FICHE METHODE sur les FONCTION INVERSE I) A quoi sert la fonction INVERSE? a) Eemples :. On partage équitablement million d euros entre personnes! Combien chacun aura t-il en fonction de? f() =. 2. Il doit parcourir 00 km! Combien de temps mettra t-il s il va à la vitesse de km.h -? f() = 00. 3. Il y a une réserve de 00 litres d eau, et actuellement 0 personnes, mais il arrive 2 personnes 00 par heure! Quelle sera la part d eau par personne dans t heures? f(t) = 0 + 2t 4. Un rectangle a une aire de 00m² et une longueur de mètres Que vaut sa largeur en fonction de sa longueur? : f() = 00. 5. Il y a 8 filles et 2 garçons et il arrive un couple ( garçon, fille) par minute! Quel sera le pourcentage de fille dans minutes? f() = 8 + 00 + 800 00 = 0 +2 2 +0 b) Remarques : Le monde est en perpétuelle évolution et les fonctions numériques servent à rendre compte de ces évolutions. Les évolutions que l on constate dans la réalité ne sont pas toutes de même nature ( la vitesse de croissance d un arbre, la position d une pierre en chute libre, ), à une certaine «façon» d évoluer correspond un certain type de fonction, de la même façon que les fonctions affines ou carrées permettent de décrire une «sorte» d évolution, certains phénomène peuventêtre décrits grâce à la fonction inverse, fonction dont il faut connaître les propriétés principales! II) Qu est ce que la fonction inverse? Définition : ( fonction inverse ). La fonction inverse associe à tous nombre réel non nul IR-{0}, l inverse de ce nombre On note f : IR-{0} IR ou encore: f() = pour IR-{0}. 0 n a pas d inverse dans IR Eemples :.L inverse de 3 est : 3 0,33 à 0-2 près 2.L inverse de -2 est : -2 = - 0,5. 3.L inverse de 2 3 est : 3 2 =,5.
III) Propriétés de la fonction inverse La fonction inverse a des propriétés caractéristiques en rapport avec les phénomènes naturels qu elle permet de décrire. Définition 2 : GRAPHIQUE DE LA FONCTION INVERSE. La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole d équation y =. Voici un tableau de valeurs de la fonction inverse : -00-0 -8-5 - 4-2 - -0,5-0,25-0,25-0, 0-0,0-0, -0,25-0,2-0,25-0,5 - -2-4 -8-0 0 0, 0,25 0,25 0,5 2 4 5 8 0 00 0 8 4 2 0,5 0,25 0,2 0,25 0, 0,0 On place dans un repère les points de coordonnées ( ; y = f() ) et on obtient le graphique partiel de la fonction inverse ci dessous. ( on joint les points par une courbe intuitive ). 0 y VALEURS de f() = «La courbe est une hyperbole ( en deu parties )» 5 0-0 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 0 VALEURS de -5-0 Propriété : IMPARITE DE LA FONCTION INVERSE La fonction inverse est telle que pour tout nombre réel IR-{0} on a - = - ( l inverse de l opposé d un nombre non nul est égal a l opposé de l inverse de ce nombre ) On dit alors que la fonction carrée est «impaire». Une conséquence est que la courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à O. Preuve : - = - = - = - = - C.Q.F.D.
Eemples : -3 = - 3 2-0 = - 0 3-2 = - 2. Propriété 2 : SENS DE VARIATION DE LA FONCTION INVERSE. Pour la fonction inverse, on a le tableau de variations suivant : Valeurs de - 0 + Variations de La fonction inverse est décroissante sur ]- ; 0 ]. ( plus un nombre négatif est grand et plus son inverse est petit ) La fonction carrée est décroissante sur [ 0 ; + [. ( plus un nombre positif est grand et plus son inverse est petit ) Preuve : Démontrons que : si a < b < 0 alors a > b Supposons que a < b < 0 ( ce qui montrera la décroissance sur ]- ; 0 ] ) l inégalité a > b est équivalente à a b a > 0 mais aussi à > 0 ( même dénominateur ) b ab or b a est positif car a < b et ab est positif car a et b sont négatifs, donc par quotient, b a b a est positif donc ab ab > 0 donc a > b. finalement : si a < b < 0 alors a > b. On démontre la croissance sur [0 ; + [ de la même façon : Supposons que a > b > 0 Donc b a est négatif et ab est positif donc b a ab > 0 donc a > b. finalement : si a > b > 0 alors a > b. C.Q.F.D Propriété 3 : INEGALITE ET FONCTION INVERSE. la propriété suivante sert à démontrer que certaines fonctions en rapport avec la fonction inverse sont croissantes ou décroissantes. (démontrée ci dessus ) Quels que soient les nombres réels a et b : Pour a et b négatifs : si a < b alors a > b Si on prend les inverses des membres d une inégalité entre des nombres négatifs stricts alors on obtient une inégalité de sens inverse. Pour a et b positifs : si a < b alors a > b Les «doubles barres» dans le tableau signifient que 0 n a pas d image. Si on prend les inverses des membres d une inégalité entre des nombres positifs stricts alors on obtient une inégalité de sens inverse. Eemples : -3 < - donc -3 > -. 2 2 < 5 donc 2 > 5.
Propriété 4 : SIGNE DE LA FONCTION INVERSE. Valeurs de - 0 + Variations de Eemples : -2 est négatif Signe de + 2 est positif 2 Quel que soit le nombre réel non nul IR-{0}, l inverse de ce nombre est du signe de. Preuve : si est négatif alors est négatif et si > 0 alors > 0. ( signe d un quotient ) Propriété 5 : EQUATION ET FONCTION INVERSE. Soit l inéquation = a où a est donné et un réel cherché. On distingue 2 cas selon les valeurs de «a». y = a ( a > 0 ) Pour a 0 : Si = a alors = a = a Pour a = 0 : = 0 est une égalité fausse pour toute valeur de IR ( la preuve est laissée au lecteur : «produit en croi ) Application : = 0 :aucune solution, S =. 2 = 7 a une solution = 7 donc S = { 7 }. Propriété 6 : INEQUATION ET FONCTION INVERSE. ( admis ) Soient les inéquations > a, < a où a est un nombre réel donné et un réel cherché. On distingue 3 cas selon les valeurs de «a». ( Voir la courbe ci dessus pour une illustration ) Pour a > 0 : si > a alors 0 < < a c est à dire : ] 0, a [. Si < a alors < 0 ou > a c est à dire : ] -, 0 [ ] a, + [ Pour a < 0 Si > a alors < a ou > 0 c est à dire ] -, a [ ] 0, + [ Si < a alors a < < 0 c est à dire ] a ; 0[ Si a = 0 : Si > 0 alors > 0 ] 0 ; + [ ; Si < 0 alors < 0 ]- ; 0 [. Application : < 7 donne S = ]-, 0 [ ] 7 ; + [ 2 > 7 donne S = ] 0 ; 7 [.
Pour ] 0, a [ la courbe de est «au dessus» de la droite d équation y = a