Probabilités III Introduction à l évaluation d options

Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013

1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique 3 Méthode de Monte-Carlo Réduction de variance Variables de contrôle.

Option exemple Une option européenne d achat (Call européen) est un contrat dont les conditions sont les suivantes : À un moment futur déterminé à l avance, désigné sous le terme maturité ou date d expiration ou encore échéance, son détenteur peut acheter un actif déterminé, désigné sous le terme d actif sous-jacent ou simplement sous-jacent pour un montant prescrit, désigné sous le terme de prix d exercice ou encore par l anglais strike.

Asymétrie du risque Notons S T la valeur de l actif risqué à l échéance T de l option et K le prix d exercice. Que peut-il se passer à la date T? Soit S T > K : le détenteur de l option achète donc l actif au prix d exercice, noté K. On dit qu il y a exercice de l option. Le vendeur de l option doit donc être en mesure de fournir la différence S T K. Soit S T < K : le détenteur de l option achète directement l actif au prix du marché. Le vendeur de l option n a rien à faire. Le risque est du côté du vendeur de l option. Q : Comment rétribuer ce risque? Quel prix pour cette option?

Bilans symétriques Valeur de l option à l échéance : Bilan du point de vue du vendeur : à l échéance de l option, le vendeur doit fournir la quantité S T K si S T > K, 0 si S T < K. Donc, dans le cas d une option d achat, le vendeur doit fournir la quantité (S T K) + = max(s T K, 0) à l échéance de l option. Bilan du point de vue de l acheteur : à l échéance de l option, dans le cas où S T > K, il achète un bien de valeur S T au prix K, son gain est donc de S T K ; dans le cas contraire, son gain est nul. Valeur de l option à l échéance =(S T K) +.

Options vanilles Cas général : on note h(s T ) la quantité que doit fournir le vendeur à l échéance. La fonction h s appelle l actif contingent ou en anglais la fonction de pay-off. Comme h ne dépend que de la valeur de l actif à l échéance, on parle d option vanille. Exemple : h(s T ) = (K S T ) + (option de vente) ; h(s T ) = (S T K) + (option d achat).

Actif risqué S t et actif sans risque B t (bon 0-coupon), t {0, 1}. t = 0 : S 0 et B 0 = 1. t = 1 : 2 scénarii possibles pour S 1 : soit S 1 = S 0 u > S 0, soit S 1 = S 0 d < S 0 t = 1 : B 1 = 1 + R.

Point de vue du vendeur Portefeuille de réplication Option vanille de maturité T = 1 de valeur terminale h(s 1 ). Portefeuille de valeur initiale V 0 contenant une proportion x d actifs risqué de valeur S 0 ; le reste noté y dans l actif non risqué (en liquide placé à un taux R). V 0 = x S 0 + y. Portefeuille de réplication portefeuille de valeur initiale V 0 qui fournit la quantité désirée à l échéance de l option, soit h(s 1 ). Q : Est-ce possible dans tous les cas? Comment choisir x et y? Quel est la valeur de V 0?

Réplication Valeur du portefeuille à l échéance : x S 0 u + (1 + R)y V 1 = x S 1 + (1 + R)y = x S 0 d + (1 + R)y si l actif a monté, sinon. Contraintes de réplication : h(s 0 u) V 1 = h(s 1 ) = h(s 0 d) si l actif a monté, sinon. Deux inconnues x et y, deux équations = une unique solution!

Prime et stratégie de couverture On résoud le système linéaire 2 2 : x = h(s 0u) h(s 0 d) S 0 (u d), y = h(s 0d)u h(s 0 u)d, (1 + R)(u d) En injectant ces relations dans V 0 = S 0 x + y : V 0 = 1 [ ( ) ( )] 1 + R d u (1 + R) h(s 0 u) + h(s 0 d) 1 + R u d u d Idée centrale : Prime de l option coût de la stratégie de réplication le montant initial du portefeuille qui la réplique.

Probabilités risque-neutre Supposons que d 1 + R u, on pose alors p = 1 + R d u d 0, q = u 1 R u d 0, p + q = 1. Les nombres {p, q} sont les probabilités risque-neutres du modèle : { } Ω = {S 1 = S 0 u}, {S 1 = S 0 d} ; p = P(S 1 = S 0 u), q = P(S 1 = S 0 d). On réécrit alors V 0 = 1 1 + R ( ) p h(s 0 u) + q h(s 0 d) = 1 ( ) 1 + R E h(s 1 ).

Stratégie d arbitrage Que se passe-t-il, par exemple, si 1 + R > u? On vend le stock S 0 et on le place le tout dans le 0-coupon : x = 1, y = S 0 = V 0 = 0. À l échéance, on a : V 1 = (1 + R) Z avec Z = u ou Z = d. Dans tous les cas V 1 > 1 + R u > 0 : on a réalisé un arbitrage. Stratégie d arbitrage : c est un portefeuille V tel que V 0 = 0, et V 1 > 0 avec probabilité 1.

Principe d Abscence d Opportunité d Arbitrage (1) d 1 + R u Pas de stratégies d arbitrage possibles. En effet, considérons un portefeuille de valeur initiale nulle V 0 = 0 : S 0 x + y = 0 = y = S 0 x. À l échéance, on a x S 0 (u (1 + R)) si S 1 = S 0 u, V 1 = S 1 x + y = x S 0 (d (1 + R)) sinon. Donc si x > 0 alors on a à la fois u > 1 + R et d > 1 + R ce qui viole les inégalités (1). Idem si x < 0.

Probabilités risque-neutre versus historiques On suppose d 1 + R u, on pose p = 1 + R d u d 0, q = u 1 R u d 0, p + q = 1. p représente la probabilité de monter de l actif risqué et q la probabilité de descendre. Ces probabilités sont issues d une réflexion sur la stratégie de couverture du vendeur en fonction d un modèle sur l évolution future de S t. En aucun cas, il ne s agit de probabilités historiques issues de statistiques sur le passé de l actif.

Signification du prix de l option Le concept de portefeuille de réplication, issu du point de vue du vendeur de l option, permet de donner un sens au prix de l option : le prix de l option est la valeur initiale du portefeuille qui la réplique. Autre sens : le prix de l option à t = 0 est l espérance actualisé de sa valeur à l échéance V 0 = 1 1 + R E h(s 1) = 1 1 + R E V 1.

Bilan : Marché viable, marché complet Marché : Dans le contexte présent, il s agit d un ensemble de d actifs risqués et d un actif non risqué. Marché viable : Un marché où il n y a pas d opportunité d arbitrage. Définition équivalente : Un marché pour lequel il existe une probabilité P risque-neutre, c.-à-d. sous laquelle l espérance des différents actifs risqués est égale aux prix forward E P (S i T ) = (1 + R)S i 0, i = 1..., d. Marché complet : Un marché où tout actif conditionnel (le pay-off) est réplicable. Définition équivalente : Un marché pour lequel il existe une unique probabilité P risque-neutre.

Deux faces de la même médaille SOIT on cherche les probabilités telles que S 1 1 p 1 + + p M = 1, p 1 S 1,1 + p M S 1,M = (1 + R)S 0 p 1 2 équations, M inconnnues : existence de solutions mais pas unicité en général. S 2 1 SOIT on cherche une stratégie (x, y) telle que S 0 p 2 xs 1,1 + y(1 + R) = h(s 1,1 ),. xs 1,M + y(1 + R) = h(s 1,M ) 1 p M S M 1 1 + R M équations, 2 inconnnues : pas de solutions en général (couverture partielle). Il existe donc des pay-offs non réplicables. V 0 = xs 0 + y, 1 V 0 = 1 + R (p 1h(S 1,i ) + + p M h(s 1,M )).

Un modèle discret où t = 0, 1, 2,..., T Deux sous-jacents : un actif risqué S t et un sans risque B t ; B t+1 = (1 + R) B t, B 0 = 1, t = 0, 1,... T 1, S t+1 = S t Z t, S 0 = s, t = 0, 1,... T 1. Z 0, Z 1,..., Z T 1 variables aléatoires i.i.d. ne prenant que deux valeurs : u > 1 et d < 1 telles que P(Z n = u) = p = 1 P(Z n = d).

Exemple T=3 périodes Arbre recombinant : S 0 = s, u > 1, d < 1 su 3 su 2 su su 2 d s sud sd sud 2 sd 2 sd 3

Stratégie d allocation de portefeuille Un portefeuille V t contenant x t proportion d actifs risqué et y t proportion d actifs sans risque : V t = x t S t + (1 + R)y t, t = 1,... T. y t = quantité de liquide investie en banque à la date t 1 et gardée jusqu à la date t ; x t = quantité d actifs risqué acheté à la date t 1 et gardée jusqu à la date t. t 1 (x t, y t ) t (x t, y t ) V t 1 = x t S t 1 + y t V t = x t S t + (1 + R)y t

Stratégie auto-financée t 1 t t + 1 (x t, y t ) (x t, y t ) V t 1 = x t S t 1 + y t V t = x t S t + y t (1 + R) t t + 1 (x t+1, y t+1 ) (x t+1, y t+1 ) V t = x t+1 S t + y t+1 V t+1 = x t+1 S t+1 + y t+1 (1 + R)

Bilan de la stratégie autofinancée V t = x t+1 S t + y t+1 = x t S t + y t (1 + R) À chaque date t, la valeur de l ancien portefeuille (x t, y t ) constitué à la date t 1 est égale à la valeur du nouveau portefeuille (x t+1, y t+1 ) formé à la date t jusqu à t + 1. L acquisition d un nouveau montant d actifs est financé par la vente d un autre. On exclut donc a priori l hypothèse de consommation entre deux dates ou l injection de liquide au cours du temps.

Stratégie d arbitrage Une stratégie d arbitrage est une stratégie auto-financée {(x t, y t ), t = 0,... T 1} telle que la valeur V t du portefeuille associé satisfait les trois propriétés suivantes : V 0 = 0, P(V T 0) = 1, P(V T > 0) > 0. Retour au modèle : Si le modèle est libre d arbitrage alors d 1 + R u (voir le modèle à une période). On supposera donc d < u de sorte que cette inégalité soit vérifiée.

Probabilités risque-neutre Les probabilités p et q = 1 p sont choisis de sorte que s = 1 ( ) 1 + R E S t+1 S t = s. On dit que ce sont les probabilités risque-neutre du modèle ou encore les probabilités martingales. Dans le cas du modèle binomial, ces probabilités sont données par p = 1 + R d u (1 + R), q = u d u d

Application au calcul récursif des prix S t = 1 1 + R E ( S t+1 S t ), On dit que l actif actualisé est une martingale. Conséquence de l autofinancement : V t+1 (1 + R)V t = x t+1 (S t+1 (1 + R)S t ) = V t = 1 1 + R E ( V t+1 S t ). Le portefeuille de réplication est également une martingale.

Exemple Le modèle calibré S 0 = 80, u = 1.5, d = 0.5, R = 0, N = 3 périodes. 270 180 120 90 80 60 40 30 20 10

Exemple Une option d achat à t = 3 V 3 = (S 3 K) +, K = 80. 270 190 180 120 90 10 80 60 40 30 0 20 10 0

Exemple Calcul de la prime à t = 2 V 2 = 1 1 + R E(V 3 S 2 ) 270 190 180 100 120 90 10 80 60 5 40 30 0 20 0 10 0

Exemple La prime à t = 0 V t = 1 1 + R E(V t+1 S t ), t = 0, 1 270 190 180 100 120 52.5 90 10 80 27.5 60 5 40 2.5 30 0 20 0 10 0

Exemple La stratégie de réplication x t = V t+1(s t u) V t+1 (S t d) S t (u d) 270 190 x = 1, y = 80 180 100 x = 95/120, y = 42.5 120 52.5 90 10 x = 5/8 x = 1/6, y = 5 80 27.5 60 5 y = 22.5 x = 1/8, y = 2.5 40 2.5 30 0 x = 0, y = 0 20 0 10 0

Calibration d un modèle binomial Représentation en N périodes d un modèle continu en temps sur un intervalle [0, T ]. Soit h = T /N le pas de temps. But : Calcul de u, d et R en fonction des paramètres du modèle continu. ( Ex : modèle log-normal S h = S 0 exp (r σ 2 /2)h + σ ) hz. Les contraintes de bases sont d identifier les premiers moments du modèle : p u + (1 p) d = E(S h /S 0 ) ) = exp(rh) = 1 + R, p u 2 + (1 p) d 2 = E ((S h /S 0 ) 2 = exp(2rh + σ 2 h). Paramétrage CRR : h = T /N, p = (1 + R d)/(u d), q = 1 p, u = exp(σ h), d = exp( σ h).

Modèle binomial avec N = 10 Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique 10 5 0-5 -10 0 2 4 6 8 10

Modèle binomial avec N = 100 Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique 40 30 20 10 0-10 -20-30 0 20 40 60 80 100

Mode le a temps discret Technique de simulation et re duction de variance Limite du mode le binomial lorsque N + Un mode le simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique Mode le binomial avec N = 1 000 150 100 50 0-50 -100-150 0 200 400 600 800 1000 Probabilite s III Introduction a l e valuation d options

Une trajectoire du mouvement brownien 2 Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique 1.5 1 0.5 0 0.5 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Le mouvement brownien Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique Definition Le mouvement brownien standard est un processus stochastique, c.-à-d. une famille de v.a. indexée par le temps {B t } t 0 tel que B 0 = 0 ses accroissements sont indépendants, c.-à-d. pour tout t > s, B t B s indépendant de B s, stationnaires tel que pour t > s, et ses trajectoires continues. B t B s N (0, (t s)),

Hypothèse d efficience des marchés Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique Le prix actuel d un actif reflète tout l historique des prix passés. Toute nouvelle information implique un réponse immédiate du marché sur les prix. Modéliser le prix d un actif (risqué) modéliser l arrivée de nouvelles informations

Processus des prix Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique S = prix d un actif risqué à la date t. t t + dt = S S + ds ds S = µ dt + σ db rendement déterministe du prix de l actif µ : taux moyen de croissance de l actif risqué, changements aléatoires dûs à des causes externes σ : volatilité de l actif qui mesure l écart-type des rendements. Les accroissements sont gaussiens centrés : db N (0, dt) = dt N (0, 1)

Le lemme d Itô Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique Dans la réalité, les prix sont côtés en temps discret. La variable dt ne peut pas descendre en dessous d une certaine limite. Cependant, il peut être plus efficace de considérer des modèles continus en temps lorsque dt 0. db 2 dt lorsque dt 0. S S + ds = f + df : df = f S ds + 1 2 f 2 S ds 2 + 2 (ds) 2 = σ 2 S 2 db 2 + 2σµS 2 dtdb + µ 2 S 2 dt 2 σ 2 S 2 dt. Lemme d Itô df = f S (σs db + µs dt) + 1 2 σ2 S 2 2 f S 2 dt = σs f S db + ( µs f S + 1 2 σ2 S 2 2 f S 2 ) dt

Back to Black Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique On applique le lemme d Itô à f (x) = ln(x) : d ln(s) = 1 S σs db + (µs 1 S + 1 2 σ2 S 2 ( )) 1 S 2 dt, soit ou encore ou encore d ln(s) = σdb + ln(s) ln(s 0 ) = σb t + S t = S 0 exp ) (µ σ2 dt, 2 ) (µ σ2 t, 2 ) ) ((µ σ2 t + σb t. 2

Application aux pricing d options Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique V t = valeur à la date t d une option vanille de pay-off h et de maturité T sur un sous-jacent S. Point de vue du vendeur : constitution d un portefeuille P t = V t x t S t, rétribué au taux sans-risque r : P t = P 0 e rt. P t qté d actifs non risqué, x t qté d actifs risqué. Inconnues : V t et x t.

Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique Hypothèse de départ : V t = V (t, S t ). Bilan entre t et t + dt (x t = x pendant [t, t + dt[) : P t+dt = V (t + dt, S t+dt ) x S t+dt P t = V (t, S t ) x S t = P t+dt P t = dv x ds D après le lemme d Itô : dv = σs V S db + ( V t V + µs S + σ2 S 2 2 ) V 2 S 2 dt, ds = S(µdt + σsdb).

Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique Bilan des équations : P t+dt P t = r (V xs)dt = σs V ( V S db + t x(µsdt + σsdb) Identification des termes en db et dt : x = V S, V + µs S + σ2 S 2 2 ) V 2 S 2 dt (couverture en delta neutre) r(v xs) = V t V + µs S + σ2 S 2 2 V 2 S 2 µxs

Raisonnement par arbitrage Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique Par unité de temps : V t + σ2 S 2 2 V } {{ 2 S 2 } Rendement du portefeuille de réplication V t ( = r V S V ), S } {{ } Rendement de la partie non risqué en dépôt P t Si V t + σ2 S 2 2 ( V 2 S 2 > r V S V ) : on emprunte une qté P t S que l on investi dans le portefeuille V t ; profit sans risque. Si V t + σ2 S 2 2 ( V 2 S 2 < r V S V ) : on shorte le portefeuille et S on met en dépôt le résultat.

Limite du modèle binomial lorsque N + Un modèle simple des prix d actifs Embryon de calcul stochastique Équation aux Dérivées Partielles de B&S (1973) Black, F. et Scholes, M. (1973), The pricing of options and corporate liabilities, J. Pol. Econ. 81, 637 659. V t + σ2 S 2 2 ( V 2 S 2 r V S V ) = 0, S avec la donnée terminale V (T, S) = h(s).

Nécessité des simulations Méthode de Monte-Carlo Réduction de variance Variables de contrôle Soit X : Ω R d et F : R d R tels que E(F (X )) 2 < +. On souhaite approcher c = E F (X ). Exemples : X = (ST 1,..., S T d ) un panier de d stocks à la date T et F (X ) = (λ 1 ST 1 + + λ dst d K) + (call sur indice). X = (S 1 T, S 2 T ) et F (X ) = (S 1 T S 2 T K) + (call spread). Problèmes : même dans le cas du modèle log-normal, il n y a pas de formules explicites (ex : B&S ), d où un recours à la simulation : méthode de Monte-Carlo. Outils théoriques : loi des grands nombres et théorème central de la limite.

Méthode de Monte-Carlo Méthode de Monte-Carlo Réduction de variance Variables de contrôle Étant donné un échantillon (Y i ) 1 i M de taille M d une population Y (mathématiquement un famille de v.a. indépendantes et de même loi que Y ), on calcule la moyenne de l échantillon Y = 1 M M Y i, i=1 alors lorsque M tend vers + on a les deux convergences suivantes : Y E(Y 1 ) (loi des grands nombres) Y N (E(Y 1 ), σ 2 (Y 1 )/M) (TCL) Bilan : l erreur Y E(Y 1 ) se réparti asymptotiquement selon une distribution gaussienne centré et d écart-type : σ(y 1 )/ M et ceci quelque soit la distribution de Y.

Application Méthode de Monte-Carlo Réduction de variance Variables de contrôle On applique le principe précédent à Y = F (X ) et Y i = F (X i ). Donc si l on sait générer des copies indépendantes X i et de même loi que X (des scénarios), la méthode de Monte-Carlo permet d estimer la moyenne de F (X ), c.-à-d. E(F (X )), et la méthode génère sa propre estimation de l erreur σ(f (X ))/ M : on remplace σ(f (X )) par l écart-type empirique de l échantillon s(f (X )) = 1 M 1 M (F (X i ) Y ) 2 i=1 La convergence est lente 1/ M mais indépendante de d (!) Un réduction de σ(f (X )) permet de gagner beaucoup en temps de calcul.

Réduire la variance Méthode de Monte-Carlo Réduction de variance Variables de contrôle Variable de contrôle ; «Importance sampling» ; Variables antithetiques ; Stratification ; Conditionnement ;...

Variable de contrôle Méthode de Monte-Carlo Réduction de variance Variables de contrôle Idée : écrire E(F (X )) comme E(F (X ) H(X )) + EH(X ) = a + b, où a est estimé en utilisant une simulation Monte-Carlo, a = 1 M (F (X m ) H(X m )) M m=1 et où b = EH(X ) peut être calculé explicitement. Le choix de H est guidé par le fait que Var(F (X ) H(X )) < Var(F (X )).

Méthode de Monte-Carlo Réduction de variance Variables de contrôle Variable de contrôle : version optimisation La recherche de H peut s optimiser dans certains cas : soit Z = F (X ) H(X ) + E(H(X )), Z = F (X ) et λ R. On pose Z λ = (1 λ)z + λz. Alors les trois v.a. ont la même espérance : E(Z λ ) = E(Z) = E(Z ) = c et on peut essayer d estimer E(Z λ ) de sorte que λ = argmin λ R Var(Z λ ) = Cov(Z Z, Z) Var(Z. Z)

Méthode de Monte-Carlo Réduction de variance Variables de contrôle Variable de contrôle et relation de parité Z = exp( rt )(S T K) + (CALL), Z = exp( rt )(K S T ) + + S 0 K exp( rt ) (CALL parité) D après la relation de parité E(Z) = E(Z ) =Prix du Call. Or la variance de Z est la variance du Call et la variance de Z est celle du Put : laquelle est la plus petite? Optimisation : Z λ = λz + (1 λ)z, recherche du meilleur λ (Cf. TP 1). Avantage : indépendant du modèle (B&S, vol locale, vol sto,...) Ne dépend que du produit (ici call vanille) pour lequel il existe une relation de parité. S adapte donc au cas asiatique par exemple.

Variable de contrôle géométrique Méthode de Monte-Carlo Réduction de variance Variables de contrôle X i valeurs d actifs B&S à une date T, indépendants, de volatilité σ i et de prix spot x i. Soit λ i > 0 poids de somme 1. Call sur panier F (X ) = (λ 1 X 1 + + λ d X d K) +, Call sur panier géométrique (abstrait) H(X ) = (X λ1 1 X λ d d K) + On peut voir Z = X λ1 1 X λ d d comme un actif B&S. Quelle volatilité? (Cf. TP 1). Donc E(H(X )) se calcule par une formule de B&S. Laquelle? Ici a = E(F (X ) H(X )) est estimé selon Monte-Carlo et b = E(H(X )) est calculé explicitement grâce à une fromule de B&S. Prix final E(F (X )) = a + b.