 + = 7 Développer et réduire chaque expression : a) = ( )( + ) = ( ) + ( ) = ( ) ( ) = = b) = ( + 7 )( 7 ) = ( ) + 7 7 ( 7) = ( ) ( 7) = 7 = 0 ( 9 0 + ) = CHPTRE RCNE CRRÉE 7
JE REVS LE CURS... REGLES DE CLCUL a et b désignent deux nombres positifs. n a : a b = et pour b 0 a a b b = a b 8 Calculer les produits suivants : a) = = 6 = 6 b) 6, 0 = 6, 0 = 6 = 8 c) 0 0 = 0 0 = 0 = 0 d) 7 = = = = e) 6 7 = 9 7 7 = 9 7 = 7 = f) 6 = 6 9 Calculer les quotients suivants : a) = = 6 = b) = = 9 = c) 7 = d) 0 8 = e) 0 7 = f) 0 = = 7 7 = 7 = 7 = 7 = 9 = 7 9 = 9 = 9 7 7 = = = 6 = 6 0 Écrire les nombres suivants sous la forme a avec a entier naturel. a) 7 = 9 = 9 = b) 8 = 6 = 6 = c) 7 = = = d) 00 = 00 = 00 = 0 e) 08 = 6 = 6 = 6 f) = 8 = 8 = 9 Écrire les nombres suivants sous la forme a b avec a et b deux nombres entiers naturels et b le plus petit possible. a) 0 = = = b) = 6 = 6 = 6 c) 7 = 6 = 6 = 6 d) = 9 = 9 = e) 80 = 6 = 6 = Réduire chaque expression en l écrivant sous la forme a avec a entier naturel. a) = 8 + 00 = + 00 = + 00 = + 0 = 6 + 0 = b) B = 0 8 + 98 B = 9 + 9 B = 9 + 9 B = + 7 B = + 7 B = Réduire chacune des expressions suivantes : a) C = 7 + 8 6 C = 7 + 7 9 7 C = 7 + 7 9 7 C = 7 + 7 7 C = 7 + 7 7 C = 6 7 b) D = 6 + 600 7 D = 6 + 00 6 7 9 6 D = 6 + 00 6 7 9 6 D = 6 + 0 6 7 6 D = 6 + 0 6 6 = 0 8 CHPTRE RCNE CRRÉE
Questions à Choix Multiples Pour chacune des questions suivantes, entourer la (ou les) bonne(s) réponse(s). ttention : l peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé! Les trouver toutes. Énoncé B C D La racine carrée de est 6 6 ( 9) est égal à 9 9 8 8 6 Le carré de 7 est égal à 9, 7 7 Le carré de est égal à 0 00 0 8 7 est égal à 8 7 9 6 8 est égal à, 9 0 Le nombre est égal à + 7 6 6 Le nombre 0 est égal à 0 + 0 6 6 6 8 + 8 est égal à 0 6 7 est égal à 7, CHPTRE RCNE CRRÉE 9 9
C H P T R E dentités remarquables et applications SC Utilisation des identités remarquables pour calculer une expression numérique. SC Utilisation des identités remarquables pour transformer une expression littérale. JE REVS LE CURS... DÉVELPPER À L DE DES DENTTÉS REMRQUBLES (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b)(a b) = a b SC Développer les expressions suivantes : = (x + ) = x + x + = x + x + B = ( + x) B = + x + x = + 0x + x C = (x + ) C = (x) + x + = x + x + D = ( + x) D = + x + (x) = 9 + x + 6x Calculer astucieusement : a) = (0 + ) = 0 + 0 + = 00 + 80 + 6 = 96 b) 99 = (00 ) 99 = 00 00 + 99 = 0000 00 + = 980 c) 8 = (0 )(0 + ) 8 = 0 8 = 00 = 96 SC Développer les expressions suivantes : = ( a) = a + a = 9 6a + a B = (a ) B = (a) a + = 6a 0x + C = (6 7a) C = 6 6 7a + (7a) = 6 8a + 9a D = (8a 9) D = (8a) 8a 9 + 9 = 6a a + 8 SC Développer les expressions suivantes : = ( b)( + b) = b = 9 b B = (b )(b + ) = (b) = b C = (b + 7)(b 7) = (b) 7 = b 9 D = (b + 8)(b 8) D = (b) 8 = b 6 Développer et réduire chaque expression : = (x + ) + (x ) = (x) + x + + x 6 = 6x + x + 9 + x 6 = 6x + 9x + B = (x 7) ( x) B = 8x ( x + x ) B = 8x + x x B = x + 0x C = (x + ) + ( x) C = (x) + x + + x + x C = 9x + x + + 6 8x + x C = 0x + x + 0 D = (x + 7)(x 7) (x + 8) D = (x) 7 (x + x 8 + 8 ) D = 6x 9 x 6x 6 D = x 6x 0 CHPTRE DENTTÉS REMRQUBLES ET PPLCTNS
JE REVS LE CURS... FCTRSER À L DE DES DENTTÉS REMRQUBLES a + ab + b = (a + b) a ab + b = (a b) a b = (a + b)(a b) 6 Compléter les expressions suivantes : 9 Factoriser les expressions suivantes : a) x + x + = x + x + a) (x ) (x + ) = ( x + ) = [(x ) ( x + )][(x ) + ( x + )] b) 9 6x + x = x + x = ( x x )( x + x + ) = ( x ) = ( x )( x ) c) x = ( x ) = ( x)( + x) b) (x + ) (x + ) d) 6x + 8x + = ( ) x + x + = [( x + ) ( x + )][( x + ) + ( x + )] = (x + ) = [x + x ][x + + x + ] = (x )(x + 7) c) (x 7) 7 (x 9) Factoriser les expressions suivantes : = [(x 7) (x 9)][(x 7) + (x 9)] a) x 0x + = x x + = (x ) = [x 7 x + 9][x 7 + x 9] b) 9 x = 7 (x) = (7 x)(7 + x) = (x + )(9x 6) c) 6 + 8x + 6x = 6 + 6 x + (x) = (6 + x) d) 6x 8 = (8x) 9 = (8x 9)(8x + 9) 0 n donne l expression ci-dessous : e) 00x + 60x + 9 = (0x) + 0x + = (0x + ) = x + x + (x + )( x) ) Factoriser x + x +. x + x + = (x) + x + = (x + ) 8 Factoriser les expressions suivantes : ) En déduire une expression factorisée de. a) (x ) = (x ) = (x + ) (x + )( x) = [(x ) ][(x ) + ] = (x + )[(x + ) ( x)] = ( x )( x + ) = (x + )[x + + x] = ( x 6 )( x + ) = (x + )(x ) b) (x + ) 6x = (x + ) (x) = [(x + ) x][(x + ) + x] n considère les expressions suivantes : = [x + x][ x + + x] = x 0x 7 et B = (x ) 6 = (x + )(9x + ) ) Développer et réduire l expression B. c) 9x ( x) = (x) ( x) = [x ( x)][x + ( x)] B = x 0x + 9 6 = x 0x 7 ) Factoriser l expression B. = (x + x)(x + x) B = (x ) = (x )(x + ) B = [(x ) ][(x ) + ] d) (x + ) = (x + ) B = (x 7)(x + ) = [ (x + )][ + (x + )] ) En déduire une factorisation de l expression. = ( x )( + x + ) D après la question ), on a = B. = ( x )(7 + x) Donc = (x 7)(x + ) CHPTRE DENTTÉS REMRQUBLES ET PPLCTNS
UTLSER LES DENTTÉS REMRQUBLES PUR RÉSUDRE UNE ÉQUTN Soit = (x ) (x + )(x ). ) Factoriser l expression. = (x )[(x ) (x + )] = (x )(x x ) = (x )( x 7) ) Résoudre l équation (x )( x 7) = 0. Si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. Donc : x = 0 ou x 7 = 0 x = ou 7 = x x = ou 7 = x Vérification : ( ) = = 0 Soit B = (x + 7) 9x. ) Factoriser l expression B. B = [(x + 7) x] [(x + 7) + x] B = (x + 7)(7x + 7) ) Résoudre l équation (x + 7)(7x + 7) = 0. Si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. Donc : x + 7 = 0 ou 7x + 7 = 0 x = 7 ou x = Vérification : ( 7) + 7 = 0 7 ( ) + 7 = 7 + 7 = 0 Cette équation a deux solutions : 7 et. ( 7 7 = 7 7 = 0 ) Cette équation a deux solutions : et 7. Soit C = ( + x) (x ). ) Développer et réduire l expression C. C = 6 + x + 9x (x x + ) C = 6 + x + 9x x + x C = x + 8x + ) Factoriser l expression C. C = [( + x) + (x )][( + x) (x )] C = [ + x + x ][ + x x + ] C = (x + )(x + ) ) Résoudre l équation (x + )(x + ) = 0. r, si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. Donc : x + = 0 ou x + = 0 x = ou x = x = ou x = Vérification : ( + = + = 0 ) ( ) + = 0 Cett équation a deux solutions : et. ) n pose H = (x ) x(x 0). a) Développer et réduire l expression H. H = x 8x + 6 x + 0x = x + 6 b) Résoudre l équation H = 6. x + 6 = 6, soit x = 0, donc x = 0 Vérification : 0 + 6 = 6 ) n pose = (7x ). a) Factoriser l expression. = [(7x ) ][(7x ) + ] = (7x 8) (7x + ) b) Résoudre l équation = 0. (7x 8)(7x + ) = 0 Si un produit est nul, alors l un, au moins, de ses facteurs est nul. Donc : 7x 8 = 0 ou 7x + = 0 7x = 8 ou 7x = x = 8 ou x = 7 7 Vérification : 7 ( 8 7) 8 = 8 8 = 0 7 ( + = + = 0 7) Cette équation a deux solutions : 8 7 et 7. CHPTRE DENTTÉS REMRQUBLES ET PPLCTNS
Questions à Choix Multiples Pour chacune des questions suivantes, entourer la (ou les) bonne(s) réponse(s). ttention : l peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé! Les trouver toutes. Énoncé B C D 6 (x + ) est égal à x + 9 x + x + 9 x + 6x + 9 x + 6x + 6 7 ( x) est égal à x 0 0x + x + x 0x + x 8 ( + x )( x ) est égale à x 6 x 6 x 6 (x) 9 (9x ) est égal à 9x 90x + 8x 90x + 9x x + 8x 0 (x ) (x + ) est égal à x 0x 8 x 0x 8 x + x + 0 x + x + 0 Une forme factorisée de 6x + x + 9 est Une forme factorisée de x 6 est Une forme factorisée de 9 6x + 6x est Une forme factorisée de (x + ) est Une forme factorisée de 6x (8 + x) est (x + 9) (x )(x +) (x 9) (x + ) (x 6)(x +6) (x 6) (x 6)(x+6) (x 6) (7 + x) (7 x)(7 +x) (7 x) (9 6x) (x ) (x )(x +8) x + x 6 (x )(x +) (x 8)(x + 8) (x 8)(x 8 ) x 80x + 6 (x 8)(x + 8) CHPTRE DENTTÉS REMRQUBLES ET PPLCTNS
C H P 6 T R E Systèmes d équations néquations ucune compétence de ce chapitre ne fait partie du socle commun. JE REVS LE CURS... SYSTEME DE DEUX ÉQUTNS Résoudre un système de deux inconnues x et y revient à trouver tous les couples de nombres (x ; y) qui sont simultanément solutions des deux équations. Dans chaque cas, déterminer si le couple proposé est solution du système suivant : r x y = w q x + y = a) Pour (; ) : x y = = = x + y = + = + 8 = 0 Donc le couple (; ) n est pas solution du système. b) Pour (9; ) : x y = 9 = 8 6 = x + y = 9 + = 9 + = Donc le couple (; 9) est solution du système. c) Pour (; 9) : x y = 9 = 7 = Donc le couple ( ; 9) n est pas solution du système. Compléter chaque étape pour résoudre par substitution le système suivant : r x + y = (E ) w q x + y = (E ) a) Dans l équation (E ), exprimer y en fonction de x : x + y =, donc y = x. b) Dans l équation (E ), remplacer y par x : x + y =, donc x + ( x) =. c) Résoudre l équation obtenue. x + ( x) =, donc x + 9x = donc 7 = 7x donc = x. d) Remplacer x par sa valeur dans l expression obtenue en a), puis déterminer la valeur de y. y =, donc y =. e) Vérification : x + y = + ( ) = = x + y = + ( ) = 6 = f) Conclusion : Le système admet un couple solution ( ; ). Compléter chaque étape pour résoudre par addition le système suivant : r x y = (E ) w q 6x + 9y = 6 (E ) a) Multiplier les deux membres de l équation (E ) par, puis ajouter membre à membre les deux équations : r x y = ( ) x 9y = 66 w q 6x + 9y = 6 ( ) + 6x + 9y = 6 b) En déduire la valeur de x : x =. c) Multiplier l équation (E ) par, l équation (E ) par, puis ajouter membre à membre les deux équations : r x y = ( ) x 9y = 66 w q 6x + 9y = 6 ( ( )) x 8y = 7y = d) En déduire la valeur de y : y =. e) Vérification : x y = ( ) = 6 + 6 = 6x + 9y = 6 + 9 ( ) = 8 = 6 f) Conclusion : 8x = 7 Le système admet un couple solution ( ; ). CHPTRE 6 SYSTÈMES D ÉQUTNS NÉQUTNS
Résoudre les systèmes suivants : r x y = (E a) ) w q x + 7y = 6 (E ) Dans l équation (E ), j exprime x en fonction de y : x y =, donc x = + y. Dans l équation (E ), je remplace x par + y. x + 7y = 6, donc ( + y) + 7y = 6 donc + 9y + 7y = 6 donc 6y = 8 donc y =. Je remplace y par sa valeur dans l expression : x = + y, donc x = + ( ) donc x =. Vérification : x y = ( ) = + 9 = x + 7y = + 7 ( ) = = 6 Conclusion : Le système admet un couple solution (; ). Mat a payé 6,60 pour éclairs au chocolat et religieuses au café. Ben a payé 9,0 pour éclairs au chocolat et religieuses au café dans la même pâtisserie. Combien Julien va-t-il payer pour éclairs au chocolat et religieuses au café? Choix des inconnues : Soient x le prix d un éclair et y celui d une religieuse. Les nombres x et y doivent être positifs. Mise en équations : r x + y = 6,60 w q x + y = 9,0 Résolution : r x + y = 6,60 ( ) w q x + y = 9,0 ( ( )) 9x + 6y = 9,8 + 8x 6y = 8,60 x =,0 b) r x + 9y = (E ) w q x y = 6 (E ) Je multiplie l équation (E ) par, l équation (E ) par, puis j ajoute membre à membre les deux équations : r x + 9y = ( ) x + 8y = 8 w q x y = 6 ( ( )) + x + y = 6 y = Donc y =. Je multiplie l équation (E ) par, puis j ajoute membre à membre les deux équations : r x + 9y = x + 9y = w q x y = 6 ( ) + x + 9y = 8 x = Donc x =. Vérification : x + 9y = + 9 = 6 + 8 = x y = = 6 = 6 Conclusion : Le système admet un couple solution (;). Donc x =,0. r x + y = 6,60 ( ) w q x + y = 9,0 ( ( )) x + 8y = 6,0 + x 9y = 7,90 y =,0 Donc y =,0. Vérification :,0 +,0 =,60 + = 6,60,0 +,0 =,80 +,0 = 9,0 Conclusion : Le prix d un éclair est,0 et celui d une religieuse au café est,0.,0 +,0 =,0 + 6 = 8,0 Julien va payer 8,0 pour éclairs au chocolat et religieuses au café. CHPTRE 6 SYSTÈMES D ÉQUTNS NÉQUTNS
6 (D après Brevet) Le prix du billet d entrée dans un parc d attractions est euros pour les enfants et euros pour les adultes. n a acheté 7 billets pour 07 euros. Combien d enfants sont entrés dans le parc d attractions? Choix des inconnues : Soient x le nombre d entrées «enfants» et y celui d entrées «adultes». Les nombres x et y sont positifs. Mise en équations : r x + y = 7 (E ) w q x + y = 07 (E ) Résolution : Dans l équation (E ), j exprime x en fonction de y : x + y = 7, donc x = 7 y. Dans l équation (E ), je remplace x par 7 y. x + y = 07, donc (7 y) + y = 07 donc 8 y + y = 07 donc y = 6 donc y =. Je remplace y par sa valeur, donc x = 7 donc x =. Vérification : x + y = + = 7 x + y = + = 6 + 6 = 07 Conclusion : enfants sont entrés dans le parc d attractions. 7 (D après Brevet) Deux compositions de meubles sont exposées en magasin : la première au prix de et la deuxième au prix de 6. Composition à Composition à 6 Quel sera le prix de la composition ci-dessous? Justifier la démarche suivie. Composition Choix des inconnues : Soient x le prix d un meuble haut et y celui d un meuble bas. Les nombres x et y sont positifs. Mise en équations : r x + y = (E ) w q x + y = 6 (E ) Résolution : Dans l équation (E ), j exprime x en fonction de y : x + y = 6, donc x = 6 y. Dans l équation (E ), je remplace x par 6 y. x + y =, donc (6 y) + y = donc 6y + y = donc 90 = y donc y =,. Je remplace y par sa valeur dans l équation (E ) : x +, = 6 donc x = 6 67, donc x = 9,. Vérification : x + y = 9, +, = 89 + = x + y = 9, +, = 9, + 67, = 6 Le couple solution est (9,;,). Conclusion : Le meuble haut coûte 9,0 et le meuble bas coûte,0. La troisième composition est formée de meubles hauts et meubles bas : 9, +, = 8, + = 8,. La troisième composition coûtera 8,0. 6 CHPTRE 6 SYSTÈMES D ÉQUTNS NÉQUTNS
JE REVS LE CURS... NÉQUTN Résoudre une inéquation à une inconnue x, revient à trouver toutes les valeurs du nombre x qui vérifie l inégalité. Les nombres a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b. Si c > 0, alors ac et bc sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b. Si c < 0, alors ac et bc sont rangés dans l ordre contraire des nombres a et b. 8 Pour chacune des inéquations suivantes, déterminer si le nombre est solution. Justifier la réponse. a) x > 8 x = ( ) = + = 7 7 > 8, donc est solution de cette inéquation. b) x + 7 < x + 7 = ( ) + 7 = + 7 =, donc n est pas solution de cette inéquation. c) 8 (x + ) 8 (x + ) = 8 ( ( ) + ) = 8 ( 6 + ) = 8 + = 9 9 >, donc n est pas solution de cette inéquation. d) x x + 0 x = ( ) = + 6 = x + 0 = ( ) + 0 = 9 + 0 =, donc est solution de cette inéquation. 9 Résoudre les inéquations suivantes : a) + x > 8, donc x > 8, donc x >. Les solutions de l inéquation sont tous les nombres strictement supérieurs à. b) x 0, donc x 0, donc x,. Les solutions de l inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à,. c) x 6, donc 6 + x, donc 7 x. Les solutions de l inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 7. 0 Résoudre les inéquations suivantes : a) + x donc x donc x Les solutions de l inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à. b) (6 + x) > 7 donc 6 x > 7, donc 7 > x donc > x, donc > x. Les solutions de l inéquation sont tous les nombres strictement inférieurs à. c) x donc x donc x 8, donc x. Les solutions de l inéquation sont tous les nombres supérieurs ou égaux à. Résoudre les inéquations suivantes : a) x + < 7 + 6x donc 7 < 6x x donc < x, donc 0, < x. Les solutions de l inéquation sont tous les nombres strictement supérieurs à 0,. b) x 7 x donc x x 7 donc x donc x donc x 9 8. Les solutions de l inéquation sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 9 8. CHPTRE 6 SYSTÈMES D ÉQUTNS NÉQUTNS 7
Compléter les phrases suivantes : a) 0 La partie colorée représente les nombres x tels que : x. b) 0 La partie colorée représente les nombres x tels que : x > 0. c) 0 La partie colorée représente les nombres x tels que : x < 0. d) 0 La partie colorée représente les nombres x tels que : x 0,6. Dans chaque cas, représenter les solutions de l inéquation sur la droite graduée. a) x 0 b) x >, 0 c) x 0 d) x < 0,7 0 e) x 0 0 f) 0, > x 0 Résoudre chacune des inéquations suivantes et représenter ses solutions sur une droite graduée. a) + x > x + 7 donc x x > 7 donc x > 6, donc x >. Les solutions de l inéquation sont tous les nombres strictement supérieurs à. 0 b) x 6 9x + donc 6 9x x, donc 0 x donc 0 x, donc x. Les solutions de l inéquation sont tous les nombres supérieurs ou égaux à. 0 Une salle de spectacle propose deux tarifs pour assister aux représentations. Le plein tarif : chaque place coûte 7. L abonnement : on achète une carte d abonnement, ce qui permet de ne payer que la place. À partir de combien de représentations, l abonnement est-il le plus avantageux? Choix de l inconnue : Soit x le nombre de représentations. x est un entier positif. Mise en inéquation : L abonnement est plus avantageux lorsque 7x > + x. Résolution de l inéquation : 7x > + x, donc x >, donc x > 6,. Les solutions de l inéquation sont tous les réels supérieurs à 6,. 6 7 Conclusion : Comme x doit être un nombre entier positif, l abonnement est avantageux à partir de 7 représentations. 8 CHPTRE 6 SYSTÈMES D ÉQUTNS NÉQUTNS
Questions à Choix Multiples Pour chacune des questions suivantes, entourer la (ou les) bonne(s) réponse(s). ttention : l peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé! Les trouver toutes. Énoncé B C D Pour les exercices 6 à 9, on considère le système (S) suivant : r x + y = (L ) w q x y = (L ) 6 Si on exprime y en fonction de x dans (L ), on obtient 7 Si on remplace y par x dans (L ), on obtient y = + x y = x y = x y = x x + 0 = x + = x + = x = 8 Si on multiplie (L ) par et (L ) par ( ), on obtient r 6x + 0y = w q 6x + y = r 6x + 0y = w q 6x + y = r 6x + y = w q 6x y = r 6x + 0y = w q 6x + y = 9 Le couple solution du système (S) est 0 est une solution de l inéquation ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) x > x + 7 x + < x + x x Les solutions de l inéquation x x sont Les solutions de l inéquation 7 x < sont tous les nombres Les solutions de l inéquation x > sont x x x x strictement supérieurs à 0 strictement inférieurs à 0 Pour les exercices et, on considère la droite graduée ci-dessous : La partie colorée en bleu représente les solutions de l inéquation La partie colorée en vert représente les solutions de l inéquation 0 0 strictement supérieurs à 0 strictement inférieurs à CHPTRE 6 SYSTÈMES D ÉQUTNS NÉQUTNS 0 x > x < x < > x x 6 x > 6 x 6 6 x 9
C H P 7 T R E Notion de fonction ucune compétence n est exigible au socle commun. JE REVS LE CURS... LES NTTNS Soit la fonction f qui, à un nombre, associe son triple auquel on soustrait. n note alors : f : x x ou encore f(x) = x. Pour chaque fonction, associer sa définition et sa notation. Définition La fonction qui, à un nombre, associe son carré. La fonction qui, à un nombre, associe son inverse. La fonction qui, à un nombre, associe son opposé. La fonction qui, à un nombre, associe son double. Notation f : x x f : x x f : x x f : x x Définir chacune des fonctions suivantes à l aide d une phrase. a) f : x x + La fonction f est la fonction qui, à un nombre, associe son double augmenté de. b) g(x) x La fonction g est la fonction qui, à un nombre, associe son carré diminué de. c) h : x x La fonction h est la fonction qui, à un nombre, associe le double de son inverse. Donner une notation de chaque fonction. a) La fonction f qui, à un nombre, associe la somme de son carré et de son double. f : x x + x b) La fonction g qui, à un nombre, associe les deux tiers de son opposé. g : x x Décrire chacun des programmes de calculs suivants à l aide d une fonction. a) Choisir un nombre. dditionner à ce nombre. Calculer le carré du résultat. f : x (x + ) b) Choisir un nombre. g : x x Multiplier ce nombre par. Soustraire au résultat. Diviser ce dernier par. Pour chacune des fonctions suivantes, donner son programme de calculs. a) f : x x Choisir un nombre. Multiplier ce nombre par. Soustraire au résultat. b) f : x (x + ) Choisir un nombre. dditionner à ce nombre. Élever ce résultat au carré. Multiplier ce dernier par. c) f : x x Choisir un nombre. Diviser ce nombre par. Soustraire le résultat à. 0 CHPTRE 7 NTN DE FNCTN
JE REVS LE CURS... LE VCBULRE Soit la fonction f définie par f : x x. n a alors f : 0. n dit que 0 est l image de par la fonction f, et on note : f( ) = 0. n dit aussi que est un antécédent de 0 par la fonction f. 6 n considère une fonction f telle que : f : 0 f : 0 f : f : f : f : Compléter les phrases suivantes : a) L image du nombre par la fonction f est. b) Un antécédent du nombre 0 par la fonction f est. c) L image du nombre par la fonction f est. d) L image du nombre par la fonction f est. e) Des antécédents du nombre par la fonction f sont, et. 9 n considère la fonction h définie par : h : x x + x a) Compléter le tableau de valeurs suivant : x 0 0, h(x) 0,6 9 b) Quelle est l image de par la fonction h? L image de par la fonction h est. c) Donner un antécédent de par la fonction h. Un antécédent de par la fonction h est 0. 7 Soit la fonction f définie par : f : x (x + ) a) f(0) = (0 + ) = () = 9 = 8 Donc l image de 0 par la fonction f est 8. b) f() = ( + ) = (8) = 6 = 8 Donc l image de par la fonction f est 8. c) f( ) = = 00 9 = 00 9 Donc l image de 00 par la fonction f est. 9 8 Soit la fonction g définie par : a) g(0) = Donc b) g() = Donc c) g() = Donc d) g( ) = Donc ( + ) = ( 0 ) g : x x + x 0 + 0 = = l image de 0 par la fonction g est. + = 8 l image de par la fonction g est 8. + ( ) = l image de par la fonction g est. + () = = = l image de par la fonction g est. 0 n considère la fonction f définie par : f : x x Déterminer les images par la fonction f de : a) 0 b) c) d) a) f(0) = 0 = Donc l image de 0 par la fonction f est. b) f() = = 8 Donc l image de par la fonction f est 8. ( ) c) f( ) = = 7 Donc l image de par la fonction f est 7. d) f( ) = = = Donc l image de par la fonction f est. Soit la fonction g définie par : g : x x x + Donner une séquence de touches de calculatrice qui donnerait l image de,9 par la fonction g. l faudrait taper : X ( (-) X ( (-), 9, 9 ) ) + L image de,9 par la fonction g est,7. CHPTRE 7 NTN DE FNCTN x - entrer
JE REVS LE CURS... REPRÉSENTTN GRPHQUE D UNE FNCTN a désigne un nombre et f désigne une fonction. L ensemble (C) des points du plan de coordonnées ( a ; f(a) ) est la représentation graphique de la fonction f. f(a) M 0 a n a tracé, dans le repère ci-dessous, la représentation graphique (C) d une fonction f. 0 ) a) Sur la représentation graphique (C), placer le point d abscisse. b) Compléter les phrases suivantes : Le point a pour coordonnées : ( ; ). L image de par la fonction f correspond à l ordonnée du point, c est-à-dire :. n note : f( ) =. ) a) Sur la représentation graphique (C), placer les points B, C et D, ayant chacun pour ordonnée. b) Compléter les phrases suivantes : Les antécédents de par la fonction f correspondent aux abscisses des points B, C et D, c est-à-dire :, 0 et.. n note : f( ) = ; f( 0 ) = et f( ) =. ) Déterminer graphiquement : a) l image de par la fonction f. Graphiquement, l image de par f est. b) les antécédents de 0 par la fonction f. Graphiquement, les antécédents de 0 par f sont, ; 0, et,. c) une valeur approchée des solutions de l équation f(x) =. Graphiquement, les solutions de l équation f(x) = sont, ; 0, et,. n a tracé, dans le repère ci-dessous, la représentation graphique (C) d une fonction g. 6 0 6 ) Déterminer graphiquement les images des nombres suivants par la fonction g : a) b) c) 0 d) a) Graphiquement, l image de par la fonction g est. b) Graphiquement, l image de par la fonction g est. c) Graphiquement, l image de 0 par la fonction g est. d) Graphiquement, l image de par la fonction g est. ) Déterminer graphiquement les antécédents des nombres suivants par la fonction g : a) b) c) a) Graphiquement, l antécédent de par la fonction g est. b) Graphiquement, les antécédents de par la fonction g sont et. c) Graphiquement, les antécédents de par la fonction g sont et. ) Vlad a écrit : g() =. -t-il raison? Justifier. ) Le point de coordonnées (; ) n appartient pas à la courbe, donc n est pas l image de par g. Vlad s est trompé. CHPTRE 7 NTN DE FNCTN
Questions à Choix Multiples Pour chacune des questions suivantes, entourer la (ou les) bonne(s) réponse(s). ttention : l peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé! Les trouver toutes. Énoncé B C Soit f la fonction qui, à un nombre, associe la somme du double de son opposé et de. n a Soit g la fonction qui, à un nombre, associe l inverse de son carré. n a 6 Soit la fonction f définie par f : x x. Par cette fonction, f : x x f : x x f : x x + g : x x g : x x + x g : x x l image de 0 est l image de est l image de est 0 7 Soit la fonction g définie par g : x ( x). n a Pour les exercices 8 à, on utilise le tableau de valeurs ci-contre d une fonction h : g() = 8 g(8) = g() = x h(x) 0 8 Par la fonction h, l image de est est 0 est 9 Par la fonction h, un antécédent de est est est 0 Par la fonction h, est un antécédent de l image de est l image de est La représentation graphique de la fonction h passe Pour les exercices et, on utilise la représentation graphique ci-contre de la fonction i : par le point ( ; ) par le point B ( ; 0) par le point C ( ; ) 0 Par la fonction i, l image de est est est Par la fonction i, un antécédent de est 0 CHPTRE 7 NTN DE FNCTN
C H P 8 T R E Proportionnalité et fonctions linéaires SC Reconnaître la proportionnalité dans une situation de la vie courante. SC Caractériser graphiquement la proportionnalité. SC Calculer une augmentation ou une réduction en pourcentage. JE REVS LE CURS... RECNNÎTRE UNE FNCTN LNÉRE Soit a un nombre relatif donné. La fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui, à un nombre, associe le produit de ce nombre par a. n note f : x ax ou f(x) = ax. Une fonction qui modélise une situation de proportionnalité est une fonction linéaire. Son coefficient est le coefficient de proportionnalité. Pour chaque fonction, préciser si elle est linéaire et, dans ce cas, donner son coefficient. a) f : x,x b) g : x + x c) h : x 7x d) i : x x e) j : x f) k : x x a) La fonction f est linéaire de coefficient,. b) La fonction g n est pas linéaire. c) La fonction h n est pas linéaire. d) La fonction i est linéaire de coefficient. e) La fonction j n est pas linéaire. f) La fonction k est linéaire de coefficient. Pour chaque fonction, préciser si elle est linéaire et, dans ce cas, donner son coefficient. a) f : x x + b) g : x c) h : x 7x x d) i : x ( + x) + 6 e) j : x x f) k : x x a) La fonction f n est pas linéaire. b) La fonction g n est pas linéaire. c) 7x x = x. La fonction h est linéaire de coefficient. d) La fonction i est linéaire de coefficient. e) La fonction j est linéaire de coefficient. f) La fonction k n est pas linéaire. SC Pour chaque situation, donner la fonction qui la modélise, puis préciser si cette fonction est linéaire. a) Le prix de x kilogrammes de poires dont le prix au kilogramme est,. La fonction modélisant cette situation est : f : x,x. Cette fonction est linéaire. b) Le périmètre d un carré en fonction de la longueur x d un de ses côtés. La fonction modélisant cette situation est : g : x x. Cette fonction est linéaire. c) Le prix d un lot «console + jeux» contenant une console de jeux à 0 et x jeux à l unité. La fonction modélisant cette situation est : h : x 0 + x. Cette fonction n est pas linéaire. d) L aire d un disque en fonction de son rayon x. La fonction modélisant cette situation est : i : x πx. Cette fonction n est pas linéaire. e) Le volume d un pavé droit de longueur, de largeur, en fonction de sa hauteur x. La fonction modélisant cette situation est : j : x 6x. Cette fonction est linéaire. CHPTRE 8 PRPRTNNLTÉ ET FNCTNS LNÉRES
CLCUL D MGE, D NTÉCÉDENT ET DE CEFFCENT D UNE FNCTN LNÉRE n considère la fonction linéaire f de coefficient. Calculer l'image par f des nombres suivants : a) 0 b) c) d) e) 7 a) La fonction f est linéaire de coefficient, donc f est définie par : f(x) = x. f(0) = 0 = 0 Donc l image de 0 par f est 0. b) f() = = Donc l image de par f est. c) f( ) = ( ) = 0 Donc l image de par f est 0. d) f ( 7) = 7 = 7 Donc l image de par f est 7 7. e) f( ) = ( ) = 0 + Donc l image de par f est 0 +. 7 Soit f une fonction linéaire telle que : f(8) = 6. ) Déterminer le coefficient de la fonction f. f est une fonction linéaire, donc : f(x) = ax. n sait que : f(8) = 6 donc : a 8 = 6 d où : a =. Le coefficient de la fonction f est et la fonction f x est définie par f : x. ) Calculer l image par f des nombres suivants : a) b) c) a) f() = = Donc l image de par f est. b) f( ) = ( ) = 9 Donc l image de par f est 9. c) f ( ) = = Donc l image de par f est. n considère la fonction linéaire h définie par : h : x,x ) Quelle est le coefficient de la fonction h? Le coefficient de h est,. ) Compléter le tableau suivant : 6 x 0 7 h(x) 0 0 7,, 8 6 n considère la fonction linéaire g de coefficient. ) Compléter le tableau suivant : x 8 6 6 8 g(x) 0 8 ) Donner l image par g de 8 et de. L image de 8 est 6 et celle de est 8. ) Donner l antécédent par g de 8 et de. L antécédent de 8 est et celle de est. ) Calculer les antécédents par f de chacun des nombres suivants : a) b) a) n cherche x tel que : f(x) = x d où : donc : = x =. Donc l antécédent de par f est. b) n cherche x tel que : f(x) = ( ) d où : x =, donc : x = ( ). Donc l antécédent de par f est 8 9. 8 Soit g une fonction linéaire telle que l'image de par g est. Déterminer le coefficient directeur de la fonction g. g est une fonction linéaire, donc : g(x) = ax. n sait que : g() =, donc : a = d où : a =. Le coefficient de la fonction g est. CHPTRE 8 PRPRTNNLTÉ ET FNCTNS LNÉRES