COLLEGE F. DONATIEN DECEMBRE 015 DEVOIR COMMUN 3 ème 1 Epreuve de MATHEMATIQUES Durée de l épreuve : heures Notation sur 40 points 4 points sont attribués à la qualité de la rédaction et à la présentation. L usage de la calculatrice est autorisé, mais tous les calculs doivent figurer sur la copie. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte lors de la notation. Remettre ce document avec votre copie. Nom Prénom Classe
Exercice 1( 7 points) Exercice 1 : Une usine du Robert fabrique du jus de fruit. Soit C la fonction qui à une quantité de jus fabriqués en litres asocie le coût de fabrication en (Euros). On a représenté la fonction C pour une quantité de jus comprise entre 0 et 130 litres. Avec le graphique : 1 a. Déterminer le le coût de fabrication de 100 litres de jus On lit : 400 b. Pour quelle(s) quantité(s) de jus le coût de fabrication est-il supérieur à 550? Le coût est supérieur à 550 entre 0 et 70 litres environ. c. Quel est le coût minimum? Pour quelle quantité de jus est-il atteint? On atteint le coût minimum de 390 pour 105 litres environ a. Quelle est l image de 85 par la fonction C? Environ 450, C(85)=450 b. Donner en lisant sur la courbe C(75) C(75)=480 c. Donner le(s) antécédant(s) de 600 par la fonction C. Les antécédents sont 0 et 57 Coût en Jus en litres
Exercice ( 5 points ) Le plan ci-contre d un terrain a été fait à «main levée». Les dimensions soit données en mètres sur le plan. L angle BAD = 90 (angle droit) 1) Calculez la longueur du segment [BD]. ) L angle BCD est-il un angle droit? Justifiez. (Attention la figure est faite à main levée seul l angle BAD est juste sur la figure) 3) Le terrain peut-il être un rectangle? Justifiez. 4) Quelle est l aire du terrain? 1) Le triangle BAD est rectangle en A (Codage de la figure), on peut appliquer le théorème de Pythagore : BD = AB + AD = 663 + 884 = 439 569 + 781 456 = 1 1 05 Soit BD = 1 1 05 = 1105 m ) Pour savoir si l angle BCD est un angle droit, nous allons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. En effet si le triangle BCD est droit en C, alors BCD sera un angle droit. Le coté qui pourrait etre l hypoténuse de BCD semble être [BD]. Calculons : CB + CD = 817 + 744 = 667 489 + 553 536 = 1 1 05 Or d après la première question,, BD = 1 1 05 Soit, BD = CB + CD et d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BCD est rectangle en C, et BCD est un angle droit. 3) Le terrain ne peut pas être un rectangle puisque ses cotés opposés ne sont pas de même longueur. 4) L aire du terrain est la somme des aires des deux triangles rectangles BAD et BCD soit : Aire de BAD : AB AD = 663 884 = 93 046 m²
Aire de BCD : CB CD = 817 744 = 303 94 m² Soit l aire du terrain : 93 046 + 303 94 = 596 970 m² Exercice 3 (5 points) Dans cet exercice, tout début d explication, de démarche sera pris en compte. La fraction A = 3 7770 est irréductible. Sachant cela déterminez le chiffre manquant des unités au numérateur. Le raisonnement et les calculs doivent obligatoirement figurer sur la copie. Pour choisir le chiffre manquant, on peut commencer à en éliminer certains, sachant que la fraction est irréductible : Le dénominateur se termine par 0 donc, il est divisible par 5, 10,. Donc, le numérateur ne devra pas se terminer par 0,, 4, 5, 6 et 8. 7770 est divisible par 3, en effet : 7+7+7+0 = 1 multiple de 3. Donc le numérateur ne doit pas être divisible par 3. Le chiffre 1 ne peut convenir, car +3+1 = 6 divisible par 3. 7 ne peut pas convenir non plus car +3+7=1 multiple de 3. Il ne reste que 3 et 9. Les deux conviennent car PGCD(33 ; 7770)=1 et PGCD(39 ;7770)=1. Les deux couples sont premiers entre eux et la fraction est irréductible. Exercice 4(6 points) Un grossiste en fleurs a reçu un lot de 700 Roses et 18000 tulipes. Il veut réaliser des bouquets identiques, composés de roses et de tulipes, en utilisant toutes les fleurs. 1 ) Quel est le nombre maximal de bouquets qu il peut composer? ) Une rose coûte 1,50 et une tulipe 1,10. Combien coûte un bouquet? Le Grossiste souhaite faire des bouquets identiques de types de fleurs différentes, et qu il ne lui reste aucune fleur de chaque type : le nombre de bouquets doit donc être un diviseur commun aux quantités de roses et de tulipes. Comme il souhaite le maximum de bouquets ce diviseur commun doit être le plus grand, soit le PDCD de 700 et 18000. Calcul du PGCD On utilise l algorithme d Euclide. Dividende Diviseur Reste 18000 700 3600 700 3600 0
Donc PGCD(18000 ;700)=3600, et le nombre de bouquets maximum est de 3600. ) Une rose coûte 1,50 et une tulipe 1,10. Combien coûte un bouquet? ( points) Chaque bouquet contient : 18000 3600 = 5 tulipes et 700 3600 = roses Le coût d un bouquet est donc : 1,5 + 1,1 5 = 8,50 Exercice 5(7 points) Des élèves de 3 ème Option Espagnol d un collège organisent un Voyage à Barcelone. Partie 1 - L inscription des élèves Le tableau ci-dessous permet de déterminer la répartition de la seconde langue étudiée par les 30 élèves de 4e et de 3e de ce collège. Seconde langue étudiée 4eme 3eme Total Espagnol 84 15-4- 84+78 = 16 50=78 Allemand 4 46 Italien 6 50 6+50= 11 Total 168 30-168=15 30 1) Complétez le tableau. ) Combien d élèves peuvent être concernés par cet échange? 78 élèves sont concernés Partie - Le financement Afin de financer cet échange, plusieurs actions sont mises en œuvre, dont la vente de crêpes pendant les récréations du collège. Chaque crêpe est vendue 1,5. La recette de la pâte à crêpe est la suivante. 50 g de farine 3 Œufs 1 litre de lait 1 cuillérée de vanille cuillères à soupe d huile Recette pour 1 Crêpes bouchons de vanille 1 pincée de sel Des écorces d orange et de citron 16 crêpes ont été vendues en 3 jours. 1) Donner la quantité de farine, d œufs, de lait et de vanille (unité le bouchon pour la vanille) nécessaire pour fournir les 16 crêpes. Pour passer de 1 crêpes à 16, on doit multiplier les quantités par : 16 = 1 = 10,5 1 Soit : Farine : 50 10,5 = 65 g =,65 kg Œufs : 3 10,5 = 31,5 soit 3 oeufs
Lait : 1 10,5 = 10,5 l Vanille : 10,5 = 1 bouchons ) Les dépenses pour fabriquer ces crêpes sont de 41, quel est le bénéfice quand toutes les crêpes sont vendues? Le bénéfice est la différence entre l argent gagné et celui dépensé pour la fabrication des crêpes soit pour 16 crêpes, on gagne : 16 1,5 = 189 D où le bénéfice B : B = 189 41 = 148 Exercice 6 (6 points) Grégoire veut construire le prisme droit AMIJDNLK représenté dans la figure 1. Il envisage de découper dans le pavé droit en bois de la figure ci-dessus. Partie 1 Pour réaliser son prisme, Grégoire a tracé le segment [IJ] sur le bloc de bois (figure 3) Il va scier le pavé droit en I parallèlement à la face BCGF. Puis, il va scier le pavé droit en [IJ] parallèlement à l arête [EH]. 1. Sur la figure ci-dessous, tracer la section du pavé droit ABCDEFGH par le plan parallèle à la face BCGF et passant par le point I.. Sur la figure ci-dessous, tracer la section du pavé droit ABCDEFGH par le plan parallèle à l arête [EH] et contenant le segment [IJ].
Partie Sur la copie : 1. Construire en vraie grandeur le quadrilatère ABFE et les segments [IM] et [IJ]. Calculer l aire du triangle EIJ. 3. Calculer le volume du prisme AMIJDNLK. On donne la formule du volume d un prisme droit : V = Aire de la base hauteur 1 Il faut dessiner un RECTANGLE de 7,5 sur 6 cm. Le triangle EIJ est rectangle en E car la face ABCD est un rectangle (ABCDEFGH est un Pavé droit). L aire de EIJ est donc : Aire EIJ = EI EJ = 3 5 = 7, 5 cm² 3 L aire du rectangle EIMA est : Aire EIMA = EI EA = 6 5 = 30 cm² Soit l aire de la base du prisme droit est : Aire IMAJ = Aire EIMA Aire EIJ = 30 7, 5 =, 5 cm² Le volume est donné par la formule de l énoncé soit : V = Aire de la base hauteur La hauteur vaut ici 4cm
Et donc Volume du prisme =, 5 4 = 90 cm 3