I Points alignés : Deux droites sont parallèles si elles n ont aucun point commun ou si elles sont confondues. Conséquence : Si deux droites sont parallèles et possèdent un point commun alors elles sont confondues. Cette propriété permet de démontrer que trois points sont alignés. Exemple : Soit deux droites parallèles (AB) et (AC). Comme le point A est commun à ces deux droites, elles sont confondues. Donc A, B et C sont alignés. II - Produit en croix : On utilise le produit en croix pour résoudre des équations du style : x 3 = 5 6. On obtient 6 x= 5 3 puis 6 x 6 = 5 3 6 soit x =5 2. Exemples : Résoudre les équations : a) 7x 5 = 7 b) 3 10 x = 6 c) 4 17 5 = 2 x d) 9 4 = x 3 III - Théorème de Thalès (théorème direct) : a) Figures-clés : A M N A M N A B C B C C B M N (MN) // (BC) (MN) // (BC) (MN) // (BC) 1
b) Enoncé du Théorème de Thalès : Soient ABC et AMN 2 triangles tels que on a alors : AM AB = AN AC = MN BC (AB) M N (AC) (MN)//(BC) c) Exemples : Exemple 1 : AM = 30 ; AB = 80 ; AC = 20. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Calculer AN. Les droites (MN) et (BC) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles AMN et ABC : AM AB = AN AC = MN BC Soit : 30 80 = AN 20 = MN BC Donc AN 80 = 30 20 D où : AN = 30 20 80 = 30 20 4 20 = 30 4 = 15 2 = 7,5 2
Exemple 2 : UV) // (JK). IJ = 30 ; IK = 20 ; IU = 10 ; UV = 10. Calculer IV et JK. Les droites (UV) et (JK) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles IUV et IJK : IJ IV = IK IU = JK UV Soit 30 IV = 20 10 = JK 10 Calcul de IV : IV 20 = 30 10 D où IV = 30 10 20 = 15 Calcul de JK : Et JK 10 = 20 10 D où : JK = 20 3
Exemple 3. (donné au brevet) : (Allemagne 96) Le dessin ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. Les droites (NM) et (FG) sont parallèles. On donne les longueurs suivantes : EM = 2,5 ; MN = 4 ; NG = 7 ; FG =12. Calculer les longueurs MF et EN. Les droites (MN) et (FG) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles EMN et EFG : EM EF = EN EG = MN FG Donc EF = FG MN EM = 12 2,5 = 7,5 et MF = EF EM = 7,5-2,5 = 5 4 et EN EN + 7 = 4 12 = 1 3 Donc 3 EN = EN + 7 Soit 2 EN = 7 Et EN = 3,5 d) Conséquences sur les longueurs et les aires Si deux triangles sont dans la configuration du théorème de Thalès, les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle ABC : AM = k AB AN = k AC MN = k BC aire AMN = k² aire ABC Démonstration : H et K sont les pieds des hauteurs issues de A, les triangles AMK et ABH sont aussi dans la configuration de Thalès : AK = k AH Aire AMN = 1 2 AK MN = 1 k AH k BC 2 Aire AMN = k² 1 AH BC 2 Aire AMN = k² aire ABC 4
IV - Réciproque du Théorème de Thalès : a) Théorème : Si ABC et AMN sont deux triangles tels que : A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre AM AB = AN AC alors, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. b) Exemples Exemple 1 AC = 11 ; AE = 22 ; CB = 15 ; BF = 30. Les droites (AB) et (EF) sont-elles parallèles? CE = AC + AE = 11 + 22 = 33 CF = CB + BF = 15 + 30 = 45 CA CE = 11 33 = 1 CB et 3 CF = 15 45 = 1 3 CAB et CEF sont deux triangles tels que d une part les points C, A, E et d autre part les points C, B, F sont alignés dans cet ordre et CA CE = CB, donc selon la réciproque du théorème CF de Thalès les droites (AB) et (EF) sont parallèles. Exemple 2 Démontre que les droites (MN) et (ST) sont parallèles. On donne OM = 2,8 cm ; ON = 5,4 cm ; OS = 2,7 cm et OT = 1,4 cm. D une part : OT OM = 1,4 2,8 = 1 OS et 2 ON = 2,7 5,4 = 1 2 OST et ONM sont deux triangles tels que S, O, N et T, O, M sont alignés dans cet ordre et OT OM = OS, donc selon la réciproque du théorème de ON Thalès les droites (MN) et (ST) sont parallèles. 5
c) Conséquence du théorème de Thalès : montrer que deux droites ne sont pas parallèles Si ABC et AMN sont deux triangles tels que : A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre AM AB AN AC alors, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. Exemple : On donne AB = 2,5 cm ; BC = 3,3 cm ; AC = 2,4 ; CD = 6 cm et CE = 9 cm. Les droites (ED) et (AB) sont-elles parallèles? Justifie la réponse. D une part : CA CD = 2,4 6 = 24 60 = 12 2 12 5 = 2 5 D autre part : CB CE = 3,3 9 = 33 90 = 11 3 30 3 = 11 30 Or 2 5 = 12 30 11 CA donc 30 CD CB CE CAB et CDE sont deux triangles tels que A, C, D et B, C, E sont alignés dans cet ordre et CA CD CB, donc selon la conséquence du théorème de Thalès les droites (ED) et (AB) ne sont pas CE parallèles. Remarque : la conséquence du théorème de Thalès se nomme aussi la contraposée du théorème de Thalès. 6
V Constructions de points La construction des points M d une droite donnée (AB) tels que AM AB donné) est une application de la propriété de Thalès. Exemple : construction des points M tels que AM AB = 3 5 = k (k étant un nombre On trace le segment [AB] ainsi qu'une demi-droite d'origine A. On gradue à l'aide du compas, cette demi-droite et on y place les points C et D d'abscisses respectives 3 et 5. On trace la droite (BD); on construit la droite parallèle à la droite (BD) passant par le point C. Enfin, on note M son point d'intersection avec la droite (AB). Justification : Les droites (MB) et (CD) sont sécantes en A. Les droites (MC) et (BD) sont parallèles. Or, d'après le théorème de Thalès, on a : AM AB = AC AD = 3 5. 7