Docuent d accopagneent du référentiel de foration Inspection de l'enseigneent Agricole Classe : 3èe de l'enseigneent agricole Module : M4 Mathéatiques Objectif général du odule : S'initier à la déarche scientifique Présentation du odule, conditions d atteinte des objectifs Les athéatiques entretiennent des liens étroits avec les autres sciences et la technologie, le langage athéatique perettant de décrire et de odéliser les phénoènes de la nature ais elles s en distinguent aussi car elles forent une discipline intellectuelle autonoe, possédant son identité. Le rôle de la preuve, établie par le raisonneent, est essentiel et l on ne saurait se liiter à vérifier sur des exeples la vérité des faits athéatiques. L enseigneent des athéatiques conduit à goûter le plaisir de découvrir par soi-êe cette vérité, établie rationnelleent et non sur un arguent d autorité, et à la respecter. Faire des athéatiques, c est se les approprier par l iagination, la recherche, le tâtonneent et la résolution de problèes, dans la rigueur de la logique et le plaisir de la découverte. Ainsi les athéatiques aident à structurer la pensée et fournissent des odèles et des outils aux autres disciplines scientifiques et à la technologie. Les nobres sont au début et au cœur de l activité athéatique. L acquisition des principes de base de la nuération, l apprentissage des opérations et de leur sens, leur obilisation pour des esures et pour la résolution de problèes sont présents tout au long des apprentissages. Ces apprentissages, qui se font en relation avec la aîtrise de la langue et la découverte des sciences, sont poursuivis tout au long de la scolarité obligatoire avec des degrés croissants de coplexité nobre entiers naturels, nobres déciaux, fractions, nobres relatifs. L apprentissage des techniques opératoires est évideent indissociable de l étude des nobres. Il s appuie sur la éorisation des tables, indispensable tant au calcul ental qu au calcul posé par écrit. La géoétrie doit rester en prise avec le onde sensible qu elle peret de décrire. Les constructions géoétriques, avec leurs instruents traditionnels règle, équerre, copas, rapporteur, aussi bien qu avec un logiciel de géoétrie, constituent une étape essentielle à la copréhension des situations géoétriques. Mais la géoétrie est aussi le doaine de l arguentation et du raisonneent, elle peret le développeent des qualités de logique et de rigueur. L organisation et la gestion des données sont indispensables pour coprendre un onde conteporain dans lequel l inforation chiffrée est oniprésente, et pour y vivre. Il faut d abord apprendre à lire et interpréter des tableaux, schéas, diagraes, à réaliser ce qu est un événeent aléatoire. Puis apprendre à passer d un ode de représentation à l autre, à choisir le ode le plus adéquat pour organiser et gérer des données. Éerge ainsi la proportionnalité et les propriétés de linéarité qui lui sont associées. En deandant de s interroger sur la signification des nobres utilisés, sur l inforation apportée par un résué statistique, sur les risques d erreur d interprétation et sur leurs conséquences possibles, y copris dans la vie courante, cette partie des athéatiques contribue à forer de jeunes adultes capables de coprendre les enjeux et débats de la société où ils vivent. Enfin, en tant que discipline d expression, les athéatiques participent à la aîtrise de la langue, tant à l écrit rédaction, eploi et construction de figures, de schéas, de graphiques qu à l oral, en particulier par le débat athéatique et la pratique de l arguentation.
Indications de contenus, coentaires, recoandations pédagogiques Recoandations pédagogiques générales La progression L architecture du prograe n induit pas une chronologie d enseigneent ais constitue une siple ise en ordre des concepts par doaine. Il revient à l enseignant de construire une progression adaptée et cohérente. La résolution de problèes au cœur de l activité athéatique La copréhension et l appropriation des connaissances athéatiques reposent sur l activité de chaque élève qui doit être privilégiée. Pour cela, et lorsque c est possible, sont choisies des situations créant un problèe dont la solution fait intervenir des techniques ou des notions déjà acquises afin d aboutir à la découverte ou à l assiilation de notions nouvelles. La résolution de problèes peret : - de faire fonctionner les notions et «outils» athéatiques étudiés au cours des années précédentes dans de nouvelles situations, autreent qu en reprise ayant un caractère de révision - de déboucher sur l établisseent de connaissances nouvelles - d en élargir le sens et d en assurer la aîtrise par l étude de situations plus ouvertes, dans lesquelles les élèves doivent solliciter en autonoie les connaissances acquises. Leur traiteent nécessite initiative et iagination et peut être réalisé en faisant appel à différentes stratégies qui doivent être explicitées et confrontées. L utilisation d outils logiciels est particulièreent iportante ; elle constitue une aide à l iagination, à la forulation de conjectures ou au calcul. La synthèse du cours Pour être efficaces, les connaissances doivent être identifiées, noées et progressiveent détachées de leur contexte d apprentissage. Toute activité doit être coplétée par une synthèse. Celle-ci doit porter sur les quelques notions ises en évidence (définitions, résultats, théorèes et outils de base). Elle est aussi l occasion de dégager des éthodes de résolution de problèes qui ettent en œuvre ces notions. Ainsi l activité athéatique nécessite-t-elle de s appuyer sur un corpus de connaissances et de éthodes, parfaiteent assiilées et totaleent disponibles. En effet, pour être autonoe dans la résolution d un problèe et donc être en capacité de prendre des initiatives, l élève doit disposer d autoatises qui facilitent le travail intellectuel en libérant l esprit des soucis de ise en œuvre technique. Ces nécessaires réflexes intellectuels s acquièrent dans la durée. Si leur acquisition nécessite des exercices d entraîneent et de éorisation, ces exercices ne sauraient suffire. Pour être disponibles, les autoatises doivent être entretenus et régulièreent sollicités dans des situations où ils font sens. Le travail de l élève individuelleent ou en groupe Les travaux de résolution d exercices et de problèes, en classe ou au cours d une recherche personnelle en dehors du teps d enseigneent, ont des fonctions diversifiées : - la résolution d exercices d entraîneent, associés à l étude du cours, peret aux élèves de consolider leurs connaissances de base, d acquérir des autoatises et de les ettre en œuvre sur des exeples siples ; - l étude de situations plus coplexes, sous fore d activités en classe ou de problèes à résoudre ou à rédiger, aliente le travail de recherche individuel ou en équipe ; - les travaux individuels de rédaction doivent être fréquents et de longueur raisonnable ; ils visent essentielleent à développer les capacités de ise au point d un raisonneent et d expression écrite. L évaluation L évaluation des acquis et des capacités est indispensable au professeur dans la conduite de son enseigneent. Il lui appartient d en diversifier le type et la fore : évaluation ponctuelle ou de synthèse, écrite ou orale, individuelle ou collective. Les supports peuvent égaleent être variés : exercices, analyse de docuents, ise en œuvre expérientale sur le terrain ou en laboratoire, avec ou sans TIC. Docuent d'accopagneent - Inspection de l'enseigneent Agricole 2
Indications de contenus et coentaires Objectif 1 - Organiser et gérer des données. Objectif 1.1 - S approprier la notion de fonction linéaire en relation avec la proportionnalité et les pourcentages Il s agit de copléter l étude de la proportionnalité par une synthèse d un apprentissage coencé à l école priaire. Dans le plan uni d un repère, la proportionnalité est caractérisée par l aligneent de points avec l origine. L utilisation de tableaux de proportionnalité peret de ettre en place le fait que le processus de correspondance est décrit par une forulation du type «je ultiplie par a». Cette forulation est reliée à : x j associe ax. Pour les pourcentages d augentation ou de diinution, le fait que, par exeple augenter de 5% c est ultiplier par 1,05 et diinuer de 5% c est ultiplier par 0,95 est établi. Objectif 1.2 - Déteriner une valeur édiane, l étendue d une série statistique et en donner une signification Une série statistique est donnée sous fore de liste ou de tableau ou par une représentation graphique. Le travail est conduit aussi souvent que possible avec d autres disciplines dans des situations où les données sont exploitables par les élèves. L utilisation d un tableur peret d avoir accès à des situations plus riches que celles qui peuvent être traitées à la ain. En particulier la notion de tri peret d obtenir la édiane à partir de données établies sous fore de liste. La notion d étendue peret de ettre en évidence la dispersion. Elle est à relier sur des exeples au problèe posé par la disparité des esures d une grandeur lors d une activité expérientale, en particulier en physique chiie. Objectif 1.3 - Coprendre, utiliser des notions éléentaires de probabilité et calculer des probabilités dans des contextes failiers. Il s agit de coprendre et utiliser des notions éléentaires de probabilité. La notion de probabilité est abordée à partir d expérientations qui perettent d observer les fréquences des issues dans des situations failières (pièces de onnaie, dés, roues de loterie, urnes, etc ) La notion de probabilité est utilisée pour odéliser des situations siples de la vie courante. Les situations étudiées concernent les expériences à une ou à deux épreuves. Objectif 2 - Pratiquer le calcul nuérique et le calcul littéral Objectif 2.1 - Calculer le PGCD de deux nobres entiers La connaissance de relations arithétiques entre nobres que la pratique du calcul ental a peris de développer, peret d identifier des diviseurs couns de deux entiers. Le recours à une décoposition en produits de facteurs preiers est possible ais ne doit pas être systéatisée. Les tableurs, calculatrices et logiciels de calcul forel sont exploités. Objectif 2.2 - Siplifier une fraction pour la rendre irréductible. Horis les cas siples relevant du calcul ental, les élèves utilisent leur calculatrice pour rendre irréductible une fraction donnée. Objectif 2.3 - Multiplier, additionner et soustraire deux nobres relatifs en écriture fractionnaire. L addition et la soustraction de deux nobres relatifs en écriture fractionnaire deandent un travail sur la recherche de ultiples couns à deux ou plusieurs nobres entiers dans des cas où le calcul ental est possible. Dans les autres cas, la calculatrice est utilisée. Docuent d'accopagneent - Inspection de l'enseigneent Agricole 3
Objectif 2.4 - Connaître et utiliser l égalité a a 1 b b = ; s approprier la notion d inverse d un nobre non nul. 1 Un travail est ené sur la notion d inverse d un nobre non nul. Les notations et 1 x sont utilisées, ainsi que les x touches correspondantes de la calculatrice. Objectif 2.5 - Maîtriser la notion de racine carrée et résoudre sur des exeples nuériques très siples des équations où interviennent la notion de racine carrée Les élèves doivent savoir que si a désigne un nobre positif 2 égalités ( a ) = a et 2 a = a. a est le nobre positif dont le carré est a et utiliser les 2 Ils doivent savoir déteriner sur des exeples nuériques siples les nobres x tels que x = a où a est un nobre positif. La calculatrice est utilisée pour déteriner la valeur exacte ou approchée de la racine carrée d un nobre positif. Objectif 2.6 - Utiliser sur des exeples les égalités a n n ( a ) a. a / a = a n = a = a n+ n n n n ( ab) = a b n n n ( a / b) = a / b Où a et b sont des nobres non nuls et et n des entiers relatifs. Ces résultats sont construits et retrouvés, si besoin est, en s appuyant sur la signification de la notation puissance qui reste l objectif prioritaire. La éorisation de ces égalités est favorisée par l entraineent à leur utilisation en calcul ental. Objectif 2.7 - Connaître les trois identités rearquables classiques Les élèves sont aenés à développer des expressions de la fore (a+b)(c+d). Coe en quatrièe, l objectif reste de développer pas à pas et de réduire l expression obtenue. Les élèves connaissent les trois identités rearquables et doivent savoir les utiliser dans les deux sens sur des exeples nuériques ou littéraux siples. Objectif 2.8 - Mettre en équation et résoudre un problèe du preier degré à une inconnue. Les problèes issus d autres parties du prograe et d autres disciplines conduisent à l introduction d équations du preier degré à une inconnue et à leur résolution. Les différentes étapes du travail sont dégagées : ise en équation, résolution de l équation et interprétation du résultat. Docuent d'accopagneent - Inspection de l'enseigneent Agricole 4
Objectif 3 - Connaître les objets usuels du plan, de l espace et calculer les grandeurs attachées à ces objets Objectif 3.1 - Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterinés par deux côtés parallèles coupant deux dei droites de êe origine. Les élèves n ont pas à distinguer forelleent le théorèe direct et sa réciproque. Les élèves doivent connaitre et utiliser le théorèe relatif aux ilieux de deux côtés d un triangle. On vérifie qu il s agit d un cas particulier du théorèe général. Objectif 3.2 - Utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus, le sinus ou la tangente d un angle aigu et les longueurs de deux des cotés du triangle; utiliser la calculatrice pour déteriner une valeur approchée du cosinus, du sinus ou la tangente d un angle aigu et de l angle aigu dont le cosinus, le sinus ou la tangente est donné. Des exercices concrets, perettant de valoriser ces notions, sont à développer. La seule unité utilisée est le degré décial. Objectif 3.3 - Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celle de la figure à obtenir. Les élèves doivent savoir dans des situations d agrandisseent ou de réduction retrouver les éléents (longueur ou angles) de l une ou l autre de deux figures connaissant l autre. Pour les longueurs ce travail se fait en relation avec la proportionnalité. Objectif 3.4 - Construire un triangle équilatéral, un carré connaissant son centre et un soet. Objectif 3.5 - Connaître, utiliser la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête, des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe. L utilisation d un logiciel de géoétrie dans l espace peret de conjecturer ou d illustrer la nature des sections planes. C est aussi l occasion de faire des calculs de longueur et d utiliser les propriétés rencontrées dans d autres rubriques ou les années antérieures. Les élèves sont égaleent confrontés au problèe de représentation d objets en trois diensions ainsi qu à celle de la représentation en vraie grandeur d une partie de ces objets dans un plan. Objectif 3.6 - Connaitre la nature de la section d une sphère par un plan et représenter la sphère et certains de ses grands cercles. Les grands cercles de la sphère et les couples de points diaétraleent opposés sont is en évidence. Aucune difficulté n est soulevée sur ces représentations. Le rapprocheent est fait avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notaent pour le repérage sur la sphère à l aide des éridiens et des parallèles. Docuent d'accopagneent - Inspection de l'enseigneent Agricole 5
Objectif 4 - Mettre en œuvre des raisonneents perettant de calculer des grandeurs en aitrisant les unités adaptées Objectif 4.1 - Connaître les aires du carré, du rectangle, du triangle, du disque et les volues du cube, du parallélépipède rectangle, du cylindre droit et de la boule. Objectif 4.2 - Connaître l effet d un agrandisseent ou d une réduction sur les aires et les volues. Les élèves doivent connaitre et utiliser le fait que dans un agrandisseent ou une réduction de rapport k, l aire d une surface est ultipliée par k 2 et le volue d un solide par k 3. Objectif 4.3 - Calculer des distances parcourues, des vitesses oyennes et des durées de parcours en utilisant l égalité d = vt La notion de vitesse oyenne est définie. Le vocabulaire «kiloètre par heure» et la notation k/h, issus de la vie courante, sont à ettre en relation avec la notation k.h -1. Objectif 4.4 - Effectuer des changeents d unités sur des grandeurs produits ou grandeurs quotients. Plusieurs grandeurs produits et grandeurs dérivées peuvent être utilisées : k.h -1,.s -1, kwh, euros/kwh, 3 /s ou 3.s -1, Les changeents d unités s appuient sur des raisonneents directs et non pas sur des forules de transforation. Il s agit de valoriser des situations de la vie courante, sur des unités et des nobres failiers aux élèves. Activités pluridisciplinaires Afin de faciliter l assiilation de certains concepts et outils athéatiques, de leur donner du sens, il est indispensable de les aborder et de les utiliser lors d activités pluridisciplinaires. La statistique : recueil et traiteent de données, La proportionnalité : pourcentages, dosages, agrandisseent et réduction, Le calcul nuérique et le calcul littéral : anipulation de forules issues des doaines scientifiques, techniques et professionnels, La géoétrie dans le plan et dans l espace : schéas, plans, calculs de longueurs, d aires, de volues Les notions d arrondi, de valeurs approchées, de valeur exacte. La distinction entre ces différentes notions peut s appuyer avec profit sur des situations technologiques ou professionnelles. Docuent d'accopagneent - Inspection de l'enseigneent Agricole 6