Fonctions : Limites et asymptotes

Fonctions : Limites et asymptotes Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 205/206 Table des matières Limite à l infini 3. Limite infinie en, en...................................... 3.2 Limite finie en, en Asymptote horizontale......................... 3 2 Limite infinie en un réel a 4 3 Opérations sur les ites 5 3. Somme de deu fonctions........................................ 5 3.2 Produit de deu fonctions........................................ 5 3.2. Limite d un produit....................................... 5 3.2.2 Fonctions polynômes....................................... 6 3.3 Inverse d une fonction.......................................... 6 3.4 Quotient de deu fonctions....................................... 7 3.4. Limite d un quotient....................................... 7 3.4.2 Fonctions rationnelles...................................... 8 4 Limite d une fonction composée 9 4. Limite de la composée de deu fonctions................................ 9 4.2 Limite de la composée d une suite et d une fonction.......................... 9 5 Théorèmes de comparaison 0 5. Théorème «des gendarmes»...................................... 0 5.2 Théorème de majoration et de minoration............................... 0 Ce crs est placé ss licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

TABLE DES FIGURES LISTE DES TABLEAUX 6 Limites et fonction eponentielle 0 6. Limites de la fonction eponentielle................................... 0 6.2 Quelques ites importantes...................................... Table des figures Limite lorsque tend vers.................................. 3 2 Limite finie lorsque tend vers.................................. 4 3 Limite infinie lorsque tend vers le réel a............................... 4 Liste des tableau Limite d une somme........................................... 5 2 Limite d un produit........................................... 6 3 Limite de l inverse............................................ 6 4 Limite d un quotient........................................... 7 2

LIMITE À L INFINI En préinaire au crs : Activités : Activité page 52 et 2 page 53 2 [TransMath] Limite à l infini. Limite infinie en, en Définition : Soit f une fonction définie sur l intervalle [α ; [. On dit que f a comme ite lorsque tend vers si, pr tt nombre A, l intervalle ]A ; [ contient ttes les valeurs de f () pr suffisamment grand (voir figure ). On note alors : f () = f = Figure Limite lorsque tend vers Remarque : On peut définir de manière analogue f () = ; f () = et f () =. Cas des fonctions usuelles : Les fonctions 2,, n (n entier strictement positif) ont comme ite en. Les fonctions 2, n (n entier pair, non nul) ont comme ite en. Les fonctions n (n entier impair) ont comme ite en..2 Limite finie en, en Asymptote horizontale Définition : Soit f une fonction définie sur l intervalle [α ; [ et l un nombre réel. On dit que f a comme ite l lorsque tend vers si tt intervalle vert contenant l contient ttes les valeurs de f () pr suffisamment grand (voir figure 2). On note alors : f () = l f = l Remarques : On peut définir de manière analogue f () = l. Définition : Lorsque f () = l (respectivement f () = l), on dit que la droite d équation y = l est asymptote (horizontale) à la crbe représentant f.. Comportement d une fonction à l infini. 2. Différents comportements à l infini. 3

2 LIMITE INFINIE EN UN RÉEL A Figure 2 Limite finie lorsque tend vers Remarque : Graphiquement, ceci signifie que la crbe représentant f se rapproche de plus en plus de cette droite lorsque devient grand 3 (voir figure 2). Cas des fonctions usuelles : Les fonctions,, (n entier strictement positif) ont comme ite n 0+ en. Les fonctions (n entier pair, non nul) ont comme ite 0 + en. n Les fonctions (n entier impair, non nul) ont comme ite 0 en. n Remarques :. «0 +» signifie que la fonction tend vers zéro tt en restant plus grande que zéro. 2. Ttes les crbes représentatives de ces fonctions admettent l ae des abscisses comme asymptote. 2 Limite infinie en un réel a Définition : Soit a un réel et f une fonction définie au voisinage de a (mais pas nécessairement en a). On dit que f a comme ite lorsque tend vers a si, pr tt nombre A, l intervalle ]A ; [ contient ttes les valeurs de f () pr suffisamment proche de a (voir figure 3). On note alors : f () = f = a a Figure 3 Limite infinie lorsque tend vers le réel a Remarque : On peut définir de manière analogue a f () = ; a <a f () = ± et a f () = ±. >a Définition : Lorsque a f () = (respectivement a f () = ), on dit que la droite d équation = a est asymptote (verticale) à la crbe représentant f(voir figure 3). 3. éventuellement négatif et grand en valeur absolue pr l asymptote en. 4

3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES Cas des fonctions usuelles : Pr : = 0 Pr : 0 <0 = et Pr : 2 2 = Plus généralement : 0 <0 0 0 >0 = si n entier pair non nul, n = ; si n entier impair, = et 0 n 0 >0 n = Remarque : Ttes les crbes représentatives de ces fonctions admettent l ae des ordonnées comme asymptote. Eercices : 37, 38 page 68 et 39 page 69 4 40, 4 page 69 5 77 page 73 6 [TransMath] 3 Opérations sur les ites Dans tte cette section, l et l désignent deu nombres réels ; a désigne soit un réel, soit, soit. 3. Somme de deu fonctions Les résultats sont résumés dans le tableau. a f () l l l a g () l a [f () + g ()] l + l F.I. Table Limite d une somme Remarque : «F.I.» signifie «Forme Indéterminée». Ceci veut dire que l on ne peut pas conclure directement à l aide du tableau. Il faut étudier plus en détail la fonction pr «lever l indétermination» et trver la ite. Eercice : 52 page 70 7 [TransMath] 3.2 Produit de deu fonctions 3.2. Limite d un produit Les résultats sont résumés dans le tableau 2. 4. Conjectures à partir d un graphique d un tableau de valeurs. 5. Allure de crbe à partir d un tableau de variations. 6. Type BAC. 7. Limite d une somme de fonctions. 5

3.3 Inverse d une fonction 3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES a f () l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 0 0 a g () l a [f () g ()] l l F.I. F.I. Il s agit de la règle des signes Table 2 Limite d un produit 3.2.2 Application : ite en l infini d une fonction polynôme Eemple : f () = 3 4 + 3 2 + On a une forme indéterminée en et en. Si 0 : ( f () = 4 3 + 3 4 2 4 + ) 4 = ( 3 4 + 2 3 + ) 4 ( 4 = 3 + ) 2 + 3 = 3 4 } donc f () = Remarques :. On a un résultat analogue lorsque tend vers. 2. On peut remarquer que la ite est la même que celle de 3 4. Ce résultat se généralise. Propriété : (Hors-Programme) En en, une fonction polynôme a la même ite que son monôme de plus haut degré. Remarque : Ce résultat n est valable que pr les fonctions polynômes et uniquement pr l étude des ites en l infini. Eercice :, 2, 3 page 59 8 [TransMath] 3.3 Inverse d une fonction Les résultats sont résumés dans le tableau 3. a f () l 0 et f () > 0 0 et f () < 0 a f() l 0 0 Table 3 Limite de l inverse Remarque : Lorsque f () tend vers zéro, il est nécessaire de connaître le signe de f pr conclure. Par contre, dans la plupart des cas, ce n est pas du tt une forme indéterminée. Eemples : 8. Limite en l infini de fonctions polynômes. 6

3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 3.4 Quotient de deu fonctions. 2 =? 2 = donc 2 = 0. On a une asymptote horizontale d équation y = 0. 2. 2 =? Comme 2 = 0, il est nécessaire de connaître le signe de ( 2 ) pr conclure. Il s agit d un trinôme du second degré, avec deu racines évidentes : et. De plus, le coefficient du terme de degré 2 est positif. Le signe est donc le suivant : 2 + 0 0 + On a donc : < 2 = et > 2 = On a une asymptote verticale d équation =. Remarques :. Attention! La notation < voisinage de pr conclure. 2 2. Par un raisonnement analogue, on trve : < 2 n a aucun sens. Il suffit de connaître le signe de ( 2 ) au = et > 2 = Eercice : 53 page 70 9 [TransMath] 3.4 Quotient de deu fonctions 3.4. Limite d un quotient On peut remarquer que f() g() = f () g(). On peut donc trver la ite d un quotient à l aide des tableau 2 et 3. Les résultats sont résumés dans le tableau 4. a f () l l l 0 a g () l 0 a f() g() l l 0 0 0 l 0 Il faut étudier le signe de g Table 4 Limite d un quotient règle des signes F.I. 0 0 F.I. Eemples : 9. Limite de l inverse d une fonction. 7

3.4 Quotient de deu fonctions 3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES. 3 2 3 =? 3 2 = 5 3 3 3 = 0 } il faut étudier le signe de 3 le signe est résumé dans le tableau suivant : la ite du numérateur est négative, on a : 3 < 3 2 = et 3 3 > 3 3 3 0 + 2 3 =. Par suite, comme On a une asymptote verticale d équation = 3. 2. 0 2 3 =? } 0 2 3 = 3 2 3 donc = 0 = 0 et > 0 0 On a une asymptote verticale d équation = 0. 3. 2 3 =? } 2 3 = On a une forme indéterminée = De plus : 2 3 = 2 3 = ( ) 2 3 = 3 = 3 = 0 } donc 2 3 = Eercices : 54, 55 page 70 0 [TransMath] 3.4.2 Application : ite en l infini d une fonction rationnelle Eemple : h () = 32 5+ +2 On a une forme indéterminée lorsque tend vers. Si 0 : ( ) h () = 2 3 5 + 2 2 ( ) + 2 = ( 3 5 + ) 2 + 2 = 3 5 + 2 = 3 } donc De plus, + 2 = donc h () = (3 5 + ) 2 = Remarque : On peut remarquer que la ite est la même que celle du quotient des monômes de plus haut degré. Ce résultat se généralise. Propriété : (Hors-Programme) En en, une fonction rationnelle a la même ite que le quotient des monômes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur. 0. Limite d un quotient de fonctions. 8

4 LIMITE D UNE FONCTION COMPOSÉE Remarques : Ce résultat n est valable que pr les fonctions rationnelles et uniquement pr l étude des ites en l infini. Eercices : 5, 6, 7, 8 page 60 9, 0 page 6 et 9 page 64 2 2 page 64 et 42, 44 page 69 3 45, 46 page 69 et 47, 49, 50, 56, 57 page 70 4 58 page 70 5 78 et 80 page 73 6 8 page 74 7 87 page 74 8 [TransMath] Module : 88, 89, 90 page 75 9 [TransMath] 4 Limite d une fonction composée 4. Limite de la composée de deu fonctions Théorème : (admis) Soient f, g et h trois fonctions telles que f () = g (h ()). a, b et c désignent soit des nombres, soit. Si a h () = b et b g () = c alors a f () = c. Remarques :. Ce résultat est intuitif : il faut étudier la ite de la deuième fonction à l endroit où «arrive» la première. 2. On rédigera svent l utilisation de ce théorème comme un changement de variable (voir eemples). Eemple : Étudier la ite en de f () = 2 +. On pose X = 2 +. On a alors f () = X. Or, X = et X X = donc f () =. Eercices : 65, 66, 67 page 7 20 20 page 64 2 82 page 74 22 [TransMath] 4.2 Limite de la composée d une suite et d une fonction Théorème : (admis) Soit f, g et h une fonctions définie sur un intervalle I. Soit (u n )une suite dont ts les termes appartiennent à I. b et c désignent soit des nombres, soit. Si n u n = b et b f () = c alors n f (u n ) = c. Eemple : Étudier la ite en de u n = 3n+2 n+. On montre facilement que n 3n+2 n+ = 3. Comme X 3 X = 3 donc n u n = 3. Eercices : 68, 70 page 7 23 [TransMath]. Comportement à l infini de fonction rationnelles. 2. Asymptotes horizontales. 3. Retrver l équation d une crbe. 4. Étude de fonctions rationnelles. 5. Algorithmique. 6. QCM Vrai/Fau. 7. Limite d une aire. 8. Crbes asymptotes. 9. Asymptotes obliques. 20. Limite d une fonction composée. 2. Comparer des crbes à l infini. 22. Image de l image. 23. Limites de suites. 9

6 LIMITES ET FONCTION EXPONENTIELLE 5 Théorèmes de comparaison 5. Théorème «des gendarmes» Théorème : Soient f, g et h trois fonctions définies sur ]A ; [ et l un réel. Si, pr I, on a g () f () h () et g () = h () = l alors : f () = l Remarque : On a un théorème analogue lorsque tend vers. Eemple : Détermination de la ite en l infini de f () = sin() Pr tt 0, sin () donc, si > 0, f (). De plus, = 0 et De même, si < 0, f () ( ) = 0 donc, on abtit donc à : f () = 0. f () = 0 Eercices :, 2, 3 page 62 ; 60 page 70 et 62 page 7 24 [TransMath] 5.2 Théorème de majoration et de minoration Théorème : Soient f et g deu fonctions définies sur ]A ; [.. Si, pr I, on a f () g () et g () = alors f () = 2. Si, pr I, on a f () g () et g () = alors f () = Remarque : On a un théorème analogue lorsque tend vers. Eemple : Détermination de la ite en de f () = + cos Pr tt R, cos donc f () +. Or, = donc f () =. Remarque : De même, en utilisant f () + et que + =, on peut déduire que f () =. Eercices : 4 page 62 et 63 page 7 25 79 page 73 26 [TransMath] Module : 25 page 67 ; 7, 74, 75 page 7 et 83 page 74 27 [TransMath] 6 Limites et fonction eponentielle 6. Limites de la fonction eponentielle Propriété : On a : e = 0 + et e = Démonstration : Pr trver la ite de la fonction eponentielle en, on va la comparer à. Soit f () = e. f est dérivable sur R et f () = e. Or, on sait que e > dès que > 0. On obtient le tableau de variations suivant : 24. Utilisation du théorème des gendarmes. 25. Utilisation des théorèmes de majoration et de minoration. 26. Vrai/Fau. 27. Quelle méthode utiliser en présence de radicau? 0

6 LIMITES ET FONCTION EXPONENTIELLE 6.2 Quelques ites importantes 0 f () 0 + f () Par suite, pr tt R, f () > 0 soit e >. Or, = donc : e = Pr la ite en, on va faire un changement de variable. On pose X =. On a alors e = e X = e. X X = et X e X = donc X e X = 0 + soit e = 0 +. Eercices : 49, 50, 5 page 97 28 58, 59, 60, 6 page 98 29 68 page 00 30 80 page 03 3 [TransMath] 6.2 Quelques ites importantes Propriété : e = 0 Remarque : Il s agit d une application directe de la dérivabilité de la fonction eponentielle en zéro. Son tau d accroissement tend alors vers (ep) (0) = ep (0) =. Propriété 2 : Croissance comparée de e et de e = et e = 0 Démonstration (partielle) : Soit un réel strictement positif. Comme ( e 2 ) 2 = e 2 2 = e, on a : e = ( e 2 ) 2 Or, on a vu au 6. que, pr tt X R, e X > X. En particulier, on a e 2 > 2 et donc, comme > 0 : e 2 > 2 = 2 = 2 Ts les nombres étant positifs, le passage au carrée conserve l ordre donc : Or, 4 = donc e =. Remarques : e ( ) 2 > = 2 4. Pr trver e = 0, il suffit de faire le changement de variable X =. 2. Plus généralement, si n N, on admettra que : 28. Limites de fonctions contenant une eponentielle. 29. Suites et eponentielles. 30. R.O.C. 3. Type BAC. e = et n n e = 0

RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Eercices : 7, 8, 9, 0 page 88 et 52, 53, 54 page 97 32 24 page 95 33 55 page 97 et 56, 57 page 98 34 69 page 00 35 8 page 03 36 [TransMath] Références [TransMath] TransMATH Term S, programme 202 (Nathan) 3, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2 32. Limites de fonctions de suites contenant une eponentielle. 33. Comparaison à l infini de e et n. 34. Étude de fonctions. 35. R.O.C. 36. Type BAC. 2