SUITES Exercice 01 (voir réponses et correction) On considère un carré ABCD de coté c = 4. On appelle A 1, B 1, C 1 et D 1, les points situés respectivement sur [AB], [BC], [CD], [DA] à la distance 1 de A, B, C, D (voir figure ci-contre). 1 ) Expliquer pourquoi A 1 B 1 C 1 D 1 est un carré. 2 ) On appelle A 2, B 2, C 2 et D 2, les points situés respectivement sur [A 1 B 1 ], [B 1 C 1 ], [C 1 D 1 ], [D 1 A 1 ] à la distance 1 de A 1, B 1, C 1, D 1. Refaire un dessin et construire le carré A 2, B 2, C 2 et D 2. 3 ) On réitère ainsi le procédé. Construire les carrés A 3 B 3 C 3 D 3, A 4 B 4 C 4 D 4, A 5 B 5 C 5 D 5 D D 1 C 1 C B 1 4 ) On note a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 les aires et c 0, c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 les longueurs des côtés des carrés ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1, A 2 B 2 C 2 D 2, A 3 B 3 C 3 D 3, A 4 B 4 C 4 D 4, A 5 B 5 C 5 D 5. A A 1 B Justifier, par un raisonnement géométrique que les suites de nombres a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 et c 0, c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 sont décroissantes. 5 ) Donner des valeurs (éventuellement approchées) de a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 et c 0, c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 6 ) Créer sur calculatrice ou ordinateur un programme permettant d'obtenir les différentes valeurs c n. On réitère indéfiniment le procédé, quelle conjecture peut-on faire? Exercice 02 (voir réponses et correction) L'étude des paramécies a montré qu'elles se reproduisent par divisions transversales. En 24 heures, chaque paramécie se divise en 3. A la date 0, on dénombre dans une solution 1 million de paramécies. On note u n le nombre (exprimé en millions) de paramécies dans la solution à la date n (exprimée en jours). 1 ) Déterminer u 0 ; u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 ; u 5 ; u 6 2 ) Donner l'expression de u n+1 en fonction de u n. 3 ) Donner, sans justification, l'expression de u n en fonction de n. Exercice 03 (voir réponses et correction) Une personne a placé sur un compte le 01/01/2010 un capital de 10 000 euros. Ce compte produit des intérêts de 4 % par an. Chaque année les intérêts sont ajoutés au capital et deviennent, à leur tour, générateurs d'intérêts. Pour n entier naturel, on appelle C n le capital au 1 er janvier de l'année (2010 + n). On a ainsi C 0 = 10 000. 1 ) Calculer C 1 et C 2. 2 ) Donner une valeur approchée de C 10 après avoir calculé C 3 ; C 4 ; C 9. Interpréter ce résultat. 3 ) Exprimer C n+1 en fonction de C n. 4 ) Écrire un algorithme permettant de calculer n'importe quelle valeur de C n à partir de la donnée de n. Retrouver ainsi la valeur de C 10. 5 ) On suppose maintenant qu'au 1 er janvier de chaque année, à partir du 01/01/2011, la personne rajoute 1 000 euros sur son compte. (Ce compte produit toujours des intérêts de 4 % par an) a) Calculer C 1 et C 2. b) Exprimer C n+1 en fonction de C n. c) Donner une valeur approchée de C 10 après avoir calculé C 3 ; C 4 ; C 9. d) En utilisant un programme sur calculatrice ou ordinateur, déterminer à partir de quelle année le capital initial aura été multiplié par 5. Retrouver ce résultat en utilisant un fichier de tableur. http://xmaths.free.fr 1ère S Suites page 1 / 8
I Définition Définition Une suite est une fonction numérique définie sur l'ensemble des entiers naturels IN, ou sur l'ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n 0. L'image d'un entier naturel n est notée u(n) ou u n (c'est la notation indicielle). n est appelé l'indice ou le rang du terme u n. La suite est notée (u n ) n IN ou (u n ) n³n0. Exemples 1 ) On considère la suite (u n ) n IN définie par u n = n n 2 + 1. Cette suite est définie par la donnée explicite de u n pour tout entier n. On peut calculer facilement un terme quelconque : u 0 = 0 0 2 + 1 = 0 ; u 10 = 10 10 2 + 1 = 10 ; u 101 3254 = 3254 3254 2 + 1 2 ) On considère la suite (u n ) n³1 définie par u 1 = 2 et la relation u n+1 = -3u n + 1 pour tout n ³ 1. La suite est définie par son premier terme u 1 et par une relation (dite relation de récurrence) permettant de passer d'un terme au terme suivant. En utilisant la relation de récurrence avec n = 1, on obtient : u 1+1 = -3u 1 + 1 c'est-à-dire u 2 = -3u 1 + 1 donc u 2 = -3 x 2 + 1 = -5 Puis en utilisant à nouveau la relation de récurrence mais avec n = 2, on obtient : u 2+1 = -3u 2 + 1 c'est-à-dire u 3 = -3u 2 + 1 donc u 3 = -3 x (-5) + 1 = 16 Pour calculer u 50, il faudra calculer de proche en proche tous les termes u 4, u 5, u 6..., u 49, u 50. Une calculatrice ou un ordinateur peuvent alors être très utiles pour donner des valeurs approchées. Remarque Une suite comportant un nombre fini de termes peut aussi être définie par un tableau de valeurs. Par exemple : n 0 1 2 3 4 5 6 u n 2-5 6 7 10-15 21 Exercice 04 (voir réponses et correction) Calculer dans chacun des cas les cinq premiers termes de la suite (u n ) définie par : 1 ) u n = n + 1 n 2 pour n IN + 1 2 ) u 0 = 1 et u n+1 = 2u n pour tout n IN 3 ) u 1 = -2 et u n+1 = 2u n + 1 pour tout n IN * 4 ) u n = n 2 + 1 pour tout n IN 5 ) u n = 2 n pour tout n IN Exercice 05 (voir réponses et correction) On considère la suite (u n ) définie par u n = -3n + 5 pour tout n IN. Donner l'expression en fonction de n de : u n+1 ; u n + 1 ; u n+2 ; u 2n ; u n 2 ; u 2n+1 Exercice 06 (voir réponses et correction) On considère la suite (u n ) définie par u n = 7-3n pour tout n IN. 1 ) Calculer u 0 ; u 1 ; u 2 ; u 3. 2 ) Montrer que la suite (u n ) vérifie la relation de récurrence : u n+1 = u n - 3. http://xmaths.free.fr 1ère S Suites page 2 / 8
Exercice 07 (voir réponses et correction) On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 2 et u n+1 = 3-2u n pour tout n IN. 1 ) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3. 2 ) Montrer que pour tout n IN u n+2 = 4u n - 3. Définition On appelle représentation graphique d'une suite (u n ) l'ensemble des points du plan de coordonnées (n ; u n ). Exercice 08 (voir réponses et correction) Représenter graphiquement la suite (u n ) n IN définie par u n = 2n - 3. Exercice 09 (voir réponses et correction) On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et u n+1 = 2u n + 1 pour tout n IN. Représenter graphiquement la suite (u n ) pour 0 n 4 II Suites monotones Définition Soit la suite (u n ) n³n0. On dit que (u n ) est croissante si : pour tout n ³ n 0 u n+1 ³ u n. On dit que (u n ) est décroissante si : pour tout n ³ n 0 u n+1 u n. On dit que (u n ) est stationnaire si : pour tout n ³ n 0 u n+1 = u n. Remarques On définit de la même façon une suite strictement croissante ou strictement décroissante en utilisant des inégalités strictes. Une suite croissante ou décroissante est appelée suite monotone. Étudier le sens de variation d'une suite, c'est déterminer si une suite est croissante ou décroissante (ou ni l'un ni l'autre). Cette étude peut se faire en calculant la différence u n+1 - u n et en déterminant si cette différence a un signe constant. La définition d'une suite croissante (ou d'une suite décroissante) n'est pas identique à la définition d'une fonction croissante. Dans le cas d'une suite on compare deux termes consécutifs u n et u n+1, dans le cas d'une fonction on compare les images de deux réels quelconques a et b. Exercice 10 (voir réponses et correction) On considère la suite (u n ) définie par u n = n 2 + 2n pour tout n IN. 1 ) Calculer u 0 ; u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4. Que pensez-vous du sens de variation de la suite (u n )? 2 ) a) Déterminer u n+1 en fonction de n, et en déduire que u n+1 - u n = 2n + 3 pour tout n IN. b) Démontrer que la suite (u n ) est croissante. Exercice 11 (voir réponses et correction) Dans chacun des cas, calculer les quatre premiers termes de la suite (u n ) n IN puis étudier son sens de variation en justifiant soigneusement. 1 ) u n = n 2 2 ) u n = -2n+3 3 ) u n = (-1) n 4 ) u n = 1 n + 1 Exercice 12 (voir réponses et correction) Dans chacun des cas étudier le sens de variation de la suite : 1 ) (2n 2-1) n IN 2 ) n 3 ) (n n + 1 2 + n) n IN 4 ) n n IN n 2 + 1 n³1 http://xmaths.free.fr 1ère S Suites page 3 / 8
Propriété (voir justification 01) Soit (u n ) une suite croissante : si n ³ p, alors u n ³ u p. Soit (u n ) une suite décroissante : si n ³ p, alors u n u p. Exercice 13 (voir réponses et correction) 1 ) Déterminer le sens de variation de la fonction f définie sur [0; + [ par f(x) = x x + 1. 2 ) Soit n IN. Justifier que f(n) f(n + 1). 3 ) Soit (u n ) la suite définie par u n = n pour n IN. n + 1 En utilisant les questions précédentes, déterminer le sens de variation de la suite (u n ). Soit n 0 IN. Propriété (voir démonstration 02) Si f est une fonction croissante sur [n 0 ; + [, la suite (u n ) n³n0 définie par u n = f(n) est une suite croissante. Remarques On a une propriété identique avec une fonction décroissante. La condition est suffisante, mais n'est pas nécessaire, c'est-à-dire que la suite peut être croissante alors que la fonction ne l'est pas. (voir représentations graphiques ci-dessous) La fonction n'est pas croissante La suite est croissante Exemple On a démontré dans l'exercice 13 que la suite (u n ) définie pour tout n IN par u n = justifiant que la fonction x x x + 1 est une fonction croissante sur [0 ; + [. n n + 1 est croissante en Exercice 14 (voir réponses et correction) Dans chaque cas étudier le sens de variation de la suite en utilisant une fonction f : 1 ) (2n 2-1) n IN 2 ) 2n 3 ) (n n + 2 2 + n) n IN 4 ) n n IN n 2 + 1 n³1 Exercice 15 (voir réponses et correction) On considère la suite (u n ) définie par u n = 2n + 1 n + 2 1 ) Montrer que pour tout n IN, on a 0 < u n < 2. 2 ) Montrer que la suite (u n ) est strictement croissante. 3 ) Démontrer que pour n suffisamment grand on a u n > 1,999. Que peut-on penser des valeurs de u n quand n devient infiniment grand? Exercice 16 (voir réponses et correction) On considère la suite (u n ) définie par u 1 = 0 et u n+1 = u n + 1 n pour tout n ³ 1. 1 ) Calculer u 2 ; u 3 et u 4. 2 ) Déterminer le sens de variation de la suite (u n ). 3 ) Existe-t-il une valeur de n pour laquelle u n > 10? (On pourra utiliser un algorithme) http://xmaths.free.fr 1ère S Suites page 4 / 8
III Suites arithmétiques - suites géométriques Exercice 17 (voir réponses et correction) Une entreprise, propose pour recruter un nouvel employé deux types de rémunération : Type 1 : Salaire annuel de 23 000 euros avec augmentation du salaire annuel de 500 euros tous les ans. Type 2 : Salaire annuel de 21 000 euros avec augmentation annuelle du salaire de 4%. 1 ) On note u 0 le salaire annuel initial, et u n le salaire annuel après n années dans le cas de la rémunération de type 1. Donner les valeurs de u 0, u 1, u 2. 2 ) On note v 0 le salaire annuel initial, et v n le salaire annuel après n années dans le cas de la rémunération de type 2. Donner les valeurs de v 0, v 1, v 2. 3 ) Donner une expression générale de u n et v n en fonction de n. Calculer u 5 et v 5 ; u 10 et v 10. 4 ) Le nouvel employé compte rester 8 ans dans l'entreprise. Quel type de rémunération va-t-il choisir? Définition On dit qu'une suite (u n ) n³n0 est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que : pour tout n ³ n 0, u n+1 = u n + r. on dit alors que le réel r est la raison de la suite arithmétique (u n ). On dit qu'une suite (u n ) n³n0 est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que : pour tout n ³ n 0, u n+1 = u n x q. on dit alors que le réel q est la raison de la suite géométrique (u n ). Exemple La suite 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14... est la suite arithmétique de 1er terme 2 et de raison 3. La suite 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48... est la suite géométrique de 1er terme 3 et de raison 2. Remarques Lorsqu'une suite est arithmétique on passe d'un terme au suivant en ajoutant une constante. Pour justifier qu'une suite (u n ) est arithmétique, on peut démontrer que pour tout entier n, la différence u n+1 - u n est une constante r. Lorsqu'une suite est géométrique on passe d'un terme au suivant en multipliant une constante. Pour justifier qu'une suite (u n ) est géométrique, on peut démontrer que pour tout entier n, le quotient u n+1 u n est une constante q. Exercice 18 (voir réponses et correction) Les nombres suivants peuvent-ils être les premiers termes d'une suite arithmétique ou d'une suite géométrique. Si c'est le cas, donner la raison de la suite. 1 ) 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 2 ) 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 3 ) 45 ; 40 ; 35 ; 30 ; 25 4 ) 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11 5 ) 1 ; 1 2 ; 1 4 ; 1 8 ; 1 16 Exercice 19 (voir réponses et correction) Les suites définies sur IN par u n = 2n - 3 ; v n = 1 + n n + 2 sont-elles arithmétiques? géométriques? ; w n = 5 x 3 n http://xmaths.free.fr 1ère S Suites page 5 / 8
Propriétés (voir justification 03) Soit (u n ) n IN une suite arithmétique de raison r. Pour tout entier n et tout entier p, on a Soit (u n ) n IN une suite géométrique de raison q # 0. Pour tout entier n et tout entier p, on a u n = u p + (n - p) r u n = u p x q (n-p) Cas particuliers Si (u n ) n IN est arithmétique de raison r, on a : u n = u 0 + n r ; u n = u 1 + (n- 1) r pour tout n IN Si (u n ) n IN est géométrique de raison q, on a : u n = u 0 x q n ; u n = u 1 x q (n-1) pour tout n IN Exercice 20 (voir réponses et correction) (u n ) n IN désigne une suite arithmétique de raison r. Sachant que r = 3 et u 0 = -10, calculer u 12. Sachant que r = 2 et u 4 = 10, calculer u 0 et u 22. Sachant que u 4 = 18 et u 2 = -12, calculer r et u 0. Sachant que u 1 = π et u 3 = 2 - π, calculer u 2 et u 5. (u n ) n IN désigne une suite géométrique de raison q. Sachant que u 1 = 3 et q = -2, calculer u 3 et u 6. Sachant que u 2 = 4 et u 3 = 9, calculer u 4 et u 0. Exercice 21 (voir réponses et correction) Trouver toutes les suites arithmétiques (u n ) n IN telles que u 0 = 1 et u 3 = 5. Trouver toutes les suites géométriques (u n ) n IN telles que u 0 = 1 et u 2 = 1. Exercice 22 (voir réponses et correction) Soit (u n ) n IN une suite arithmétique. Montrer que pour tout entier naturel n : 2 x u n+1 = u n + u n+2 En déduire que dans une suite arithmétique, tout terme (sauf le premier) est la moyenne du terme le précédant et du terme le suivant. Propriétés (voir justification 04) La somme des n premiers termes de la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1 est : 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1) 2 La somme des n premiers termes de la suite géométrique de raison q 1 et de premier terme 1 est : 1 + q + q 2 + + q n-1 = 1 - qn 1 - q Remarques La deuxième formule n'est pas utilisable si q = 1, mais dans ce cas la valeur de la somme est évidente. On a 1 + q + q 2 + + q n = 1 - qn+1 1 - q Exercice 23 (voir réponses et correction) (Il s'agit dans ce cas d'une somme de n+1 termes) (u n ) désigne la suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r. 1 ) Écrire un algorithme permettant de calculer pour tout entier n, en fonction des valeurs de u 0 et de r la somme S = u 0 + u 1 + + u n 2 ) On suppose dans cette question que u 0 = 3 ; r = 1 3 et n = 10. a) Vérifier, en utilisant cet algorithme, que l'on obtient S 51,333333. b) Donner, en la justifiant, la valeur exacte de S. http://xmaths.free.fr 1ère S Suites page 6 / 8
Exercice 24 (voir réponses et correction) (u n ) désigne la suite géométrique de premier terme u 0 et de raison r. 1 ) Écrire un algorithme permettant de calculer pour tout entier n, en fonction des valeurs de u 0 et de q la somme S = u 0 + u 1 + + u n 2 ) On suppose dans cette question que u 0 = 4 ; q = 3 5 et n = 10. a) Vérifier, en utilisant cet algorithme, que l'on obtient S 9,9637203 b) Donner, en la justifiant, la valeur exacte de S. Propriété (voir démonstration 05) Une suite arithmétique de raison r est croissante si r ³ 0 décroissante si r 0 stationnaire si r = 0 Exercice 25 (voir réponses et correction) 1 ) Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 1,15. a) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3. b) Donner, en le justifiant, le sens de variation de la suite (u n ). 2 ) Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 0,98. a) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3. b) Donner, en le justifiant, le sens de variation de la suite (u n ). 3 ) Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison -2. a) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3. b) Que peut-on dire du sens de variation de la suite (u n )? Propriété (voir démonstration 06) Une suite géométrique de premier terme non nul et de raison q est : monotone si q ³ 0 (le sens de variation dépend alors du signe du premier terme et du signe de q-1) non monotone si q < 0. Exercice 26 (voir réponses et correction) Cet exercice a pour but d étudier l évolution du nombre de bactéries au cours du temps dans une situation de nature expérimentale. On dépose un morceau de viande sur un comptoir l été à 14 h 00, la température avoisine les 35 C. Ce morceau de viande contient 100 bactéries, et dans ces conditions, le nombre de bactéries double toutes les 15 minutes. On note u 0 le nombre de bactéries à 14 h 00, u 1 le nombre de bactéries à 14 h 15, u 2 le nombre de bactéries à 14 h 30, et u n le nombre de bactéries n quarts d heure après 14 h 00, n étant un entier naturel. 1 ) Recopier et compléter le tableau suivant (on suppose que les conditions ne changent pas durant tout le temps de l expérience) : Heure 14 h 00 14 h 15 14 h 30 14 h 45 15 h 00 Rang : n 0 1 2 3 4 Nombre de bactéries u n 100 2 ) Si u n est le nombre de bactéries à un moment déterminé, u n+1 correspond au nombre de bactéries 15 minutes plus tard. Quelle est la relation entre u n et u n+1? 3 ) Préciser la nature de la suite (u n ) définie précédemment et sa raison. 4 ) Exprimer u n en fonction de n. 5 ) Calculer le nombre de bactéries à 17 h 00. 6 ) On estime qu à partir de 150 000 bactéries présentes dans un aliment, celui-ci a atteint un niveau impropre à la consommation pour l être humain. Jusqu à quelle heure, arrondie au quart d heure, l être humain peut-il consommer sans risque le morceau de viande? http://xmaths.free.fr 1ère S Suites page 7 / 8
Exercice 27 (voir réponses et correction) Le tableau ci-dessous indique le nombre d exploitations agricoles en France entre 1955 et 2000. Année 1955 1970 1988 2000 Rang n de l'année 0 15 33 45 Nombre d exploitations (en milliers) 2280 1588 1017 664 (Source INSEE) 1 ) On admet dans cette question que le nombre d'exploitations agricoles (en milliers) pour l'année de rang n est modélisé par la suite arithmétique (u n ) de premier terme u 0 = 2280 et de raison -36. a) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3. b) Quel est le sens de variation de la suite (u n )? c) Déterminer l'expression de u n en fonction de n. En déduire les valeurs de u 15 ; u 33 et u 45. d) En utilisant ce modèle calculer le nombre d exploitations agricoles que l on peut prévoir pour 2015. 2 ) On admet dans cette question que le nombre d'exploitations agricoles (en milliers) pour l'année de rang n est modélisé par la suite géométrique (v n ) de premier terme v 0 = 2280 et de raison 0,973. a) Calculer v 1 ; v 2 ; v 3. (les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche) b) Justifier que ce modèle correspond à une variation relative constante d'une année sur l'autre. Quelle est cette variation relative? c) Déterminer v n en fonction de n. En déduire les valeurs de v 15 ; v 33 et v 45. d) En utilisant ce modèle calculer le nombre d exploitations agricoles que l on peut prévoir pour 2015. Exercice 28 (voir réponses et correction) On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 8 et u n+1 = 2u n - 3 pour tout n IN. 1 ) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4. 2 ) Soit (v n ) la suite définie pour tout n IN par v n = u n - 3. Exprimer v n+1 en fonction de u n+1. Puis exprimer v n+1 en fonction de u n. En déduire enfin l'expression de v n+1 en fonction de v n. Que peut-on dire de la suite (v n )? 3 ) Donner l'expression de v n en fonction de n, en déduire l'expression de u n en fonction de n. Retrouver avec cette expression les valeurs de u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 données à la première question. Justifier que tous les nombres u n, sauf u 0 ont une écriture décimale se terminant par le chiffre 3. Exercice 29 (voir réponses et correction) 1 ) Un capital C est placé à un taux d'intérêt de 8% par an. Quel est le nombre N d'années au bout duquel ce capital aura doublé? 2 ) Même question pour un taux d'intérêt de 3,15 %, pour un taux d'intérêt de 2,5%. 3 ) Écrire un programme sur calculatrice ou sur ordinateur permettant de trouver le nombre N à partir d'un taux d'intérêt t. Exercice 30 (voir réponses et correction) On considère la suite (u n ) définie par u 1 = 0 et u n+1 = u n + 1 n pour tout n ³ 1. 1 ) Calculer u 2 ; u 3 et u 4. 2 ) Déterminer le sens de variation de la suite (u n ). 3 ) En utilisant un tableur déterminer les valeurs de u n pour n allant de 1 à 1000. Que deviennent les valeurs de u n quand n augmente indéfiniment. 4 ) Écrire un algorithme permettant de trouver à partir de quel rang n la valeur de u n est supérieure à un nombre M donné. Utiliser cet algorithme avec M = 10, M = 100, M = 1000. 5 ) Reprendre les questions précédentes avec la suite (v n ) définie par v 1 = 0 et v n+1 = v n + 1 pour tout n ³ 1 n2 http://xmaths.free.fr 1ère S Suites page 8 / 8