Chapitre 3 Matrices 1 Définitions et généralités Définition 11 Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a 12 a 1q a 21 a 22 a 2q A a p1 a p2 a ps Les coefficients a ij, 1 6 i 6 p, 1 6 j 6 q sont réels (ou complexes) et s appellent les coefficients de la matrice A Le réel a ij est le coefficient de la i-ème ligne et de la j-ème colonne La matrice A s écrit également sous la forme A (a ij ) 16i6p matrice (p, q) à coefficients dans R (p, q) est la taille (ou la dimension) de la matrice A On note M(p, q, R) l ensemble des matrices (p, q) Remarque Deux matrices A (a ij ) 16i6p, A 0 (a 0 ij ) 16i6p 0 0 seulement si p p 0, q q 0 et a ij a 0 ij, 1 6 i 6 p, 1 6 j 6 q Exemple La matrice A (ij + 1) 16i63 est la matrice suivante 16j63 2 3 4 3 7 4 7 10 On dira que A est une sont égales si et Définition 12 La diagonale de A est l ensemble des coefficients a ii avec 1 6 i 6 min(p, q) Définition 13 On dit qu une matrice (p, q) est carrée si p q On note M p (R) l ensemble des matrices carrées (p, p) Définition 14 Une matrice ligne est une matrice de la forme (a 11,, a 1q ) Définition 1 Une matrice colonne est de la forme a p1 a 11 a 21
2 Chapitre 3 Matrices Définition 16 La matrice nulle de M(p, q, R) est 0 (p,q) coefficients sont nuls la matrice dont tous les Définition 17 La matrice identité de M(p, R), notée Id ou parfois I p, est la matrice carrée definie par a ii 1 et a ij 0 pour i 6 j 2 Multiplication par un scalaire et somme de deux matrices Définition 21 Soient λ R et A (a ij ) M(p, q, R) Alors λa est la matrice de M(p, q, R) définie par λa (λa ij ) µ µ 2 3 1 2λ 3λ λ Exemple λ 4 0 1 4λ 0 λ Remarque On a 1A A Proposition 22 La multiplication par un scalaire est associative : λ, µ R, A M(p, q, R), λ(µa) (λµ)a Définition 23 Soient A (a ij ), B (b ij ) M(p, q, R) A + B est alors la matrice de M(p, q, R) définie par A + B (a ij + b ij ) Remarque µ On ne peut additionner µ que des matrices µ de même taille 1 10 6 8 7 0 9 3 6 Exemple + 9 4 8 9 2 2 0 6 10 On note A ( 1)A, de sorte que A B A + ( B) Proposition 24 1) + est associative : A, B, C M(p, q, R), (A+B)+C A+(B+C) 2) 0 (p,q) est élément neutre : A M(p, q, R), A + 0 (p,q) 0 (p,q) + A 3) Pour tout A M(p, q, R), il existe un opposé qui est A : A + ( A) 0 (p,q) 4) + est commutative A, B M(p, q, R), A + B B + A Proposition 2 La multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes 1) Distributivité par rapport à l addition des matrices : λ R, A, B M(p, q, R), λ(a + B) λa + λb 2) Distributivité par rapport à l addition des scalaires : λ, µ R, A M(p, q, R), (λ + µ)a λa + µa
3 Produit de deux matrices 3 Corollaire 26 M(p, q, R) muni de l addition des matrices et de la multiplication des matrices par un scalaire est un espace vectoriel sur R de dimension pq Preuve D après les Proposition 22, Proposition 24 et Proposition 2, M(p, q, R) est un espace vectoriel Pour 1 6 i 6 p, 1 6 j 6 q, soit E ij la matrice (p, q) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la i-ème ligne, j-ème colonne qui est égal à 1 Les matrices E ij forment une base de M(p, q, R) En effet, si A (a ij ), alors A P 16i6p C est un système libre car A P 16i6p nulle c est-à-dire a ij 0 1 6 i 6 p, 1 6 j 6 q a ij E ij, les E ij forment un système générateur a ij E ij 0, si et seulement si (a ij ) est la matrice 3 Produit de deux matrices Définition 31 Soient A (a ij ) M(p, q, R) et B (b ij ) M(q, r, R) Alors le produit AB est la matrice de M(p, r, R) dont les coefficients (c ik ) 16i6p vérifient 16k6r c ik qx a ij b jk Remarque On ne peut faire le produit de A par B que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B Un moyen mnémotechnique pour calculer le produit de deux matrices On représente le calcul sous forme d un tableau de matrices Par exemple pour calculer le produit de deux matrices (2, 2) µ µ a11 a 12 b11 b 12 a 21 a 22 b 21 b 22, on écrit : µ b11 b 12 b 21 b 22 µ µ a11 a 12 a11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 Pour effectuer le calcul a 21 a 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 2 1 3 0 2 1 1 4 2 6 0 1, 4 1 0 1 1 3 3 0 on l écrit sous la forme 2 1 3 0 1 4 2 6 0 1 1 3 2 1 0 1 4 1 3 0 8 2 24 2
4 Chapitre 3 Matrices Remarque Soient A M(p, q, R) et B M(q, r, R) Si on peut effectuer le produit AB, on ne peut pas forcément faire le produit BA Il faudrait pour cela que r p Si c est le cas on n a pas toujours AB BA comme on peut le vérifier dans les deux exemples suivants : µ 1 0 1 2 3 1 1 3 0 2 0 µ 1 3 19 6 mais 1 3 µ 0 1 0 1 7 9 2 0 2 3 1 2 0 2 0 2 De même pour un exemple de produit de deux matrices carrées : µ µ µ 1 2 1 2 6 3 4 3 4 9 10 mais µ µ µ 1 2 1 2 6 3 4 3 4 9 10 4 Propriétés du produit matriciel Proposition 41 (1) A M(p, q, R), 0 (r,p) A 0 (r,q) et A0 q,r 0 (p,r) (2) A M(p, q, R), I p A AI q A 3) A M(p, q, R), B M(q, r, R), λ R, λ(ab) (λa)b A(λB) (4) Le produit est distributif à droite et à gauche par rapport à l addition A, B M(p, q, R), C M(q, rr), (A + B)C AC + BC A M(p, q, R), B, C M(q, r, R), A(B + C) AB + AC Théorème 42 La multiplication des matrices est associative : A M(p, q, R) B M(q, r, R), C M(r, s, R), (AB)C A(BC) Preuve Posons A (a ij ) 16i6p, B (b jk ) 16k6r On a alors AB (α ik ) 16i6p 16k6r et C (c kl ) 16k6r 16`6s M(p, r, R) et BC (β j`) 16`6s On va montrer que les matrices (AB)C (m i`) 16i6p 16`6s égales On a en intervertissant les différents symboles de sommation : M(q, s, R) et A(BC) (n i`) 16i6p 16`6s sont m i` rx rx X q α ik c k` a ij b jk c k` k1 rx k1 qx k1 qx a ij b jk c k` a ij rx b jk c k` qx k1 k1 rx a ij b jk c k` qx a ij β j` n il Ainsi 1 6 i 6 p, 1 6 ` 6 s, m i` n i`, donc (AB)C A(BC)
Matrices carrées et inverses Matrices carrées et inverses Toutes les opérations définies jusqu ici sont des opérations internes dans M(p, R) : A, B M(p, R), λ R, λa M(p, R), A + B M(p, R), AB M(p, R) Définition 1 Pour m N et A M(p, R), on définit A m de la manière suivante : A 1 A, et pour m > 1, A m+1 A m A, puis par convention A 0 Id Remarque Si m, n N, alors A m+n A m A n Définition 2 Soit A M(p, R) On dit que A est inversible s il existe B M(p, R) tel que AB Id BA Proposition 3 Si A M(p, R) est inversible alors il n existe qu une seule matrice B vérifiant AB Id BA Cette matrice s appelle l inverse de A et est notée A 1 Preuve Soient B, C M(p, R) telles que AB BA Id AC CA Alors B BId B(AC) (BA)C IdC C Proposition 4 Soient A et B deux matrices inversibles de M(p, R) Alors AB est inversible et (AB) 1 B 1 A 1 Preuve On a (AB)(B 1 A 1 ) A(BB 1 )A 1 Id De même on vérifie que (B 1 A 1 )AB Id Cela prouve que AB est inversible d inverse B 1 A 1 Définition Pour toute matrice carrée inversible A M(p, R), on pose A m (A 1 ) m Remarque Si A est inversible, alors m, n Z, A m+n A m A n Définition 6 Une matrice carrée A M(p, R) est dite diagonale si tous ses éléments hors de la diagonale sont nuls C est-à-dire λ 1 0 0 0 0 A 0 0 0 λ p λ 1 0 0 µ 1 0 0 0 0 Proposition 7 Soient A 0 et B 0 0 0 0 0 λ p 0 0 µ p Alors AB est diagonale, λ 1 µ 1 0 0 0 0 AB BA 0 0 0 λ p µ p
6 Chapitre 3 Matrices Proposition 8 Une matrice carrée de M(p, R) est triangulaire supérieure (resp triangulaire inférieure) si tous ses éléments au dessous (resp au dessus) de la diagonale sont nuls De plus, elle sera dite triangulaire supérieure stricte (resp triangulaire inférieure stricte) si elle est triangulaire supérieure (resp triangulaire inférieure) et si les éléments de la diagonale sont nuls Exemples 1 3 1 0 2 est triangulaire supérieure, 0 3 1 0 0 est triangulaire 0 0 4 0 0 0 supérieure stricte, 1 0 0 3 0 est triangulaire inférieure et 0 0 0 0 0 est triangulaire inférieure stricte 2 8 7 2 8 0 Remarque Soit A (a ij ) 16i,j6p M(p, R) A est triangulaire supérieure si et seulement si a ij 0 pour i > j, triangulaire supérieure stricte si et seulement si a ij 0 pour i > j Proposition 9 Soient A et B deux matrices triangulaires supérieures Alors AB est triangulaire supérieure Preuve On pose A (a ij ) 16i,j6p et B (b jk ) 16j,k6p Soit C (c i,k ) 16i,k6p AB D après la remarque précédente, il suffit de montrer que c ik 0 pour i > k : c ik px a ij b jk kx a ij b jk + px jk+1 a ij b jk Dans la première somme j 6 k < i donc a ij 0 : P k a ijb jk 0 Dans la deuxième somme, j > k donc b jk 0 : P p jk+1 a ijb jk 0 Donc c ik 0 pour i > k, C est une matrice triangulaire supérieure 6 Transposée d une matrice Définition 61 Soit A M(p, q, R), A (a ij ) 16i6p On appelle transposée de A et on note t A, la matrice de M(q, p, R) définie par t A (b ij ) 16i6q et b ij a ji 16j6p On échange les lignes avec les colonnes t x 1 Exemples (x 1,, x n ), t µ 2 3 1 2 0 3 10 0 10 2 x n 1 2 Proposition 62 On a (1) A M(p, q, R), t ( t A) A (2) A, B M(p, q, R), λ, µ R, t (λa + µb) λ t A + µ t B (3) A M(p, q, R), B M(q, r, R), t (AB) t B t A (4) A M(p, R) inversible, t A est inversible et ( t A) 1 t (A 1 )
8 Matrices et systèmes linéaires 7 7 Pivot de Gauss et rang d une matrice Soit A de A a 11 a 1q Soient C 1,, C q les colonnes de A et L 1,, L p les lignes a p1 a pq Définition 71 On appelle opération élémentaire sur les colonnes de A : l échange de deux colonnes de A (opération de type 1) ; le remplacement d une colonne C j par C j + λc i avec j 6 i (opération de type 2) ; le remplacement d une colonne C i par µc i avec µ 6 0 (opération de type 3) De même on a : Définition 72 On appelle opération élémentaire sur les lignes de A : l échange de deux lignes de A (opération de type 1) ; le remplacement d une colonne L j par L j + λl i avec j 6 i (opération de type 2) ; le remplacement d une colonne L i par µl i avec µ 6 0 (opération de type 3) Proposition 73 Soit A (a ij ) 16i6p M(p, q, R) (1) Il existe un nombre fini d opérations sur les colonnes, de type 1 et 2 qui transforment A en une matrice A 0 telle que A 0 (a 0 ij ) avec a0 ij 0 si i > j En particulier si A est une matrice carrée, A 0 est triangulaire supérieure (2) Il existe un nombre fini d opérations sur les lignes, de type 1 et 2 qui transforment A en une matrice A 0 telle que A 0 (a 0 ij ) avec a0 ij 0 si i > j La preuve consiste à appliquer la méthode du pivot Définition 74 On appelle rang d une matrice le nombre de pivots obtenus après avoir effectué un pivot de Gauss sur les lignes ou sur les colonnes On le note rg(a) On admet que ce nombre ne dépend pas du choix des pivots Théorème 7 A M(n, R) est inversible si et seulement si rg(a) n 8 Matrices et systèmes linéaires Soit (S) un système linéaire de p équations à q inconnues a 11 x 1 + + a 1q x q y 1 a 21 x 1 + + a 2q x q y 2 (S) a p1 x 1 + + a pq x q y p Ce système se réécrit sous la forme AX Y où A (a ij ) 16i6p est la matrice du système, x 1 X est la colonne des inconnues et Y x q y 1 y p est la colonne des constantes Définition 81 On appelle rang du système (S), le rang de la matrice du système
8 Chapitre 3 Matrices Proposition 82 Avec les notations ci-dessus, le système AX Y a une solution si et seulement si a 11 a 1q y 1 rg rg(a) a p1 a pq y p Proposition 83 Soient A M(p, q, R) et Y R p Soit X 0 une solution de AX 0 Y X 0 est alors appelée solution particulière X est solution de (S) si et seulement si X X 0 + X H où X H est une solution de AX H 0 9 Calcul de l inverse d une matrice Théorème 91 Soit A M(p, R) A est inversible si et seulement si rg(a) p Lorsque A est inversible, en faisant un pivot total sur les lignes de A, on peut transformer λ 11 0 0 0 0 A en une matrice de la forme A En divisant chaque ligne par 0 0 λ pp λ ii on obtient Id Pour calculer l inverse (quand il existe) d une matrice A, il suffit d effectuer sur les lignes de la matrice identité les mêmes opérations élémentaires qui ont été faites sur A pour obtenir l identité Exemple A 1 3 0 0 0 1 On écrit dans un tableau la matrice A et celle de Id puis 2 1 4 on applique la méthode du pivot sur les lignes de A 1 3 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 4 0 0 1 1 3 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 4 2 0 1 Ensuite on échange les deux dernières lignes 1 3 0 1 0 0 0 4 2 0 1 0 0 1 0 1 0 1 3 0 1 0 0 0 0 2 4 1 0 0 1 0 1 0 1 3 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 1 0 1 0 4 1 On obtient A 1 1 12 3 2 4 1 0 1 0 1 0 0 1 12 3 0 1 2 0 0 0 1 0 1 0 4 1
10 Matrice d un système de vecteurs et matrices de passage 9 10 Matrice d un système de vecteurs et matrices de passage Soient E un espace vectoriel sur R de dimension finie et B (e 1,, e n ) une base de E Alors pour tout x E, il existe un unique n-uplet (x 1,, x n ) tel que x P n i1 x ie i x 1 Notons X les coordonnées de x dans B x n Soient (u 1,, u p ) un système de vecteures de E et X 1 x 11 x n1,, X p x 1p x np, les coordonnées dans B de u 1,, u p On appelle matrice du système de vecteurs (u 1,, u p ) x 11 x 1p dans la base B la matrice On la note mat B (u 1,, u p ) x n1 x np Définition 101 Soit E un espace vectoriel sur R et soient B (e 1,, e n ) et B 0 (f 1,, f n ) deux bases de E La matrice de changement de base de B à B 0 est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs f j dans la base B Exemple : E R 3, B (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de E Soit B 0 (f 1, f 2, f 3 ) avec f 1 e 1 + e 2 + e 3, f 2 e 2 e 3, f 3 e 2 La matrice de passage de B à B 0 est alors 1 0 0 1 1 1 1 1 0 Théorème 102 Soit E un espace vectoriel sur R et soient B (e 1,, e n ) et B 0 (f 1,, f n ) deux bases de E Soit x E Notons X les coordonnées de x dans B et X 0 les coordonnées de x dans B 0 Si P est la matrice de passage de B à B 0, on a alors la formule : P X 0 X x 1 Preuve Notons X et X 0 x n (10 1) x x 0 1 x 0 n x i e i i1 On a alors x 0 jf j Si P (a ij ) 16i,j6n alors pour tout 1 6 j 6 n on a f j P n i1 a ije i On reporte cela dans (10 1) : x x i e i x 0 jf j i1 x 0 j i1 a ij e i X n x 0 ja ij e i, i1
10 Chapitre 3 Matrices où dans la ligne précédente on a intervertit les sommes En identifiant les coordonnées dans la base B, on obtient pour tout 1 6 i 6 n la formule : c est-à-dire : P X 0 X x i a ij x 0 j,