1 Somme de sous-espaces vectoriels

Compléments d algèbre linéaire 1 Somme de sous-espaces vectoriels 1.1 Somme de 2 sevs Soient E 1 et E 2 deux sous-espaces vectoriels de E. On appelle somme de E 1 et E 2 l ensemble noté E 1 + E 2 et défini par E 1 + E 2 = { x 1 + x 2, x 1 E 1 et x 2 E 2 } ={ x E x 1 E 1, x 2 E 2 tels que x = x 1 + x 2 }. Attention : il n y a pas toujours unicité de l écriture d un vecteur en somme de deux vecteurs. Par exemple, posons E 1 = {(x, y, z) R 3 x + y z = 0} et E 2 = {(x, y, z) R 3 z = 0}. Alors (1, 1, 1) = (1, 0, 1) + (0, 1, 0) E 1 + E 2, mais on a aussi (1, 1, 1) = (0, 1, 1) + (1, 0, 0) E 1 + E 2... E 1 + E 2 est un sous-espace vectoriel de E. preuve Remarque C est même le plus petit sous-espace vectoriel de E, contenant E 1 et E 2. En effet, soit G un sous-espace vectoriel de E contenant E 1 et E 2 ; montrons que E 1 + E 2 G. Soit x E 1 + E 2. Alors x s écrit x = e 1 + e 2, avec e 1 E 1 et E 2. Or au vu des hypothèses, on a donc e 1 G et e 2 G, d où par somme (G sev), x G. 1 Soit E un ev et soit E 1, resp. E 2, un sev de E admettant une famille génératrice F 1 (resp. F 2 ) : autrement dit E 1 = V ect(f 1 ) et E 2 = V ect(f 2 ). Alors la famille F = (F 1, F 2 ) (obtenue par concaténation des deux familles) engendre E 1 + E 2 : E 1 + E 2 = V ect(f 1, F 2 ). preuve : immédiat! Exemple : On pose E = R 3, E 1 = V ect((1, 0, 1); (0, 1, 1)) et E 2 = V ect((1, 0, 0); (0, 1, 0)). Montrer que E 1 + E 2 = E. Soit E 1, E 2 deux sous-espaces vectoriels de E. On dit que E 1 et E 2 sont en somme directe, et on note E 1 E 2, si tout vecteur x E 1 + E 2 s écrit de manière unique x = x 1 + x 2, avec x 1 E 1 et x 2 E 2. La somme E 1 + E 2 est directe ssi E 1 E 2 = { 0}. Supposons E 1 E 2 = { 0}, et soit x 1 + x 2 = y 1 + y 2 deux écritures d un même vecteur de E 1 + E 2. Alors x 1 y 1 = y 2 x 2 E 1 E 2 = { 0} d où x 1 = y 1 et x 2 = y 2. Il y a bien unicité de l écriture. Si par contre, E 1 E 2 { 0}, on peut trouver y E 1 E 2, avec y 0. Alors 0 = 0 + 0 = y y et il n y a plus unicité de l écriture du vecteur 0 (ni d aucun autre d ailleurs!). Soient E 1 et E 2 deux sous-espaces vectoriels de E. E 1 et E 2 sont dits supplémentaires dans E (ou E 2 est un supplémentaire de E 1 dans E) si E = E 1 E 2 : autrement dit, si tout vecteur x de E s écrit de manière unique x = x 1 + x 2, avec x 1 E 1, x 2 E 2. 1

Attention : ne pas confondre la notion de supplémentaire dans un ev, avec la notion de complémentaire d un ensemble (E\E 1 ) qui ne donne pas un sous-espace vectoriel... donc qui n aura aucun sens ni intérêt dans ce chapitre. (faire un dessin dans le plan avec E 1 droite vectorielle (axe des abscisses par exemple)). Des définitions et résultats précédents on obtient le { E = E1 + E 2 E = E 1 E 2 E 1 E 2 = { 0} Exemple ( dans ) M 2 (R). ( ) a 0 0 b E 1 = {, a R} et E 0 0 2 = {, (b, c, d) R c d 3 } sont supplémentaires. (soit via la définition soit via le théorème ci-dessus :E 1 E 2 = { 0} et toute matrice s écrit comme somme d une matrice de E 1 et d une matrice de E 2 ). Exemple dans R 3. Montrer que E = {(x, y, z) R 3 x y + z = 0} et F = {(x, x, x), x R} sont supplémentaires dans R 3 (Utiliser la définition et faire un raisonnement par analyse et synthèse ou utiliser le théorème ci-dessus en passant par les Vect!) 1.2 Généralisation Soient E 1, E 2,...,E p des sous-espaces vectoriels de E. On note E 1 + E 2 + + E p = { x E x 1 E 1, x 2 E 2,..., x p E p tels que x = x 1 + x 2 + + x p }. E 1 + E 2 + + E p est un sous-espace vectoriel de E dit somme des sous-espaces E i. Soient E 1, E 2,...,E p des sous-espaces vectoriels de E. On dit qu ils sont en somme directe si tout vecteur de E = E 1 + + E p se décompose de manière unique en somme d un vecteur de E 1, un vecteur de E 2,..., un vecteur de E p. On écrit alors E = E 1 E 2 E p, et on dit que E est somme directe des E i. Remarque : le théorème 1 sur les Vect se généralise immédiatement à p sev. 2 Résultats en dimension finie Existence Soit E un ev de dimension finie, et F un sev de E. Alors F admet des supplémentaires G dans E. Attention, il n y a pas unicité du supplémentaire! Soit ( u 1,.. u p ) une base de F. On peut la compléter en une base de E : ( u 1,..., u p, u p+1,..., u n ) d après le théorème de la base incomplète. Posons alors G = V ect( u p+1,..., u n ). On en déduit F + G = V ect( u 1,.. u p, u p+1,..., u n ) = E. Pour obtenir E = F G, il reste à vérifier que F G = {0}. On sait déjà 0 F G donc il suffit de montrer que F G {0} : soit x F G. Alors x F donc x s écrit x = α1 u1 +... + α pup. Comme par ailleurs x G, x s écrit x = α p+1 u p+1 +... + α nun. D où x = α1 u1 +... + α pup = α p+1 u p+1 +... + α nun soit encore α 1u1 +... + α pup α p+1 u p+1... α nun = 0. Comme la famille des (u i ) i [[1,n] est une base de E donc une famille libre, on obtient α 1 =... = α p = α p+1 =... = α n = 0. D où x = 0. 2

Somme Soit E un espace vectoriel de dimension finie, F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors 1. F + G est un sev de dimension finie et dim(f + G) = dim(f ) + dim(g) - dim(f G) 2. F G est un sev de dimension finie et dim(f G) = dim(f ) + dim(g) Prendre une base ( a 1,..., a r ) de F G, que l on complète en une base ( a 1,..., a r, u r+1,..., u p ) de F et en une base ( a 1,..., a r, v r+1,... v q ) de G. Montrons que la famille ( a 1,..., a r, u r+1,..., u p, v r+1,... v q ) est une base de F + G : famille génératrice : F + G = V ect( a 1,..., a r, u r+1,..., u p ) + V ect( a 1,..., a r, v r+1,... v q ) = V ect( a 1,..., a r, u r+1,..., u p, v r+1,... v q ) famille libre : soit λ 1,..., λ p, µ p+1,..., µ q K tels que λ 1a1 +...+λ rar +λ r+1ur+1 +...+λ pup +µ r+1vr+1 +...+µ qvq = 0 ( ). Alors v = µ r+1vr+1 +... + µ qvq = λ 1a1... λ rar λ r+1ur+1... λ pup F G. donc v s écrit dans la base choisie de F G : v = v 1a1 +... + v rar. En combinant ces deux écritures de v on obtient : (v 1 + λ 1 ) a 1 +... + (v r + λ r ) a r + λ r+1ur+1 +... + λ pup = 0. Or comme la famille ( a 1,..., a r, u r+1,..., u p ) est libre (base de F ), on en déduit : λ r+1 = 0 =... = λ p d où ( ) λ 1a1 +...+λ rar +µ r+1vr+1 +...+µ qvq = 0. On conclut en remarquant que la famille ( a 1,..., a r, v r+1,... v q ) est également libre (base de G). Conclusion : ( a 1,..., a r, u r+1,..., u p, v r+1,... v q ) est une base de F + G d où dim(f + G) = r + p + q = (r + p) + (r + q) r = dim(f ) + dim(g) dim(f G). Pour la deuxième assertion, il suffit de réaliser que la somme F + G est directe ssi F G = {0}. 2 Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et F,G deux sevs de E. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. E = F G 2. x E,!( x F, x G ) F G tel que x = x F + x G ( raisonnement par analyse et synthèse) 3. E = F + G et F G = { 0 } 4. E = F + G et dim(e) = dim(f ) + dim(g) 5. F G = { 0} et dim(e) = dim(f ) + dim(g) 6. Une base de F concaténée à une base de G donne une base de E : une telle base est alors dite adaptée à la somme directe. Si E est de dimension infinie, il reste les équivalences : 1. 2. 3. 1 2 c est la définition (vrai en dimension infinie) 1 3 vient du théorème de la section précédente (vrai en dimension infinie) 1 4 vient du théorème sur la dimension de la somme juste au-dessus. 4 5 vient du théorème sur la dimension de la somme juste au-dessus car dim(f G) = 0 F G = { 0}. Pour 5 6 : Soit ( u 1,..., u p ) une base de F et ( v p+1,..., v n ) une base de G, n étant la dimension de E. Montrons que la famille ( u 1,..., u p, v p+1,..., v n ) est une base de E. Elle est de bon cardinal, donc il suffit de montrer qu elle est libre : soit λ 1,..., λ n des scalaires tels que λ 1 u 1 +... + λ n v n = 0. Alors on peut écrire λ 1 u 1 +... + λ p u p = λ p+1 v p+1... λ n v n F G = { 0}. Donc λ 1 u 1 +... + λ p u p = 0 et λ p+1 v p+1... λ n v n = 0 ce qui donne que pour tout i [1, n], λ i = 0 car les deux familles sont libres. Pour 6 1 : tout vecteur de E s écrit de manière unique dans une base adaptée à la somme directe, donc il s écrit de manière unique comme somme de deux vecteurs de F et G respectivement... Exemple : Montrer que F = V ect(2x + 1) et G = V ect(x 2, X 2 + 1) sont supplémentaires dans R 2 [X]. 3

Généralisation Soit E un ev de dimension finie et E 1,...,E p p sev de E. Alors dim(e 1... E p ) = dim(e 1 ) +... + dim(e p ). Par ailleurs les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. E = E 1 E 2... E p 2. E = E 1 + E 2 +... + E p et dim(e) = dim(e 1 ) + dim(e 2 ) +... + dim(e p ) 3. une base de E 1, concaténée avec une base de E 2,... et une base de E p, donne une base de E. Une telle base est alors dite adaptée à la somme directe. Remarque La propriété via l intersection ne se généralise pas au cas p > 2 (il faudrait sinon regarder les intersections 2 à 2...) 3 Sommes et applications linéaires 3.1 Projecteurs associés à deux espaces supplémentaires Soit E un K ev et F,G deux sev supplémentaires dans E : E = F G. L endomorphime p défini par E E est appelé projecteur (ou projection) sur F parallèlement à G. x = x F + x G x F De même, L endomorphime q : E E est appelé projecteur (ou projection) sur G parallèlement à F. x = x F + x G x G p et q sont appelés projecteurs associés à la somme directe E = F G. faire un dessin dans le plan, puis dans l espace exercice : montrer que p, ainsi défini, est bien une application linéaire. Remarque fondamentale : 1. Si x F, alors p( x) = x, puisque x = x + 0, décomposition unique dans F G : d où F Imp. 2. Si x G, alors p( x) = 0, puisque x = 0 + x, décomposition dans F G : d où G Kerp. En fait les réciproques sont vraies : 1. Imp F par définition de p 2. Kerp G car si on prend x = x F + x G Kerp E = F G, on obtient 0 = p( x) = x F d où x = 0 + x G G. On en déduit la proposition Soit p le projecteur sur F parallèlement à G. Alors Imp = F et Kerp = G. En particulier, on obtient : E = Kerp Imp. Remarque : on peut également montrer des propriétés du type p + q = id E p q = 0 = q p Im(p) = Ker(p id) (montrer Ker(p id) = F par double inclusion) Les projecteurs p et q définis précédemment vérifient la relation : p p = p et q q = q Il suffit de le montrer pour p : soit x = x F + x G E. Alors p( x) = x F = x F + 0 G (unicité de l écriture car somme directe) d où p(p( x)) = x F = p( x). Vrai pour tout x E. 4

Réciproquement Soit f un endomorphisme de E vérifiant f f = f. Alors E = Kerf Imf et f est le projecteur (ou projection) sur Imf parallèlement à Ker(f). Montrons que E = Kerf Imf. Analyse : si x = x 1 + x 2 avec x 1 Kerf et x 2 Imf. Alors x 2 Imf a E tel que x 2 = f( a) d où f( x) = 0 + f f( a) = f( a) = x 2. Donc x 2 = f( x) et par suite x 1 = x f( x). Donc si une telle décomposition existe, elle est unique! Synthèse : pour tout x E, on a bien x = ( x f( x)) + f( x). De plus, f( x) Imf et ( x f( x)) Kerf donc cette décomposition convient bien. Conclusion : E = Kerf Imf. De plus, dans l analyse, on a montré que pour tout x = x 1 + x 2 E = Kerf Imf, f( x) = x 2 donc f est bien le projecteur sur Im(f) parallèlement à Ker(f) : f : E = Kerf Imf E x = x 1 + x 2 x 2 3.2 Symétries Section hors-programme Soit E = F G. L endomorphisme s : E E est appelée symétrie par rapport à F parallèlement à G. x = x F + x G x F x G Avec les notations du paragraphe précédent, s = p q = 2p id = id 2q. faire un dessin dans le plan, puis dans l espace Propriétés : s s = id, F = Ker(s id) ; G = Ker(s + id). Réciproquement, si f est un endomorphisme de E vérifiant f f = id, alors E = Ker(f id) Ker(f +id) et f est la symétrie sur Ker(f id) parallèlement à Ker(f + id). (se montre par analyse et synthèse comme le théorème du paragraphe précédent). 3.3 Formes linéaires et hyperplans Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n, et f une forme linéaire non nulle : f L (E, K). Alors rg(f) = 1 : en effet, comme f est une forme linéaire, Imf K d où rg(f) 1. Puis f étant non nulle, dim(imf) 1, et finalement rg(f) = 1. D après le théorème du rang, on en déduit que dim(kerf) = n 1 : le noyau est un hyperplan de E. Réciproquement, soit H un hyperplan de E. Donc dim(h) = n 1. On sait que H admet des supplémentaires : soit G l un d entre eux. On a alors E = H G et dim(g)=1 donc G est une droite vectorielle : il existe e 0 tel que G = V ect( e). Introduisons la forme linéaire ϕ sur E de la façon suivante : x H, ϕ( x) = 0, et ϕ( e) = e. ϕ est ainsi bien définie, car tout vecteur x E, s écrit x = x H + λ e, avec x H H, d où par linéarité, ϕ( x) = 0 + λ e. De plus, avec les notations ci-dessus, ϕ( x) = 0 λ = 0 x = x H H. D où H = Ker(ϕ). On obtient le résultat suivant : Soit E un K ev de dimension finie et H E. Alors H est un hyperplan de E ssi il existe une forme linéaire non nulle sur E de noyau H. Exemple : Montrer par deux méthodes que H = {P R 3 [X] P (1) = 0} est un hyperplan de R 3 [X]. 5