1 PARTIE NUMÉRIQUE. Correction Brevet Blanc de Mathématiques MAI 2011 1 Partie Numérique. Exercice n 1 : Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, trois réponses sont proposées mais une seule est exacte. Entourez la bonne réponse. La forme développée de (2x + 1) 2 est : 2x 2 + 4x + 2 4x 2 + 4x + 1 4x 2 + 1 La forme factorisée de x 2 1 est : (x 0, 5)(x 0, 5) (x 1)(x 1) (x 1)(x + 1) L'équation (2x 1)(4x + 2) = 0 admet pour solutions : -0,5 et 0,5-2 et 2-3 et -6 L'image de 5 par la fonction f dénie par f(x) = 3x 2 est : -17 6 13 Par la fonction g dénie par : x 2x + 4, l'antécédent de 2 est : -1 1 2 Exercice n 2 : Le pirate Tom Le Rouge découvre un core dans lequel repose un trésor composé de 5096 pièces d'argent et 1155 pièces d'or. Très généreux, Tom Le Rouge veut partager son trésor avec le maximum de ses amis, souhaitant que chacun reçoive le même nombre de pièces d'or et d'argent. 1. Calculez le Plus Grand Commun Diviseur des entiers 5096 et 1155. Procédons par la méthode d'euclide ( les divisions) : Dividende diviseur reste 5096 1155 476 1155 476 203 476 203 70 203 70 63 70 63 7 63 7 0 Le dernier reste non nul est 7, donc PGCD(5096, 1155)=7. 1
2 PARTIE GÉOMÉTRIQUE. 2. Combien de personnes vont proter de la découverte de Tom Le Rouge (en le comptant lui-même!)? Pour le nombre de parts, nous savons que c'est un diviseur des entiers 5096 et 1155. Et de plus : le plus grand possible. Donc c'est le PGCD(5096, 1155)=7. Par conséquent, ils sont 7 pour le partage. 3. Combien de pièces d'argent et d'or recevra alors chaque personne? Exercice n 3 : Chacun recevra 5096 7 = 728 pièces d'argent et 1155 7 = 165 pièces d'or. Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune de ces boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculez la probabilité pour que cette boule soit jaune. p(1jaune) = cas favorables à jaune cas possibles = 4 10+6+4 = 1 5. 2. Calculez la probabilité pour que cette boule ne soit pas jaune. p(nonjaune) = p(contraire à jaune) = 1 p(1jaune) = 4 5. 3. On ajoute dans ce sac des boules bleues. Le sac contient alors 10 boules rouges, 6 boules noires, 4 boules jaunes et les boules bleues. On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue 1 est égale à, calculez le nombre de boules bleues. 5 On doit donc résoudre l'équation ; n n+20 = 1 5. 5n = n + 20 4n = 20 n = 20 4 Conclusion : il y a 5 boules bleues. Soit n le nombre de boules bleues. Alors p(1bleue) = cas favorables à bleue cas possibles = n n+20 = 1 5. Exercice n 1 : 2 Partie Géométrique. Pour trouver la hauteur d'une éolienne, on dispose des renseignements suivants : 2
2 PARTIE GÉOMÉTRIQUE. Les points O, A et C sont alignés. Les points O, B et D sont alignés. Les angles ÔAB et ÂCD sont droits. OA = 11 m, AC = 594 m et AB = 1,5 m. Le segment [CD] représente l'éolienne. D B O A C 1. Expliquez pourquoi les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Ici, les droites (AB) et (CD) sont toutes deux perpendiculaires à (OA), A (OC) B (OD) (AB)//(CD) par conséquent : (AB) et (CD) sont parallèles. 2. Calculez la hauteur CD de l'éolienne. Justiez. Dans le triangle (OCD), on a : donc, d'après Thalès, on peut écrire : OB et cela donne : d'où l'on tire : 11 11+594 = 1,5 CD 11 605 = 1,5 CD OD = OA OC = AB CD et alors : CD = 1,5 605 11 ce qui donne : CD = 82,5 m. L'axe de l'éolienne est à 82,5 mètres de haut. 3
2 PARTIE GÉOMÉTRIQUE. Exercice n 2 : A B E C F La gure n'est pas faite en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire. ABC est un triangle tel que : AB= 8 cm ; AC = 6,4 cm et BC = 4,9 cm. Le point E appartient à la demi-droite [ AB) et : AE = 12 cm. Le point F appartient à la demi-droite [AC) et : AF = 9,6 cm. a)le triangle ABC est-il un triangle rectangle? Justiez la réponse. Propriété (R1) :(Réciproque de Pythagore) Si, dans un triangle, le carré du grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres,alors il est rectangle. (C1) : Contraposée de Pythagore. Dans un triangle, si le carré du grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle. Qu'avons-nous, ici? Dans le triangle (ABC), on a : } AB 2 = 8 2 = 64 AC 2 + BC 2 = 6, 4 2 + 4, 9 2 donc, AB = 64, 97 2 AC 2 + BC 2 Donc, d'après la contraposée de Pythagore, citée en (C1), (ABC) n'est pas rectangle. E (AB) et F (AC) AB = AC AE AF b) Les droites (BC) et (EF) sont-elles parallèles? Justiez la réponse. Pouvons-nous utiliser la réciproque de Thalès, ici? Pour cela, il nous faut comparer les rapports AB AC AE et AF : AB = 8 = } 2 AE 12 3 donc : AB AE = AC AF AC = 64 = 2 AF 96 3 (A, B, E)et(A, C, F )alignés dans le même ordre. Dans le triangle (ABC), on a : donc, d'après la réciproque de Thalès, on peut écrire : (BC)//(EF). Exercice n 3 : Lors d'une intervention, les pompiers doivent atteindre une fenêtre F située à 18 mètres au-dessus du sol en utilisant leur grande échelle [PF]. Ils doivent prévoir les réglages de l'échelle. Le pied P de l'échelle est situé sur le camion à 1,5 m du sol et à 10 m de l'immeuble. 4
2 PARTIE GÉOMÉTRIQUE. F R P S 1. D'après les informations ci-dessus, déterminez la longueur FR. R [SF] donc FR + RS = FS Par conséquent : FR + 1,5 =18 Ce qui donne FR = 18-1,5 = 16,5 m. 2. Déterminez l'angle que fait l'échelle avec l'horizontale, c'est-à-dire FPR, arrondi à l'unité. Dans (FPR) rectangle en P, on a : tan( FPR) = F R donc en remplaçant : RP tan( FPR) = 16,5 10 La calculatrice donne FPR 59 au degré près. 3. L'échelle a une longueur maximale de 25 mètres. Sera-t-elle assez longue pour atteindre la fenêtre F? Pour calculer PF, on peut procéder avec Pythagore, ou le sinus, ou... utilisons le cosinus : RP cos( FPR)= F P 10 cos( FPR)= nous conservons la valeur de l'angle achée par la calculatrice. F P 10 donc : FP = cos( FPR) Ainsi : FP 19 m au mètre près. Ce qui montre que la grande échelle pourra atteindre la fenêtre. N'oubliez pas de tourner la page : le jeu continue avec le problème... 5
3 PROBLÈME. 3 Problème. Le site Internet PommeOnLine propose des téléchargements musicaux aux deux tarifs suivants : Tarif 1 : Vous payez 1,20 euros par titre téléchargé. Tarif 2 : Vous payez une adhésion annuelle de 8 euros, puis 0,9 euros par titre téléchargé. 1. a. Recopiez et complétez le tableau ci-dessous. Nombre de titres téléchargés 5 10 30 Prix au tarif 1 en euros 6 12 36 Prix au tarif 2 en euros 12,5 17 35 b. Le prix du Tarif 2 est-il proportionnel au nombre de titres téléchargés? Si le tarif 2 était proportionnel au nombre de titres téléchargés, alors pour 10 titres, le prix devrait être le double du prix payé pour 5. Or on paie 12,5 e pour 5 : sans pour autant, payer 25 e pour 10! Le Tarif 2 n'est pas proportionnel au nombre de titres téléchargés. 2. Exprimez le prix payé par le consommateur en fonction du nombre x de titres téléchargés. Pour le tarif 1, le prix sera P 1(x) = 1, 2x. Pour le tarif 2, le prix sera P 2(x) = 0, 9x + 8. 3. Sur une feuille de papier millimétré : Construisez un repère orthogonal en plaçant l'origine O en bas à gauche de la feuille avec : o Sur l'axe des abscisses : 1 cm représente 2 titres téléchargés. o Sur l'axe des ordonnées : 1 cm représente 2 euros. Tracez dans ce repère les représentations graphiques des fonctions f et g dénies par : f(x) = 1, 2x et g(x) = 0, 9x + 8 Normalement, il faudrait donner un tableau de valeurs pour chacune des deux droites, mais ici, on peut se servir des calculs de la question 1. La droite (D1) représentant P1 passe par l'origine O(0 ; 0) et le point de coordonnées ( 10 ; 12). La droite (D2) représentant P2 passe par l'origine B(0 ; 8) et le point de coordonnées ( 10 ; 17). 6
3 PROBLÈME. 4. Répondez aux questions suivantes en utilisant le graphique et en faisant apparaître les traits nécessaires. a) On veut télécharger 20 titres. Quel est le tarif le plus avantageux? Pour 20 titres, le graphique montre que c'est le tarif 1 le plus avantageux avec 24 e contre 28 e pour le tarif 2. b) Avec 40 euros, combien de titres peut-on télécharger avec le tarif 2? Pour 40 e, la lecture graphique dit que l'on peut télécharger 33 titres avec le Tarif 2. 5. Répondez aux mêmes questions en procédant par calcul, à savoir : a) On veut télécharger 20 titres. Calculez le tarif le plus avantageux. En faisant les calculs : f(20) = 1, 2 20 = 24 g(20) = 0, 9 20 + 8 = 26 Cela montre bien que le tarif 1 est plus avantageux, mais avec des résultats exacts. Seuls, les calculs donnent des résultats exacts, alors que la lecture n'est qu'approximative. b) Avec 40 euros, calculez le nombre de titres téléchargeables avec le tarif 2? En faisant les calculs : On cherche x tel que g(x) = 40 donc : 0, 9x + 8 = 40 donc : 0, 9x = 40 8 d'où : x = 32 0,9 x = 320 9 x 35, 6 Donc le calcul montre qu'il ne peut pas charger plus de 35 titres. 7
y 40 28 24 8 P2 : y=0,9x+8 2 J O 2 I 10 20 33 x P1 : y=1,2x