élistion d'un chuffe eu solire En vue de réliser un chuffe eu solire, on conçoit un cpteur de l mnière suivnte: un cisson en forme de prllélépipède est prfitement clorifugé sur ses fces inférieure et ltérles. L fce supérieure est fermée pr une vitre: son rôle ser de lisser psser le ryonnement solire et d'rrêter le ryonnement infr rouge vennt de l'intérieur du cisson. A l'intérieur de ce cisson, on plce un récipient en forme de prllélépipède limité pr les prois rectngulires de dimensions et b, pprtennt ux plns y = 0 et y = e. L proi inférieure et les prois ltérles du réservoir sont à l tempérture de l'eu, seule l proi supérieure, qui bsorbe le ryonnement solire et qu'on ppelle bsorbeur échnge de l chleur vec l'eu.voir figure 1 Première prtie: Le réservoir est entièrement rempli pr de l'eu. L'ir entre l vitre et l'bsorbeur est à l tempérture T e. L'bsorbeur est à l tempérture T. L'eu est à l tempérture T. Ces trois tempértures sont uniformes, il n'y donc ps d'échnges pr conduction, en prticulier dns l'eu. De plus, l tempérture T e est supposée homogène. L'eu une msse volumique μ et une cpcité clorifique mssique C. l'bsorbeur une cpcité clorifique que l'on négliger. L'bsorbeur reçoit une puissnce clorifique P s pr unité de surfce, et il fournit l puissnce surfcique: h ( ) 0 T Te à l couche d'ir ht ( T) à l couche d'eu. L'eu est introduite dns le réservoir à l tempérture T e. 1) Ecrire le biln thermique de l'bsorbeur. En déduire une reltion entre P s, h, h 0, T, T e et T (éqution 1). 2) Ecrire le biln thermique de l'eu. En déduire une éqution différentielle en T, fisnt intervenir T (éqution 2). 3) En déduire une éqution différentielle du premier ordre en T. 4) Déterminer l'expression de l tempérture limite T l tteinte en fonction de T e,, h 0 et P s. 5) Déterminer l'expression de l tempérture de l'eu en fonction du temps, en fonction de μ, h 0, h, C, e, T e et T l. Simplifier l'expression dns le cs où h est grnd devnt h 0. 6) On donne les vleurs numériques suivntes: μ = 10 3 kg.m 3 ; C = 4,18.10 3 J.kg 1.K 1 ; = 2 m; b = 1 m; P s = 650 W.m 2 ; h 0 = 4 W.m 2.K 1 ; T e = 298 K; h = h 0.10 2 ; e = 1 cm. ) Déterminer l vleur numérique de T l. b) Déterminer le temps t 1 nécessire pour que l'eu tteigne l tempérture T 1 = 345 K 7) Chque fois que cette tempérture est tteinte, le récipient est vidngé rpidement, puis à nouveu rempli vec de l'eu à l tempérture T e. Quel est, en moyenne, le volume d'eu chude D 1 que l'on peut insi obtenir pr heure? 8) En fit, l'eu insi chuffée n'est ps utilisée directement comme eu snitire: elle pprtient à un circuit fermé ppelé circuit primire, et chuffe dns un échngeur l'eu
snitire. En vous ppuynt sur les résultts numériques précédents, expliquez pourquoi ce dispositif est indispensble.voir figure 3 Deuxième prtie: Dns un modèle plus réliste et proche de l rélité, on envisge mintennt une circultion d'eu en continu dns le réservoir: En x = 0, z =, on fit rriver de l'eu à l tempérture T e, qui ressort en x = b, z =.Voir 2 2 figure 2 Le débit volumique de circultion de l'eu est D, et on considérer qu'en tout point du r uur réservoir, l'eu s'écoule vec l vitesse uniforme v= v0 ux L proi inférieure du rditeur est considérée en équilibre thermique vec l'eu qui circule à l'intérieur, soit T(x). L'ir qui se trouve entre l vitre et l'bsorbeur est à l tempérture T e ; on considérer que cette tempérture est uniforme. On se plce en régime permnent: les tempértures T de l plque supérieure d'cier et T de l'eu qui circule ne dépendent lors que de x. On ne prendr en compte que les échnges de chleur qui se font dns l direction y. En prticulier, le modèle ne prendr ps en compte les échnges suivnt x à l'intérieur de l plque et de l'eu. L plque reçoit l puissnce solire P s pr unité de surfce. Pr illeurs, elle fournit pr convection les puissnces surfciques: h0( T T0) à l'ir h ( T T) à l'eu qui circule L'eu, considérée comme incompressible et indiltble, n' des échnges thermiques qu'vec l plque. 1) Donner l'expression de l vitesse v 0 en fonction du débit volumique D et des dimensions et e. 2) Biln thermique de l plque: Ecrire, en régime permnent, le biln thermique de l plque; en déduire l reltion entre T (x), T(x), T e, P s, h et h 0. (éqution 3 ). 3) Biln thermique de l'eu On envisge une trnche de liquide de section S =.e et de longueur dx, limitée pr les pistons fictifs (1) et (2) à l'instnt t; à l'instnt t dt, les pistons sont en (1') et (2'). ) déterminer l distnce de (1) à (1') en fonction de v 0 et dt. En déduire celle de (2) à (2') schnt que l'écoulement est permnent. b) Déterminer l vrition dh d'enthlpie de l trnche dx entre les instnts t et t dt. c) déterminer l'énergie échngée pr l trnche dx entre les instnts t et t dt. d) En fisnt le biln thermique de l trnche entre les instnts t et t dt, déterminer l'éqution différentielle (4) relint dt dx à T et T, insi qu'à C, h, e, v 0 et μ. 4)) Déduire des deux équtions (1) et (2) l'éqution différentielle à lquelle stisfit T( x ). On prendr toujours h>>h 0.. b) Schnt que T(0) = T e ( tempérture de l'eu entrnte, donner l'expression de T(x) en fonction de T e,p s, h 0,, μ, C et D.
c) Déterminer l'expression numérique de T(x), insi que l tempérture T(b) de sortie de l'eu en utilisnt les mêmes données numériques que dns l première prtie, vec D = 20 litres/heure Troisième prtie: gestion de l'eu chude: Cette prtie est totlement indépendnte des deux premières. Pour des risons de commodité, les tempértures seront exprimées en C et seront notées t. entrée Chuffe eu électrique E.V 1 E.V 2 Arrivée chuffe eu solire L tempérture de l'eu obtenue est évidemment dépendnte des conditions météorologiques. On doit donc compléter l'instlltion pr un chuffe eu électrique: si l tempérture de l'eu obtenue à l sortie du chuffe eu solire est suffisnte, on l'utilise directement, sinon, on l'envoie à l'entrée du chuffe eu électrique qui chève le chuffge. Au dessus de 55 C, l'eu est envoyée directement à l'utilistion, et si elle descend u dessous de 45 C, elle est envoyée u chuffe eu électrique. On désire que cette opértion s'effectue utomtiquement, pr un cpteur de tempérture commndnt deux électrovnnes Dns toute cette prtie, les mplificteurs opértionnels sont considérés comme prfits: ps de cournts débités dns les entrées et, et une tension différentielle d'entrée nulle en régime linéire. 1) Préliminires: ) Dns le circuit ci contre, on dmet qu'on fonctionne en régime linéire. 2 sortie cpteur Eu chude 1 U e U s En déduire le gin en tension de ce montge: U s G = U e V 0 U 1 U 2 b)l'mplificteur opértionnel étnt toujours en régime linéire, déterminer l'expression de U 2 en fonction de V 0 et U 1 v 1 2 V s c) L'mplificteur opértionnel fonctionne en régime de sturtion: l tension de sortie est V st (sturtion hute) si ε = v v est positif, et V st (sturtion bsse) si ε est négtif. α) Donner l'expression de v en fonction de V s.
β) v est ssez fible pour qu'on soit en sturtion hute, puis on le fit croître progressivement. Donner l'évolution de V s. γ) Lorsque V s bsculé en sturtion bsse, on fit décroître v. Donner l'évolution de V s. En déduire le trcé de l crctéristique V s = f(v ). 2) Le cpteur de tempérture ( type LM35), convenblement limenté, fournit entre ses deux bornes de sortie une tension : V(t C) = K.t( C) vec K = 10 2 V/ C Cette tension est envoyée sur les trois montges précédents: 2 V 0 V s1 1 V(t C) V 1 V 2 v 1 2 V s V s2 V 0 est une tension que l'on fixée à 11 volts. On donne: 1 = 4,7 kω, 2 = = 47 kω Déterminer V 1 puis V 2 en fonction de l tempérture Celsius détectée pr le cpteur. 3) Le troisième mplificteur opértionnel fonctionne en sturtion hute ou bsse. L tension de sturtion est de 12 volts. Déterminer les tempértures pour lesquelles il y bscule de V st à V st (tempérture t 1 ) puis de V st à V st (tempérture t 2 ) 4) Les deux diodes sont supposées prfites. En déduire les vleurs de V s1 et V s2 suivnt l vleur de V s. Préciser les électrovnnes qui doivent être commndées pr V s1 et V s2 pour obtenir le fonctionnement souhité.
y vitre Air à T e Pln cier (bsorbeur) e b x éservoir d'eu Figure 1 z O b x Arrivée de l'eu vu uur 0 x Déprt de l'eu Figure 2 isolnt z Eu froide échngeur Eu chude snitire Figure 3 Cpteur solire Circuit primire