Ministère de l éducation nationale Session 2013 PE2-13-PG1 Repère à reporter sur la copie CONCOURS DE RECRUTEMENT DE PROFESSEURS DES ECOLES Vendredi 28 septembre 2012 de 9h 00 à 13h 00 Deuxième épreuve d admissibilité Mathématiques et sciences expérimentales et technologie Durée : 4 heures Note éliminatoire : 0 à l une ou l autre des parties de l épreuve Le candidat doit traiter la partie sciences expérimentales et technologie sur une copie distincte de celle(s) utilisée(s) pour la partie mathématiques. Rappel de la notation : - première partie mathématiques : 12 points - seconde partie sciences expérimentales et technologie : 8 points Il est tenu compte, à hauteur de trois points maximum, de la qualité orthographique de la production des candidats. Ce sujet contient 7 pages, numérotées de 1/7 à 7/7. Assurez-vous que cet exemplaire est complet. S il est incomplet, demandez un autre exemplaire au chef de salle. L usage de la calculatrice électronique de poche à fonctionnement autonome, sans imprimante est autorisé. L usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout matériel électronique est rigoureusement interdit. Si vous estimez que le texte du sujet, de ses questions ou de ses annexes comporte une erreur, signalez lisiblement votre remarque dans votre copie et poursuivez l épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, il vous est demandé de la (ou les) mentionner explicitement. N.B : Hormis l en-tête détachable, la copie que vous rendrez ne devra, conformément au principe d anonymat, comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine etc. Tout manquement à cette règle entraîne l élimination du candidat. Page : 1/7
Première partie de l épreuve EXERCICE 1 (5 points) Dans cet exercice, des affirmations sont proposées. Pour chacune d entre elles, dire si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier la réponse. Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n enlève aucun point. 1. La figure ci-contre représente trois carrés construits sur les trois côtés d un triangle rectangle. Dans chacun des carrés est indiquée son aire. Affirmation 1 : La construction à l échelle de cette figure est possible. 100 cm 2 32 cm 2 64 cm 2 2. Affirmation 2 : Si un nombre est multiple de 6 et de 9, alors il est aussi multiple de 54. 3. On considère deux nombres dont la somme est 400. Affirmation 3 : Si l on augmente de 3 chacun de ces deux nombres alors leur produit augmente de 1209. 4. En période de sécheresse, un agriculteur a des réserves pour alimenter ses 8 vaches pendant 20 jours. Il accepte de prendre en charge 2 vaches de plus pour rendre service à son voisin. Affirmation 4 : Avec ces mêmes réserves, il pourra nourrir toutes les vaches pendant 18 jours. 5. On considère un solide constitué d un empilement de cubes identiques. On voit ci-contre les vues de droite, de face et de dessus. Affirmation 5 : On peut construire un tel solide à l aide d un empilement de 7 cubes. Vue de droite Vue de face Vue de dessus 6. Affirmation 6 : En insérant de différentes manières exactement deux parenthèses (une ouvrante et une fermante) dans l écriture 8 7 + 3 5, on peut obtenir tous les nombres de la liste suivante 71 ; 176 ; 283 ; 295 ; 400. Mathématiques et sciences expérimentales et technologie PE2-13-PG1 Page : 2/7
EXERCICE 2 (5 points) Soit ABC un triangle isocèle, rectangle en A, tel que AB = 1 m. On cherche à inscrire dans ce triangle un rectangle ayant une aire maximale. Dans tout ce problème, l unité de longueur est le mètre. Partie A : Dans cette partie, on inscrit le rectangle AFED comme sur la figure ci-contre. F est un point du segment [AC], D est un point du segment [AB], E est un point du segment [BC]. On pose AD = x et on considère la fonction f qui, à tout nombre x compris entre 0 et 1, associe l aire du rectangle ADEF. 1. Montrer que : f (x) = x² + x. 2. À l aide d une feuille de calcul, on a construit un tableau de valeurs de la fonction f. a) Quelle formule a-t-on pu entrer dans la cellule B2, puis recopier jusqu en B12, pour générer les images par f? b) Dans cette question, on admet l existence d un maximum pour la fonction f. Peut-on affirmer, à l aide du tableau, que le maximum de la fonction f est atteint en 1 2? 1 2 1 3. a) Démontrer que : f (x) x. 2 4 b) En déduire l aire maximale recherchée. c) Le rectangle d aire maximale est-il un carré? Mathématiques et sciences expérimentales et technologie PE2-13-PG1 Page : 3/7
Partie B : Dans cette partie, on inscrit le rectangle DEFG comme sur la figure ci-contre. D est un point du segment [AB], E est un point du segment [AC], G et F sont deux points du segment [BC]. On pose BG = x. 1. Dans quel intervalle I se trouve le nombre x? Dans la suite de l exercice, on considère la fonction g qui, à tout nombre x dans l intervalle I, associe l aire du rectangle DEFG. 2. Exprimer g(x) en fonction de x. 3. La représentation graphique de g est donnée ci-dessous : y 0,3 0,2 0,1-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7x a) D après le graphique, où placer le point G pour inscrire un rectangle d aire 0,2 m²? b) Par lecture graphique, déterminer l aire maximale recherchée au centième près. c) Pour cette aire, le quadrilatère DEFG est-il un carré? EXERCICE 3 (2 points) Soit n un nombre entier naturel non nul et A n le nombre entier naturel dont l écriture décimale ne contient que le chiffre 1 répété n fois : An 111...1 n fois 1. Pour quelles valeurs de n le nombre A n est-il divisible par 11? Justifier. 2. Pour quelles valeurs de n le nombre A n est-il divisible par 33? Justifier. Mathématiques et sciences expérimentales et technologie PE2-13-PG1 Page : 4/7
Le sujet comprend 4 documents A, B, C, D Seconde partie de l épreuve Question 1 (3 points) À l aide du document A et de vos connaissances, rédigez un texte expliquant les caractéristiques géologiques de la région représentée. Question 2 (3 points) En utilisant vos connaissances, reproduisez, complétez et légendez le schéma du document B2 selon le trait de coupe situé sur le document B1. Vous situerez le magmatisme et les foyers des séismes. Question 3 (2 points) 3.1 Définissez ce qu est un risque sismique. 3.2 - À partir de l ensemble des documents fournis, indiquez les facteurs qui augmentent le risque sismique pour une région donnée. Document A : carte de l Islande Manuel de quatrième, Didier 2007, page 50 Mathématiques et sciences expérimentales et technologie PE2-13-PG1 Page : 5/7
Document B1 : sismicité et volcanisme du Japon www.annabac.com/content/les-marqueurs-de-la-zone-de-subduction-japonaise, consulté en octobre 2011 Document B2 : schéma à reproduire et à compléter (trait de coupe situé sur le document B1) Échelle non respectée A B Asthénosphère Asthénosphère D après Bourque, Université de Laval, Québec Mathématiques et sciences expérimentales et technologie PE2-13-PG1 Page : 6/7
Document C : l aléa sismique à l échelle locale Manuel de quatrième, Hatier 2007, page 71 Document D : effet de deux séismes de même magnitude Islamabad, 8/10/2005, magnitude 7,5 Nord du Japon, 28/12/1994, magnitude 7,5 Manuel de quatrième Delagrave 2007, page 67 Mathématiques et sciences expérimentales et technologie PE2-13-PG1 Page : 7/7