Suites Limite de suite réelle Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : conjecture de la limite d une suite définie par une formule explicite Exercice 2 : conjecture de la limite d une suite définie par récurrence (avec tableur et algorithme) Exercice 3 : existence de la limite finie d une suite (en utilisant la définition) Exercice 4 : existence de la limite finie d une suite (en utilisant la définition) Exercice 5 : divergence d une suite sans limite : étude de la suite Exercice 6 : limites de référence : étude des limites des suites et (en utilisant la définition) Exercice 7 : comparaison des limites de deux suites Exercice 8 : limite de suite par encadrement (théorème des gendarmes) Exercice 9 : convergence d une suite Exercice 10 : limite d une suite du type Exercice 11 : limite d une suite du type Exercice 12 : limite d une suite géométrique Exercice 13 : suites adjacentes Exercice 14 : comportement de deux suites dont on connait la limite du produit Exercice 15 : convergence d une suite décroissante minorée Exercice 16 : convergence d une suite croissante majorée Exercice 17 : suites arithmético-géométriques (étude complète) Exercice 18 : série télescopique 1
Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile Toutes les suites suivantes sont définies par leur terme général. Préciser leur premier terme et conjecturer leur limite (si elle existe) : Correction de l exercice 1 1) Soit la suite définie pour tout par : Le premier terme de la suite est avec. D autre part,,,, On peut donc conjecturer que la suite admet pour limite. 2) Soit la suite définie pour tout par : Le premier terme de la suite est avec. Rappel : Pour tout nombre différent de, réel D autre part,,, On peut donc conjecturer que la limite de la suite est. 3) Soit la suite définie pour tout par : Le premier terme de la suite est avec. D autre part,, On peut donc conjecturer que la limite de la suite est. 4) Soit la suite définie pour tout entier naturel par : Le premier terme de la suite est avec. 2
D autre part,, On peut donc conjecturer que la limite de la suite est. 5) Soit la suite définie pour tout entier naturel par : La suite a pour premier terme tel que. D autre part,, On peut donc conjecturer que la suite tend vers. 6) Soit la suite définie pour tout par : La suite admet pour premier terme avec. D autre part, pour tout entier naturel,. Ainsi, si est pair, alors (nombre positif) et, si est impair, alors (nombre négatif). Comme dépend de la parité de, on peut conjecturer que la suite n admet pas de limite. Rappel : Convergence ou divergence d une suite Une suite qui admet une limite finie est dite convergente. Une suite non convergente est dite divergente. Une suite diverge lorsqu elle n a pas de limite finie ou une limite infinie ( ou ). Les suites, et semblent convergentes. Les suites, et semblent divergentes. 3
Exercice 2 (4 questions) Niveau : facile On considère la suite définie par récurrence par 1) Calculer les 6 premiers termes de la suite. 2) A l aide d un tableur, donner les valeurs approchées à près des 12 premiers termes de la suite. 3) En déduire une conjecture de la limite de la suite. 4) Ecrire un algorithme, demandant à l utilisateur de saisir la valeur du premier terme de la suite et permettant de déterminer le premier entier pour lequel. Correction de l exercice 2 1) La suite est définie pour tout. Donc les 6 premiers termes sont,,,, et. 2) Avec un tableur, on peut déterminer la valeur des 12 premiers termes de la suite. Il suffit d entrer la valeur initiale dans la cellule B2, puis de saisir la formule «=B2/2+1» dans la cellule B3, ensuite de copier cette formule et enfin de la coller dans les cellules B4, B5, B6 A l aide du tableur, on observe alors que les 12 premiers termes de la suite ont pour valeur approchée à près : 4
3) D après les résultats de la question précédente, on peut conjecturer que la suite admet pour limite. 4) Ecrivons un algorithme avec le logiciel AlgoBox, demandant à l utilisateur de saisir la valeur du premier terme de la suite et permettant de déterminer le premier entier pour lequel. L algorithme retourne le résultat. Remarque : La suite est une suite arithmético-géométrique. 5
Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen On considère la suite définie par. 1) Déterminer un entier naturel tel que, pour tout,. 2) En déduire que la limite de la suite est. Correction de l exercice 3 1) Soit la suite définie par. Déterminons un entier naturel tel que, pour tout,. D une part, on remarque que et. Ainsi, en prenant, pour tout, on a, en vertu de la décroissance de la fonction sur. Autrement dit,, c est-à-dire. D autre part, pour tout,, c est-à-dire. Il s ensuit que. Donc, pour tout, on a et, c est-à-dire. 2) Montrons que Rappel : Limite finie d une suite (définition) Soit une suite réelle et un réel. La suite a pour limite si et seulement si tout intervalle ouvert contenant contient aussi tous les termes de la suite à partir d un certain rang. Dans ce cas, on note : Considérons un intervalle ouvert contenant. On peut alors écrire cet intervalle sous la forme et. avec Soit un entier naturel tel que. Comme la fonction est décroissante sur,, c est-à-dire. Pour tout, on a alors, c est-à-dire. En outre, on a et donc. 6
En conclusion,. Autrement dit, pour tout tel que,. On vient donc de montrer que, pour tout intervalle ouvert contenant, il existe un entier tel que, pour tout,. Tout intervalle ouvert contenant contient donc tous les termes de la suite à partir d un certain rang ; par définition, cela signifie que. La suite converge vers. 7
Exercice 4 (1 question) Niveau : moyen En utilisant la définition de la limite d une suite, étudier la convergence de la suite. définie par Correction de l exercice 4 L énoncé laisse entendre que la suite admet une limite finie puisqu il y est fait mention de «convergence». Calculons quelques termes de la suite pour émettre une conjecture sur le comportement de cette suite. Il semble donc que la suite converge vers 2. Montrons que tout intervalle ouvert contenant 2 contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. C est-à-dire montrons que tout intervalle ouvert (centré en ) (avec réel strictement positif) contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. D une part, est une proposition vraie pour tout entier naturel car et. D autre part, (car la fonction est décroissante sur ) Il suffit donc de prendre un entier naturel tel que et pour que. Autrement dit, la suite converge vers 2. Exemples : Si, alors il suffit de prendre un entier naturel tel que (par exemple ) et, pour tout entier naturel,. Si, alors il suffit de prendre un entier naturel tel que (par exemple ) et, pour tout entier naturel,. 8
Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen Justifier que la suite n a pas de limite. Correction de l exercice 5 Soit la suite définie par. Montrons qu elle n a pas de limite, c est-à-dire montrons : 1) qu elle n a pas de limite finie 2) qu elle ne tend pas vers 3) qu elle ne tend pas vers Rappel : Limite infinie d une suite (définition) Soit une suite réelle et un réel. La suite tend vers si et seulement si tout intervalle ouvert contient aussi tous les termes de la suite à partir d un certain rang. La suite tend vers si et seulement si tout intervalle ouvert contient aussi tous les termes de la suite à partir d un certain rang. 1) Montrons que la suite n admet pas de limite finie. Si est pair, alors et, si est impair, alors. Ainsi, la suite est une suite alternée prenant successivement les valeurs et. Considérons un intervalle ouvert d amplitude inférieure strictement à. Cet intervalle ne peut donc contenir à la fois et. Autrement dit, cet intervalle ne peut donc pas contenir tous les termes à partir d un certain rang. Il en résulte, par définition, que la suite ne peut avoir une limite finie. La suite diverge. 2) Montrons que la suite ne tend pas vers. La suite ne peut pas tendre vers car l intervalle ne contient pas les termes de la suite, de valeur, c est-à-dire ne contient pas tous les termes de la suite à partir d un certain rang. 3) Montrons que la suite ne tend pas vers. La suite ne peut pas tendre vers car l intervalle ne contient pas les termes de la suite, de valeur, c est-à-dire ne contient pas tous les termes de la suite à partir d un certain rang. En conclusion, la suite définie par, n admettant pas de limite finie et ne tendant ni vers ni vers, n a pas de limite. 9
Exercice 6 (1 question) Niveau : facile Démontrer les limites de référence suivantes : Correction de l exercice 6 1) Démontrons que : Soit un réel strictement positif. Montrons que l intervalle ouvert contient tous les termes à partir d un certain rang. Comme, (car la fonction est croissante sur ), c est-à-dire. Posons alors par exemple. Ainsi, à partir du rang, on a. Il en résulte que. Rappel : Partie entière d un réel Soit un réel. On appelle partie entière de, notée, le nombre entier tel que. Exemples : car car 2) Démontrons que : Montrons que tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. C est-à-dire montrons que tout intervalle ouvert (centré en ) (avec réel strictement positif) contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. D une part, comme et comme, D autre part, (car la fonction est décroissante sur et car ) Posons alors par exemple. Ainsi, à partir du rang, on a. Il en résulte, par définition, que. 10
Exercice 7 (3 questions) Niveau : facile On considère les suites et respectivement définies par récurrence par : 1) Comparer et pour tout. 2) Si les suites et ont des limites finies respectives et, que peut-on dire de et? 3) Ecrire un algorithme permettant de conjecturer la limite de chacune des suites. Correction de l exercice 7 1) Comparons et pour tout. D une part, et. Donc. D autre part, et. Donc. On peut donc conjecturer que, pour tout,. Vérifions cette conjecture à l aide d un raisonnement par récurrence. Rappel : Principe du raisonnement par récurrence Soit une proposition définie sur un intervalle de. Soit. Si : Alors : 1) la proposition est initialisée à un certain rang, c est-à-dire si est vraie au rang 2) la proposition est héréditaire à partir du rang, c est-à-dire si, pour tout tel que, on a l implication 3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que. Une proposition est un énoncé, soit vrai, soit faux. Soit la proposition définie sur par : :. Vérifions tout d abord que la proposition est initialisée. On a montré que donc est vraie. Par conséquent, la proposition est initialisée au rang. Montrons désormais que la proposition est héréditaire. Supposons que est vraie pour un entier naturel fixé, c est-à-dire supposons que (hypothèse de récurrence), et montrons alors que est vraie, c est-à-dire montrons que. Pour ce faire, étudions le signe de. 11
Or, par hypothèse,, c est-à-dire,. D autre part,. Donc. On a donc bien, c est-à-dire vraie. On vient donc de montrer que, pour tout, si est vraie au rang, alors est vraie au rang. Autrement dit, la proposition est héréditaire. Finalement, on vient d établir que est vraie et que, pour tout,. Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, en vertu du principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel. On a donc pour tout. 2) Comparons et. D après 1), pour tout,. Si, de plus, on a d une part et d autre part, alors. Remarque importante : On ne peut surtout pas conclure que. En effet, en prenant par exemple et définies par et, on a pour tout, mais. Rappel : Comparaison des limites de deux suites Soient deux suites réelles et et soit un entier naturel. Si, pour tout, (ou ) admet une limite finie admet une limite finie Alors. 3) Ecrivons un algorithme permettant de conjecturer la limite de chacune des suites. Autrement dit, écrivons un algorithme permettant de calculer et (avec supposé assez grand) en demandant à l utilisateur de renseigner le de son choix (dans l exemple ci-après, l utilisateur cherche à calculer et, c est pourquoi il saisit ). 12
En utilisant cet algorithme, on peut donc conjecturer que les deux suites et tendent vers (valeur sans doute arrondie). 13
Exercice 8 (1 question) Niveau : facile Etudier la limite de la suite définie par : Correction de l exercice 8 Rappel : Théorème des gendarmes (aussi appelé théorème d encadrement) Soient, et trois suites de nombres réels et soit un réel. Si, pour tout entier supérieur à un certain entier, Alors, Pour tout,. La fonction étant croissante sur donc sur, on a alors. La fonction étant croissante sur donc sur, on a alors. De plus, pour tout,. Ainsi, il résulte que :, c est-à-dire. Or, et Donc, d après le théorème des gendarmes, 14
Exercice 9 (1 question) Niveau : moyen On considère la suite définie par Démontrer à l aide de deux méthodes différentes que la suite converge vers. Correction de l exercice 9 Montrons que la suite converge vers. 1 ère méthode : utilisation de la définition Montrons que tout intervalle ouvert contenant 0 contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. C est-à-dire montrons que tout intervalle ouvert (centré en ) (avec réel strictement positif) contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. D une part, est une proposition vraie pour tout entier naturel car et. D autre part, (car la fonction est décroissante sur ) (car la fonction est croissante sur ) Il suffit donc de prendre un entier naturel tel que et pour que. Autrement dit, la suite converge vers 0. 2 ème méthode : utilisation des opérations sur les limites 15
Exercice 10 (1 question) Niveau : facile Etudier la limite des suites et respectivement définies par : Correction de l exercice 10 Rappel : Limite d une suite du type Soient une fonction définie sur un intervalle et la suite définie par. Soit. Si, alors. 1) Etudions la limite de la suite. La suite est de la forme où est une fonction rationnelle définie sur et, en particulier sur, par. Or, on a : Ainsi,. La suite converge donc vers. 2) Etudions la limite de la suite. est de la forme où est une fonction définie sur par. Pour tout,. On a et ; d où, par produit,. Par somme, il vient que. Ainsi,. La suite diverge donc vers. 16
Exercice 11 (1 question) Niveau : facile Etudier la limite de la suite définie par. Correction de l exercice 11 Rappel : Limite d une suite du type Soient une fonction définie sur un intervalle et une suite telle que. Les lettres et désignent soit un réel, soit soit. Si et si, alors. Etudions la limite de la suite définie par. Soit la suite définie, pour tout entier naturel non nul, par. Alors où est la fonction trigonométrique définie sur par. D une part,. Or, donc, par somme,. D autre part,. Ainsi,. La suite converge donc vers. 17
Exercice 12 (1 question) Niveau : facile Préciser la limite de la suite définie par Correction de l exercice 12 Pour tout, On reconnait entre parenthèses la somme des premiers termes d une suite géométrique de premier terme et de raison. Rappel : Somme des termes d une suite géométrique Soit une suite géométrique de raison. Alors la somme des termes consécutifs de cette suite est donnée par la formule : Autrement dit, avec où désigne le rang à partir duquel la suite est définie : On a par conséquent : Rappel : Limite de la suite géométrique Soit un réel. Si alors la suite converge et Si alors la suite est constante et Si alors la suite diverge et Si alors la suite diverge et n a pas de limite Or, donc. Ainsi, par somme,. La suite converge vers. 18
Exercice 13 (6 questions) Niveau : moyen On considère les suites et définies par : 1) Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 2) Quelle est la limite de la suite? 3) Démontrer que les suites et sont adjacentes. 4) En déduire qu elles sont convergentes. 5) Démontrer que la suite définie par est constante. Qu en déduire pour les suites et? Correction de l exercice 13 1) Démontrons que la suite est une suite géométrique. Pour tout entier naturel, La suite est donc géométrique de raison et de premier terme. 2) Précisons la limite de la suite. On a vu que est une suite géométrique de raison. Or, ; par conséquent,. Cette suite converge vers. 3) Démontrons que les suites et sont adjacentes. Rappel : Suites adjacentes (définition) Deux suites sont adjacentes si et seulement si : l une de ces suites est croissante l autre de ces suites est décroissante la suite (ou la suite ) converge vers 19
Tout d abord, montrons que l une de ces suites est croissante et que l autre est décroissante. Or, d après 1), la suite est géométrique de raison et de premier terme donc, pour tout,. Par conséquent,. La suite est donc croissante. Comme, pour tout,,. La suite est donc décroissante. Désormais, montrons que la suite converge vers. Il se trouve que ce résultat a déjà été établi à la question précédente puisque. De ces 3 résultats, il vient que les suites et sont adjacentes. 4) Justifions que les suites et sont convergentes. Rappel : Convergence de suites adjacentes Soient et deux suites adjacentes. Alors ces deux suites sont convergentes et ont la même limite ( ). D après la question précédente, ces suites sont adjacentes donc elles convergent vers une même limite ( ). 5) Démontrons que la suite définie par est constante. Pour tout, on a : Donc la suite est constante. Dès lors, il résulte que, pour tout,. Déduisons de ce résultat la limite des suites et. Comme toute suite constante converge, est convergente vers. Comme, par ailleurs, les suites et sont convergentes vers une même limite, on peut écrire que : c est-à-dire. Il résulte de cette équation que. Les suites et convergent donc vers. 20
Exercice 14 (1 question) Niveau : moyen On considère deux suites et à valeurs dans telles que. Montrer que les suites et ont le même comportement. Correction de l exercice 14 D après l énoncé, pour tout entier naturel,, c est-à-dire, c est-à-dire 1) Etudions le comportement de la suite. Remarque importante : On ne peut écrire ni ni, tant que l existence de la limite des suites et n a pas été prouvée., c est-à-dire. Comme, il vient finalement que :. La suite est donc encadrée par les suites et. Or, d après l énoncé,, donc est encadrée par deux suites qui convergent vers 1. D après le théorème des gendarmes, la suite est donc convergente et. 2) Etudions le comportement de la suite., c est-à-dire. Comme, il vient finalement que :. La suite est donc encadrée par les suites et. Or,, donc est encadrée par deux suites qui convergent vers 1. D après le théorème des gendarmes, la suite est donc convergente et. 3) On vient d établir que : les suites et ont le même comportement. 21
Exercice 15 (6 questions) Niveau : facile On considère la suite définie par 1) Prouver que pour tout entier naturel. 2) Etudier la monotonie de la suite. 3) Justifier la convergence de la suite. 4) Conjecturer une expression de en fonction de puis la démontrer. 5) En déduire la limite de. Correction de l exercice 15 1) Montrons que, pour tout,. Soit la proposition définie sur par : :. Vérifions tout d abord que la proposition est initialisée. et donc. est donc vraie. Par conséquent, la proposition est initialisée au rang. Montrons désormais que la proposition est héréditaire. Supposons que est vraie pour un entier naturel fixé, c est-à-dire supposons que (hypothèse de récurrence), et montrons alors que est vraie, c est-à-dire montrons que. Par hypothèse, donc (car la fonction est croissante sur ), c est-à-dire. Comme la fonction est croissante sur (donc sur ), on a, c est-à-dire. Du fait de la décroissance et de la positivité de la fonction sur (donc sur ), il vient que, c est-à-dire. Enfin, par hypothèse,. D où. C est-à-dire. On vient donc de montrer que, pour un entier naturel fixé, si est vraie au rang, alors est vraie au rang. Autrement dit, la proposition est héréditaire. On vient d établir que est vraie et que, pour tout,. Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, d après le principe du 22
raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel. On a donc tout. pour 2) D après ce qui précède, pour tout, donc la suite est décroissante. 3) Justifions la convergence de la suite. Rappel : Convergence des suites monotones D après la première question,. Autrement dit, la suite est minorée par. De plus, d après la question précédente, elle est décroissante. Il en résulte que est convergente. Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente. 4) Conjecturons une expression de en fonction de. Pour cela, calculons les 4 premiers termes de la suite. On remarque que,, et. On peut donc conjecturer que, pour tout entier naturel,. Désignons par la proposition définie sur telle que :. Vérifions tout d abord que cette proposition est initialisée. On vient de montrer que donc est vraie. La proposition est initialisée au rang. Montrons désormais que la proposition est héréditaire. 23
Supposons que est vraie pour un entier naturel fixé, c est-à-dire supposons que (hypothèse de récurrence), et montrons alors que est vraie, c est-à-dire montrons que. On vient donc de montrer que, pour un entier naturel fixé, si est vraie au rang, alors est vraie au rang. Autrement dit, la proposition est héréditaire. On vient d établir que est vraie et que, pour tout,. Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, d après le principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel. On a donc pour tout. 5) Pour tout,. Or,, et. Par conséquent,. La suite converge vers. 24
Exercice 16 (1 question) Niveau : difficile Démontrer que la suite définie par est convergente. Correction de l exercice 16 Montrons que la suite puis qu elle est majorée. est convergente, c est-à-dire montrons tout d abord que la suite est croissante, 1) Pour tout entier naturel non nul, Ainsi,. La suite est donc une suite croissante. 2) Pour tout entier naturel tel que, Ainsi, comme,, c est-à-dire. La suite est majorée par 2. 3) La suite est croissante et majorée donc elle converge vers un réel tel que. Remarque : On peut montrer que. On appelle séries de Riemann les suites définies, pour, par : 25
Exercice 17 (1 question) Niveau : difficile Etudier le comportement des suites arithmético-géométriques définies par Remarque : Les suites arithmético-géométriques sont également appelées suites récurrentes linéaires d ordre 1. Correction de l exercice 17 Tout d abord, commençons par traiter les quelques cas particuliers. 1) Si, Alors (pour tout entier naturel ). La suite est donc stationnaire à partir du rang et pour tout entier naturel non nul. La suite admet donc pour limite. 2) Si et, Alors. La suite est constante et. La suite admet donc pour limite. 3) Si et, Alors. La suite est donc arithmétique de raison et de premier terme. On a alors, pour tout entier naturel,. La suite diverge donc vers si ou vers si. 4) Si et, Alors. La suite est donc géométrique de raison et de premier terme. On a alors, pour tout entier naturel,. Dans ce cas, Si, la suite diverge vers si ou vers si. Si, la suite diverge et n a pas de limite. Si,la suite converge vers 0. Désormais, abordons le(s) cas où. L idée de la démarche consiste à trouver une suite géométrique de raison, obtenue par la différence des suites et, respectivement définies par. En effet,. En considérant par exemple que la suite est une suite constante telle que, on obtient. 26
Comme, il résulte que. La suite définie par, c est-à-dire par, est alors une suite géométrique de raison et de premier terme. On en déduit alors que, pour tout entier naturel,. Dès lors, il vient de que, c est-à-dire. Ainsi, plusieurs cas sont à distinguer. 5) Si, Alors. La suite est constante et converge donc vers. 6) Si et, Alors la suite diverge vers si, c est-à-dire si, ou diverge vers si, c est-à-dire si. 7) Si et, Alors la suite diverge et n a pas de limite. 8) Si et, Alors la suite converge vers. 27
Exercice 18 (1 question) Niveau : moyen Etudier la limite de la suite définie sur par : Correction de l exercice 18 Remarquons tout d abord que, pour tout entier naturel non nul : 1) 2) On appelle série télescopique la somme des termes d une suite qui s annulent de proche en proche. La série télescopique correspondante à une suite est donc la somme de la forme suivante : 3) 4) 5) Ainsi, nous avons pour tout : Or,. Donc, par somme, La suite converge vers 1. 28