flexion des poutres à plan moyen

Méthode des éléments finis : flexion des poutres à plan moyen Yves Debard Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html 24 mars 26 29 mars 211

Table des matières 1 Rappels et hypothèses 1 1.1 Définitions........................................... 1 1.2 Hypothèses.......................................... 1 1.3 Champ de déplacements, déformations, contraintes et efforts résultants dans une section droite............................................. 2 1.4 Équations d équilibre..................................... 4 1.5 Modèle de Bernoulli..................................... 5 2 Modèle de Bernoulli 6 2.1 Matrices élémentaires.................................... 6 2.1.1 Introduction..................................... 6 2.1.2 Élément de poutre à section constante....................... 8 2.1.3 Fonctions d interpolation.............................. 11 2.1.4 Utilisation des fonctions d interpolation...................... 12 2.2 Exemples........................................... 15 2.2.1 Poutre soumise à une force nodale......................... 15 2.2.2 Poutre soumise à une force répartie......................... 18 2.2.3 Prise en compte d un appui élastique........................ 21 2.2.4 Poutre avec une rotule interne........................... 22 2.2.5 Problème à déplacement imposé.......................... 25 2.3 Programmes Maple...................................... 28 2.3.1 ber mat........................................ 28 2.3.2 ber rot rig...................................... 28 2.3.3 ber rig rot...................................... 29 2.3.4 ber rot rot...................................... 29 2.3.5 ber int......................................... 29 2.3.6 ber int par...................................... 3 2.3.7 ber interpolation................................... 3 2.3.8 ber int mat...................................... 3 2.3.9 ber ex1........................................ 31 2.3.1 ber ex2........................................ 32 3 Modèle de Timoshenko 35 3.1 Matrices élémentaires.................................... 35 3.1.1 Introduction..................................... 35 3.1.2 Élément de poutre à section droite constante................... 36 3.1.3 Fonctions d interpolation.............................. 37 3.1.4 Utilisation des fonctions d interpolation...................... 39 3.1.5 Partition du champ de déplacements en mouvement de corps rigide et mouvement de déformation pure : méthode de la tangente............... 41 3.2 Exercices........................................... 46 3

3.2.1 Influence de l effort tranchant............................ 46 3.2.2 Poutre à section variable : intégration numérique................. 47 3.2.3 Partition du champ de déplacements en mouvement de corps rigide et mouvement de déformation pure : méthode de la sécante................ 49 3.3 Programmes Maple...................................... 53 3.3.1 tim mat........................................ 53 3.3.2 tim int......................................... 55 3.3.3 tim int par...................................... 55 3.3.4 tim int rem...................................... 56 3.3.5 tim interpolation................................... 57 3.3.6 tim int mat...................................... 57 3.3.7 tim rig def tan.................................... 58 3.3.8 tim rig def sec.................................... 6 Références 64

Chapitre 1 Rappels et hypothèses 1.1 Définitions Une poutre droite (figure 1.1) est un solide engendré par une surface plane A, constante ou non, dont le centre de gravité G décrit le segment G 1 G 2, le plan qui contient A restant normal à G 1 G 2. De plus, les dimensions de A sont faibles (sans être négligeables) par rapport à G 1 G 2. G 1 G 2 est la fibre moyenne de la poutre. A est la section droite de la poutre. Figure 1.1 Poutre droite 1.2 Hypothèses Nous adopterons les conventions et les hypothèses suivantes : x est l axe porté par le vecteur G 1 G 2. Le plan {x, y} est un plan de symétrie de la poutre. L axe z forme avec x et y un trièdre direct. ı, j et k sont les vecteurs unitaires des axes. Les axes y et z sont les axes centraux principaux de la section droite : y da = z da = y z da = (1.2.1) A A A

2 Flexion des poutres à plan moyen Le matériau est homogène et isotrope ; son comportement est linéaire et élastique ; E, ν, et ρ sont respectivement le module de Young, le coefficient de Poisson et la masse volumique du matériau. Les déplacements et les déformations sont petits. Au cours de la mise en charge (figure 1.2) : 1. les sections droites restent planes. 2. chaque section droite subit : une translation suivant y : v(x). une rotation autour de l axe Gz : θ z (x). 1.3 Champ de déplacements, déformations, contraintes et efforts résultants dans une section droite Figure 1.2 Déplacement de la section droite d abscisse x Compte tenu des hypothèses précédentes, le champ de déplacements s écrit (figure 1.2) : { u(x, y) = y θz (x) v(x, y) = v(x) (1.3.1) On en déduit : les déformations les contraintes (figure 1.3) : ε xx = u x = y θ z x σ xx = E ε xx = Ey θ z x, γ xy = u y + v x = θ z + v x ( ) v, σ xy = G k y γ xy = G k y x θ z (1.3.2) (1.3.3)

Rappels et hypothèses 3 les efforts résultants : N = où : Mf z = A Figure 1.3 Contraintes dans la section droite d abscisse x T y = A A y σ xx da = E θ z x σ xx da = E θ z y da = (effort normal) (1.3.4a) x A ( ) v σ xy da = G A k y x θ z (effort tranchant) (1.3.4b) Mf z k = (y j ) (σ xx da ı ) d où (1.3.4c) A A y 2 da = EI z θ z x (moment fléchissant) A est l aire de la section droite. I z = y 2 da est le moment quadratique de la section par rapport à Gz. G = A E 2 (1 + ν) est le module d élasticité transversal. (1.3.4d) le coefficient d aire cisaillée k y traduit le fait que le cisaillement n est pas uniforme dans la section ; il est défini par : Ty 2 = σxy 2 da (1.3.5) A k y A où σ xy (y, z) est le cisaillement dû à l effort tranchant T y déduit de la théorie de l élasticité [6, 13, 24, 25, 27, 29, 31, 37, 38]. Ak y est l aire cisaillée ou section réduite. Remarque : la contrainte normale dans la section droite est égale à : On en déduit la valeur maximale de σ xx : où W el.z = σ xx = y I z Mf z (1.3.6) σ max = σ xx max = Mf z W el.z (1.3.7) I z y max est le module de flexion élastique par rapport à z.

4 Flexion des poutres à plan moyen 1.4 Équations d équilibre La poutre porte une force et un couple répartis d intensité linéique respectivement p y et m z. L équilibre du morceau de poutre (figure 1.4) compris entre les sections droites d abscisses x et x + dx s écrit au premier ordre près : T y + T y + T ( ) y x dx + p y dx = ρ v da dx = ρ A v dx (1.4.1a) A où : Mf z + Mf z + Mf z x dx + dx T y + m z dx = ( y ρ ü da A ) dx = ρ I z θz dx (1.4.1b) ü = 2 u t 2 = y θ z, v = 2 v t 2, θz = 2 θ z t 2 (1.4.2) Figure 1.4 Efforts sur le tronçon de poutre compris entre x et x + dx Après simplification, on obtient les deux équations d équilibre : T y x + p y = ρ A v (1.4.3a) Mf z x + T y + m z = ρ I z θz (1.4.3b) Ces équations s écrivent en fonction des déplacements : x ( θ z EI z x x ( GA k y ( v x θ z ) + GA k y ( v x θ z )) + p y = ρ A v (1.4.4a) ) + m z = ρ I z θz (1.4.4b)

Rappels et hypothèses 5 1.5 Modèle de Bernoulli Le modèle ci-dessus est dit modèle de Timoshenko 1. Si la poutre est longue, on admet l hypothèse de Navier 2 -Bernoulli 3 : la section droite reste normale à la déformée de la fibre moyenne (figure 1.5) d où la relation cinématique : θ z = v (1.5.1) x Figure 1.5 Modèle de Bernoulli Dans ce cas, la relation de comportement (1.3.4d) s écrit : Mf z = EI z 2 v x 2 (1.5.2) Remarque : si la problème est stationnaire, la flèche v(x) est solution de l équation : EI z 4 v x 4 = p y (1.5.3) 1. Stephen P. Timoshenko (1878-1972). 2. Louis Navier (1785-1836). 3. Jacques Bernoulli (1654-175).

Chapitre 2 Modèle de Bernoulli 2.1 Matrices élémentaires 2.1.1 Introduction L élément de poutre (i j), de longueur L, de moment quadratique I z et de module de Young E est soumis à une force et à un couple répartis d intensité linéique p y et m z. Figure 2.1 Élément de poutre (T yi, Mf zi ) et (T yj, Mf zj ) sont les efforts résultants dans les sections i et j. (v i, θ zi ) et (v j, θ zj ) sont les déplacements nodaux. En l absence de forces d inertie, les équations d équilibre (1.4.3) se réduisent à : dt y dx + p y =, En intégrant ces deux équations entre et x, il vient : T y (x) = T yi Mf z (x) = Mf zi x Remarque : l équilibre de l élément s écrit : T yi + T yj + p y (x) dx = Mf zi + Mf zj + L T yj + dmf z dx + T y + m z = (2.1.1) x T y (s) ds p y (s) ds (2.1.2) x x p y (x) dx + m z (s) ds (2.1.3) m z (x) dx = (2.1.4)

Modèle de Bernoulli 7 L intégration de la relation de comportement : Mf z = EI z dθ z dx (2.1.5) et de la relation cinématique (modèle de Bernoulli) : dv dx = θ z (2.1.6) entre et x conduit à l expression de la rotation des sections droites (pente) et du déplacement suivant y (flèche) : x Mf z (s) θ z (x) = θ zi + ds, v(x) = v i + EI z Remarque : la flèche peut être obtenue à l aide de la formule de Bresse 1 : x θ z (s) ds (2.1.7) x Mf z (s) v(x) = v i + θ zi x + (x s) ds (2.1.8) EI z Des conditions aux limites : v(l) = v j, θ z (L) = θ zj, T y (L) = T yj, Mf z (L) = Mf zj (2.1.9) on déduit l expression des efforts nodaux en fonction des déplacements nodaux : {f nod } = [ k ]{u} {f} (2.1.1a) où : T y () T yi Mf {f nod } = z () Mf = zi T y (L) T yj Mf z (L) Mf zj, {u} = v i θ zi v j θ zj (2.1.1b) Figure 2.2 Vecteur force équivalent aux charges réparties {f nod } est le vecteur des forces nodales. [ k ] est la matrice de rigidité élémentaire. {f} est le vecteur force équivalent aux charges réparties (figure 2.2). {u} est le vecteur déplacement élémentaire. 1. Jacques Bresse (1822-1883).

8 Flexion des poutres à plan moyen 2.1.2 Élément de poutre à section constante Remarque : les éléments décrits dans ce pararaphe sont utilisés par le logiciel RDM Flexion. L élément de poutre (i j) (figure 2.3), de longueur L, de moment quadratique I z et de module de Young E est soumis sur toute sa longueur à une force et à un couple d intensité linéique : p y (x) = p yi + ( p yj p yi ) x L, m z(x) = m zi + ( m zj m zi ) x L (2.1.11) Figure 2.3 Élement rigide-rigide L équilibre de l élément s écrit : T yi + T yj + L 2 (p yi + p yj ) = Mf zi + Mf zj + L T yj + L2 6 (p yi + 2 p yj ) + L 2 (m zi + m zj ) = La relation {f nod } = [ k ]{u} {f} s écrit (programme ber mat) : T yi Mf zi T yj Mf zj 12 6 L 12 6 L v i 4 L 2 6 L 2 L 2 θ zi 12 6 L v j sym. 4 L 2 θ zj 21 9 L { } 6 6 3 L 2 L pyi 6 9 21 1 L L p yj 12 6 6 2 L 3 L L L = EI z L 3 { mzi m zj } (2.1.12) Remarque : si p yi = p yj = p et m zi = m zj = m, le vecteur {f} se réduit à : {f} = pl 12 6 m L + 6 m L (2.1.13) Élément rotule rigide L origine de l élément est une rotule d où : Mf zi =.

Modèle de Bernoulli 9 Figure 2.4 Élement rotule-rigide Avec cette condition, la relation {f nod } = [ k ]{u} {f} se réduit à (programme ber rot rig) : T yi 1 1 L v i = 3 EI z T yj L 3 1 L v j Mf zj sym. L 2 θ zj (2.1.14a) 33 12 L { } 5 3 pyi 12 27 48 1 { } mzi p yj 8 5 3 m zj 7 L 8 L L L avec : θ zi = 1 2 L ( 3 v i + 3 v j L θ zj ) + L3 24 EI z ( 3 p yi + 2 p yj ) + L2 48 EI z ( m zi m zj ) (2.1.14b) Élément rigide rotule L extrémité de l élément est une rotule d où : Mf zj =. Figure 2.5 Élement rigide-rotule Avec cette condition, la relation {f nod } = [ k ]{u} {f} se réduit à (programme ber rig rot) : T yi 1 L 1 v i Mf zi = 3 EI z L 2 L θ zi T yj L 3 1 v j sym. (2.1.15a) 48 27 L { } 3 5 8 L 7 L pyi 12 12 33 1 { } L L mzi p yj 8 3 5 m zj avec : θ zj = 1 2 L ( 3 v i + 3 v j L θ zi ) L3 24 EI z ( 2 p yi + 3 p yj ) L2 48 EI z ( m zi m zj ) (2.1.15b)

1 Flexion des poutres à plan moyen Élément rotule rotule Les deux extrémités de l élément sont des rotules d où : Mf zi = et Mf zj =. Figure 2.6 Élement rotule-rotule Avec ces conditions, la relation {f nod } = [ k ]{u} {f} se réduit à (programme ber rot rot) : avec : T yi 2 1 = L T yj 6 1 2 { pyi p yj } 1 2 1 1 1 1 { mzi m zj } (2.1.16a) θ zi = 1 L ( v j v i ) + θ zj = 1 L ( v j v i ) L3 ( 8 p yi + 7 p yj ) + L2 ( m zi m zj ) 36 EI z 24 EI z L3 ( 7 p yi + 8 p yj ) L2 ( m zi m zj ) 36 EI z 24 EI z (2.1.16b) Remarque : la matrice de rigidité est nulle. Contraintes et déplacements L effort tranchant et le moment fléchissant sont donnés par : Mf z (x) = Mf zi T y (x) = T yi x x T y (s) ds = Mf zi T yi x + p yi x 2 p y (s) ds = T yi p yi x ( p yj p yi ) x2 2 L x m z (s) ds La contrainte normale dans la poutre est égale à : 2 + ( p yj p yi ) x3 6 L m zix ( m zj m zi ) x2 2 L (2.1.17a) (2.1.17b) σ xx (x, y) = y I z Mf z (x) (2.1.18) La rotation des sections droites et la déformée sont données par : θ z (x) = θ zi + 1 EI z = θ zi + 1 EI z + 1 EI z x Mf z (s) ds x (Mf 2 ) zi x T yi (p yi x 3 2 6 + ( p yj p yi ) x4 24 L m x 2 ) zi 2 ( m zj m zi ) x3 6 L (2.1.19a)

Modèle de Bernoulli 11 x v(x) = v i + θ z (s) ds = v i + θ zi x + 1 x (Mf 2 zi EI z 2 T yi + 1 x (p 4 yi EI z 24 + ( p yj p yi ) x 3 ) 6 x 5 12 L m x 3 zi 6 ( m zj m zi ) x4 24 L ) (2.1.19b) Cas particulier : si le chargement se réduit à une force uniformément répartie les relations ci-dessus deviennent : p yi = p yj = p, m zi = m zj = T y (x) = T yi p x Mf z (x) = Mf zi T yi x + p x2 2 x (Mf 2 zi x T yi θ z (x) = θ zi + 1 EI z v(x) = v i + θ zi x + 1 EI z (Mf zi x 2 2 T yi 2 + p x3 6 ) x 3 6 + p x4 24 Si p, l effort tranchant s annule pour x = x m défini par T y (x m ) = soit x m = T yi p. Si x m est compris entre et L, le moment fléchissant passe par une valeur extrémale : Mf z (x m ) = Mf zi T 2 yi 2 p ) 2.1.3 Fonctions d interpolation Le déplacement suivant y est représenté par le polynôme du 3 e degré : d où la rotation des sections droites : avec les conditions aux limites : v(x) = a + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 (2.1.2) θ z (x) = v x = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 (2.1.21) v() = v i, v(l) = v j, θ z () = θ zi, θ z (L) = θ zj (2.1.22) On en déduit l expression de v(x) en fonction des déplacements nodaux : v(x) = [N v (x)]{u} (2.1.23) d où : [ ] dnv (x) θ z (x) = {u} = [N θz (x)]{u} (2.1.24) dx avec les fonctions d interpolation (programme : ber int) (figure 2.7) : 1 3 ξ 2 + 2 ξ 3 [N v ] T = L ( ξ 2 ξ 2 + ξ 3 [ ] 6 (ξ 2 ξ) ) T 3 ξ 2 2 ξ 3, [N θ z ] T dnv = = 1 L (1 4 ξ + 3 ξ 2 ) dx L 6 (ξ ξ 2 ) L (ξ 3 ξ 2 ) L (3 ξ 2 2 ξ) [ ] T dnθz = dx [ d 2 ] T N v dx 2 = 2 L 2 6 ξ 3 L (3 ξ 2) 3 6 ξ où ξ = x L L (3 ξ 1) (2.1.25)

12 Flexion des poutres à plan moyen Remarque 1 : le champ de déplacements : Figure 2.7 Fonctions d interpolation v(x) = [N v (x)]{u} est le champ de déplacements exact pour un élément de poutre à section constante et non chargé : d 4 v EI z dx 4 = p y = (2.1.26) Remarque 2 : le champ de déplacements s écrit sous forme paramétrique : x(ξ) = 1 + ξ L ( 1 ξ 1) 2 (2.1.27a) v(ξ) = [N v (ξ)]{u}, θ z (ξ) = [N θz (ξ)]{u} avec les fonctions d interpolation (programme ber int par) : 2 (2 + ξ)(ξ 1) 2 [N v ] T = 1 L(ξ + 1)(ξ 1) 2 8 2 (2 ξ)(ξ + 1) 2 L(ξ 1)(ξ + 1) 2 et les relations : f x = 1 J f ξ, [N θz ] T = [ ] T dnθz = dx [ ] T dnv = 1 dx 4 L [ d 2 ] T N v dx 2 = 1 L 2 6 (ξ 2 1) L (ξ 1)(3 ξ + 1) 6 (1 ξ 2 ) L (ξ + 1)(3 ξ 1) 6 ξ L (3 ξ 1) 6 ξ L (3 ξ + 1) dx = x ξ dξ = J dξ = L 2 dξ d où J = L 2 2 f x 2 = 1 2 f J 2 ξ 2, f(x) dx = J est le jacobien de la transformation géométrique x(ξ). 1 1 f(x(ξ)) J dξ (2.1.27b) (2.1.27c) (2.1.27d) 2.1.4 Utilisation des fonctions d interpolation En utilisant l expression du champ de déplacements : { u(x, y) = y θz (x) v(x, y) = v(x) (2.1.28)

Modèle de Bernoulli 13 et les relations : { v(x) = [Nv ]{u} θ z (x) = [N θz ]{u} d où { v(x) = [Nv ]{ u} θ z (x) = [N θz ]{ u}, { u} = d {u} (2.1.29) dt on déduit l expression de l énergie de déformation et de l énergie cinétique en fonction des déplacements nodaux. L énergie de déformation est égale à : avec d où : En utilisant la relation : il vient : E def = 1 2 V ε xx = u x = y θ z x E def = 1 2 θ z (x) x où la matrice de rigidité [ k ] est égale à : = σ xx ε xx dv (2.1.3), σ xx = E ε xx (2.1.31) ( ) 2 θz EI z dx (2.1.32) x [ ] dnθz {u} = [B]{u} (2.1.33) dx E def = 1 2 {u}t [ k ] {u} (2.1.34) [ k ] = EI z [B] T [B] dx (2.1.35) Le travail des forces extérieures pour le déplacement v(x) et la rotation θ z (x) est égal à : W ext = v(x) p y (x) dx + où le vecteur force est égal à : {f} = θ z (x) m z (x) dx+{u} T {f nod } = {u} T ( {f} + {f nod } ) (2.1.36) [N v ] T p y (x) dx + L énergie cinétique est égale à : E cin = 1 ρ ( u 2 + v 2 ) dv 2 = 1 2 V ρ A v 2 dx + 1 2 où la matrice de masse [m] est égale à : ρ I z θ2 z dx [N θz ] T m z (x) dx (2.1.37) = 1 2 { u}t [m v ] { u} + 1 2 { u}t [m θz ] { u} = 1 2 { u}t [m] { u} (2.1.38) [m] = [m v ] + [m θz ] (2.1.39) avec [m v ] = ρ A [N v ] T [N v ] dx, [m θz ] = ρ I z [N θz ] T [N θz ] dx (2.1.4)

14 Flexion des poutres à plan moyen Le principe de Hamilton : δ t2 (E cin (E def W ext ) ) dt = {δu} avec {δu} t 1 } {{ } t=t1 = {δu} t=t2 = {} (2.1.41) énergie potentielle conduit aux équations de Lagrange : d dt ( Ecin u i ) + E def W ext = i = 1,..., 4 (2.1.42) u i u i soit sous forme matricielle : {f nod } = [m] {ü} + [ k ] {u} {f} (2.1.43) Cas particulier : la section droite est constante Si la section droite est constante, on obtient pour la matrice de rigidité et le vecteur force le même résultat qu avec la méthode précédente (programme ber int mat). On obtient de plus la matrice de masse : [m v ] = ρ A L 42 156 22 L 54 13 L 4 L 2 13 L 3 L 2 156 22 L sym. 4 L 2 (2.1.44a) [m θz ] = ρ I z 3 L 36 3 L 36 3 L 4 L 2 3 L L 2 36 3 L sym. 4 L 2 (2.1.44b) I z Si l élancement de l élément λ = A L 2 est petit, la contribution de la matrice [m θ z ] à la matrice de masse est négligeable. Pour un rond plein de diamètre D : λ = 1 ( ) D 2. 16 L Intégration numérique par la méthode de Gauss Dans la pratique les matrices [ k ] et [ m ] et le vecteur {f} sont évalués numériquement par la méthode de Gauss [5, 15, 17, 26] : 1 1 npi f(ξ) dξ f(ξ i ) w i (2.1.45) où npi, w i et ξ i sont respectivement le nombre de points d intégration, le poids et l abscisse du i e point d intégration (table 2.1). i=1

Modèle de Bernoulli 15 npi ξ i w i 1 ( 2 2 ±.5773526918962576 ± ) 1/3 1 3 4 5 (.88888888888888889 (8/9) ±.77459666924148338 ± ) 3/5.55555555555555556 (5/9) 3 2 ( ) 6/5 ±.3399814358485626 ± 1.65214515486254614 7 2 + 1 6 6/5 3 + 2 ( ) 6/5 ±.8611363115945258 ± 1.34785484513745386 7 2 1 6 6/5.56888888888888889 (128/225) ( ±.53846931156839 ± 1 5 4 ) ( ) 161 5/14.4786286749936647 3 45 + 13 18 5/14 ( ±.9617984593866399 ± 1 5 + 4 ) ( ) 161 5/14.236926885561899 3 45 13 18 5/14 Table 2.1 Points d intégration et coefficients de pondération pour la méthode de Gauss Remarque 1 : un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 npi 1 est intégré exactement par la méthode de Gauss à npi points. Remarque 2 : g(x) dx = L 2 1 1 ( ) 1 + ξ g 2 L dξ L 2 npi i=1 ( ) 1 + ξi w i g L 2 (2.1.46) 2.2 Exemples 2.2.1 Poutre soumise à une force nodale Une poutre droite (1,2,3) de section droite constante est encastrée en 1 et repose en 2 sur un appui simple. Soit EI z la rigidité linéique de flexion. Figure 2.8 Poutre soumise à une force nodale Elle porte en 3 une charge ponctuelle de composantes (, P, ) avec P >.

16 Flexion des poutres à plan moyen Partition des degrés de liberté Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus ([1], [26]) : d où : θ z2 =? v 1 = {U L } = v 3 =?, {U S} = θ z1 = θ z3 =? v 2 = {U} = { } {UL } = {U S } θ z2 =? v 3 =? θ z3 =? v 1 = θ z1 = v 2 = On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : v 1 θ z1 v {DDL} = 2 θ z2 1 v 3 2 θ z3 3 Étude élémentaire Les matrices élémentaires sont : v 1 θ {ddl 1 2 } = z1 v 2 θ z2 1 [k 1 2 ] = EI z L 3 v 2 θ, {ddl 2 3 } = z2 1 v 3 2 θ z3 3 12 6 L 12 6 L 12 6 L 12 6 L 6 L 4 L 2 6 L 2 L 2 12 6 L 12 6 L, [k 2 3] = EI z 6 L 4 L 2 6 L 2 L 2 L 3 12 6 L 12 6 L 6 L 2 L 2 6 L 4 L 2 6 L 2 L 2 6 L 4 L 2 Assemblage et calcul des déplacements inconnus Les déplacements inconnus sont les solutions de l équation [K LL ]{U L } = {F nod,l } : d où (ber ex1) : EI z L 3 Efforts et déplacements élémentaires 8 L 2 6 L 2 L 2 6 L 12 6 L 2 L 2 6 L 4 L 2 θ z2 v 3 θ z3 = P θ z2 = P L2 4 EI z, v 3 = 7 P L3 12 EI z, θ z3 = 3 P L2 4 EI z Les efforts nodaux sont calculés à l aide de l équation {f nod } = [ k ] {u} (ber ex1) :

Modèle de Bernoulli 17 élément 1 2 : T y1 Mf z1 T y2 Mf z2 = EI z L 3 6 L 3 2 L 2 6 L {θ z2} = P L 2 3 4 L 2 2 L élément 2 3 : T y (x) = 3 P, Mf z (x) = P (L 3 x) 2 2 θ z (x) = P x (2 L 3 x), v(x) = P x2 (L x) 4 EI z 4 EI z T y2 Mf z2 T y3 Mf z3 = EI z L 3 6 L 12 6 L 4 L 2 6 L 2 L 2 6 L 12 6 L 2 L 2 6 L 4 L 2 θ z2 v 3 θ z3 1 = P L 1 Actions de liaison T y (x) = P, Mf z (x) = P (x L) θ z (x) = P ( L 2 4 L x + 2 x 2 ), v(x) = P x ( 3 L 2 6 x L + 2 x 2 ) 4 EI z 12 EI z Elles sont déduites des efforts élémentaires : F 1y = T y1 = 3 P 2 L équilibre de la structure est vérifié :, M 1z = Mf z1 = P L 2, F 2y = T y2,[1 2] T y2,[2 3] = 5 P 2 Représentations graphiques F 1y + F 2y + F 3y =, M 1z + M 2z + M 3z + L F 2y + 2 L F 3y = L effort tranchant T y (x) et le moment fléchissant Mf z (x) sont représentés sur la figure ci-dessous. Application numérique On donne : L = 9 cm, E = 2 MPa, σ E = 3 MPa, P = 15 dan. Le moment fléchissant maximal est Mf max = P L. Le dimensionnement en contrainte s écrit : d où : σ max = Mf max W el.z = P L W el.z < σ E W el.z > P L 15 9 = = 45 cm 2 σ E 3

18 Flexion des poutres à plan moyen 2.2.2 Poutre soumise à une force répartie Figure 2.9 Poutre soumise à une force uniformément répartie La poutre droite représentée sur la figure 2.9 est encastrée en 1 et repose sur un appui simple en 2 et 3. Soit EI z la rigidité de flexion linéique de la poutre. La poutre porte une force répartie d intensité linéique 2 p entre les noeuds 1 et 2 et p entre les noeuds 2 et 3 avec p >. Partition des degrés de liberté Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus ([1], [26]) : { } v 1 = θz2 =? θ {U L } =, {U θ z3 =? S } = z1 = v 2 = v 3 = d où : {U} = θ z2 =? { } θ z3 =? {UL } v = 1 = {U S } θ z1 = v 2 = v 3 = On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : v 1 θ z1 v {DDL} = 2 θ z2 1 v 3 θ z3 2 Étude élémentaire Localisation des degrés de liberté : v 1 θ {ddl 1 2 } = z1 v 2 θ z2 1 v 2 θ, {ddl 2 3 } = z2 1 v 3 θ z3 2 Matrices de rigidité : 12 6 L 12 6 L 12 6 L 12 6 L [k 1 2 ] = EI z 6 L 4 L 2 6 L 2 L 2 L 3, [k 2 3] = EI z 6 L 4 L 2 6 L 2 L 2 L 3 12 6 L 12 6 L 6 L 2 L 2 6 L 4 L 2 12 6 L 12 6 L 6 L 2 L 2 6 L 4 L 2

Modèle de Bernoulli 19 Vecteurs force : {f 1 2 } = pl 6 6 L 6 L, {f 2 3 } = pl 12 6 L 6 L Assemblage et calcul des déplacements inconnus Les déplacements inconnus sont les solutions de l équation [K LL ]{U L } = {F L } : EI z L 3 [ 8 L 2 2 L 2 ] { } θz2 2 L 2 4 L 2 = pl2 12 θ z3 { } 1 1 d où (programme ber ex2) θ z2 = pl3, θ z3 = pl3 168 EI z 56 EI z Efforts et déplacements élémentaires Les efforts nodaux sont calculés à l aide de l équation {f nod } = [ k ] {u} {f} (programme ber ex2) : élément 1 2 : T y1 6 L Mf z1 = EI z 2 L 2 T y2 L 3 6 L {θ z2} p L 6 Mf z2 4 L 2 6 L 6 L = pl 28 29 5 L 27 4 L T y (x) = p 28 ( 29 L 56 x), Mf z(x) = p 28 ( 5 L2 + 29 Lx 28 x 2 ) L effort tranchant s annule pour x m = 29 56 L : Mf z(x m ) = 281 3136 pl2 =.9 pl 2. θ z (x) = élément 2 3 : p x 168 EI z ( 3 L 2 + 87 Lx 56 x 2 ), v(x) = p x2 168 EI z ( 15 L 2 + 29 Lx 14 x 2 ) T y2 Mf z2 T y3 Mf z3 = EI z L 3 6 L 6 L 4 L 2 2 L 2 6 L 6 L 2 L 2 4 L 2 { θz2 θ z3 } pl 12 6 L 6 L = pl 14 9 2 L 5 T y (x) = p 14 ( 9 L + 14 x), Mf z(x) = p 14 ( 2 L2 + 9 Lx 7 x 2 ) L effort tranchant s annule pour x m = 9 14 L : Mf z(x m ) = 25 392 pl2 =.64 pl 2. θ z (x) = v(x) = p 168 EI z (L 3 24 L 2 x + 54 Lx 2 28 x 3 ) p x 168 EI z (L 3 12 L 2 x + 18 Lx 2 7 x 3 )

2 Flexion des poutres à plan moyen Actions de liaison Elles sont déduites des efforts élémentaires : F 1y = T y1 = 29 pl 28, M 1z = Mf z1 = 5 pl2 28 F 2y = T y2 (élément 1 2) T y2 (élément 2 3) = 45 pl 28 F 3y = T y3 = 5 pl 14 L équilibre de la structure est vérifié : F 1y + F 2y + F 3y 3 pl =, M 1z + M 2z + M 3z + LF 2y + 2 LF 3y pl2 2 3 pl2 2 = Représentations graphiques L effort tranchant T y (x) et le moment fléchissant Mf z (x) sont représentés sur la figure ci-dessous. Application numérique On donne : L = 1.4 m, σ E = 23 MPa, P = 2 dan/m. Le moment fléchissant maximal est : Le dimensionnement en contrainte s écrit : Mf max = 5 pl2 28 σ max = Mf max W el.z = 5 pl2 28 W el.z < σ E d où : W el.z > 5 pl2 5 2 142 = 28 σ E 28 23 = 3.44 cm 2

Modèle de Bernoulli 21 2.2.3 Prise en compte d un appui élastique Figure 2.1 Poutre soumise à une force uniformément répartie La poutre droite représentée sur la figure 2.1 est encastrée en 1 et 3. Le nœud 2 repose sur un appui élastique de raideur k. Soit EI z la rigidité de flexion linéique de la poutre. La poutre porte entre les noeuds 2 et 3 une force uniformément répartie d intensité linéique p avec p >. Partition des degrés de liberté Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus ([1], [26]) : { } v 1 = v2 =? θ {U L } =, {U θ z2 =? S } = z1 = v 3 = θ z3 = d où : {U} = v 2 =? { } θ z2 =? {UL } v = 1 = {U S } θ z1 = v 3 = θ z3 = On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : v 1 θ z1 v {DDL} = 2 1 θ z2 2 v 3 θ z3 Étude élémentaire Localisation des degrés de liberté : v 1 θ {ddl 1 2 } = z1 v 2 1 θ z2 2 v 2 1 θ, {ddl 2 3 } = z2 2 v 3 θ z3 Matrices de rigidité : 12 6 L 12 6 L 12 6 L 12 6 L [k 1 2 ] = EI z 6 L 4 L 2 6 L 2 L 2 L 3, [k 2 3] = EI z 6 L 4 L 2 6 L 2 L 2 L 3 12 6 L 12 6 L 6 L 2 L 2 6 L 4 L 2 12 6 L 12 6 L 6 L 2 L 2 6 L 4 L 2

22 Flexion des poutres à plan moyen Vecteur force : {f 2 3 } = pl 12 6 L 6 L Assemblage et calcul des déplacements inconnus Les déplacements inconnus sont les solutions de l équation [K LL ] {U L } = {F nod,l } + {F L } : [ ] { } { } EI z 24 v2 k v2 L 3 8 L 2 = + p L { } 6 12 L d où et : θ z2 v 2 = pl4 48 EI z 1 1 + C, θ z2 = pl3 96 EI z, C = kl3 24 EI z F 2y = k v 2 = pl 2 C 1 + C Figure 2.11 Déplacement v 2 et action de liaison F 2y en fonction de la raideur k du ressort Les autres réactions d appui sont données par l équation {F nod,p } = [K P L ] {U L } {F P } : F 1y 12 6 L M 1z = EI z 6 L 2 L 2 { } v2 F 3y L 3 12 6 L θ z2 pl/2 6 L 2 L 2 pl 2 /12 d où : F 1y = pl 16 M 3z 3 C 1 + C, M 1z = pl2 48 5 C 1 + C, F 3y = pl 13 + 9 C 16 1 + C L équilibre de la structure est vérifié : { F1y + F 2y + F 3y pl = 2.2.4 Poutre avec une rotule interne M 1z + M 3z + LF 2y + 2 LF 3y 3 pl 2 /2 =, M 3z = pl2 48 11 + 5 C 1 + C La poutre représentée sur la figure 2.12 a une section droite constante de moment quadratique I z. Figure 2.12 Poutre avec une rotule interne

Modèle de Bernoulli 23 Soit E le module de Young du matériau. Les deux éléments (1 2) et (2 3) sont liés entre eux par une rotule. L ensemble est encastré en 1 et 3. L élément (2 3) est soumis à une force uniformément répartie d intensité linéique p avec p >. Partition des degrés de liberté La structure est représentée par un élément rigide rotule (1 2) et un élément rotule rigide (2 3). Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus ([1], [26]) : v 1 = {U L } = { v 2 =? } θ z1 =, {U S } = θ z2 = v 3 = θ z3 = d où : {U} = v 2 =? { } v 1 = {UL } θ = z1 = {U S } θ z2 = v 3 = θ z3 = On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : v 1 θ z1 v {DDL} = 2 1 θ z2 v 3 θ z3 Étude élémentaire v 1 θ {ddl 1 2 } = z1 v 2 1 θ z2, [k 1 2 ] = 3 EI z L 3 1 L 1 L L 2 L 1 L 1 v 2 1 θ {ddl 2 3 } = z2 v 3 θ z3 θ z2 = 1 2 L ( 3 v 1 + 3 v 2 L θ z1 ) [k 2 3 ] = 3 EI z L 3 1 1 L 1 1 L L L L 2 θ z2 = 1 2 L ( 3 v 2 + 3 v 3 L θ z3 ) p L3 48 EI z, {f 2 3} = p L 8 3 5 L

24 Flexion des poutres à plan moyen Assemblage et calcul du déplacement inconnu Le déplacement inconnu v 2 est solution de l équation : 6 EI z L 3 v 2 = 3 p L 8 d où v 2 = p L4 16 EI z On en déduit la valeur de la pente au noeud 2 : θ z2 = 3 p L3 32 EI z sur l élément (1 2) et θ z2 = 7 p L3 96 EI z sur l élément (2 3) Efforts et déplacements élémentaires Les efforts nodaux sont calculés à l aide de l équation {f nod } = [ k ] {u} {f} : élément 1 2 : T y1 Mf z1 T y2 Mf z2 = EI z L 3 12 6 L 6 L 2 L 2 12 6 L 6 L 4 L 2 { v2 θ z2 } = p L 16 3 3 L 3 élément 2 3 : T y (x) = 3 p L 16, Mf z (x) = 3 p L (x L) 16 θ z (x) = 3 p L x 32 EI z (x 2 L), v(x) = p L x2 32 EI z (x 3 L) T y2 Mf z2 T y3 Mf z3 = 3 EI z L 3 1 1 L {v 2} p L 8 3 5 L = p L 16 3 13 5 L θ z (x) = T y (x) = p 16 (16 x 3 L), Mf z(x) = p 16 (3 Lx 8 x2 ) p (7 L 3 + 9 L x 2 16 x 3 ), v(x) = p ( 6 L 4 + 7 L 3 x + 3 L x 3 4 x 4 ) 96 EI z 96 EI z Remarque : on obtient le même résultat en utilisant la relation {f nod } = [ k ] {u} {f} de l élément rigide-rigide. Actions de liaison Elles sont déduites des efforts élémentaires : F 1y = T y1 = 3 p L 16 F 3y = T y3 = 13 p L 16 L équilibre de l ensemble est vérifié :, M 1z = Mf z1 = 3 p L2 16, M 3z = Mf z3 = 5 p L2 16 F 1y + F 2y + F 3y p L =, M 1z + M 2z + M 3z + LF 2y + 2 LF 3y 3 p L 2 =

Modèle de Bernoulli 25 Remarque : autre modélisation La poutre est représenté par deux éléments rigide rigide 1 2 et 4 3 avec la condition v 2 = v 4 (cette méthode est utilisée dans le logiciel RDM Ossatures ). La localisation des degrés de liberté dans les matrices globales s écrit : Les matrices élémentaires sont : v 1 θ {ddl 1 2 } = z1 v 2 1 θ z2 2 v 4 1 θ {ddl 4 3 } = z4 3 v 3 θ z3 [k 4 3 ] = EI z L 3 v 1 θ z1 v 2 1 θ {DDL} = z2 2 v 3 θ z3 v 4 1 θ z4 3 [k 1 2 ] = EI z L 3 L assemblage conduit à l équation : 24 6 L 6 L EI z L 3 6 L 4 L 2 6 L 4 L 2 12 6 L 12 6 L 6 L 4 L 2 6 L 2 L 2 12 6 L 12 6 L 6 L 2 L 2 6 L 4 L 2 12 6 L 12 6 L 6 L 4 L 2 6 L 2 L 2 12 6 L 12 6 L 6 L 2 L 2 6 L 4 L 2 v 2 θ z2 θ z4 = p L 12 6 L 6 {f 4 3} = p L L 12 6 L d où : v 2 = p L4 3 p L3, θ z2 =, θ z4 = 7 p L3 16 EI z 32 EI z 96 EI z 2.2.5 Problème à déplacement imposé Énoncé La poutre droite représentée sur la figure ci-dessous est en acier de module de Young E et de limite élastique σ E ; elle a une section constante de moment quadratique I z. La section 1 est encastrée et la section 3 repose sur un appui simple ; la section 2 subit un déplacement vertical v 2 = d avec d >.