Réducteurs de vitesse à engrenages par Robert LE BORZEC Professeur de Construction mécanique à l École Nationale Supérieure des Arts et Métiers de Lille 1. Rôle d un réducteur de vitesse... B 5 640-3. Réducteurs élémentaires... 5.1 Réducteur à engrenage cylindrique extérieur... 5. Réducteur à engrenage cylindrique intérieur... 8.3 Réducteur à engrenage conique... 9.4 Réducteur à engrenage spatial... 11 3. Réducteurs élémentaires dérivés... 11 3.1 Réducteur à roue intermédiaire (ou à roue parasite)... 11 3. Réducteur coaxial à arbre intermédiaire... 1 3.3 Réducteur épicycloïdal plan élémentaire... 13 3.4 Réducteur épicycloïdal sphérique élémentaire... 17 4. Discussion et analyse des caractéristiques des engrenages cylindriques... 18 5. Groupement en série de réducteurs élémentaires... 19 6. Groupement en parallèle de réducteurs élémentaires... 4 7. Groupements composés mixtes... 8 7.1 Trains épicycloïdaux en série... 8 7. Trains épicycloïdaux généralisés... 9 7.3 Groupements imbriqués... 31 7.4 Réducteurs à grand rapport de réduction... 34 8. Conclusion... 35 Pour en savoir plus... Doc. B 5 64 D ans cet article, les unités des dimensions linéaires ne sont pas indiquées mais, sauf mention contraire, sont en millimètres. Le lecteur se reportera utilement à l article Engrenages. Éléments pratiques de définition, de dessin et de calcul [B 636] dans ce traité. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B 5 640 1
RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Notations et Symboles Symbole Définition Symbole Définition B 0 Bâti référentiel d V 1m, d V m Diamètres primitifs de l engrenage cylindrique C m, C s Couples côté moteur et côté sortie équivalent au conique C 1, C Couples exercés sur le pignon(1), sur la roue () i m, i r Rapport global de multiplication ou de réduction C r Coefficient de rapport de transmission k Rapport intermédiaire de transmission en cylindrique m n, m n0 Modules réels de fonctionnement et de fabrication C* r Coefficient de rapport en cylindrique équivalent m t, m t0 Modules apparents de fonctionnement au conique et de fabrication E a Module d élasticité longitudinal de l acier m, m 0 Modules de fonctionnement et de fabrication F n, F t, F a, F r Actions mécaniques entre dentures (normale, en denture droite tangentielle, axiale, radiale) r b Rayon du cylindre de base F tm Composante tangentielle entre dentures u Rapport de multiplication ou de réduction au diamètre moyen en conique d un engrenage GV Grande vitesse v t Vitesse linéaire tangentielle H h, H Durée probable du mécanisme v 1 Vitesse de glissement de (1) sur () K B Coefficient de service x 1, x, x 3 Coefficients de déport de denture K GF, K GH Coefficient général de calcul en flexion x ij Axe coïncidant entre les pièces i et j et en pression superficielle α n, α n0 Angles de pression réels en fonctionnement K Li Coefficient d encombrement linéaire et au taillage K S Coefficient spécial de calcul α t, α t0 Angles de pression apparents en fonctionnement K Vi Coefficient de volume et au taillage N m0, N s0 Vitesses angulaires de moteur et de sortie α, α 0 Angles de pression en fonctionnement et au taillage (en tr/min) en denture droite O ij Point coïncidant entre les pièces i et j β, β 0 Angles d hélice aux primitifs de fonctionnement PV Petite vitesse et de taillage P Puissance transmise β b Angle d hélice sur le cylindre de base R 0 Longueur de génératrice d un engrenage conique δ 1, δ Angles primitifs de cônes S lat Surface latérale d une roue dentée ε α Rapport de conduite apparente V ol Volume matière de l engrenage ε β Rapport de recouvrement ou de conduite axiale Z 1, Z, Z 3 Nombres de dents des roues (1), (), (3) η Rendement d un mécanisme Z 1év Nombre de dents évalué du pignon λ Rapport de base d un train épicycloïdal Z * 1, Z * Nombres de dents fictifs de l engrenage cylindrique ρ 1, ρ, ρ eq Rayons de courbure sur (1), sur () et équivalent à denture droite équivalent au cylindrique hélicoïdal en modèle de Hertz et au conique à denture droite ou spirale Σ 0 Angle des axes a 0 Entraxe d un engrenage σ 0 Critère de résistance à la racine b Longueur de denture σ F lim Contrainte limite en fatigue à la flexion d 1, d, d 3 Diamètres primitifs de fonctionnement σ H lim Contrainte limite en fatigue à la pression d 01, d 0, d 03 Diamètres primitifs de taillage superficielle d a Diamètre de tête σ H Contrainte maximale en pression superficielle, d b Diamètre de base modèle de Hertz d f Diamètre de pied ψ Coefficient de longueur d un pignon d 1m, d m Diamètres primitifs moyens en coniques ω m0, ω s0 Vitesses angulaires de moteur et de sortie Ω 0 Critère de résistance superficielle B 5 640 Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique
RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES 1. Rôle d un réducteur de vitesse Une transmission de puissance est installée entre un moteur et une machine à commander. Un moteur à vitesse de fonctionnement unique et à couple nominal unique est utilisé, dans la majorité des cas, qu il soit électrique, thermique, hydraulique ou pneumatique, car c est la solution économiquement acceptable. Ces deux caractéristiques évoluent entre deux valeurs voisines : vitesse en charge (N m0 ± N m0 ), couple en charge (C m ± C m ), les variations acceptées se situant entre % et 10 % suivant le type de moteur et le rendement énergétique souhaité. La machine à commander fonctionne en général à vitesse et à couple uniques dits caractéristiques d utilisation : (N s0 ± N s0 ), (C s ± C s ), avec des variations de l ordre de % à 0 %. Il est donc nécessaire d adapter les caractéristiques du moteur à celles de la machine et pour cela l élément d adaptation entre moteur et machine est un réducteur de vitesse ou un multiplicateur de vitesse de rapport i constant. Il se nomme aussi réducteur de couple ou multiplicateur de couple de rapport constant i avec, si l on admet un rendement unité : réducteur i r = N m0 / N s0 = C s / C m = Cte i r > 1 multiplicateur i m = N s0 / N m0 = C m / C s = Cte i m > 1 Le réducteur et le multiplicateur étant deux mécanismes réciproques, seul le réducteur sera étudié par la suite. Différents types de transmissions existent : mécaniques, hydrauliques, pneumatiques, électriques, etc. Parmi les transmissions mécaniques, on rencontre les roues de friction, les poulies et courroies, les roues dentées et chaînes et les engrenages, utilisables suivant les critères de fonctionnement imposés (articles spécialisés dans ce traité). L engrenage est la solution la plus répandue : il assure une sécurité cinématique, car il ne peut pas se produire de glissement ; la résistance aux efforts est très importante avec une très bonne fiabilité ; la puissance transmise par unité de masse est la plus forte obtenue parmi toutes les solutions : avec plus de précision, en engrenage réalisé avec des aciers de cémentation, trempe et rectification, il est possible d évaluer le rapport du couple de sortie (petite vitesse PV) en réducteur de vitesse à la masse de l ensemble à des valeurs de l ordre de 15 à 40 N m/ kg ; l encombrement est très réduit ; le rendement mécanique est très voisin de l unité dans le cas d une bonne fabrication (η = 0,96 à 0,99) ; le prix est très variable suivant la précision demandée, il est en général élevé. Le cahier des charges d un réducteur doit être établi avec précision, la puissance à transmettre n étant qu un élément parmi les autres. Le rapport de transmission apparaît soit cinématiquement avec la vitesse d entrée et la vitesse de sortie, soit statiquement avec le couple d entrée et le couple de sortie et le rendement espéré. La géométrie imposée est à décrire : axes parallèles, axes concourants perpendiculaires ou d angle quelconque, axes orthogonaux, axes concentriques ou position quelconque. L environnement est à caractériser tant au point de vue chimique qu au point de vue physique. Fiabilité, sécurité, maintenance sont à préciser. Le maintien de l appareil est à définir : maintien rigide par semelle liée au bâti, liée au moteur ou montée articulée ou flottante sur l axe du moteur ou l axe lié au bâti. De nombreux constructeurs proposent leurs gammes de fabrication assorties des conditions de montage, de réglage et d entretien [Doc. 5 64]. Si l on ne trouve pas cependant en catalogue la transmission souhaitée, une étude particulière s impose dont les principaux éléments sont proposés dans cet article. Dans une première partie, les réducteurs élémentaires seront étudiés en détail. Le réducteur élémentaire ou train d engrenage est l ensemble de base nommé engrenage composé d un pignon (petite roue), d une roue (grande roue dentée) et d un carter ou bâti. Suivant la géométrie des axes, il s agit : de l engrenage cylindrique extérieur en géométrie de parallélisme ; de l engrenage cylindrique intérieur en géométrie de parallélisme ; de l engrenage conique en géométrie de concourance des axes ; de l engrenage spatial (cylindrique, roue et vis, hypoïde, etc.) en géométrie quelconque. Ensuite seront présentés les réducteurs élémentaires dérivés : une ou plusieurs roues dentées intermédiaires ou un arbre intermédiaire interviennent pour compléter les réducteurs élémentaires dans le but d obtenir une géométrie particulière (entraxe important en géométrie parallèle, géométrie de concentricité, etc.) ou une cinématique choisie (rapport entier, sens de rotation, etc.) : utilisation d une roue intermédiaire ou roue parasite en cylindrique extérieur ; utilisation d une ou plusieurs roues intermédiaires en cylindrique intérieur ; utilisation d un arbre intermédiaire en réducteur coaxial ; utilisation de roues et arbres intermédiaires en train épicycloïdal cylindrique ou conique. Enfin, les solutions précédentes ne permettant pas de dépasser des rapports de transmission de 8 à 0 et imposant des encombrements importants et des masses très élevées, des groupements de réducteurs élémentaires interviendront : groupement en série pour obtenir des rapports importants (jusqu à 6 000 à 8 000) ; groupement en parallèle pour réduire l encombrement, le volume et la masse ; groupement composé associant l obtention de rapports importants et une réduction des dimensions et des volumes. Le tableau 1 regroupe l ensemble des caractéristiques principales de ces différentes familles. (0) Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B 5 640 3
RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Tableau 1 Réducteurs et multiplicateurs de vitesse caractéristiques Réducteurs élémentaires Engrenage extérieur : Engrenage intérieur : Engrenage conique : Engrenage spatial : vitesses de sens contraire vitesses de même sens u 6 à 8 v t 100 à 150 m/s u 6 à 8 v t 10 à 5 m/s u 6 à 8 v t 10 à 5 m/s u jusqu à 100 à 00 η réduit = 0,95 à 0,5 η = 0,98 à 0,96 η = 0,98 à 0,96 η = 0,98 à 0,95 Réducteurs élémentaires dérivés Engrenages extérieurs avec roue Arbre intermédiaire d axe x i : Train épicycloïdal cylindrique : Train épicycloïdal sphérique : intermédiaire : a 0 peut être important géométrie de concentricité axe x i intermédiaire avec à engrenages coniques et vitesses de même sens satellite (s) à axe(s) x i intermédiaire(s) Groupements en série Groupements de réducteurs élémentaires Géométrie de parallélisme Groupement en parallèle Géométrie de concentricité i 8 à 1 η = 0,96 à 0,98 Groupements composés Géométrie d angularité Géométrie de concentricité Géométrie de concentricité i 5 000 à 10 000 nombre de trains n = à 5 η = 0,98 à 0,9 Géométrie d angularité et de concentricité Géométrie de perpendicularité et de concentricité i 5 000 à 10 000 rapport i 6 000 à 8 000 nombre de trains n = à 5 nombre de trains n de à 6 η = 0,98 à 0,90 rendement η = 0,96 à 0,90 B 5 640 4 Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique
RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES. Réducteurs élémentaires Les réducteurs élémentaires sont les éléments de base les plus simples formés d un engrenage unique (pignon et roue) avec les guidages et le maintien de contact assurés par un carter ; ils sont caractérisés par leur géométrie et leur cinématique (figure 1) : ( O 10, x 10 ), ( O 0, x 0 ) = ( a 0, Σ 0 ) avec a 0 entraxe linéaire, Σ 0 position angulaire, l indice 0 signifiant simplement : par rapport au référentiel : ω 10 = ω 10 x 10 ω 0 = ω 0 x 0 rapport i = ω 10 /ω 0.1 Réducteur à engrenage cylindrique extérieur Étude générale des caractéristiques principales du réducteur. Le réducteur à engrenage cylindrique extérieur (figure ) convient à une géométrie de parallélisme entre l arbre d entrée et l arbre de sortie : Σ 0 = 0 et a 0 = Cte Les sens des rotations N m0 et N s0 sont opposés. Les surfaces primitives ou axoïdes sont des cylindres de révolution de diamètres d 1 et d tangents extérieurement. La denture est normalisée, profil ISO en hélicoïdes développables, de section apparente en développante de cercle (article Engrenages [B 636]), denture droite ou denture hélicoïdale. Les caractéristiques de définitions de l engrenage sont le module m n0, l angle d hélice β 0, les nombres de dents Z 1 et Z, les coefficients de déports de dentures x 1 et x, la longueur de roues b, et l entraxe a 0. Ces éléments sont à déterminer en fonction du cahier des charges comprenant essentiellement la puissance à transmettre P (kw) ou le couple de sortie en petite vitesse (PV) : C s (N m), les vitesses nominales (N m0 ) et (N s0 ± N s0 ), le coefficient de service K B et la durée espérée de fonctionnement H (h). Le comportement, en résistance des matériaux, est géré par les deux relations ISO pour la résistance en pression superficielle, définie dans l étude dynamique de l article Engrenages [B 636] : Z H Z E Z ε Z β F t bd 1 ----------- u + 1 u -------------- K A K V K Hβ K Hα 1/ σ H lim Z N Z L Z R Z V Z W et pour la résistance à la rupture à la racine, définies dans l étude dynamique de l article Engrenages [B 636] : F t ---------------- bm n0 Y Fa Y Sa Y ε Y β K A K V K Fβ K Fα ( ) σ F lim Y ST Y NT Y δ rel T Y R rel T Y X Ces relations, trop complexes en avant-projet, peuvent s écrire sous forme simplifiée : F t Ω 0 bd u 1 --------------------------- P V u + 1 K αβ K V K B (1) avec ( σ Ω H lim ) 0 = --------------------------------------- Z E Z H Z ε Z β () et 1 F t σ 0 bm n0 --------------------------- K αβ K V K B (3) avec σ σ F lim Y ST Y 0 = ----------------------------------- Y Sa Y Fa Y ε Y β (4) Y = Y δ rel T Y R rel T Y X avec F t (N) composante tangentielle transmise, b (mm) longueur de roues dentées, m n0 (mm) module normal de taillage, d 1 (mm) diamètre primitif de fonctionnement du pignon, u rapport de réduction : u = N 10 /N 0 = d /d 1, K V facteur dynamique de vitesse, K B facteur de service correspondant à ( K A /Z N ) ou à (K A /Y NT ), K αβ facteur de répartition des charges sur les dents, correspondant à (K H β K Hα ) ou (K F β K Fα ), Z V facteur de film d huile, Z P facteur de rugosité correspondant à (Z L Z R Z W ), les différents facteurs Z E, Z H, Z ε, Z β et Y ST, Y δ relt, Y RrelT, Y X, Y Sa, Y Fa, Y ε, Y β étant tous définis dans l article Engrenages [B 636]. Figure Réducteur à engrenage cylindrique extérieur Figure 1 Réducteur élémentaire : géométrie et cinématique Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B 5 640 5
RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Il faut remarquer que les deux équations de résistance (1) et (3) font intervenir les dimensions b, d 1 et m n0 ainsi que le nombre de dents du pignon Z 1 tel que d 1 = mz 1. L équation (3) caractérise le risque de ruine par cassure de dents et l équation (1) caractérise un risque d écaillage superficiel ou de piqûres. Dans le but d éviter des dommages importants dus à une cassure de dents, il est préférable d obtenir un écaillage superficiel générateur de bruit avant d atteindre la cassure à la racine, ce qui permet d écrire : u Z Ω 0 bd 1 -------------- P Z V 1 ----------------------------- < σ u + 1 K αβ K V K 0 bm n0 ----------------------------- B K αβ K V K B aboutissant à : Z 1 ---------- σ 0 u + 1 1 < -------------- -------------------- ou Z Ω 0 u 1 < Z 1 max Z P Z V Cette inéquation limitera le choix du nombre de dents à envisager pour le pignon. Il ne reste plus, en prédétermination, que l inéquation (1) de résistance à la pression superficielle dans laquelle la composante tangentielle F t peut être remplacée par C 1 /d 1 avec C 1 (en N mm) couple sur le pignon et d 1 diamètre primitif du pignon : Deux dimensions interviennent ici : d 1 et b. Il est donc possible de calculer b si l on connaît d 1 ou de déterminer d 1 si b est connu. Dans le cas général d un avant-projet, aucune des deux dimensions n est connue mais, comme elles correspondent à un seul élément, le pignon, il est possible d adopter un rapport de proportions entre b et d 1 ; ce sera le coefficient de longueur tel que : b = ψd 1. Ainsi, une seule inconnue est conservée, le diamètre du pignon d 1, déterminé par l inéquation : ψ est de l ordre de 1, variant entre 0, et 1,5 suivant les matériaux utilisés et le type de construction adoptée (0, à 0,4 en boîtes de vitesses, matériaux de haute résistance, et 1, à 1,5 en réducteurs, matériaux de faible résistance). Ainsi, à partir des relations (5) et (7), l avant-projet peut se dérouler normalement. Un choix de matériaux avec traitements à cœur et en surface, une décision sur la précision à adopter et sur la forme de la denture (droite ou oblique) permettent d évaluer les deux critères de résistance Ω 0 et σ 0. Les valeurs des contraintes limites σ H lim en pression superficielle et σ F lim en flexion à la racine sont données dans les figures de l article Engrenages [B 636] donnant les facteurs C 5 et C B6, avec : L évaluation de 0 fait intervenir, d après la relation () : 0,35E Z a 0,35 10 000 E = ------------------- = ----------------------------------------- = 36 750 N/mm Z E étant le facteur d élasticité ; cos β b Z H = ------------------------------------ sin α t cos α t u Z C 1 Ω 0 d 1b -------------- P Z V ----------------------------- u + 1 K αβ K V K B d 1 C 1 K αβ K V K 1/3 B -------------------------------------------------- Ω 0 ψ -------------- u u + 1 Z Z P V σ H lim C 5 = ------------------- Z E et C B6 = σ F lim Y ST (5) (6) (7) Z H étant le facteur géométrique (article Engrenages [B 636]) ; il est possible d évaluer β b # β 0, angle d hélice défini à partir du choix du rapport de recouvrement : ε β = 1 ou ou 3 (entier si possible) : avec b = ψd 1 et d 1 = m t Z 1 soit tan β 0 = ε β π /ψ Z 1. Il faut s imposer une valeur de ψ (voisin de 1) et une valeur de Z 1 (0 à 40). α t l angle apparent de fonctionnement est, en général, supérieur à 0 o : 1 à o en denture droite et 1 à 5 o en denture hélicoïdale ; 4 ε Z ε = ---------------- α 3 en denture droite ; Z ε = 1/ε α en denture hélicoïdale, pour des dentures très chargées (contraintes proches de la limite admise) et de bonne précision (supérieure à IT 9), sinon Z ε = 1 ; il faut choisir un rapport de conduite apparente (ε α = 1,4 à 1,8) ; Z β = cos β avec β 0 déjà évalué précédemment (β 0 # β). L évaluation de 0 fait intervenir, d après la relation (4) : Y ST =,1 facteur de concentration de contrainte de l engrenage de référence en essais ; Y facteur fonction de la dimension, de la rugosité, de la sensibilité à l entaille correspondant au facteur C B 7 = Y = Y δ relt Y R relt Y X (article Engrenages [B 636]) ; Y Sa et Y Fa facteurs de concentration de contrainte et de coefficient de forme ISO correspondant au facteur C B4 = 1/Y Fa Y Sa (article Engrenages [B 636]) ; Y ε = 0,5 + (0,75 /ε α ) facteur de conduite avec les valeurs de la conduite apparente évaluées précédemment ; Y β = 1 (ε β β 0 /10) facteur d inclinaison pour β 0 30 o avec Y β 0,75. le diamètre du pignon d 1 par la relation (7) avec C 1 (N mm) couple sur l arbre du pignon : C 1 = P /ω 10, K V pas apparent πm t tan β 0 = ε β --------------------------------------- = ε b β -------------- b Z 1év 0,8 à 0,9Z 1 max ( év pour évalué) Deux évaluations rapides s avèrent possibles : le nombre maximal de dents du pignon Z 1 max par la relation (5) dans laquelle σ 0, Ω 0, u sont connus. Z P est choisi suivant le type de finition de la denture Z P = Z L Z R Z W d où la correspondance avec le facteur C 6 = (Z L Z R Z W ) (article Engrenages [B 636]). Z V est évalué suivant la vitesse du pignon, avec la correspondance C 3 = Z V /KV (article Engrenages [B 636]) ; on prend Z V = 1 à ce stade. Par sécurité, le nombre de dents sera de l ordre de : inverse du facteur C B3, Kαβ inverse du facteur C B 5 et Z V cor- respondant au facteur C 3 = Z V /KV, ces trois facteurs étant définis dans l étude dynamique de l article Engrenages [B 636]. ψ est choisi entre 0,7 et 1,, valeurs inversement proportionnelles à la résistance superficielle σ H lim. Un bouclage sur les valeurs de K αβ, Z V et K V est souhaitable pour définir d 1 év (d 1 évalué). B 5 640 6 Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique
RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Quelques décisions interviennent. Si aucune obligation de fabrication n impose l angle d hélice β 0, Z 1 étant connu, la relation vue précédemment est à utiliser : tan β 0 = ε β π /ψz 1 ; β 0 est arrondi à l unité ou au 1/10 supérieur, d où le choix de β 0. La valeur du module normal m n0 de l outil est issue de la relation : d 1 = m n0 Z 1 /cos β 0 soit m n0 # d 1 év cos β 0 /Z 1 év m n0 est à choisir dans les séries normalisées ISO (article Engrenages [B 636]). La décision sur le nombre de dents Z 1 est issue de : Z 1 # d 1 év cos β 0 /m n0 Z 1 étant nécessairement un entier inférieur à Z 1max. Enfin, le nombre de dents de la roue Z est donné par : Z = Z 1 N 10 /(N 0 ± N 0 ) Ce choix est assorti de plusieurs conditions : Z est un entier, premier avec Z 1 pour assurer un bon rodage et réduire le risque de vibrations. On évitera un nombre premier absolu s il est supérieur à une certaine limite dépendant du matériel de fabrication ; généralement, cette limite est de l ordre de 100 dents pour un matériel économique classique. Si l entraxe a 0 n est pas imposé, ce qui représente le cas général, deux solutions se présentent quant au choix de cet entraxe et cela dans l optique du renforcement des dents : un entraxe arrondi au millimètre est décidé ; il se situe dans la fourchette suivante : a 0 = [m n0 (Z 1 + Z )/ cos β 0 ] + (0 à m n0 ) (8) et les coefficients de déports de dentures x 1 et x seront adaptés par la suite ; des déports sont choisis, de coefficients x 1 et x, à partir des éléments définis dans l article Engrenages [B 636] et l entraxe sera adapté avec précision (en général x 1 > 0 et x > 0). Les déports de dentures caractérisés par les coefficients x 1 et x sont choisis, d une part, pour assurer un engrènement sans jeu pour un entraxe donné a 0 et, d autre part, pour équilibrer la denture soit en glissements relatifs (article Engrenages [B 636] ), soit en produits d usure, soit en rapport de glissement aux extrémités du segment de conduite apparente. Les éléments d analyse (article Engrenages [B 636]) sont issus de la fabrication : m n0, β 0, α n0 = 0 o l entraxe a 0 étant fixé : m n0 = m t0 cos β 0 tan α n0 = tan α t0 cos β 0 tan β b = tan β 0 cos α t0 a 0 m t = -------------------------- ( Z 1 + Z ) et m cos α = m t t t0 cos α t0 d où α t ( Z 1 + Z ) ( x 1 + x ) = ( invα t invα t0 ) --------------------------- tan α n0 (9) On rappelle que inv α = tan α α. L équilibrage des produits d usure (σ H v 1 ) A = (σ H v 1 ) B aux extrémités du segment de conduite apparente se simplifie aisément car la vitesse de glissement est proportionnelle à la position du point de contact par rapport au centre instantané de rotation I (article Engrenages [B 636]) : (v 1 ) A = ω 1 IA (v 1 ) B = ω 1 IB La pression superficielle est proportionnelle à l inverse du rayon équivalent (1/ρ eq ) 1/, ce rayon équivalent en relation de Hertz étant défini par : 1 1 cos β ------------------ ---- ( ρ eq ) M b cos β -------------------- b ( T + -------------------- T 1 M T M 1 M + T M) cos β = = --------------------------------------------------------- b ( T 1 M) ( T M) ( T 1 T ) cos β = ---------------------------------------- b ( T 1 M) ( T M) (article Engrenages [B 636]) qui, exprimé en A ou en B, devient : ( T ( ρ eq ) 1 A) ( T A) ( T A = ---------------------------------------- et ( ρ (10) ( T 1 T ) cos β eq ) 1 B) ( T B) B = ---------------------------------------- b ( T 1 T ) cos β b Il est souhaitable que l on obtienne les deux tests t égaux (ce qui correspond à égaliser les glissements relatifs maximaux) : 1/ 1/ t A = IA/ ( ρ eq ) A et t B = IB/ ( ρ eq ) B à moins de 5 % près Ce calcul impose l analyse de la conduite apparente pour x 1 et x fixés, donc un bouclage ou un calcul itératif, le calcul direct de x 1 et x, n étant pas possible. Il ne reste plus qu à adapter la longueur de roues dentées b à toutes les autres caractéristiques. Le diamètre de fonctionnement est calculable : d 1 = m t Z 1, et la composante tangentielle vaut F t = C 1 /d 1. Le critère de résistance superficielle Ω 0 peut être actualisé puisque α t et β b sont connus, ainsi que ε α et β de fonctionnement (tan β b = tan β cos α t ). Il est alors possible de déterminer, à partir de la relation (1) : b F ----------- t K V K B ------------------------------------------------------------------------- (11) K αβ Ω 0 d 1 [ Z /( Z 1 + Z )]Z P Z V Un bouclage sur K αβ (inverse de C B5 ) est possible et permet de choisir la longueur b ; une vérification s impose quant au rapport de recouvrement ε β 1. Exemple numérique d un réducteur transmettant une puissance de 100 kw avec une vitesse motrice N 10 = 100 tr/min, une vitesse de sortie N 0 = 500 tr/min ± 3 %, un coefficient de service K B = 1,4 et une durée H = 40 000 h (la durée étant très importante, les coefficients Z N et Y NT ont la valeur asymptotique de la courbe de Wöhler égale à 1). Un acier allié de cémentation 0 MC 5 est choisi, il a pour caractéristiques : σ H lim = 1 400 N/mm, σ F lim = 400 N/mm qualité ISO 6. L évaluation des critères de résistance permet d obtenir, avec une denture hélicoïdale : ( 1 400) Ω 0 = --------------------------------------------------------------------------------------------- = 36 750 5,44 0,65 0,98 16 N/mm π avec tan β 0 = --------------------------- 0,8 0 soit β 0 = 1 o pour ψ = 0,8, Z 1 = 0 et ε β = 1 α t évalué à 3 o et ε α év = 1,6 400,1 1 σ 0 = ------------------------------------------------------- = 4,14 0,7 0,9 310 N/mm avec Y = 1, et (Y Sa Y Fa ) correspondant, a priori, à Z 0 = 30 et x 0 = + 0,4 [1] β 0 = 1 o et ε α = 1,6. Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B 5 640 7
RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Le rapport de réduction vaut u = 100/500 = 4, et le coefficient de rapport C r = u /(u + 1) = 0,81 : Z P = 1 (rectification du pignon et de la roue) et Z V = 1 310 d où Z 1max = ------------------------------------------------------ = 16 0,81 1 1 4 avec une sécurité de 10 à 0 %, Z 1év = 19 à. Avec une vitesse d entrée ω 10 = 0 rd/s, un couple moteur C 1 = 455 N m, l évaluation du diamètre du pignon est telle que : 3 455 10 d 3 1,5 1, 1,4 1 = ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 0,8 0,81 1 1 d où d 1 = 57, avec le choix de K αβ = 1,5 ; Z V = 1 et K V = 1,. Le bouclage est possible puisque v t = 6,3 m/s, b # 45 et Z 1 # 18, ce qui permet d obtenir : K αβ = 1/0,8 = 1,5 d où d 1 = 56. Les décisions suivantes interviennent à partir de Z 1 év = 19 à et d 1év = 56 : β 0 = 13 o (avec ψ = 0,8, Z 1 choisi = 19 et ε β = 1) m n0 = 3, Z 1 = 18, Z = 77 et N s0 = 100 18/77 = 491 tr/min (inclus dans 500 ± 15) a 0 = 150 mm L étude de l adaptation permet de calculer : α t0 = 0,483 m t0 = 3,078 9 m t = 3,157 9 α t = 4,08 6 x 1 + x = 1,357 β b = 1,04 β = 13,3 avec x 1 = 0,600 et x = 0,757, les dentures sont équilibrées avec ε α = 1,46. Il ne reste plus que le calcul de la longueur b, avec : d 1 = 56,84 F t = 16 010 N C 3 = Z V /K V = 0,88 Ω 0 = 15,4 N/mm b 16 010 1,4 et -------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------ = 36 K αβ 15,4 56,84 0,81 1 0,88 si K αβ = 1,3, b 45, ce qui permet d assurer ε β =1. Les caractéristiques de fabrication du réducteur sont alors : module m n0 = 3 angle d hélice β 0 = 13 o pignon : Z 1 = 18, x 1 = + 0,6 roue : Z = 77, x = + 0,757 entraxe a 0 = 150 mm longueur de denture b = 45. Réducteur à engrenage cylindrique intérieur [1] Z H = 5,6 Z ε = 0,68 Z β = 0,97 Figure 3 Réducteur à engrenage cylindrique intérieur Le même type de denture normalisée ISO est utilisé mais les surfaces primitives sont des cylindres de révolution de diamètre d 1 et d tangents intérieurement. L encombrement général est réduit par rapport à la solution précédente mais le pignon, en général, est en porte à faux, ce qui interviendra sur le coefficient de portée des dentures sous forme, par exemple, d un coefficient spécial K S = 0,9. Les éléments nouveaux, différents de ceux vus précédemment, sont : la relation d entraxe : a 0 = (d d 1 )/ = m t (Z Z 1 )/ connaissant les caractéristiques β 0, m n0, Z 1, Z, x 1, x, a 0 ; le coefficient de rapport : C r = u /(u 1) avec u = d /d 1 = Z /Z 1 = N 10 /N 0 car le contact entre dentures est de nature convexo-concave ; la relation définissant les coefficients de déports sous la forme : ( x x 1 ) = ( inv α t inv α t0 )( Z Z 1 )/tan α n0 avec α n0 = 0 o m a n0 ( Z Z 1 ) 0 = -------------------------------------- + ( 0 à m cos β n0 ) 0 a m 0 t = ----------------------- ( Z Z 1 ) m t cos α t = m t0 cos α t0 (1) Les caractéristiques dimensionnelles de la roue à denture intérieure sont définies dans l article Engrenages [B 636]. La conduite s analyse sous une forme analogue à celle utilisée en engrenage extérieur mais T 1 T = IT IT 1 et les relations relatives aux rayons de courbure équivalents prennent la forme : 1 1 cos β ------------------- ---- ( ρ eq ) M -------------------- cos b β b cos β -------------------- T 1 M T M b ( T ------------------- 1 T ) = = ------------------------------------- ( T 1 M) ( T M) La géométrie est encore de parallélisme entre l arbre d entrée et l arbre de sortie : Σ 0 = 0 et a 0 = Cte (figure 3). Les sens de rotation sont les mêmes. B 5 640 8 Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique
RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES ceci devenant, en A et en B : ( T ( ρ eq ) 1 A) ( T A) ( T A = --------------------------------------- et ( ρ ( T 1 T ) cos β eq ) 1 B) ( T B) B = --------------------------------------- b ( T 1 T ) cos β b (13) Exemple numérique : un réducteur de mêmes caractéristiques que précédemment peut être étudié : puissance 100 kw, vitesse d entrée N 10 = 100 tr/min, vitesse de sortie N 0 = 500 tr/min ± 3 %, coefficient de service K B = 1,4, durée probable H = 40 000 h. Le même type de matériau ne peut pas être choisi pour la roue à denture intérieure car la rectification n est pas possible, d où le choix d un acier trempé dans la masse 35 NCD 1 (HV 10 = 360) avec σ H lim = 900 N/mm et, pour le pignon, un acier 4 CD 4 cémenté et rectifié avec σ F lim = 340 N/mm, Z P (ou C 6 ) = 0,87, qualité ISO 7. De même que précédemment, avec ψ = 0,8, Z 1 = 5, β 0 = 9 o, ε β = 1, α t = 3 o et ε α = 1,5 : ( 900) Ω 0 = ------------------------------------------------------------------------------------- = 36 750 5,5 0,67 0,99 6 N/mm 340,1 1 σ 0 = ----------------------------------------------------------- = 4,14 0,75 0,93 50 N/mm Avec C r = u /(u 1) = 4,/3, = 1,31 : et Z 1 év = 8 à 3 Avec C 3 = Z V /KV = 0,85 et C B5 = 1/1,4, v t = 8,3 m/s, C 3 = 0,86, b = 60, C B5 = 0,7 = 1/1,43 (ISO 7) et d 1 = 75 mm. Les premières décisions imposent : = 9 o 0, m n0 = 3, Z 1 = 5, Z = 106 N s0 = 495,3 tr/min et a 0 = 16 mm L adaptation suit : m t0 = 3,037 395 α t0 = 0,9 m t = 16/81 = 3,111 11 α t = 3,640 β b = 8,453 et x x 1 = 1,078 et l étude d équilibrage de l usure en extrémités de segment de conduite permet d obtenir : x 1 = + 0,590, x = + 1,668 avec ε α = 1,44. Il reste le calcul de la longueur de roues : et b = 60 pour que ε β = 1. 50 Z 1max = -------------------------------------------------- = 6 1,31 0,87 36 3 455 10 d 3 1,4 1,4 1 = ---------------------------------------------------------------------------------------- 6 0,8 1,31 0,87 0,87 0,9 d où d = 75 1 d 1 = 77,78 F t = 11 700 N Ω 0 = 6 N/mm b 11 700 1,4 ---------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 40,3 et b 58 K αβ 6 77,78 1,31 0,87 0,85 0,9.3 Réducteur à engrenage conique Un réducteur à engrenage conique (figure 4) est un mécanisme sphérique utilisé dans le cas d une géométrie de concourance des axes : ( O, x 10 ), ( O, x 0 ) = ( 0, Σ 0 ) Figure 4 Réducteur à engrenage conique Les surfaces primitives sont des cônes de révolution de même sommet, tangents extérieurement (article Engrenages [B 636]) et le rapport de réduction u vaut : u = N 10 /N 0 = d /d 1 = R 0 sin δ /R 0 sin δ 1 donc u = sin δ /sin δ 1 et δ 1 + δ = Σ 0 d où l on tire tan δ 1 = sin Σ 0 /(u + cos Σ 0 ) (14) Seules les dentures extérieures peuvent être taillées en roues coniques, avec pour limite la roue plate : δ π/. Les relations de résistance de la denture adoptent toujours la même forme en assimilant l engrenage conique à l engrenage cylindrique équivalent défini sur les diamètres moyens (article Engrenages [B 636]) : d V1m = d 1 / cos δ 1 d V m = d /cos δ Les relations complètes sont données dans l étude dynamique de l article Engrenages [B 636] ; elles peuvent, là encore, s écrire sous une forme simplifiée : avec avec Z P Z V ( R F t Ω 0 bd 1 C* r ----------------------------- 0 b) ----------------------- K αβ K V K B R 0 ( σ Ω H lim ) 0 = ----------------------------------------- Z E Z H Z ε Z β 1 ( R F t σ 0 bm n0 ----------------------------- 0 b) ----------------------- K αβ K V K B R 0 ( σ σ F lim )Y ST Y 0 = ---------------------------------------- Y Sa Y Fa Y ε Y β (15) (16) Ces relations correspondent à celles vues en engrenage cylindrique (1) et (3), les éléments différents étant le coefficient d homothétie de l engrenage conique : (R 0 b)/r 0 et le coefficient de rapport C* r qui correspond à C r = u /(u + 1) de l engrenage cylindrique devenant : C* r = u /(u cos δ 1 + cos δ ) (17) Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B 5 640 9
RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Le facteur de répartition des charges K αβ est différent ; il est donné dans l étude dynamique de l article Engrenages [B 636]. Enfin, pour que le rayon de raccord constant en pied de dent ne soit pas trop important par rapport à la hauteur de dent, la longueur b ne doit pas dépasser R 0 /3. L avant-projet suit un déroulement analogue à celui décrit pour l engrenage cylindrique avec, comme différences : le choix du coefficient de longueur b, utilisé dans l équation (7) : b = ψd 1, devient en conique : donc une étude cinématique est nécessaire pour évaluer δ 1 et δ, angles intervenant dans la valeur de ψ et dans celle de C* r ; le coefficient (R 0 b )/R 0 peut être estimé au minimum à /3 ; le coefficient Z P ou C 6 est défini dans l étude dynamique de l article Engrenages [B 636], le rodage remplaçant la rectification en finition de denture. Ainsi, nous obtenons les deux relations d évaluation : (18) (19) Puis les décisions sont à prendre : β 0, m n0, Z 1, Z, δ 1, δ, x 1 et x. Il est habituel de choisir x 1 + x = 0, les coefficients de déports x 1 et x assurant l égalité des produits d usure ou des glissements relatifs aux extrémités du segment de conduite dans l étude de l engrenage cylindrique équivalent : Z V 1 = Z 1 /cos δ 1 Z V = Z /cos δ avec δ 1 = arctan [Z 1 sin Σ 0 /(Z + Z 1 cos Σ 0 )] et δ = Σ 0 δ 1. Le dernier calcul est celui de b mais, ici, ce calcul aboutit à résoudre une équation du second degré puisque b apparaît en (15) comme longueur b et dans le coefficient [(R 0 b )/R 0 ] : devenant : d 1év = b R 0 /3 et d 1 #R 0 sin δ 1 ψ 1/ ( 6 sin δ 1 ) σ 0 Z 1év = ( 0,8 à 0,9) --------------------------------------- Ω 0 C * r Z P Z V C 1 K αβ K V K -------------------------------------------------------------------------------- 1/3 B Ω 0 ψc * r Z P Z V ( R 0 b)/r 0 Z P Z V ( F t Ω 0 d 1 C * r ----------------------------- b R 0 b) = ----------------------- K αβ K V K B R 0 b F R 0 b + K = 0 avec K t R 0 K αβ K V K = --------------------------------------------- B (0) Ω 0 d 1 C * r Z P Z V L équation a deux racines positives et la longueur à adopter en sécurité se situe entre ces deux valeurs, la plus petite devant être inférieure à R 0 /3. Une explication rapide s impose car il peut paraître paradoxal d obtenir deux valeurs, et de choisir la plus petite. La relation utilise F t en I tel que F t = C 1 /d 1 mais, en réalité, une partie du coefficient (R 0 b )/R 0 fait intervenir F tm au diamètre moyen, une autre partie caractérise d 1m, diamètre moyen correspondant (figure 5). À la valeur b, la plus faible, correspondent F t = C 1 /d 1m faible et d 1m fort alors qu à la valeur b, la plus grande, correspondent F t = C 1 /d 1m important et d 1m plus faible. Exemple numérique : l exemple le plus classique correspond à un engrenage conique à denture droite car la normalisation est assez précise et souvent respectée. Soit les données suivantes : P = 80 kw, N 10 = 1 460 tr/min, N 0 = 500 tr/min ± 3 %, K B = 1, et Σ 0 = 80 o. L étude cinématique utilise u = 1 460/500 =,9 et Σ 0 = 80 o : tan δ 1 = sin 80/(,9 + cos 80) soit δ 1 = 17,7 et δ = 6,3 puis ψ = 1/(6 sin 17,7) = 0,55 et C* r =,9/(,9 cos 17,7 + cos 6,3) = 0,9 Un acier de nitruration est choisi : 31 CDV 9, avec rodage, précision ISO 6 : σ H lim = 1 90 N/mm D où σ F lim = 45 N/mm et Z P = 1 possible ( 1 90) Ω 0 = ------------------------------------------------------------------- = 36 750 6, 0,75 9,7 N/mm 45,1 1 σ 0 = -------------------------------------------- = 4,1 0,68 30 N/mm Le calcul des éléments évalués donne, avec ω 10 = 15,9 rd/s et C 1 = 53 N m : et : d où d 1 = 90 Avec v t = 6,9 m/s, b = 50, C 3 = Z V /KV = 0,93 et K αβ = 1,4, le bouclage permet d obtenir d 1 = 86, d où le choix : m n0 = 3 Z 1 = 31 Z = 91 (N s0 = 497 tr/min) δ 1 = 17,575 δ = 6,45 Z V 1 = 3,5 Z V = 196,58 x 1 = + 0,7 x = 0,7 avec ε α = 1,73 d 1 = 93 F t = 11 50 N Ω 0 = 9,6 N/mm et R 0 = 154 b 154b + 4 115 = 0 b = 35 < 51 Si une denture spirale est utilisée pour réduire le bruit et améliorer la résistance, le projet est beaucoup plus délicat, chaque type de denture spirale ayant sa définition propre donc assujettie à un calcul particulier des dimensions (article Engrenages [B 636]). Un acier de cémentation est choisi 0 MC 5 avec rodage et précision ISO 6 : et 30 Z 1év = ----------------------------- ( 9,7 0,9 0,8 à 0,9 ) = 9 à 33 d 1év 53 103 1/ 3 1,45 1, 1,5 3 = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9,7 0,55 0,9 1 1 σ H lim = 1 400 N/mm et σ F lim = 480 N/mm Avec β 0 = 30 o, ε α = 1, (denture hélicoïdale), α t = o : ( 1 400) Ω 0 = ------------------------------------------------------------------------------ = 36 750 5 0,83 0,87 14,8 N/mm 400,1 σ 0 = ----------------------------------------------------------- = 4,1 0,88 0,75 310 N/mm 310 Z 1év = --------------------------------- ( 14,8 0,9 0,8 à 0,9 ) = 19 à 1 3 53 10 d 3 1,4 1, 1,5 3 1év = --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------ d où d 14,8 0,55 0,9 1 1 1 = 77 B 5 640 10 Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique
RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Avec v t = 5,9 m/s, b = 4, C 3 = Z V /KV = 0,93 et K αβ = 1,41, on obtient : d 1 = 74, d où les décisions : β 0 = 30 o (article Engrenages [B 636]) pour un rapport de recouvrement élevé : ε β > 1 et m n0 = 4 Z 1 = 17 Z = 50 N s0 = 496,4 tr/min δ 1 = 17,545 δ = 6,455 x 1 = + 0,3 x = 0,3 et ε α = 1,3.4 Réducteur à engrenage spatial C est ici le cas d une géométrie quelconque dans laquelle les axes ne sont ni parallèles ni concourants. La seule particularité possible dans la position : ( O 10, x 10 ), ( O 0, x 0 ) = ( a 0, Σ 0 ) est celle de l orthogonalité pour laquelle Σ 0 = π/. Plusieurs solutions sont utilisées : l engrenage gauche hélicoïdal (article Engrenages [B 636]) ; l engrenage globique dans lequel des surfaces toriques s enveloppent mutuellement et la denture est de profil très spécial [] [3] ; l engrenage à vis sans fin utilisant des profils très variés (article Engrenages [B 636]) ; l engrenage hypoïde dont les surfaces pseudo-primitives sont des cônes de révolution n ayant pas le même sommet et dont les profils sont particuliers [] [3]. Dans tous ces cas, le rapport u = Z /Z 1 peut être très varié mais les éléments de résistance des matériaux sont très délicats à établir et à gérer, le contact étant en général ponctuel et quelquefois linéique. Le rendement est aussi, dans de nombreux cas, très inférieur à celui obtenu en engrenage cylindrique et en engrenage conique. La fabrication est aussi très délicate et ne peut être gérée que par quelques spécialistes peu nombreux, dans le cas d une transmission de puissance. 3. Réducteurs élémentaires dérivés Sans en arriver aux groupements d engrenages simples, il est possible de constituer des réducteurs de base formés de plus de deux roues dentées. 3.1 Réducteur à roue intermédiaire (ou à roue parasite) Le pignon (1) de diamètre d 1 n est pas en contact avec la roue () de diamètre d (figure 6), l entraxe étant supérieur à la demi-somme des diamètres de têtes : a 0 > (d a1 + d a )/ Une roue intermédiaire (3) de diamètre d 3 engrène avec le pignon (1) en A et avec la roue () en B par adaptation des deux entraxes a 13 et a 3. L engrènement impose, en denture normalisée : le même module m n0, le même angle d hélice β 0 puisque α n0 = 0 o. Chaque contact extérieur en A et B change le sens de rotation. On obtient donc, ainsi, un réducteur élémentaire formé de roues à dentures extérieures dont les vitesses sont de même sens. Le prix est réduit par rapport à une denture intérieure et la précision est plus grande. Si les nombres de dents sont Z 1, Z, Z 3, le rapport de vitesse vaut : N u 10 N ----------- ----------- N 10 30 Z ------------- -------- Z 3 Z = = = --------- = -------- N 0 N 30 N 0 Z 1 Z 3 Z 1 ce rapport est indépendant de Z 3, d où le nom de roue parasite pour la roue (3). Le choix des caractéristiques de la roue (3) : Z 3, d 3 paraît aléatoire. Il n en est rien car la roue (3) étant montée libre sur son axe, les composantes tangentielles en A et en B sont de même valeur : F na = F nb = C 1 /d b1 Figure 5 Réducteur à engrenage conique : choix de la longueur b Figure 6 Réducteur à roue intermédiaire (ou roue parasite) Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B 5 640 11
RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Le diamètre d 1 étant le plus petit vis-à-vis de d 3 et de d, le point faible est en A entre (1) et (3). L évaluation de d 1 correspond à la relation : 3 k C 1 = Ω 0 ψd 1 -------------- (1) k + 1 K GH Z avec k = Z 3 /Z 1 et K P Z V GH = ----------------------------- K αβ K V K B Le diamètre du pignon d 1, pour une transmission de caractéristiques définies, varie en fonction du rapport k sous la forme de [(k + 1)/k ] 1/3. Si l on souhaite optimiser la transmission, il faut rechercher la masse minimale ou le volume minimal. Ce volume des trois roues a pour expression : avec b = ψd 1 ; d 3 = kd 1 et d = ud 1 Ce volume varie sous la forme de : puisque ψ est constant. πd V 1b πd ----------------- 3b πd ----------------- b = + + ----------------- 4 4 4 πψ 3 V = ---------d 4 1 ( 1 + k + u ) f( k) ( k + 1) = ------------------ ( 1 + k k + u ) Le rapport u étant défini, donc invariant, le choix de la variable k correspond au minimum de la fonction f (k ), soit df (k )/dk = 0 ou encore l équation à résoudre est : k 3 + k (1 + u ) = 0 () La valeur de k nous ramène au projet classique (.1) et aboutit au choix de : β 0, m n0, Z 1, Z, Z 3, puis de l entraxe a 13, des coefficients de déports x 1 et x 3, et de la longueur de roue b. Quant au choix de x et de a 3, bien des solutions sont possibles : une simple adaptation puisque les contraintes sont plus faibles (d 3 > d 1 ), ou bien une adaptation sérieuse : x et a 3 équilibrant les produits d usure et un matériau moins cher pouvant être utilisé pour la roue () ou une longueur b plus faible étant prévue. Il est à remarquer que, si les caractéristiques de taillage (m n0, α n0, β 0 ) sont les mêmes pour les trois roues (1), () et (3), les caractéristiques de fonctionnement sont très différentes car : en A, engrènement entre (1) et (3) : m t = a 13 /(Z 1 + Z 3 ) cos α t = (m t0 cos α t0 )/m t ( d 3 ) A = m t Z 3 = d* 3 d où x 1 + x 3 = (inv α t inv α t0 )(Z 1 + Z 3 )/ tan 0 o (3) en B, engrènement entre (3) et () : m* t = a 3 /( Z 3 + Z ) cos α * t = ( m t0 cos α t0 )/m* t ( ) B = m* t Z 3 = d** d 3 d où x 3 + x = ( inv α* t inv α t0 )( Z + Z 3 )/ tan 0 o (4) d* 3 et d** 3 sont les deux diamètres primitifs de fonctionnement de la roue (3), respectivement côté (1) et côté (). 3 Exemple numérique : si l on reprend l exemple du paragraphe.1, u = 4, permet le calcul de k = 1,95 ; un même choix de matériau définit Z 1év = ; d 1év = 60 ; d où les décisions : β 0 = 11 o m n0 =,5 Z 1 = 3 Z = 97 Z 3 = 45 N s0 = 498 tr/min a 13 = 90 avec x 1 = + 0,7 x 3 = + 0,837 et b = 46 et par approximations successives : a 3 = 185,5 et x = + 1,197 Il reste à définir l entraxe a 1 = 163 avec a 1 ( d a1 + d a )/. Une longueur b = 5 suffirait sur la roue () constituée du même matériau. Il est à remarquer que, si le pignon moteur fonctionne toujours dans le même sens, la position de la roue intermédiaire doit être telle que l action sur les guidages soit de la plus faible intensité (analyse de F na + F nb + F O 30 = 0). 3. Réducteur coaxial à arbre intermédiaire Ce type de réducteur (figure 7a) permet d assurer une géométrie de coaxialité économique, puisqu il n y a que des roues à dentures extérieures et, de plus, il est possible d éviter les porte-à-faux : ( O 10, x 10 ), ( O 0, x 0 ) = ( a 0 = 0, Σ 0 = 0) Par contre, deux engrenages sont nécessaires ainsi qu un arbre intermédiaire parallèle aux deux autres. Chaque engrenage a un rapport de valeur : u 1 = d 1 /d 11 = N 10 /N i0 et u = d /d 1 = N i0 /N 0 soit u = N 10 /N 0 = u 1 u et l entraxe est le même pour les deux engrenages : a 0 = (d 11 + d 1 ) = (d 1 + d ) Si, par souci d homogénéité, en plus d un même matériau, on adopte un même coefficient de longueur ψ = b 1 /d 11 = b /d 1, il sera possible de déterminer u 1 et u pour u imposé. Les calculs d évaluation du diamètre des pignons sont de la forme : 3 u 1 C m = Ω 0 ψd ------------------K 11 u 1 + 1 GH1 pour le premier engrenage 3 u C i = u 1 C m = Ω 0 ψd ------------------K 1 u + 1 pour le second engrenage GH 3 u 1 + 1 3 ( u soit d 11 proportionnel à ------------------ + 1)u et d u 1 proportionnel à ------------------------------ 1 1 u en admettant K GH1 # K GH. Les relations d entraxe s écrivent : a 0 = d 11 (1 + u 1 ) = d 1 (1 + u ) 3 devenant d 11 ( 1 + u 1 ) 3 3 = d 1 ( 1 + u ) 3 ( u ou encore 1 + 1) 4 ( u + 1) 4 -------------------------- = ------------------------- avec u (5) u u 1 u = u 1 Ce système d équations se résout aisément par itération. Il ne reste plus qu à traiter un projet classique sur l engrenage de rapport u 1, puis à adapter le deuxième engrenage à l entraxe a 0 et au rapport u fixés. B 5 640 1 Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique
RÉDUCTEURS DE VITESSE À ENGRENAGES Exemple numérique : étudions un réducteur coaxial de caractéristiques imposées : P = 100 kw ; N m0 = 100 tr/min ; N s0 = 140 tr/ min ± 3 % ; K B = 1,4 et l acier 0 MC 5 choisi comme au paragraphe.1. L étude initiale et particulière consiste à résoudre : avec u 1 u = 15 ; on obtient u 1 = 5,85 et u =,56. L avant-projet se traite sur le premier engrenage : u 1 = 5,85 C r = 0,85 ω 10 = 0 rd/s C 1 = 455 N m Ω 0 = 16 N/mm σ 0 = 90 N/mm ψ = 0,8 on obtient Z 1év = 17 et d 11 = 55 d où les décisions : ( u 1 + 1) 4 /u 1 = ( u + 1) 4 /u ( β 0 ) 1 = 14 o (m n0 ) 1 = 3 Z 11 = 17 Z 1 = 100 et a 0 = 184 Les déports de dentures sont à adapter, la longueur b 1 est à calculer. Le second engrenage est à adapter à partir de trois conditions : l entraxe : d 1 + d = a 0 = 368 ; le rapport u réévalué à partir de u et de u 1 = Z 1 /Z 11 devient : u = d /d 1 ; le nombre de dents du pignon est à évaluer avec C r = u /(u + 1) = 0,7 ; Z 1 év = 1. Le choix de β 0 est classique de même que celui de m n0 ; par contre, les décisions sur les valeurs de Z 1 et de Z sont plus délicates car il est nécessaire d assurer un rapport correct, un renforcement des dents et les particularités sur les nombres Z 1 et Z : Z 1 = 0 et Z = 51 conviennent ; N s0 = 140 tr/min et les déports et longueur de denture se calculent aisément : (β 0 ) = 1 o et (m n0 ) = 5. Il est à remarquer que les hélices devront être de même sens sur les roues dentées de l arbre intermédiaire pour que les composantes axiales des efforts supportés soient en opposition. Pour des raisons très particulières, il est possible d utiliser l engrenage intérieur, ce qui, à la limite, conduit à proposer trois solutions supplémentaires (figure 8). Une étude, avec les mêmes hypothèses que précédemment, aboutit aux deux relations : Figure 7 Réducteur coaxial à arbre intermédiaire : engrenage extérieur u 1 u = u et ( u 1 ± 1) 4 /u 1 = ( u ± 1) 4 /u (6) avec le signe (+) dans le cas de l engrenage extérieur et le signe ( ) dans le cas de l engrenage intérieur. Enfin, dans la solution classique (figure 7a) n utilisant que des roues à dentures extérieures, il est possible de placer une roue parasite sur l un des deux engrenages de rapport u 1 ou u, et cela pour obtenir des vitesses N m0 et N s0 de sens contraires (figure 7b). 3.3 Réducteur épicycloïdal plan élémentaire C est un groupement particulier de roues dentées (figure 9) permettant d assurer une transmission de puissance entre deux arbres coaxiaux avec des combinaisons d utilisations multiples correspondant à des rapports de réduction ou de multiplication très variables. Il comprend quatre pièces mobiles par rapport à un bâti fixe B 0 ; trois pièces sont guidées par assemblages rotoïdes d axe unique ( O, x 0 ) : le planétaire solaire (1), le planétaire couronne (3) et le porte-satellite (4) ; la pièce intermédiaire (), ou satellite, est guidée par assemblage rotoïde d axe ( O 4, x 4 ). Une étude cinématique aboutit à la relation de Willis citée dans l article Engrenages [B 636]. Elle se traite en analysant le mouvement relatif des différentes pièces par rapport au porte-satellite (4) pour Figure 8 Réducteur coaxial à arbre intermédiaire : engrenage intérieur Techniques de l Ingénieur, traité Génie mécanique B 5 640 13