CH 2 MATRICES Lycée Saint-Louis PSI1 I- SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D'ORDRE 2 Soit (a, b) IK IK*, si la suite (u n ) n vérifie n IN, u n+2 = a u n+1 + b u n, comment obtient-on la valeur de u n? II- RÉVISIONS DE PCSI-MPSI 1. Soit E un IK- espace vectoriel de dimension p de base b = (e 1, e 2,, e p ), et F un IK-espace vectoriel de dimension n de base c = (f 1, f 2,, f n ) et u L(E, F), la matrice u dans les bases b et c est une matrice 1, p, u(e j ) =.. A = (a i,j ) i,j de type notée.et j Lorsque x E a pour matrice X dans la base b alors la matrice de u(x) dans la base. est Y =.. et si X = (x i ) 1 i? et Y = (y i ) 1 i?, i, y i = 2. Soit E un IK- espace vectoriel de dimension n de base b = (e 1, e 2,, e n ) et u l(e), la matrice u dans la base b est une matrice A = (a i,j ) i,j de type notée.et j 1, n, u(e j ) =.. 3. Si u l(e, F) et si v l(f, G), si b est une base de E, c est une base de F, d est une base de G, compléter : M?,? (v o u) = 4. Si A = (a i,j ) 1 i n,1 i p M n,p (IK) et si B = (b i,j ) 1 i r,1 i q M r,q (IK), on peut effectuer le produit A B ssi et dans ce cas A B = (c i,j ) 1 i?,1 j? est de type.., i, j., c i,j =. 5. Si b = (e 1, e 2,, e n ) et c = (f 1, f 2,, f n ) sont deux bases de E la matrice P = (p i,j ) i,j de passage de la base b à la base c est une matrice de type. telle que.. Elle est notée P = Pass.. 1, n, le vecteur On peut donc écrire, pour tout j On peut aussi dire que P est la matrice de.. ou la matrice de Si X est la matrice de x dans la base b et X' est la matrice de x dans la base c, alors 6. Si b et b' sont deux bases de E et P la matrice de passage de la base b à la base b', si c et c' sont deux bases de F et Q est la matrice de passage de la base c à la base c', si A est la matrice de u l(e, F) dans les bases b et c et si A' est la matrice de u dans les bases b' et c', alors A' =. (le redémontrer) FB/ALGch2/1415
7. Soient b et b ' sont deux bases de E, P la matrice de passage de la base b à la base b ' et u l(e); si A est la matrice de u dans la base b et si A' est la matrice de u dans la base b ', alors A' =. 8. Définition de l'application linéaire canoniquement associée à A M n,p (IK): Définition de l'endomorphisme canoniquement associé à A M n (IK): 9. Structure de M n,p (IK). et dimension égale à. Structure de M n (IK).. et de dimension égale à 10. Si A = (a i,j ) 1 i n,1 i p M n,p (IK), la matrice transposée de A est une matrice A T = (a' i,j ) 1 i?,1 j? de type telle que i, j, a' i,j =. III- SOUS-ENSEMBLES DE M n (IK) 1. Si A M n (IK), A est inversible ssi ssi ssi ssi ssi A est inversible ssi t A est. et dans ce cas.. 2. propriétés de (GL n (IK), ), ensemble des matrices carrées d'ordre n inversibles à coefficients dans IK 3. Définition de la base canonique (E i,j ) 1 i, j n de M n (IK) E i,j = (p, q, r, s) 1, n 4, E p,q E r,s =.. La matrice A = (a i,j ) 1 i,j n s'écrit A =.. 1, n 2, calculer A E p,q et E p,q A et écrire les matrices ainsi obtenues : Si (p, q) 4. La matrice A = (a i,j ) 1 i, j n est symétrique.. La matrice A = (a i,j ) 1 i, j n est antisymétrique.. l'ensemble s n (IK) des matrices symétriques d'ordre n est un espace vectoriel de dimension.. l'ensemble a n (IK) des matrices antisymétriques d'ordre n est un espace vectoriel de dimension.. FB/ALGch2/14/15 2
Démontrer que M n (IK) = s n (IK) a n (IK). 5. Traduire sur les t i,j :T = (t i,j ) 1 i, j n est une matrice triangulaire supérieure. Donner une base de l'espace vectoriel des matrices triangulaires supérieures d'ordre n à coefficients dans IK et en donner la dimension : 6. Soit b = (e 1,, e n ) une base de E et pour tout i 1,n, E i = Vect(e 1,, e i ). Soit u l(e) et T sa matrice dans la base b. T est triangulaire supérieure.. Que dire du produit de deux matrices triangulaires supérieures d'ordre n? Donner une CNS pour que T = (t i,j ) 1 i, j n triangulaire supérieure soit inversible.. Si T est triangulaire supérieure et inversible, démontrer que T 1 est aussi triangulaire supérieure. 7. Définir la trace d'une matrice carrée A, d'ordre n : Tr(A) = Propriétés de l'application trace :.. Que dire de {A / Tr(A) = 0}?. 8. A quelle condition peut on appliquer la formule du binôme de Newton pour calculer (A + B) p lorsque A et B sont deux matrices carrées d'ordre n? Exprimer (A + B) p = À quelle condition peut-on factoriser la relation A p B p lorsque A et B sont deux matrices carrées d'ordre n? Donner la factorisation :.. IV- MATRICES SEMBLABLES 1. Si A et B sont deux éléments de M n (IK), définir : A et B sont semblables 2. Interprétation pratique : A et B sont semblables ssi. 3. Donner des conditions nécessaires pour que deux matrices A et B soient semblables FB/ALGch2/14/15 3
V- MATRICES BLOCS 1. Comparer si A est une matrice de type (n, p) de rang r, la matrice A à une matrice simple donnée par blocs. 2. Quand les matrices carrées d'ordre n sont décomposée en 2 2 blocs, dans quel cas peut on effectuer sans vérification la somme et le produit de ces deux matrices? Donner le résultat de cette somme et de ce produit P 0 3. Exercice : calculer sous des hypothèses à préciser l'inverse des matrices blocs 0 Q et P C où P et Q 0 Q sont des matrices carrées : 4. Quand u est un endomorphisme de E, définir F est un sous-espace vectoriel u-stable. Si F est un sous-espace vectoriel u-stable, qu'appelle-t-on endomorphisme induit par u sur F? Donner une CNS sur la matrice de u dans une base. pour que le sous-espace vectoriel F soit u-stable. Si (u, v) l(e)², donner une condition permettant de dire que Ker v et Im v sont u-stables 5. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice de l'endomorphisme u soit diagonale par blocs. VI- POLYNOMES D'ENDOMORPHISMES ET DE MATRICES 1. Si P IK[X] et si u l(e), définir P(u) :. Quelles sont les propriétés de u P(u)? Qu'appelle-t-on polynôme annulateur de u?. Justifier l'existence d'un polynôme annulateur de u lorsque dim E est finie. FB/ALGch2/14/15 4
Comment l'existence d'un polynôme annulateur de u permet-elle (sous une hypothèse à donner) de prouver que u GL(E) et de trouver u 1? 2. Soit A M n (IK) et P IK[X] définir P(A) :.. énoncer les propriétés de IK[X] M n (IK), P P(A). justifier l'existence d'un polynôme annulateur de A M n (IK). 3. Comment l'existence d'un polynôme annulateur de A M n (IK) à racines simples permet-elle de déterminer A p lorsque p IN? Comment l'existence d'un polynôme annulateur de A permet-elle (sous une hypothèse à donner) de prouver que A GL n (IK) et de trouver A 1? VII- OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES LIGNES (COLONNES) D'UNE MATRICE 1. Échange de deux lignes : L i L j (i j de 1,n ) Ajout à la ligne i de λ L j : L i L i + λ L j (i j de 1,n ) Multiplication par un scalaire si λ 0, L i λ L i Multiplication à.par la matrice de permutation P i, j = Multiplication à par la matrice de transvection T i, j (λ) =. Multiplication à gauche par la matrice de dilatation i (λ) = On note (E'' i,j ) 1 i np, 1 j p la base canonique de M p (IK) Échange de deux lignes : C i C j (i j de 1, p ) Ajout à la colonne i de λ C j : C i C i + λ C j (i j de 1, p ) Multiplication par un scalaire si λ 0, C i λ C i Opérations élémentaires sur les colonnes de A de type (n, p) Multiplication à. par la matrice de permutation P i, j =. Multiplication à droite par la matrice de transvection =.. Multiplication à droite par la matrice de dilatation i (λ) =., i 2. Quand dit-on que deux matrices A et A' sont a) équivalentes par lignes. b) équivalentes par colonnes :. 3. Si deux matrices A et A', de type (n, p), sont équivalentes par lignes FB/ALGch2/14/15 5
il existe elles ont même 4. Si deux matrices A et A', de type (n, p), sont équivalentes par colonnes il existe elles ont même 5. Qu'appelle-t-on matrice échelonnée A? 6. Qu'appelle-t-on matrice échelonnée réduite? Propriété pour A de type (n, p) FB/ALGch2/14/15 6