Groupes, anneaux, dimension et déterminants

Préparation à l agrégation 2009-2010 Philippe Lebacque Groupes, anneaux, dimension et déterminants 1. Les petits groupes Le but de cet exercice est l étude des groupes finis d ordre 15. 1.1. Les groupes abéliens. Rappeler le théorème de décomposition des groupes abéliens finis. En déduire les classes d isomorphisme des groupes abéliens d ordre 15. 1.2. Les p-groupes. Montrer que le centre d un p-groupe est non trivial et montrer qu un p-groupe admet des sous-groupes distingués de tous les ordres possibles. 1.3. Un petit lemme utile. Soit G un groupe fini. Soit H un sous-groupe contenu dans le centre de G. Montrer que H est distingué et que, si G/H est cyclique, G est abélien. 1.4. Les groupes d ordre p 2. Montrer que tout groupe d ordre p 2 est abélien. 1.5. Groupes d ordre 2p, p impair. Soit G un groupe d ordre 2p. On va montrer que G est cyclique ou diédral. 1.5.1. Montrer que G admet un unique p-sous-groupe de Sylow, noté S. 1.5.2. Montrer que G admet un élément x d ordre 2 et que G =< S, x >. 1.5.3. Montrer que l automorphisme intérieur défini par x restreint à S est ou bien l identité, ou bien le morphisme s s 1. On pourra utiliser le fait que le groupe des automorphismes de S est isomorphe à Z/(p 1)Z. Conclure. 1.6. Groupes d ordre pq où p et q sont premiers impairs, p < q, p ne divise pas q 1. On se propose de démontrer qu un tel groupe est cylcique. Soit G un tel groupe. Montrer que G admet un unique q-sylow S. Montrer que G a un élément x d ordre p et qu alors x normalise puis centralise S. En déduire que G est isomorphe à Z/qZ Z/pZ. 1.7. Groupes non abéliens d ordre 8.

2 1.7.1. Soit G un tel groupe. Montrer que Z(G) = Z/2Z et que G/Z(G) est isomorphe à (Z/2Z) 2. 1.7.2. Montrer que G admet un élément d ordre 4. 1.7.3. Soit H un sous-groupe cyclique d ordre 4. Montrer que H G. 1er cas. Il existe un élément x d ordre 2 qui n est pas dans H. Montrer alors que G =< H, x > et que l automorphisme intérieur défini par x et restreint à H ne peut être que h h 1. En déduire que G est diédral. 2nd cas. Tout élément x qui n est pas dans H est d ordre 4. Montrer alors que G contient un unique élément d ordre 2 qui engendre son centre, noté 1. On note i un générateur de H et j G H. On pose k = ij. Montrer que i 2 = j 2 = k 2 = 1. On note alors i 3 = i, j 3 = j, k 3 = k. Ecrire la table de multiplication de G. G s appelle le groupe des quaternion et est noté H 8. 1.8. Groupes d ordre 12.. Soit G un groupe d ordre 12. On note t (resp. d) le nombre de ses 3-Sylow (resp. 2 Sylow). 1.8.1. Montrer que t {1, 4} et d {1, 3}, puis, en comptant les éléments, que t = 1 ou d = 1. 1.8.2. On suppose t = 1, d = 1. Montrer que G est isomorphe à Z/12Z ou Z/6Z Z/2Z. 1.8.3. On suppose t = 1 et d = 4. Montrer que G est produit semi-direct non direct de son 3-Sylow par un 2-Sylow. Montrer qu on obtient ainsi 2 classes possibles pour G, dont l une est le groupe diédral. 1.8.4. On suppose t = 4 et d = 1. En faisant opérer G sur l ensemble de ses 3-Sylow, montrer que G est isomorphe à A 4. 1.9. Conclusion. Dresser la table des classes d isomorphisme des groupes de cardinal 15.

3 2. Théorème de la base de Burnside On se propose de démontrer le théorème suivant : Théorème 2.1. Soit p premier et G un p-groupe fini. Alors toutes les parties génératrices minimales de G ont même cardinal. 2.1. Le centre d un p-groupe. Démontrer que le centre d un p-groupe est non trivial pour en déduire l existence d un élément central d ordre p. 2.2. Les sous-groupes d un p-groupe : Montrer qu un p-groupe a des sous-groupes distingués de tous les ordres possibles. 2.3. Le normalisateur d un sous-groupe d un p-groupe. Soit H un sous-groupe propre de G. On note N G (H) son normalisateur dans G, c est à dire : N G (H) = {g G ghg 1 = H}. Montrer que pour tout g G {h H hgh = gh} = H ghg 1. En faisant opérer H par translation à gauche sur G/H, montrer que H est strictement inclus dans son normalisateur. On remarquera que les orbites de cardinal 1 pour cette action sont celles de la forme gh où g N G (H). 2.4. Les sous-groupes maximaux d un p-groupe. En déduire que les sous-groupes propres maximaux (pour ) de G sont distingués dans G et que ce sont exactement les sous-groupes d indice p. 2.5. Le sous-groupe de Frattini d un p-groupe. On appelle sous-groupe de Frattini de G, et on note Φ(G), l intersection de ses sous-groupes propres maximaux. Soit H G. Montrer l équivalence Φ(G) H si et seulement si le groupe quotient G/H est produit direct de Z/pZ. On remarquera qu un groupe abélien fini non trivial n a que des éléments d ordre divisant p si et seulement si il est produit direct de Z/pZ. Soient g 1,..., g n des éléments de G. Montrer que la famille {g 1,..., g n } engendre G si et seulement si la famille {g 1 Φ(G),..., g n Φ(G)} engendre G/Φ(G). On pourra utiliser le fait que, si la famille {g 1,..., g n } n engendre pas G, elle est contenue dans un sous-groupe maximal H et la famille {g 1 Φ(G),..., g n Φ(G)} est contenue dans un sous-groupe maximal du quotient. Conclure en remarquant la structure de F p -espace vectoriel de G/φ(G). Discuter le cas d un groupe fini quelconque.

4 3. Résultant et applications (d après ENS L-C 2000) Soit K un corps et A un sous-anneau de K. On appelle matrice résultante de deux polynômes P = n i=0 a ix i et Q = m i=0 b ix i de K[X] de degrés respectifs n et m, et on note R K (P, Q) la matrice n + m n + m suivante : R K (P, Q) = a 0 a 1 a 2... a n 1 a n 0... 0 0 a 0 a 1 a 2... a n 1 a n 0 0.......... 0 0... 0 a 0 a 1 a 2... a n 1 a n b 0 b 1... b m 1 b m 0 0... 0 0 b 0 b 1... b m 1 b m 0... 0..................... 0.. 0 b 0 b 1 b 2... b m 1 b m 0 0..... 0 b 0 b 1 b 2... b m 1 b m où chaque a i apparaît exactement m fois, chaque b i exactement n fois et où les m premiers coefficients diagonaux sont égaux à a 0 et les n derniers à b m. On appelle résultant, et on note Res K (P, Q) le déterminant de cette matrice. 3.1. Généralités et propriété fondamentale. 3.1.1. Soient P, Q A[X]. Montrer que Res K (P, Q) A. 3.1.2. Soient P, Q K[X]. Montrer que P et Q ne sont pas premiers dans K[X] si et seulement si il existe deux polynômes non nuls A, B K[X], de degré deg A < m et deg B < n tels que AP = BQ. 3.1.3. Soit K[X] d le sous espace vectoriel de K[X] constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à d. Quelle est la dimension sur K de K[X] d? Soit f l application f : K[X] m 1 K[X] n 1 K[X] n+m 1 (A, B) AP + BQ. Montrer que f est linéaire, et que sa matrice dans des bases à préciser est la transposée de R K (P, Q). 3.1.4. Montrer que P et Q sont premiers entre eux dans K[X] si, et seulement si, Res K (P, Q) 0. 3.1.5. Montrer que, pour tout λ 0, Res K (λ n P (Xλ 1 ), λ m Q(Xλ 1 )) = λ nm Res K (P (X), Q(X)).

5 3.2. Une courbe unicursale. On considère la courbe plane de R 2 paramétrée par t R { x(t) = t 2 + t y(t) = t 3 + 2t 2. Quelle est l équation cartésienne de la courbe dans le plan? 3.3. Entiers algébriques. On note O l ensemble des nombres complexes z, pour lesquels il existe un polynôme non nul P (X) Z[X] qui soit unitaire et vérifiant P (z) = 0. 3.3.1. Soient z 1 et z 2 des éléments de O, annulant les polynômes P 1 et P 2 de degrés respectifs n 1 et n 2. Montrer que Res Q(X) (P 1 (X Y ), P 2 (Y )) est un élément de Z[X], unitaire de degré n 1 n 2, annulant la somme z 1 + z 2. 3.3.2. Montrer que O est un anneau.