Cours de Mathématiques Seconde. Guillaume Franchi

Cours de Mathématiques Seconde Guillaume Franchi

Table des matières Généralités sur les fonctions. Ensembles de nombres............................................ Notion de fonction............................................. 4. Fonction donnée par une formule..................................... 5.4 Représentation graphique d une fonction................................ 5 Repérage, configurations du plan 7. Repérer un point du plan.......................................... 7. Coordonnées du milieu d un segment.................................. 7. Longueur d un segment.......................................... 8 Statistiques 0. Vocabulaire.................................................. 0. Représenter une série statistique...................................... Paramètres de position et de dispersion................................. 4 Étude qualitative des fonctions 5 4. Variations d une fonction.......................................... 5 4. Extrema d une fonction........................................... 6 4. Un exemple de fonctions particulières : les fonctions affines...................... 7 5 Équations 0 5. Résolution graphique d une équation.................................. 0 5.. Équation du type f(x) = k.................................... 0 5.. Équation du type f(x) = g(x).................................. 0 5. Résolution algébrique d une équation.................................. 6 Géométrie dans l espace 6. Représentation dans l espace....................................... 6. Solides usuels................................................ 7 Probabilités 5 7. Vocabulaire.................................................. 5 7. Loi de probabilité.............................................. 5 7. Calcul pratique des probabilités...................................... 7 8 Inéquations 9 8. Résolution graphique d une inéquation................................. 9 8.. Inéquations du type f(x) k ou f(x) k............................ 9 8.. Inéquations du type f(x) g(x)................................. 0 8. Résolution algébrique d une inéquation................................. 0 9 Vecteurs 9. Translation et vecteur............................................ 9. Addition et soustraction de vecteurs................................... 9. Produit d un vecteur par un scalaire................................... 5 9.4 Quelques propriétés géométriques.................................... 5 9.5 Coordonnées d un vecteur......................................... 6 9.6 Opérations sur les vecteurs et coordonnées............................... 7 0 Fonctions polynomiales de degré 9 0. Fonction carré................................................ 9 0. Fonction polynomiale du second degré................................. 40 0. Variations d une fonction du second degré............................... 4

Équations de droites 4. Équations de droites et propriétés..................................... 4. Coefficient directeur............................................ 44. Résolution de systèmes........................................... 46.. Méthode par substitution..................................... 46.. Méthode par combinaison linéaire................................ 47 Fonction inverse, fonctions homographiques 48. La fonction inverse............................................. 48. Fonctions homographiques........................................ 49 Échantillonnage 50. s.................................................. 50. Intervalle de fluctuation.......................................... 5. Intervalle de confiance........................................... 5 4 Trigonométrie 5 4. Triangles rectangles et trigonométrie................................... 5 4. Enroulement de la droite des réels.................................... 54 4. Sinus et cosinus d un nombre réel..................................... 55 5 Géométrie dans l espace 57 5. Plans et droites de l espace......................................... 57 5.. Position relative de deux droites................................. 57 5.. Position relative d une droite et d un plan............................ 57 5.. Position relative de deux plans.................................. 58 5. Parallélisme dans l espace......................................... 58 5.. Entre droites............................................. 58 5.. Entre plans............................................. 58 5.. Entre droite et plan......................................... 59

CHAPITRE Généralités sur les fonctions. Ensembles de nombres On appelle ensemble des entiers naturels, noté N (de l italien Naturale), l ensemble des nombres entiers positifs : {0,,,..., 67,...}. L ensemble des entiers relatifs, noté Z (de l allemand Zahl), regroupe tous les entiers, positifs ou négatifs : {..., 057,...,,, 0,,,..., 7856,...} D (du français décimal) est l ensemble des nombres décimaux. Ce sont les nombres qui peuvent s écrire sous la forme a, a 0, a 00, a 000,..., a, où a Z et n N. 0n Il s agit en fait des nombres qui peuvent s écrire avec un certain nombre de chiffres après la virgule. Les nombres rationnels sont les nombres qui s écrivent sous la forme d une fraction a avec a, b Z b et b = 0. Cet ensemble est noté Q (de quotiente en italien). R (Real en allemand)est l ensemble des nombres réels. Il regroupe tous les nombres connus, comme, π. ) On a N mais aussi Z. ), 68 D car, 68 = 68 00 = 68 0. ) 0 Z, mais on a aussi 0 = 0 4) 4, sont des nombres rationnels. 5), 68 D, mais on a aussi, 68 = 68 00 Q. = 0, donc on a aussi 0 D. 00 Remarque : On remarque que tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. Les entiers relatifs sont également des nombres décimaux, et les nombres décimaux sont des nombres rationnels. On note : N Z D Q R. On peut représenter cette remarque de la façon suivante : R π 6π Q D 0.008 Z N 0 9 0 6 005 5 9 π 7 4 9. 4 0 6 6

Afin de les ranger dans l ordre, on peut représenter tous les nombres réels sur une droite, appelée droite réelle de la façon suivante : 6 5 4 0 π 4 5 0, 5 Certains sous-ensembles de R sont appelés intervalles. On les note en utilisant des crochets : Ensembles des réels x tels que : Représentation Intervalle x < b b ] ; b[ x b b ] ; b] x a a [a;+ [ x > a a ]a;+ [ a x b a b [a; b] a < x < b a b ]a; b[ a x < b a b [a; b[ a < x b a b ]a; b] Remarque : Les symboles et + désignent «moins l infini» et «plus l infini». On a R =] ; + [.. Notion de fonction Soit I un intervalle de R. Définir une fonction f de I dans R, c est associer à chaque nombre x de I un unique nombre réel noté f(x). On note f : I R x f(x) On dit que f(x) est l image de x par f. On dit aussi que x est un antécédent de f(x) par f. On appelle I le domaine de définition de la fonction f et on le note D f. Un kilogramme de cerises est vendu à 8e. Si on achète pour 4 Kg de cerises, on doit payer e. Plus généralement, si x désigne le nombre de Kg achetés, et f(x) la somme à payer, alors f(x) = 8 x. On a ainsi une fonction : celle qui associe à la quantité de cerises x le prix à payer f(x). Le domaine de définition de f est D f = [0;+ [. En effet, x ne peut pas être négatif, cela n a pas de sens d acheter -Kg de cerises.

Dans cet exemple, l image de 4 par f est f(4) =. Remarque : L image d un nombre par une fonction est unique, mais une image peut avoir plusieurs antécédents, comme on a pu le voir en activité.. Fonction donnée par une formule Remarque : Souvent, on donne une formule pour la fonction f. Par exemple, on étudie la fonction f définie sur R donnée par la formule f(x) = ( x) pour tout x R. Calculer l image de 5 par f, c est remplacer tous les x de l expression de f par 5. Ainsi, f(5) = ( 5) = ( ) = 9. De même, on peut affirmer que est un antécédent de. En effet, f() = ( ) =. On regroupe souvent les images d une fonction dans un tableau de valeurs, comme le montre l exemple ci-dessous. On considère la fonction définie par la formule f(x) = ( x). On dresse le tableau de valeurs de - à avec un pas de : x - - 0 f(x) 9 6 0 Chacune des valeurs de la seconde ligne a été calculée en remplaçant x dans la formule..4 Représentation graphique d une fonction Soient I un intervalle de R et f : I R une fonction. La représentation graphique C f ou courbe représentative de f dans un repère du plan est l ensemble des points de coordonnées (x; f(x)) où x I. Remarque : Pour tracer la courbe représentative d une fonction, on dresse d abord un tableau de valeurs. Par exemple, on considère la fonction f : [0; ] R donnée par la formule f(x) = x. On commence par dresser un tableau de valeurs de la fonction sur l intervalle [0; ]. x 0 f(x) 0 8 Puis on place ces points dans un repère bien choisi et on trace la courbe qui passe par ces points. 6 5 4 + + +

Recherche d une image par lecture graphique On donne ci-dessous la représentation graphique d une fonction définie sur l intervalle[ 4; 5]. On cherche à déterminer l image de par f. On commence par tracer la droite parallèle à l axe des ordonnées qui passe par le point de coordonnées(; 0). Cette droite intersectec en un point I. On trace alors la droite parallèle à l axe des abscisses qui passe par I. On lit f() sur l intersection de cette droite avec l axe des ordonnées. 4 C f f() I 4 Ici, on a par lecture graphique f() =. 4 Recherche d antécédent(s) par lecture graphique On donne la représentation graphique d une fonction f. On veut déterminer graphiquement les antécédents par f de. On commence par tracer la droite parallèle à l axe des abscisses qui passe par le point de coordonnées(0; ). Cette droite coupe la courbe représentative C en trois points :( ; ),( ; ) et (; ). Ainsi, les antécédents de par f sont, et. y = C f 4

CHAPITRE Repérage, configurations du plan. Repérer un point du plan Trois points du plan O, I, J non alignés définissent un repère du plan. Les droites (OI) et (OJ) sont appelés les axes du repère. Le point O l origine du repère. Si (OI) (OJ), le repère est dit orthogonal. Si (OI) (OJ) et OI = OJ, le repère est dit orthonormé ou orthonormal. A(, ) ordonnées J O I abscisses Dans le repère ci-dessus, le point A a pour coordonnées (,). Son abscisse est x A =, son ordonnée est y A =.. Coordonnées du milieu d un segment Soient A(x A, y A ) et B(x B, y B ) deux points du plan muni d un repère. On note M le milieu de[ab]. Alors, les coordonnées de M sont x M = x A+x B et y M = y A + y B. Preuve : Considérons la figure suivante, où l on a placé le point C(x B, y A ) : y B + B M + y A A + + P + C J + + O + I x A x B

On note P le point de[ac] tel que (MP) soit parallèle à(bc). D après le théorème de Thalès, on a : AP AC = AM AB = car M est le milieu de[ab]. Or, les distances AP et AC sont données par : On a donc : AP = x P x A et AC = x B x A. x P x A x B x A = x P x A = x B x A x P = x B x A x P = x B x A x P = x B + x A x M = x A + x B. + x A + x A Ce qui est bien la formule souhaitée pour x M. De la même manière, on démontre que : y M = y A + y B.. Longueur d un segment Proposition Soient A(x A, y A ) et B(x B, y B ) deux points du plan muni d un repère orthonormé. Alors la distance AB est donnée par la formule AB = (x B x A ) +(y B y A ). Preuve : On considère le point C(x B, y A ) comme dans le repère ci-dessous. y B + B y A A + + C J + + O + I x A x B On a AC = x B x A et BC = y B y A. Ainsi construit, le triangle ABC est rectangle en C. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore : AB = AC + BC.

On en déduit : AB = AC + BC = (x B x A ) +(y B y A ) Par passage à la racine carrée et comme AB 0, on obtient la formule souhaitée : AB = AB + BC.

CHAPITRE Statistiques. Vocabulaire On utilise les statistiques pour décrire un ensemble appelé population constitué d individus auxquels est associé un caractère. Ce caractère peut prendre différentes valeurs ou modalités. On souhaite étudier la répartition de la couleur des yeux des français. La population est l ensemble des français. Les individus sont les français. Le caractère étudié est la couleur des yeux des élèves. Les modalités du caractère peuvent être bleu, marron, vert, noir... L effectif d une modalité du caractère est le nombre d individus associés à cette valeur. On peut résumer cette série statistique à l aide d un tableau. Couleur des yeux noir bleu marron vert Effectifs L effectif total est le nombre d individus qui constituent la population étudiée. La fréquence d une valeur du caractère est le quotient de l effectif associé à cette valeur par l effectif total. On souhaite étudier les notes obtenues lors d un devoir de seconde. Les résultats du tableau sont arrondis au millième. Notes 5 7 8 0 6 Total Effectifs 7 5 4 Fréquences 0,5 0,08 0,08 0,08 0,9 0,08 0,5 L effectif total de cette série statistique est 4. La fréquence de la note 6 est 0,5. On peut aussi regrouper les individus par classes : Classes [0 ;5] ]5 ;0] ]0 ;5] ]5 ;0] Total Effectifs 6 4 Fréquences 0,5 0,5 0,5 0,5 On est parfois amené à chercher le nombre de valeurs de la série inférieures ou égales à une valeur donnée. Pour répondre à cette question, on dresse le tableau des effectifs cumulés croissants (ECC) ou des fréquences cumulées croissantes (FCC). On reprend l exemple précédent. Les résultats sont toujours arrondis au millième Notes 5 7 8 0 6 Total Effectifs 7 5 4 Effectifs cumulés croissants 5 7 9 6 4 Fréquences 0,5 0,08 0,08 0,08 0,9 0,08 0,5 Fréquences cumulées croissantes 0,5 0,08 0,9 0,75 0,667 0,875

Remarque : On peut définir de la même manière les effectifs cumulés décroissants (ECD) et les fréquences cumulées décroissantes (FCD). Dans l exemple précédent : Notes 5 7 8 0 6 Total Effectifs 7 5 4 ECD 4 9 7 5 8 Fréquences 0,5 0,08 0,08 0,08 0,9 0,08 0,5 FCD 0,875 0,79 0,708 0,65 0, 0,5. Représenter une série statistique Suivant le type de la série statistique étudiée, on peut la représenter de différentes manières. On s intéresse dans cette partie à trois types de représentations. Le tableau suivant donne le nombre d enfants âgés de 0 à 6 ans dans un échantillon de 00 familles : Nombre d enfants 0 4 5 Effectif 50 0 4 On trace le nuage de points des effectifs en fonction du nombre d enfants : 50 45 40 5 0 5 0 5 0 5 5 Effectif + + + + + + 4 5 6 Nombre d enfants Lorsque les effectifs sont regroupés en classes, le nuage de points n est pas adapté. On a alors un autre moyen de représentation. Le tableau suivant donne la répartition des masses des nouveaux-nés dans un hôpital : Masse (en kg) [, 5; [ [;, 5[ [, 5; 4[ [4; 4, 5[ Fréquence 0,5 0, 0,40 0, On peut tracer l histogramme de cette série statistique : 0.4 Fréquence 0. 0. 0. 0.5 0. 0.5.0.5.0.5.0.5 4.0 4.5 5.0 Masse (en kg) Que les valeurs soient regroupées par classes ou non, on peut utiliser des courbes classiques pour représenter les effectifs cumulés ou les fréquences cumulées. On reprend l exemple des notes du devoir de seconde. On trace la courbe des effectifs cumulés croissants.

Effectifs cumulés 0 5 0 5 Notes 5 0 5 0. Paramètres de position et de dispersion Le tableau ci-dessous résume une série statistique. Valeur x x... x p Effectif n n... n p La moyenne de cette série statistique est donnée par la formule : x = somme des n i x i somme des n i. Afin d étudier les saumons sauvages qui remontent une rivière, on a capturé 50 saumons et on les a mesurés avant de les relâcher. Longueur (en cm) 9 94 96 97 0 04 Effectif 7 0 9 0 La longueur moyenne de ces saumons est de : x = 9 +94 +96 7+97 0+0 9+04 0 50 = 4898 50 = 97, 96 cm. Soient x x x n une série statistique de n valeurs ordonnées. La médiane Me de cette série statistique est la valeur du caractère qui partage la série en deux ensembles de même effectif. Méthode pratique pour déterminer la médiane : Si le nombre n de valeurs de la série est impair, la médiane Me est la n+ -ième valeur du caractère. Si le nombre n de valeurs de la série est pair, la médiane Me est la moyenne des deux valeurs centrales de la série qui ont pour rangs n et n +. ) On considère la série statistique : 5 0 5 78 80 96 07 09 4 9 0 4 9 85 L effectif total de cette série est 5 qui est un nombre impair. On calcule 5+ = 8. Donc la médiane de cette série est la huitième valeur de cette série ordonnée c est à dire Me = 09.

) On considère la série statistique :, 8 4, 5 4, 8 5 5, 5 5, 7 5, 8 6, 7 7, 8, 9 9, 9, 5 9, 7. L effectif total de cette série est 6 qui est un nombre pair. On calcule 6 6 = 8 et + = 9. La médiane de cette série ordonnée est alors la moyenne des huitième et neuvième valeurs de la série c est à dire 5, 8+6, Me = = = 6. ) On reprend l exemple des notes : Notes 5 7 8 0 6 Total Effectifs 7 5 4 ECC 5 7 9 6 4 L effectif total de la série est 4, qui est un nombre pair. On calcule 4 =. La médiane de cette série est alors la moyenne des douzième et treizième valeurs de la série, qui sont toutes les deux : Me = + =. L étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. Par exemple, l étendue de la série précédente est 6 5 =. Le premier quartile Q d une série statistique est la plus petite valeur de la série telle qu au moins 5% des valeurs des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile Q d une série statistique est la plus grande valeur de la série telle qu au moins 75% des valeurs des valeurs lui soient inférieures ou égales. L écart interquartile est la différence Q Q. Méthode pratique pour déterminer les quartiles : Pour le premier quartile, on calcule n 4 et on trouve le plus petit rang i supérieur ou égal à n 4. Q est la i-ème valeur de la série ordonnée. Pour le troisième quartile Q, on calcule n 4 et on trouve le plus petit rang j supérieur ou égal à n 4. Q est la j-ème valeur de la série ordonnée. ) Calculons le premier quartile, troisième quartile et l écart interquartile de la série statistique : 5 0 5 78 80 96 07 09 4 9 0 4 9 85 L effectif total est 5. Pour Q, on calcule 5 4 =, 75 donc i = 4. Q est la quatrième valeur de la série ordonnée, c est à dire 78. Pour Q, on calcule 5 = 45 4 =, 5 donc j =. Q est la douzième valeur de la série, c est à dire 0. L écart interquartile est Q Q = 0 78 = 5. ) Pour la série : Notes 5 7 8 0 6 Total Effectifs 7 5 4 ECC 5 7 9 6 4 Fréquences 0,5 0,08 0,08 0,08 0,9 0,08 0,5 FCC 0,5 0,08 0,9 0,75 0,667 0,875

Le premier quartile est Q = 8 et le troisième quartile est :Q =. L écart interquartile est 8 = 5.

CHAPITRE 4 Étude qualitative des fonctions 4. Variations d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On dit que f est croissante si pour tous nombres a, b de I tels que a b, on a f(a) f(b). On dit que f est décroissante si pour tous nombres a, b de I tels que a b, on a f(a) f(b). On donne ci-dessous deux exemples pour illustrer la définition précédente. 4 f(b) f(a) 4 f(a) f(b) 4 5 a b 4 5 a b Exemple d une fonction croissante sur[0; 5]. Exemple d une fonction décroissante sur [0; 5]. Remarque : On dit que f est strictement croissante si pour tous nombres a, b de I tels que a < b, on a f(a) < f(b). On dit que f est strictement décroissante si pour tous nombres a, b de I tels que a < b, on a f(a) < f(b). 4 4 f() = f() 4 5 4 5 Exemple d une fonction croissante sur [0; 5], mais pas strictement croissante, car f() = f(). Exemple d une fonction strictement croissante sur [0; 5].

Étudier les variations d une fonction c est déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante. La courbe ci-contre est la courbe représentative d une fonction f définie sur l intervalle [ ; 4]. Par lecture graphique, on voit que f est croissante sur [ ; ], puis décroissante sur[ ; ] et enfin de nouveau croissante sur [; 4]. 4 4 On peut résumer les variations d une fonction à l aide d un tableau de variations. Si on reprend la même fonction, le tableau ci-dessous est le tableau de variations de la fonction f. x 4 variations de f 4 4. Extrema d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f admet un maximum en a sur I lorsque pour tout x I, f(x) f(a). On dit que f admet un minimum en a sur I lorsque pour tout x I, f(a) f(x). Un extremum d une fonction est soit un maximum, soit un minimum. Pour la fonction dont la courbe est donnée ci-dessous, f atteint son maximum en et il vaut. f atteint son minimum en et il vaut. Max 4 Min 4

4. Un exemple de fonctions particulières : les fonctions affines Une fonction affine est une fonction définie sur R donnée par la formule f(x) = ax+b où a et b sont deux nombres réels. Le nombre a s appelle coefficient directeur, et le nombre b est l ordonnée à l origine. La courbe représentative d une fonction affine est une droite. Cette droite passe par le point (0; b). Preuve : Pour montrer que la fonction définie sur R par la formule f(x) = ax+b, il suffit de montrer que f(0) = b. Or : f(0) = a 0+b = 0+b = b. La courbe représentative de f passe bien par le point (0, b). Méthode pratique pour tracer la courbe représentative d une fonction affine : Il s agit d une droite. Pour la tracer, il suffit d obtenir deux points de la droite. On calcule l image avec la formule de deux nombres u et v soigneusement choisis, et on trace la droite passant par les points (u, f(u)) et(v, f(v)). On peut placer le point (0, b) si cela est possible, et calculer l image d un autre nombre comme précédemment. On considère la fonction affine définie sur R par la formule f(x) = x+. Cette droite passe par le point (0, ). On calcule l image d un autre nombre que 0, prenons par exemple : f() = + =. La droite passe par le point (, ). On place alors les points et on les relie par une droite : + 4 + 4 Proposition Soient f : x ax+b une fonction affine.. Si a > 0 alors la fonction est strictement croissante.. Si a < 0 alors la fonction est strictement décroissante.. Si a = 0 alors la fonction est constante.

4 4 4 a > 0 a < 0 a = 0 Preuve : Soient f : x ax+b une fonction affine et u, v deux nombres réels tels que u < v. On calcule f(u) f(v). f(u) f(v) = (au+b) (av+b) = au+b av b = au av = a(u v) Comme u < v, on a l inégalité u v < 0. On distingue trois cas :. si a > 0, a(u v) < 0 et f(u) f(v) < 0. Ainsi on a u < v = f(u) < f(v) et f est strictement croissante.. si a < 0, a(u v) > 0 et f(u) f(v) > 0. Ainsi on a u < v = f(u) > f(v) et f est strictement décroissante.. si a = 0, a(u v) = 0 et f(u) f(v) = 0. Ainsi f(u) = f(v), et f est constante. Proposition Soient f : x ax+b une fonction affine et u, v deux nombres réels tels que u = v. Alors, le coefficient directeur de f est donné par la formule a = f(u) f(v). u v Preuve : On reprend les données de l énoncé ci-dessus. Ainsi : f(u) f(v) u v = au+b (av+b) u v = au+b av b u v = au av u v = a(u v) u v Un exercice classique : déterminer l équation de la fonction affine qui passe par les points A(; ) et B(; ). On commence par déterminer le coefficient directeur de f. Si u = et v =, f(u) = et f(v) = ). D après la formule : = a a = f() f() = ( ) = 4 =. On détermine ensuite l ordonnée à l origine. On a d une part f(x) = ax+b = x+b et d autre part f() = +b =. Ainsi, b = et la formule de f est f(x) = x pour tout x R. Remarque : Comme on a pu le voir dans l exemple précédent, si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont deux points tels que la droite représentant une fonction affine passe par A et par B, alors le coefficient directeur de la fonction est : a = y B y A x B x A.

Méthode pour déterminer graphiquement le coefficient directeur d une fonction affine : On s inspire du dessin ci-dessous. B 4 A A B On a a =. On a a =. Remarque : Quand on ne peut pas avancer d un seul carreau vers la droite ou vers la gauche, on peut le faire de plusieurs carreaux et appliquer la formule ci-dessous. B a = y x = y = A x = 4 5

CHAPITRE 5 Équations 5. Résolution graphique d une équation Dans tout ce chapitre, f et g définissent des fonctions sur un intervalle I. 5.. Équation du type f(x) = k Soit k un nombre réel quelconque. Résoudre l équation f(x) = k, c est déterminer les nombres réels x tels que leur image vaut k. Il s agit donc de déterminer les antécédents de k par f. Méthode pratique pour résoudre graphiquement une équation du type f(x) = k : On procède comme pour la recherche d antécédents : on trace la droite parallèle à l axe des abscisses et passant par le point (0; k) ; on repère les points d intersection avec la courbe représentant f ; Les solutions sont les abscisses des points d intersections. On souhaite résoudre l équation f(x) = : 5 4 4 Les solutions de l équation f(x) = sont donc, et 4. On note l ensemble des solutions :S = { ; ; 4}. 5.. Équation du type f(x) = g(x) Résoudre l équation f(x) = g(x), c est déterminer les nombres réels x qui ont la même image par f et par g. Méthode pratique pour résoudre graphiquement une équation du type f(x) = g(x) : on repère les points d intersection entre les deux courbes ; les solutions sont les abscisses des points d intersections.

On résout ci-dessous l équation f(x) = g(x) : C g C f 5 4 L ensemble des solutions de l équation est : S = { ; 0; }. 4 5. Résolution algébrique d une équation On cherche dans cette partie à résoudre, par le calcul, les équations présentées précédemment. La résolution de telles équations consiste, lorsque c est possible, à isoler l inconnue x dans l égalité considérée. On dispose pour cela des règles de calcul suivantes. ) On ne change pas les solutions d une équation si on additionne ou on soustrait aux deux membres de l égalité un même nombre. ) On ne change pas les solutions d une équation si on multiplie ou on divise les deux membres de l inégalité par un même nombre non nul. ) On ne change pas les solutions d une équation si on développe, factorise ou réduit certains termes. Équations du premier degré Considérons l équation x+ =, et appliquons les règles précédentes : x+ = x+ = x = x = x = Cette solution possède donc une unique solution : S = { }. Plus généralement, si a, b et c sont des nombres réels avec a = 0, la solution de l équation ax + b = c est : La solution de l équation est donc : S = ax+ b = c ax+b b = c b ax = c b ax a = c b a x = c b a { } c b. a Un produit de facteurs est nul si et seulement si l un des facteurs est nul. Ce qui s écrit : a b = 0 = a = 0 ou b = 0.

Cette règle, bien qu elle soit évidente, s avère très utile dans la résolution de certaines équations. Équation de type produit nul Considérons l équation (x 6)(x ) = 0. D après la propriété précédente, pour avoir cette égalité, on doit avoir l un des facteurs au moins qui vaut 0 : (x 6)(x ) = 0 x 6 = 0 ou x = 0 x = 6 ou x = x = 6 ou x = x = ou x = L équation possède alors deux solutions : S = {; }. On veut résoudre l équation x + x = x. En partant du principe qu il faut isoler x, on soustrait d abord x à chacun des membres de l égalité : x + x = x x + x (x ) = x (x ) x + x = 0 On remarque alors que le terme de gauche peut être factorisé par x, et l équation s écrit : x(x+) = 0. On peut alors appliquer la règle du produit nul : x(x+) = 0 x = 0 ou x+ = 0 x = 0 ou x = x = 0 ou x = Les solutions de l équation sont donc :S = { ; 0 }.

CHAPITRE 6 Géométrie dans l espace Ce chapitre constitue un rappel des notions vues tout au long des quatre années du collège. 6. Représentation dans l espace La perspective cavalière est un mode de représentation d un objet de l espace par une figure plane selon les principes ci-dessous : Règle : les faces situées dans un plan vertical perpendiculaire à la direction d observation, appelé plan frontal, sont représentées en vraie grandeur. Règle : deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles. Sur ces droites, deux segments de même longueur sont représentés par deux segments de même longueur. Règle : une droite perpendiculaire au plan frontal, appelée fuyante, est représentée par une droite faisant un angle α avec la direction horizontale, appelé angle de fuite. Règle 4 : toute longueur sur une fuyante est multipliée par un coefficient k ]0; [, appelé coefficient de perspective. Règle 5 : les lignes cachées sont représentées en pointillés et celles qui sont visibles en trait plein. H G E F D C 6. Solides usuels A B α Le parallélépipède rectangle h L l V = aire(base) h = L l h

Prisme droit et cylindre r h h base V = aire(base) h. V = aire(base) h = π r h Pyramide et cône de révolution h h base r V = aire(base) h V = aire(base) h. = π r h Sphère r V = 4 π r.

CHAPITRE 7 Probabilités 7. Vocabulaire Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît à l avance l ensemble des issues possibles, mais on ne sait pas laquelle va se réaliser. L ensemble des issues possibles est appelé univers, souvent noté Ω (Omega). Un événement est une partie de l univers, composé d une ou plusieurs issues possibles. Si A est un événement, on appelle événement contraire de A, noté A l ensemble des issues n appartenant pas à A. On appelle réunion de deux événements A et B, notée A B l ensemble des issues composant soit A, soit B, soit les deux. On appelle intersection de deux événements A et B, notée A B l ensemble des issues composant à la fois A et B. Un lancer de dé est une expérience aléatoire, son univers est l ensemble de nombres : Ω = {; ; ; 4; 5; 6}. L événement A = «Le résultat est un nombre pair» est donné par A = {; 4; 6}. L événement A = «Le résultat est un nombre impair» est donné par A = {; ; 5}. Si B est l événement «Le résultat est supérieur ou égal à 5», alors B = {5; 6} et A B = {; 4; 5; 6}. On a alors A B = {6}. Deux événements A et B sont dits incompatibles s ils n ont aucune issue en commun : A B =. On lance simultanément deux dés, et on s intéresse à la somme des résultats obtenus. On note les événements A «la somme est paire» et B «la somme est impaire». Dans cette expérience, on a Ω = {; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; ; }, A = {; 4; 6; 8; 0; } et B = {; 5; 7; 9; }. A et B sont incompatibles car A B =. 7. Loi de probabilité Définir une probabilité sur un une expérience aléatoire, c est associer à chaque événement A de Ω un nombre p(a), appelé probabilité de A, compris entre 0 et tel que : Si A et B sont incompatibles, alors p(a B) = p(a)+ p(b). p(ω) =.

Si on lance un dé non truqué, on peut définir une loi de probabilité en associant à chaque issue la probabilité 6 : p({}) = p({}) = p({}) = p({4}) = p({5}) = p({6}) = 6. La probabilité d un événement est égale à la somme des probabilités des issues qui la composent. Soit A un événement, on a : On en déduit : p( ) = 0. p(a) = p(a) Preuve : Les événements A et A sont naturellement incompatibles, et A A = Ω. On en déduit : D où p(a) = p(a). D autre part, Ω =, donc : = p(ω) = p(a A) = p(a)+ p(a). p( ) = p(ω) = = 0. Soient A et B deux événements, on a : p(a B) = p(a)+ p(b) p(a B) Ω A B A B A B Dans l exemple précédent, si on note A «le résultat est un nombre pair» et B «le résultat est inférieur ou égal à», on a p(a) = 6 = = 0, 5 et p(b) = 6 =. On a de plus : car A B = {} et donc p(a B) = 6. p(a) = 0, 5 = 0, 5 et p(a B) = 6 + 6 6 = 4 6 =

7. Calcul pratique des probabilités Une probabilité est dite uniforme, ou équiprobable si la probabilité de chaque issue est la même. Dans le cas d une situation d équiprobabilité, la probabilité d un événement A est donnée par la formule : p(a) = nombre d issues réalisant A nombre total d issues Dans un jeu de cartes, on note A l événement tirer un cœur. On a alors p(a) = 8 = 4. Avec un tableau On peut utiliser un tableau quand on réalise deux expériences aléatoires en situation d équiprobabilité. On lance deux dés tétraédriques (à 4 faces) et on note la somme obtenue. On peut utiliser un tableau à double entrée pour obtenir toutes les issues : 4 4 5 4 5 6 4 5 6 7 4 5 6 7 8 Si on note A l événement «la somme vaut 5», on obtient p(a) = 4 6 =. Si on note B l événement «la somme 4 est un nombre impair», on obtient p(b) = 8 6 =. Avec un arbre de probabilité On peut utiliser un arbre de probabilité dans le cas de répétitions d expériences aléatoires et sans être en situation d équiprobabilité. On lance trois fois une pièce de monnaie non truquée. On cherche à calculer la probabilité d obtenir deux faces. P P P F F P F P P F F F P F

Chaque branche représente une issue de l expérience aléatoire. Il y a = 8 issues possibles. Le nombre de cas favorable est de 4. La probabilité d obtenir deux faces est donc de 4 8 =.

CHAPITRE 8 Inéquations Dans tout ce chapitre, f et g définissent des fonctions sur un intervalle I. 8. Résolution graphique d une inéquation 8.. Inéquations du type f(x) k ou f(x) k Soit k un nombre réel quelconque. Résoudre l inéquation f(x) k, c est déterminer les nombres réels x tels que l image f(x) soit inférieure ou égale à k. Résoudre l inéquation f(x) k, c est déterminer les nombres réels x tels que l image f(x) soit supérieure ou égale à k. On a le même principe avec des inégalités strictes. Soit f la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. C f 5 4 4 Par lecture graphique, les solutions de l inéquation f(x) sont les nombres x compris entre -4 et - ou entre - et 4. La solution de l inéquation est donc la réunion des deux intervalles [ 4; ] et [ ; 4], que l on note : S = [ 4; ] [ ; 4]. De la même manière, les solutions de l inéquation f(x) > sont les nombres compris entre - et -. Cependant, le nombre x ne peut valoir aucun de ces deux nombres, car f( ) = f( ) =. La solution de l inéquation est donc : S =] ; [.

8.. Inéquations du type f(x) g(x) Résoudre l inéquation f(x) g(x), c est déterminer les nombres réels x tels que l image f(x) soit inférieure ou égale à l image g(x). On a le même principe avec des inégalités strictes. On a tracé dans le repère ci-dessous les courbes représentatives de deux fonctions f et g. C f 4 C g 5 4 4 Par lecture graphique, les solutions de l inéquation f(x) g(x) sont les nombres x compris entre -4 et - ou entre 0 et. La solution de l inéquation est donc : S = [ 4; ] [0; ]. En revanche, la solution de l inéquation f(x) < g(x) est la réunion d intervalles : S = [ 4; [ ]0; [. 8. Résolution algébrique d une inéquation ) On ne change pas les solutions d une inéquation si on additionne ou on soustrait aux deux membres de l inégalité un même nombre. ) On ne change pas les solutions d une inéquation si on développe, factorise ou réduit certains termes. ) Si on multiplie ou divise les deux membres d une inégalité par un nombre positif, l ordre reste inchangé. 4) Si on multiplie ou divise les deux membres d une inégalité par un un nombre négatif, l ordre change.

Inéquation du premier degré Considérons l inéquation x+4 5. Appliquons les règles précédentes : La solution de l inéquation est donc : x+ 4 5 x+4 4 5 4 x 9 x 9 x S =] ; ]. ) Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif. ) Le produit ou le quotient de deux nombres de signes différents est négatif. On souhaite résoudre l inéquation : (x+ )( x) 0. On «sépare» le problème initial en deux, plus simples : x+ 0 x x 0 x On remplit alors le tableau suivant d après ces informations : x x + x (x+)( x) + 0 + + + + 0 0 + 0 La solution de l inéquation est donc : S =] ; ] [;+ [. On souhaite résoudre l inéquation : On «sépare» l inéquation en deux : x+ 4x+ 0. x+ 0 x x 4x+ 0 4x x 4 x

On remplit alors le tableau suivant d après ces informations : x + x + 4x + x+ 4x+ + + 0 0 + + + 0 On remarque que x+ est une valeur interdite pour l expression, car alors on aurait une division par 4x+ zéro. La solution de l inéquation est alors : ] S = ; ].

CHAPITRE 9 Vecteurs 9. Translation et vecteur Soient A, B deux points du plan. La translation de vecteur AB est l application associant à tout point C du plan le point D tel que ABDC est un parallélogramme. D C B A On représente le vecteur AB par une flèche joignant le point A au point B. Soient A, B, C et D quatre points du plan. Les vecteurs AB et CD sont dits égaux si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. A B C D Remarque : Cela revient à dire que les vecteurs AB et CD ont même direction, même longeur et même sens. 9. Addition et soustraction de vecteurs Soient u et v deux vecteurs du plan. La somme des vecteurs u et v, notée u + v, est le vecteur de la translation obtenue après avoir effectué la translation de vecteur u suivie de la translation de vecteur v.

Méthode pour dessiner u + v : On commence par redessiner le vecteur v en plaçant son origine à l extrémité du vecteur u. u + v v v On trace ensuite le vecteur u + v joignant l origine du vecteur u à l extrémité du vecteur v. u (Relation de Chasles) Pour tous points A, B et C du plan, on a l égalité : AB+ BC = AC. C AC BC AB B A Soit ABCD un quadrilatère. Montrons que AB+ CD = AD+ CB. On calcule : AB+ CD = AD+ DB+ CD = AD+ CD+ DB = AD+ CB CB D AD A CD AB B C On a bien démontré l égalité souhaitée. L opposé d un vecteur u est un vecteur qui a même direction et même longueur que u mais le sens opposé. On le note u. En particulier, AB = BA.

Soient u et v deux vecteurs du plan. Soustraire un vecteur, c est ajouter son opposé. En d autres termes, u v = u +( v ). v u u v v En particulier, AB CB = AB+ BC = AC. u Remarque : Soit A un point du plan. Le vecteur AA est le vecteur nul. On le note 0. Pour tout vecteur u, on a u + 0 = u. 9. Produit d un vecteur par un scalaire Soient u un vecteur du plan et k R. Le vecteur k u est le vecteur : qui a la même direction que u ; qui a pour longueur k fois la longueur de u ; qui a le même sens que u si k > 0, le sens opposé si k < 0. u u u 9.4 Quelques propriétés géométriques Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. On dit que u et v sont colinéaires s il existe un nombre réel non nul k tel que u = k v.

Soient A, B, C et D quatre points du plan. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Soient P, Q et R trois points du plan. P, Q et R sont alignés si, et seulement si, les vecteurs PQ et PR sont colinéaires. ABCD est un rectangle. On considère les points I, E et F tels que : I est le milieu de[ab] ; E est le symétrique de I par rapport à B ; AF = AD. A I B E D C On montre que les points C, E et F sont alignés. On a : D autre part : On remarque que : donc : F CE = CB+ BE = AD+ AB CF = CD+ DF = AB+ AD CF+ CE = AB+ AD AD+ AB = 0 CF = CE. Les vecteurs CF et CE sont donc colinéaires et par suite, les points C, E et F sont alignés. 9.5 Coordonnées d un vecteur Dans un repère du plan, les coordonnées d un vecteur u sont les coordonnées du point M tels que OM = ( ) x u. Si M(x; y), on note les coordonnées du vecteur u. y

Soient A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points du plan. Les coordonnées du vecteur ( ) xb x AB sont A. y B y A Considérons les points A (; 5) et B (9; ). Le vecteurs AB a pour coordonnées ( 9 5 ) ( 6 = 4 ). Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan. Soient A( ; ), B(5; 0), C( 6; 5) trois points du plan. On veut calculer les coordonnées du point D(x D ; y D ) tel que ABCD est un parallélogramme. Comme ABCD est un parallélogramme, AB = DC. En calculant les coordonnées de ces deux vecteurs, il vient ( 5 ( ) 0 ) = Ainsi, x D + 6 = 6 et y D 5 =. Ainsi x D = 0 et y D =. Le point D a donc pour coordonnées (0; ). ( xd ( 6) y D 5 ). Soient A, B et I trois points du plan. I est le milieu de[ab] si, et seulement si AI = IB. Preuve : Soient A(x A, y A ), B(x B, y B ) et I(x I, y I ) trois points du plan. On a AI AI = IB AI et IB ont les mêmes coordonnées x I x A = x B x I et y I y A = y B y I x I = x A + x B et y I = y A + y B x I = x A + x B et y I = y A+ y B ( xa + x I B, y ) A+ y B I est le milieu du segment [AB]. ( ) xi x A et ( ) xb x IB I. y I y A y B y I On a donc démontré l équivalence voulue. 9.6 Opérations sur les vecteurs et coordonnées Soient u ( x y ) et v ( x y ) deux vecteurs du plan. Alors le vecteur u + v a pour coordonnées ( x+x y+y ).

Soient u et v les vecteurs de coordonnées : ( ) u Le vecteur u + ( + v a pour coordonnées + et ) = v ( ( 5 ). ). Soient u ( x y ) un vecteur du plan et k R. Les coordonnées du vecteur k u sont ( kx ky ). Remarque : En particulier (en reprenant les notations ci-dessus), on a v ( x y ) et u v ( x x y y ). Soient u et v les vecteurs de coordonnées : ( ) (, 5 u et 4, 5 v 6 Le vecteur ( ) 4, 5 u a pour coordonnées. 6 Donc u = v et les vecteurs u et v sont colinéaires. ). Soient ( ) x u et ( ) x v y y deux vecteurs non nuls du plan. Les vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si xy x y = 0. Preuve : u et v sont colinéaires il existe k = 0 tel que u = k ( ) ( ) v x kx = y ky x = kx et y = ky x = y y x (si y = 0) ou y = y = 0 (si y = 0) xy = x y On a donc démontré l équivalence voulue. Considérons les vecteurs ( ) u et v On calcule : ( 4 ). Les vecteurs u et v ne sont donc pas colinéaires. ( ) 4 = 9 8 = = 0.

CHAPITRE 0 Fonctions polynomiales de degré 0. Fonction carré La fonction carré est la fonction définie sur R par la formule f(x) = x. Comme la fonction carrée est définie sur R, on peut dresser un tableau de valeurs comme ci-dessous. x - -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5,5 x 9 6,5 4,5 0,5 0 0,5,5 4 6,5 9 La courbe représentative de f dans un repère est donnée par : 9 8 7 6 5 4 On peut dresser le tableau des variations de f : x 0 + variations de f + 0 + Remarque : La fonction carré admet un minimum qui vaut 0 pour x = 0. En revanche, la fonction carré n admet pas de maximum sur R. La courbe représentative de la fonction carré est une parabole.

Remarque : La courbe représentative de la fonction carré admet pour axe de symétrie l axe des ordonnées. 0. Fonction polynomiale du second degré Une fonction polynomiale de degré est une fonction de la forme f(x) = ax + bx+ c avec a, b, c trois nombres réels tels que a = 0. Une telle fonction est aussi appelée trinôme. La fonction carré est une fonction polynomiale du second degré car a =, b = 0 et c = 0. On peut écrire une même fonction du second degré f sous trois formes différentes : la forme développée : ax + bx+c la forme canonique a(x α) + β la forme factorisée a(x x )(x x ) (Attention, cette forme n existe pas toujours!) (x )(x ) est la forme factorisée du trinôme x 6x+4. (x )(x 4) est la forme factorisée du trinôme qui a pour forme canonique (x ). La courbe représentative d une fonction polynomiale de degré est une parabole. Soit f une fonction du second degré. On appelle sommet de la parabole, le minimum ou le maximum de cette fonction. Application : On considère la fonction polynomiale de degré définie par la formule : f(x) = x 4x+8. On vérifie que pour tout x R, la forme canonique de f est : f(x) = (x ) + 6. En effet : (x ) + 6 = (x x+)+6 = x 4x+ +6 = x 4x+ 8 = f(x). On montre ensuite que f admet 6 pour minimum. En effet, pour tout x R : (x ) 0 = (x ) 0 = (x ) + 6 6 = f(x) 6

Pour toute valeur de x, la quantité f(x) est plus grande que 6. On ne sait pas encore que 6 est le minimum. En effet, le minimum pourrait être 7 par exemple... Il faut vérifier que la valeur 6 est bien atteinte par la fonction f. La valeur 6 est atteinte pour x = car : 6 est donc bien le minimum de la fonction f. f() = ( ) + 6 = 0 + 6 = 6. Soit f(x) = ax + bx+ c une fonction du second degré. ) On peut lire sur la forme canonique a(x α) + β de f les coordonnées du sommet S de la parabole. En effet, on a S(α, β). ) On peut lire sur la forme factorisée de f les coordonnées du (ou des) points d intersection de la courbe avec l axe des abscisses. Ce sont (x ; 0) et (x ; 0). x α 4 5 6 x β S

0. Variations d une fonction du second degré Soit f(x) = ax + bx+c une fonction du second degré. On peut exprimer les coordonnées du sommet S d une parabole à l aide de sa forme canonique : α = b a β = f(α). Soit f une fonction polynomiale du second degré, et f(x) = ax + bx+ c son expression. ) Si a > 0 alors les variations de f sont données par le tableau de variations suivant : x α + variations de f + β + Dans ce cas, le sommet S(α, β) est un minimum. ) Si a < 0 alors les variations de f sont données par le tableau de variations suivant : x α + variations de f β Dans ce cas, le sommet S(α, β) est un maximum.

CHAPITRE Équations de droites. Équations de droites et propriétés ) Une droite d non parallèle à l axe des ordonnées est la courbe d une fonction affine f : x mx+ p. On dit que d a pour équation y = mx+ p. Un point A(x A ; y A ) du plan appartient à d si, et seulement si, y A = m x A + p. m est appelé coefficient directeur de la droite, et p ordonnée à l origine. ) Une droite d parallèle à l axe des ordonnées a pour équation x = k avec k R. Un point A(x A ; y A ) du plan appartient à d si, et seulement si, x A = k. Droite d d équation x = Droite d d équation y = x Méthode pour tracer la courbe représentative d une fonction affine Considérons une fonction affine définie sur R par la formule f(x) = ax+b. On remplace dans la formule la valeur de x par deux valeurs choisies soigneusement x A et x B (afin que le calcul ne soit pas trop compliqués). On trouve alors deux valeurs y A et y B : x A y A = a x A + b x B y B = a x B + b La courbe représentative de f passe donc par les poins A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ).

Traçons la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f(x) = x. Prenons x A = 0 et x B =, on a alors : x x A = 0 x B = y y A = 0 = y B = = B La courbe représentative de f passe donc par les poins A(0; ) et B(; ). A. Coefficient directeur Soient A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) deux points et d : y = mx+ p une droite du plan muni d un repère tels que A et B appartiennent à la droite d et x A = x B. Le coefficient directeur de d est donné par la formule : m = y B y A x B x A. Preuve : Dire que A d, c est dire que y A = m x A + p. Dire que B d, c est dire que y B = m x B + p. Il vient y B y A = m x B+ p (m x A + p) x B x A x B x A = m x B + p m x A p x B x A m x = B m x A x B x A m = (x B x A ) (x B x A ) = m On alors démontré l égalité de la proposition. Remarque : Le coefficient directeur est le rapport y x comme le montre le dessin ci-dessous : B y = A x = 4 5 Le coefficient directeur de la droite est : m = y B y A x B x A = y x =

Le coefficient directeur d une droite correspond à sa pente. Dans l exemple précédent, le coefficient directeur signifie que si on se décale de unités vers la droite, on se décale de unités vers le haut pour retrouver la droite. Si le coefficient directeur est, cela signifie que si on se décale d une unité vers la droite, il faut descendre de unités. x = y = Application : On veut déterminer l équation de la droite d qui passe par les points A( ; ) et B(; ). Puisque A et B n ont pas la même abscisse, la droite n est pas parallèle à l axe des ordonnées. On sait donc que cette droite admet une équation de la forme : y = mx+ p. On calcule le coefficient directeur m de cette droite en appliquant la formule précédente. Ainsi, une équation de d est d : y = x+ p. On détermine alors l ordonnée à l origine p de d. m = y B y A x B x A = ( ) ( ) = 6 =. Puisque A d, on a y A = x A + p. En remplaçant par les valeurs, il vient : Ainsi p = + = +4 =. Une équation de d est donc : = ( )+ p. d : y = x+. Soient d une droite d équation y = mx+ p et d une droite d équation y = m x+ p. d et d sont parallèles si, et seulement si m = m. Preuve : On considère des points distincts A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) de la droite d, et des points distincts C(x C ; y C ) et D(x D ; y D ) de la droite d. d et d sont parallèlles AB et CD sont colinéaires (x B x A ) (y D y C ) (x D x C ) (y B y A ) = 0 (x B x A ) (y D y C ) = (x D x C ) (y B y A ) y D y C x D x C = y B y A x B x A m = m

On a bien l équivalence souhaitée. Considérons les droites d et d d équations : d : y = x et d : y = x+5. Les droites d et d ont le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles. Considérons les droites d et d d équations : d : y = x et d : y = x+ 5. Ces droites n ont pas le même coefficient directeur, elles ne sont donc pas parallèles, et donc se croisent un unique point.. Résolution de systèmes Lorsque deux droites d et d ne sont pas parallèles, elles se croisent en un unique point I(x I ; y I ). Les coordonnées de ce point vérifient alors un système. On traitera cette partie par deux exemples, permettant de comprendre les différentes méthodes de résolution d un système.. Méthode par substitution Considérons le système : { x 4y = 6 (S). x+y = Il s agit d exprimer l une des deux variables (x ou y) en fonction de l autre, puis de remplacer dans l autre équation : (S) { x 4y = 6 y = x { x 4(x ) = 6 y = x On résout alors l équation qui n a qu une seule inconnue : { x+4 = 6 y = x (S) { x+ 4 = 6 y = x { x = 0 y = x Une fois la valeur d une variable trouvée, on peut en déduire l autre : { x = 5 y = x (S) La solution du système est donc x = 5 et y = 4. Remarque : { x = 5 y = x { x = 5 y = 4 Dans le système, la première équation peut s écrire y = x+, et la deuxième y = x. En traçant ces droites dans un repère, le point d intersection I des droites a pour coordonnées I(5; 4). 6 5 4 I 4 5 6

.. Méthode par combinaison linéaire Considérons le système : { 6x+ y = (S) x+y = On remarque si on ajoute deux fois la seconde ligne à la première, il n y aura plus de x... (S) { 6x+y+ ( x+y) = + ( ) x+y = { 5y = x+y = { y = 5 x+y = { 6x+ y 6x+y = x+y = On remplace alors y par la valeur dans la seconde équation : 5 y = 5 x+ 5 = y = 5 x = 5 y = 5 x = 6 5 y = 5 x = 5 La solution du système est donc x = 5 et y = 5. Remarque : Dans le système, la première équation peut s écrire y = x+, et la deuxième y = x. En traçant ces droites dans un repère, le point d intersection I des droites a pour coordonnées I ( 5 ; ). 5.8.6.4..0.8.6.4..0 0.8 0.6 0.4 0. 0.4 0. 0.4 0.6 0.8.0 I 0. 0.4 0.6 0.8.0..4.6.8

CHAPITRE Fonction inverse, fonctions homographiques. La fonction inverse (fonction inverse) La fonction inverse est la fonction f définie sur ] ; 0[ [0;+ [ donnée par la formule f(x) = x pour tout x ] ; 0[ [0;+ [. Remarque : On peut écrire la réunion d intervalles ] ; 0[ [0;+ [ de deux manières différentes (et plus courte) : - R\{0} ; - R. Comme pour la fonction carré, on peut un dresser un tableau de valeurs. x -5-4 - - -0,5-0,5-0, 0, 0,5 0,5 4 5 f(x) -0, -0,5-0,5 - - -4-5 5 4 0,5 0,5 0, Ainsi, la courbe représentative de la fonction f est 4 4 4 4

La fonction inverse est strictement décroissante sur] ; 0[ et sur]0; [. x 0 + variations de f 0 + 0 Remarque : La fonction inverse n est pas décroissante sur] ; 0[ ]0;+ [! En effet, on a par exemple < et f( ) < f(). La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole. Elle admet un centre de symétrie qui est l origine O du repère.. Fonctions homographiques Une fonction homographique est une fonction f définie sur un sous-ensemble de R par une formule de la forme : f(x) = ax+b cx+d, où a, b, c et d sont des nombres réels, avec c = 0 et ad bc = 0. Remarque : Si ad bc = 0, la fonction f est constante. Considérons la fonction homographique f définie précédemment. La quantité f(x) est définie lorsque cx+d = 0. Si x est tel que cx+d = 0, on aurait une division par zéro, ce qui est impossible. Une telle valeur est dite valeur interdite. Considérons la fonction f définie par la formule : On cherche les valeurs interdites de f : f(x) = x+ x+8. x+8 = 0 x = 8 x = 4-4 est la seule valeur interdite de la fonction f, et donc l ensemble de définition de f est : D f =] ; 4[ ] 4;+ [