PGCD, Solides Exercice 1 Le parc "d'ani-math-ion" vous accueille dans une entréebilleterie : C'est un pavé droit à base carée surmontée d'une coupole semisphèrique, représenté ci-dessous. Ouvert depuis quelques années, abîmé par les intempéries, ce bâtiment doit être repeint. Toutes les surfaces extérieures sont repeintes, c'est-à-dire : les 4 faces latérales du pavé droit ; la partie plane du toit (parties grisées sur la figure) ; la coupole semi-sphèrique. 1. Sachant que les ouvertures (portes et fenêtres, non représentées sur la figure) occupent une surface de 18 m², montrer que l'aire totale des surfaces à peindre est d'environ 168 m². Aire totale des surfaces à peindre = Aire des 4 faces latérales du pavé + Aire de la partie grisée + Aire de la coupole Aire des ouvertures = 4 3,5 7 + 7 7 π 3,5² + 1 2 4 π 3,5² 18 = 98 + 49 12,25π + 24,5π 18 = 129 + 12,25 π 167,48 m² ce qui représente bien une surface à peindre d'environ 168 m². 2. Ci-dessous se trouve la facture correspondant aux travaux de peinture. Compléter cette facture à l'aide des informations fournies ci-dessous : - Un pot de 10 L de peinture permet de couvrir une surface de 40 m² ; - Le coût d'un pot de 10 L de peinture est de 400 ; - Un ouvrier peint une surface de 42 m² à l'heure. Nombre de pots nécessaires pour couvrir une surface d'environ 168 m² : 168 40 = 4,2. Donc : 5 pots sont nécessaires. Ce qui coûte : 5 400 = 2 000. Heures de main d'oeuvre pour peindre environ 168 m² : 168 42 = 4 heures. Ce qui revient à 4 35 = 140. Le total HT s'élève à : 2 500 + 2 000 + 140 = 4 640. La TVA représente 19,6 % du total HT, soit : 0,196 4 640 = 909,44. Le TOTAL TTC s'élève donc à : 4 640 + 909,44 = 5 549,44.
Exercice 2 Un sculpteur fabrique un "umete" en bois (récipient) ayant la forme d'une demi-sphère de rayon 15 cm (l'épaisseur du umete est supposée négligeable). 1. Vérifier que la valeur exacte du volume du umete est égale à 2 250 π cm³. Volume du umete = 1 2 4 13500π π 15³ = = 2 250π cm³ 3 6 2. Pourra-t-on verser dans ce umete 7 litres de lait de coco sans déborder? Justifier. 7 litres = 7 dm³ = 7 000 cm³ Or le volume du umete représente environ 7 069 cm³, il peut donc contenir 7 litres de lait de coco sans que cela ne déborde. Exercice 3 Un moule à muffins est constitué de 9 cavités. Toutes les cavités sont identiques. Chaque cavité a la forme d'un tronc de cône (cône coupé par un plan parallèle à la base) représenté ci-contre. Les dimensions sont indiquées sur la figure. 1. Montrer que le volume d'une cavité est d'environ 125 cm³. Volume d'une cavité = Volume Grand cône Volume Petit cône 5 cm = 1 3 π 3,75² 12 1 π 2,5² (12 4) 3 = 56,25π 50 3 π 124,35 cm³ ce qui représente bien environ 125 cm³. 2. Léa a préparé 1 litre de pâte. Elle veut remplir chaque cavité du moule aux 3/4 de son volume. A-t-elle suffisamment de pâte pour les 9 cavités du moule? Justifier la réponse. 1 litre représente 1 dm³ soit 1 000 cm³. Or 9 cavités ont un volume d'environ 9 125 cm³ soit environ 1 125 cm³. Comme ils sont remplis aux ¾, la quantité de pâte nécessaire est d'environ 3/4 1 125 cm³ soit environ 844 cm³. Comme 1 000 > 844, Léa aura assez de pâte pour remplir ces 9 moules. Exercice 4 Heiata et Hiro ont choisi comme gâteau de mariage une pièce montée composée de 3 gâteaux cylindriques superposés, tous centrés sur l'axe (d) comme l'indique la figure ci-dessous. Les trois gâteaux cylindriques sont de même hauteur : 10 cm. Le plus grand gâteau cylindrique, le n 1, a pour rayon 30 cm. Le rayon du gâteau n 2 est égal aux 2/3 de celui du gâteau n 1. Le rayon du gâteau n 3 est égal aux 3/4 de celui du gâteau n 2. 1. Montrer que le rayon du gâteau n 2 est de 20 cm.
Il est écrit que le rayon du gâteau n 2 est égal aux 2/3 de celui du gâteau n 1 donc son rayon est : 2 30 = 20. 3 Le rayon du gâteau n 2 est donc bien de 20 cm. 2. Calculer le rayon du gâteau n 3. Il est écrit que le rayon du gâteau n 3 est égal aux ¾ de celui du gâteau n 2 donc son rayon est : 3 4 Le rayon du gâteau n 3 est donc de 15 cm. 20 = 15. 3. Montrer que le volume total exact de la pièce montée est égal à 15 250 π cm³. Volume de la pièce montée = Volume du gâteau n 1 + Volume du gâteau n 2 + Volume du gâteau n 3 = π 30² 10 + π 20² 10 + π 15² 10 = 9 000 π + 4 000 π + 2 250 π = 15250 π cm³ 4. Quelle fraction du volume total représente le volume du gâteau n 2? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible. Volume du gâteau n 2 Fraction du volume total représenté par le volume du gâteau n 2 = Volume total du gâteau = 4000 π 15250π = 16 61 Le volume du gâteau n 2 représente les 16/61è du volume total du gâteau. Exercice 5 La pyramide du Louvre est une œuvre de l'architecte Leoh Ming Pei. Il s'agit d'une pyramide régulière dont la base est un carré de côté 35,50 mètres et dont les quatre arêtes qui partent du sommet mesurent toutes 33,14 mètres. 1. La pyramide du Louvre est schématisée comme ci-contre. Calculer la hauteur réelle de la pyramide du Louvre. On arrondira le résultat au centimètre. On souhaite appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle SHB rectangle en H mais on ne connaît par HB. On va donc d'abord appliquer ce théorème dans HAB rectangle en H (en effet, ABCD étant carré, ses diagonales sont de même longueur et sont perpendiculaires). On obtient : AB² = AH² + BH² = 2HB² (puisque AH = BH) Ainsi 35,5² = 2 HB² c'est-à-dire HB² = 1 35,5² = 630,125. 2 On peut maintenant appliquer le théorème de Pythagore dans SHB rectangle en H : SB² = HB² + SH² 33,14² = 630,125 + SH² D'où SH² = 33,14² 630,125 = 468,1346 SH = 468,1346 21,64 m au centimètre près. 2. On veut tracer le patron de cette pyramide à l'échelle 1/800. a. Calculer les dimensions nécessaires de ce patron en les arrondissant au millimètre. L'échelle étant de 1/800, les dimensions du patron sont celles de la réalité divisées par 800. Ainsi le côté de la base carrée du patron mesure : 35,5 800 0,044 m soit 4,4 cm. et les arêtes du patron mesurent 33,14 800 0,041 m soit 4,1 cm.
b. Construire le patron en faisant apparaître les traits de construction. On attend une précision de tracé au mm. Exercice 6 Un aquarium a la forme d'une sphère de 10 cm de rayon, coupée en sa partie haute : c'est une "calotte sphérique". La hauteur totale de l'aquarium est 18 cm. 1. Le volume d'une calotte sphérique est donné par la formule : V = π h² (3r h) 3 où r est le rayon de la sphère et h est la hauteur de la calotte sphérique. a. Prouver que la valeur exacte du volume en cm³ de l'aquarium est 1 296 π. V = π 3 h² (3r h) = π 3 18² (3 10 18) = π 3 324 (30 18) = π 3 324 12 = 3888 π 3 = 1 296 π Le volume de la calotte sphérique est bien de 1 296 π cm³. b. Donner la valeur approchée du volume de l'aquarium au litre près. V = 1 296 π cm³ = 1,296 π L 4 L au litre près. 2. On remplit cet aquarium à ras bord, puis on verse la totalité de son contenu dans un autre aquarium parallélépipédique. La base du nouvel aquarium est un rectangle de 15 cm par 20 cm. Déterminer la hauteur atteinte par l'eau (on arrondira au cm). Les dimensions du "parallélépipède d'eau" de hauteur inconnue h sont h cm, 15 cm et 20 cm. Son volume est donc 15 20 h cm³ et représente environ 4 Litres d'eau, c'est-à-dire 4 000 cm³. 300 h = 4 000 D'où h = 4 000 3 13 cm. Dans ce nouvel aquarium, l'eau atteindra environ 13 cm de haut.
Exercice 6 1. Calculer le PGCD de 405 et 315. Préciser la méthode utilisée et indiquer les calculs. On calcule le PGCD de 405 et 315 par l'algorithme d'euclide. 405 = 1 315 + 90 315 = 3 90 + 45 90 = 2 45 + 0 Le dernier reste non nul donne le PGCD de 405 et 315. Donc PGCD(405 ; 315) = 45. 2. Dans les bassins d'eau de mer filtrée d'une ferme aquacole de bénitiers (coquillage) destinés à l'aquariophilie, on compte 9 bacs contenant chacun 35 bénitiers de 12,5 cm et 15 bacs contenant chacun 27 bénitiers de 17,5 cm. L'exploitant souhaite répartir la totalité des bénitiers en des lots de même composition : Par lot, même nombre de bénitiers de 12,5 cm et même nombre de bénitiers de 17,5 cm. a) Quel est le plus grand nombre de lots qu'il pourra réaliser? Justifier la réponse. On veut répartir les 315 (9 35) bénitiers de 12,5 cm et les 405 (15 27) bénitiers de 17,5 cm dans des lots de même composition et on veut en réaliser le plus grand nombre possible. Cela revient donc à chercher le PGCD de 315 et 405 qui, d'après la question 1. est égal à 45. On peut donc réaliser au maximum 45 lots identiques. b) Quelle sera la composition de chaque lot? 405 45 = 9 315 45 = 7 Chaque lot contient donc 9 bénitiers de 17,5 cm et 7 bénitiers de 12,5 cm. Exercice 8 1. Justifier sans calcul que 850 et 714 ne sont pas premiers entre eux. 850 et 714 sont tous les deux pairs et on donc un diviseur commun autre que 1 (en l'occurence 2). Par conséquent, PGCD (850 ; 714) n'est pas égal à 1 et 850 et 714 ne sont donc pas premiers entre eux. 2. a. Déterminer par la méthode de votre choix, en détaillant les différentes étapes, le PGCD de 850 et 714. On va utiliser l'algorithme d'euclide pour rechercher PGCD (850 ; 714). Reste de la Plus grand Plus petit division nombre nombre euclidienne 850 714 136 714 136 34 136 34 0 Conclusion PGCD (850 ; 714) = 34 b. En déduire la fraction irréductible égale à 850 714. Pour rendre irréductible la fraction 850, il suffit de diviser son numérateur et son dénominateur par le plus 714 grand diviseur commun à 850 et 714, à savoir 34 d'après la question 2a. 850 34 714 34 = 25 25 et est donc la fraction irréductible recherchée. 21 21 Exercice 9 Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante : "Découpe dans ces plaques des carrés tous identiques, dont les longueurs des côtés sont un nombre entier de cm, et de façon à ne pas avoir de perte". 1. Peut-il choisir de découper des plaques de 10 cm de côté? Justifier votre réponse. S'il découpe des plaques de 10 cm de côté, cela ne conviendra pas car 88 10 = 8,8 cm et 8,8 n'est pas un
nombre entier de centimètres. 2. Peut-il choisir de découper des plaques de 11 cm de côté? Justifier votre réponse. Par contre, en découpant des plaques de 11 cm de côté, les carrés auront un nombre entier de centimètres : 110 11 = 10 carrés en longueur et 88 11 = 8 carrés en largeur. 3. On lui impose désormais de découper des carrés les plus grands possibles. a) Quelle sera la longueur du côté d'un carré? S'il veut maintenant découper des carrés (commun) les plus grands possibles (Plus grand) de façon à ne pas avoir de perte (Diviseur), il va devoir chercher le PGCD de 110 et 88. On utilise l'algorithme d'euclide : Plus grand nombre Plus petit nombre Reste de la division euclidienne 110 88 22 88 22 0 Conclusion : PGCD (110 ; 88) = 22. Les carrés les plus grands possibles à découper dans ces plaques ont un côté de 22 cm. b) Combien y aura-t-il de carrés par plaque? Avec un carré de 22 cm de côté, il y aura 110 22 = 5 carrés sur la longueur et 88 22 = 4 carrés sur la largeur. Ce qui représente 5 4 = 20 carrés par plaque.