Intégrale d une fonction continue positive Intégration Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice y accéder directement) Exercice 1 : intégrale d une fonction continue positive en calculant l aire d un rectangle Exercice 2 : intégrale d une fonction continue positive en calculant l aire d un triangle Exercice 3 : intégrale d une fonction continue positive en calculant l aire d un trapèze Exercice 4 : intégrale d une fonction affine par morceaux et relation de Chasles Exercice 5 : intégrale de la fonction valeur absolue Exercice 6 : intégrale d une fonction trigonométrique Exercice 7 : calcul intégral avec les fonctions exponentielle et logarithme népérien Exercice 8 : calcul intégral à l aide d une transformation géométrique Accès direct au site www.sos-devoirs-corriges.com Rappel : Intégrale d une fonction continue et positive Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [ ] et soit sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( ) du plan. Le domaine situé sous la courbe est le domaine situé entre la courbe, l axe des abscisses et les droites d équations et. Par ailleurs, on appelle intégrale de à de la fonction l aire, en unités d aire (u.a), du domaine situé sous la courbe. Cette aire est notée : 1
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Calculer chacune des intégrales suivantes : Correction de l exercice 1 Retour au menu 1) La fonction est une fonction constante donc elle est continue sur et en particulier sur [ ]. Par ailleurs, cette fonction est positive sur [ ]. L intégrale est, en unités d aire, l aire du rectangle rouge ci-contre. Par conséquent, on a : 2) La fonction est une fonction constante donc elle est continue sur et en particulier sur [ ]. Par ailleurs, comme positive sur [ ]., cette fonction est L intégrale est, en unités d aire, l aire du rectangle rouge ci-contre. Par conséquent, on a : 3) La fonction est une fonction constante donc elle est continue sur et en particulier sur [ ]. Par ailleurs, cette fonction est positive sur [ ]. 2
L intégrale est, en unités d aire, l aire du rectangle rouge ci-contre. Par conséquent, on a : ( ( )) Remarque : Dans les cas 1) et 3), on pouvait simplement dénombrer les unités d aire contenues dans l aire du domaine représenté en rouge. Il s agit là surtout d un bon moyen de vérifier la plausibilité du résultat trouvé algébriquement. 3
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Calculer chacune des intégrales suivantes : Correction de l exercice 2 Retour au menu 1) La fonction est une fonction linéaire donc elle est continue sur et en particulier sur [ ]. Par ailleurs, pour tout [ ],. Donc est positive sur [ ]. L intégrale est, en unités d aire, l aire du triangle rectangle rouge ci-contre. Par conséquent, on a : ( ) ( ( ) ( )) Comme ( ) et ( ), il vient finalement que : ( ) ( ) 2) La fonction est une fonction affine donc elle est continue sur et en particulier sur [ ]. Par ailleurs, le taux d accroissement de la fonction est égal à, donc il est positif. La fonction est donc croissante sur [ ]. Etant continue et croissante, pour tout de [ ], ( ) ( ) ( ). Or, ( ) et ( ), c est-à-dire ( ). Autrement dit, est positive sur [ ]. L intégrale est, en unités d aire, l aire du triangle rectangle rouge ci-après. 4
Par conséquent, on a : ( ( )) ( ( ) ( )) 3) La fonction est une fonction affine donc elle est continue sur et en particulier sur [ ]. Par ailleurs, le taux d accroissement de la fonction est égal à, donc il est négatif. La fonction est donc décroissante sur [ ]. Etant continue et décroissante, pour tout réel de [ ], ( ) ( ) ( ). Or, ( ) et ( ), c est-à-dire ( ). Autrement dit, est positive sur [ ]. L intégrale est, en unités d aire, l aire du triangle rectangle rouge ci-contre. Par conséquent, on a : ( ( )) ( ( ) ( )) 5
Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Calculer chacune des intégrales suivantes : Correction de l exercice 3 Retour au menu 1) La fonction est une fonction affine donc elle est continue sur et en particulier sur [ ]. Par ailleurs, le taux d accroissement de la fonction est égal à, donc il est positif. La fonction est donc croissante sur [ ]. Etant continue et croissante, pour tout [ ], on a l inégalité ( ) ( ) ( ). Or, on a d une part ( ) et d autre part ( ), c est-à-dire ( ). Autrement dit, est positive sur [ ]. L intégrale est, en unités d aire, l aire du trapèze rectangle rouge ci-après. Par conséquent, on a : ( ) ( ( ) ( )) ( ) 2) La fonction est une fonction affine donc elle est continue sur et en particulier sur [ ]. Par ailleurs, le taux d accroissement de la fonction est égal à, donc il est négatif. La fonction est donc décroissante sur [ ]. Etant continue et décroissante, pour tout [ ], on a l inégalité ) ( ) ( ). Or, on a ( ) et ( ) ( ), c est-à-dire ( ). Autrement dit, est positive sur [ ]. L intégrale ci-contre. est, en unités d aire, l aire du trapèze rectangle rouge 6
Par conséquent, on a : ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) 3) La fonction est une fonction affine donc elle est continue sur et en particulier sur [ ]. Par ailleurs, le taux d accroissement de la fonction est égal à, donc il est positif. La fonction est donc croissante sur [ ]. Etant continue et croissante, pour tout [ ], ( ) ( ) ( ). Or, on a ( ) et ( ), c est-à-dire ( ). Autrement dit, est positive sur [ ]. L intégrale est, en unités d aire, l aire du trapèze rectangle rouge ci-contre. Par conséquent, on a : ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) 7
Exercice 4 (3 questions) Niveau : moyen Soit la fonction définie sur [ ] par ( ) { et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. 1) Montrer que est continue sur [ ]. 2) Montrer que est positive sur [ ]. 3) Calculer l aire, en unités d aire, du domaine situé entre, l axe des abscisses et les droites d équations et. Correction de l exercice 4 Retour au menu 1) Etudions la continuité de la fonction, définie par ( ) { sur [ ]. Rappel : Continuité d une fonction en un point Soit une fonction définie sur et soit. est continue en si et seulement si a une limite en égale à ( ), c est-à-dire si et seulement si ( ) ( ). En particulier est continue en si et seulement si ( ) ( ) ( ). Remarque : On note indifféremment la limite à gauche de la fonction en ( ) ou ( ) et la limite à droite de la fonction en ( ) ou ( ). Sur [ ], est définie par ( ). Or, est une fonction affine donc elle est continue sur son ensemble de définition [ ]. Sur ] ], est définie par ( ). Or, est une fonction affine donc elle est continue sur son ensemble de définition ] ]. Etudions la continuité de la fonction en. ( ) ( ) ( ). En outre, ( ) ( ) ( ). Donc ( ) ( ). Il s ensuit que est continue en. Finalement, il découle de ces trois résultats que est continue sur [ ]. 8
2) Montrons que est positive sur [ ]. Sur [ ], est définie par ( ). Or, est une fonction affine de taux d accroissement négatif. Par conséquent, est décroissante sur [ ] et, pour tout de [ ], ( ) ( ). On a montré à la question précédente que ( ) donc ( ) pour tout réel de [ ]. Sur ] ], est définie par ( ). Or, est une fonction affine de taux d accroissement positif. Par conséquent, est croissante sur ] ] et, pour tout de ] ], ( ) ( ). On a montré à la question précédente que ( ) donc ( ) pour tout réel de ] ]. Finalement, il découle de ces deux résultats que est positive sur [ ]. 3) Calculons l aire, en unités d aire, du domaine situé entre, l axe des abscisses et les droites d équations et. Rappel : Intégration et relation de Chasles Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [ ]. Pour tous réels, et tels que, D après ce qui précède, est continue et positive sur [ ], donc, en vertu de la relation de Chasles, on a : Or, d une part, on a : ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) 9
Et, d autre part, on a : ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) Finalement, il vient que : 10
Exercice 5 (2 questions) Niveau : moyen Déterminer de deux manières différentes l aire, en unités d aire, du domaine situé entre la courbe représentative de la fonction, l axe des abscisses et les droites d équations et. Correction de l exercice 5 Retour au menu 1) 1 ère méthode Représentons tout d abord en rouge l aire du domaine situé entre la courbe représentative de la fonction, l axe des abscisses et les droites d équations et. La fonction étant continue et positive sur [ domaine rouge. ], on peut dénombrer les unités d aire contenues dans le On trouve immédiatement que l aire recherchée est égale à. 11
2) 2 ème méthode Calculer l aire, en unités d aire, du domaine situé entre la courbe représentative de la fonction, l axe des abscisses et les droites d équations et revient à calculer l intégrale telle que : La fonction est la composée de la fonction affine par la fonction, toutes deux continues sur donc en particulier sur [ ]. Par conséquent, est continue sur [ ]. Par ailleurs, par composition, pour tout réel de [ ]. Rappel : Valeur absolue d un réel { Or, la fonction est décroissante et positive sur [ ] puis croissante et positive sur [ ], donc il vient d après la relation de Chasles que : ( ( )) Or, d une part, ( ( )) Et, d autre part, ( ) Finalement,. 12
Exercice 6 (1 question) Niveau : facile La fonction représentée ci-contre est définie sur [ ] par ( ) ( ). On admet que l aire du domaine compris entre la courbe représentative de, l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la droite d équation unités d aire, à. est égale, en Préciser successivement la valeur exacte des intégrales et suivantes telles que : ( ( ) ) ( ( ) ) Correction de l exercice 6 Retour au menu D après l énoncé, l aire du domaine compris entre la courbe représentative de, l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la droite d équation est égale, en unités d aire, à. Ce résultat se traduit par l égalité : ( ( ) ) 1) Donnons la valeur exacte de. Rappel : Fonction paire et axe de symétrie Soit une fonction définie sur. est une fonction paire si : d une part, est symétrique par rapport à d autre part, pour tout, ( ) ( ) La fonction est la somme de deux fonctions et définies et continues sur. En effet, est la composée de la fonction linéaire par la fonction circulaire ( ), toutes deux définies et continues sur. Par ailleurs, est la fonction constante, définie et continue sur. Par conséquent, par somme de fonctions continues sur, est continue sur, centré en. Il s ensuit que pour tout [ ], ( ) [ ]. De plus, pour tout, ( ( )) ( ). Or, la fonction cosinus est une fonction paire sur donc ( ) ( ). Par conséquent, pour tout réel de [ ], ( ) ( ). Ce qui signifie que est paire et que sa courbe représentative admet l axe des ordonnées comme axe de symétrie. 13
Dès lors, il vient que : ( ( ) ) ( ( ) ) 2) Donnons la valeur exacte de. D après la relation de Chasles et d après ce qui précède, on peut établir que l aire rouge ci-contre est égale à : ( ( ) ) En outre, est égale à la somme de cette aire et de l aire ci-contre. Rappel : Fonction périodique Soit une fonction définie sur et soit. est une fonction périodique de période si, pour tout, ( ) et ( ) ( ). La fonction est une fonction périodique de période sur. En effet, pour tout, par continuité, ( ) et ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ). Dès lors, il vient que : ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 14
Exercice 7 (1 question) Niveau : moyen Démontrer que, pour tout nombre réel tel que, on a Correction de l exercice 7 Retour au menu Tout d abord, notons que la fonction est continue et positive sur [ ] (avec [ [) donc l intégrale correspond à l aire du domaine rouge ci-dessous, compris entre la courbe représentative de la fonction logarithme népérien, l axe des abscisses et les droites d équations et. Ensuite, notons que la fonction est continue et positive sur [ ] (avec [ [) donc l intégrale correspond à l aire du domaine bleu ci-dessous, compris entre la courbe représentative de la fonction exponentielle, l axe des abscisses et les droites d équations et. 15
Or, les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont des fonctions réciproques. La courbe représentative de la fonction exponentielle et la courbe représentative de la fonction logarithme népérien sont donc symétriques par rapport à la première bissectrice du plan, c est-à-dire par rapport à la droite d équation. Par ailleurs, il y a invariance de l aire par symétrie, si bien que les aires des domaines colorés ci-après en rouge sont égales. Autrement dit, on a : Or, il se trouve que l aire du rectangle vert ci-dessous est égale à la somme de l aire bleue ci-dessus et de l aire rouge ci-dessous. Comme le rectangle vert a pour longueur et pour largeur ( ), son aire est donnée par. En outre, d après ce qui précède, l aire bleue est donnée par. Il résulte que : 16
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Exercice 8 (5 questions) Niveau : moyen Soit la fonction définie sur par ( ) et soit sa courbe représentative dans un repère ( ) du plan. On admet le résultat suivant : 1) Interpréter graphiquement ce résultat. Soit la fonction définie sur [ ] par ( ) et soit sa courbe représentative dans ( ). 2) Par quelle transformation géométrique obtient-on à partir de? 3) En déduire l aire du domaine situé sous. Soit la fonction définie sur [ ] par ( ) ( ) et soit sa courbe représentative dans ( ). 4) Par quelle transformation géométrique obtient-on à partir de? 5) En déduire l aire du domaine situé sous. Correction de l exercice 8 Retour au menu 1) La fonction est la fonction carré, continue et positive sur donc en particulier sur [ ]. correspond donc à l aire du domaine compris sous entre les droites d équations et. Cette aire vaut. 2) La fonction est définie sur [ ] par ( ) ( ). Après avoir tracé chacune des courbes et (voir question suivante), on observe qu on obtient à partir de par la translation de vecteur. 18
3) Comme somme de fonctions continues et positives sur, est continue et positive sur et notamment sur [ ]. L aire du domaine situé sous est donc donnée par : ( ( ) ) 4) La fonction est définie sur [ ] par ( ) ( ). Après avoir tracé chacune des courbes et (voir question suivante), on observe qu on obtient à partir de par la translation de vecteur. 5) Comme composée de fonctions continues sur, est continue sur et notamment sur [ ]. De plus, pour tout réel, ( ). L aire du domaine situé sous est donc donnée par : 19