Chapitre I Suites Exercices 8, 9, 0, 3, 4, 6, 3, 3, 34 page 34 pour revoir les notions de première sur les suites (récurrence, sens de variation...) Suite géométrique. Définition Définition Une suite u est géométrique s il existe un certain réel non nul q, appelé raison de la suite, tel que, pour tout n 0, u n+ = q u n Exemple Soit la suite u géométrique, de premier { terme u 0 = 5 et de raison q =. u0 =... La définition de u par récurrence est u n+ =... Les premiers termes de cette suite sont u =..., u =..., u 3 =..., u 4 =..., u 5 =..., u 6 =... Remarque Si la raison vaut 0, tous les termes de la suite sont nuls sauf peut-être u 0. Pour qu une suite u soit géométrique, il faut et il suffit que, pour tout n N, les termes u n soient non nuls et que le quotient u n+ u n soit constant : u n+ u n = q R. Le nombre q est alors la raison de la suite u. Exemple Par exemple, soit u définie par u n = 3 n. On a, pour tout entier naturel n, u n+ = 3n u n 3 = 3 n Donc la suite u est géométrique, et sa raison est q = 3. Exercices 35, 38, 39, 4, 46 page 35. Propriétés Propriété Soit u une suite géométrique, de premier terme u 0 et de raison q. Relation entre u n et u 0 : Relation entre u n et u p : Pour tout n N, on a u n = u 0 q n Pour tous n,p N, on a u n = u p q n p
Ces formules permettent d obtenir la définition explicite d une suite géométrique à partir de sa définition par récurrence : Exemple 3 On place un capital de 5000e à un taux annuel de %. Quel sera le capital dans 0 ans? On modélise la situation par la suite géométrique u de premier terme u 0 = 5000 et de raison q =,0. u n est donc le capital obtenu après n années et on a u 0 = u 0 q n = 5000,0 0 e. Exercices 47, 48, 49, 58, 67 pages 35 à 37.3 Sens de variation Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 donc : u n+ u n = u 0 q n+ u 0 q n = u 0 q n (q ) La monotonie de la suite dépend du signe de u 0, q n et (q ) Si q < 0 alors q n est positif pour n pair, négatif pour n impair donc la suite n est pas monotone. Si q > 0 alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produit u 0 (q ). Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants : Théorème Soit q un réel non nul. Si q < 0 alors la suite (q n ) n est pas monotone. Si q > alors la suite (q n ) est strictement croissante. Si 0 < q < alors la suite (q n ) est strictement décroissante. Si q = alors la suite (q n ) est constante. Théorème Soit (u n ) une suite géométrique de raison q non nulle et de premier terme u 0 non nul Si q < 0 alors la suite (u n ) n est pas monotone. Si q > 0 et u 0 > 0 alors la suite (u n ) a le même sens de variation que la suite (q n ). Si q > 0 et u 0 < 0 alors la suite (u n ) a le sens de variation contraire de celui de la suite (q n ). Exercices 53, 54, 55 page 35.4 Somme de termes consécutifs d une suite géométrique Activité page 0 : La légende du jeu d échecs K Théorème 3 La somme de n + termes consécutifs d une suite géométrique, de premier terme u 0 et de raison q est donnée par : S = u 0 qn+ q de termes raisonnb (S = premier terme ) raison
Démonstration : Soit q et S = +q +q +...+q n. On a q S = q +q +...+q n +q n+. Donc S qs = q n+ S( q) = q n+ donc, pour q, S = qn+ q. Pour tout i on a u i = q i u 0. n u i = u 0 +u +...+u n +u n = u 0 +qu 0 +q u 0 +...+q n u 0 i=0 = u 0 (+q +...+q n ) = u 0 q n+ q Exercices 68, 70, 7, 74, 76, 78, 80, 8, 8 page 39.5 Limite d une suite géométrique.5. Notion de limite Limite égale à + Définition Une suite admet pour limite+ si tout intervalle ouvert de type ]A; + [ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang p. 4 3 A - u n > A pour n 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 Figure Une suite ayant pour limite + Exemple 4 La suite u définie pour tout n 0 par u n = n tend vers +. On note : limu n = + 3
Limite finie : suite convergente Définition 3 Une suite converge vers un réel l si tout intervalle ouvert I contenant l contient aussi tous les termes de la suite à partir d un certain rang p. u n 3 l u n I pour n 8 0 n 0 3 4 5 6 7 8 9 034567890 Figure Une suite convergente Exemple 5 La suite u définie pour tout n > 0 par u n = n tend vers 0. On note : limu n = 0 Définition 4 Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Exemple 6 Les suites (( ) n ) n et (n ) n divergent. Propriété (Opérations sur les limites) a et b désignent deux réels et u une suite. Si limu n = 0 alors lim(au n +b) = b Si limu n = + alors : lim(au n ) = + si a > 0 lim(au n ) = si a < 0 lim(u n +b) = +.5. Limite d une suite géométrique Théorème 4 Soit q un réel strictement positif : Si 0 < q < alors la suite géométrique de terme généralq n converge vers 0 : limq n = 0. Si q = alors la suite géométrique de terme général q n est constante et sa limite est. Si q > alors la suite géométrique de terme général q n a pour limite + : limq n = +. 4
Exemple 7 Toute suite géométrique u de raison0 < q < converge vers 0 puisque son terme général s écrit : u n = u 0 q n Soit v la suite géométrique de premier terme v 0 = 5 et de raison q = 3. Alors, pour tout n, v n = 5 ( 3 n ). Or 3 > donc lim( 3 n ) = +. De plus, v 0 = 5 < 0 donc limv n = lim ( 5 ( 3 n ) ) = Exercices 84, 85, 87, 88, 89, 9, 95 page 39 Algorithmes et suites : deux exemples. Calculs des termes d une suite définie par récurrence Soit (u n ) la suite définie par u 0 = et u n+ = u n + n pour tout n 0. On souhaite calculer u 00. Cette suite n est ni arithmétique ni géométrique (il suffit de calculer ses trois premiers termes pour s en convaincre). On ne dispose donc pas de définition explicite et le calcul de u 00 nécessite le calcul de tous les termes de u à u 99. Algorithme INITIALISATION U prend la valeur TRAITEMENT Pour n allant de 0 à 99 faire U prend la valeur *U+n SORTIE Afficher U (On pouvait aussi initialiser à u = et faire une boucle "Pour n allant de à 99" pour éviter de commencer à compter à 0) Algorithme INITIALISATION U prend la valeur n prend la valeur 0 TRAITEMENT Tant que n<00 U prend la valeur *U+n n prend la valeur n+ Fin Tant que SORTIE Afficher U. Recherche d un seuil à l aide d un algorithme On place un capital de 000e à un taux annuel de,5%. Dans combien d années le capital disponible sera-t-il supérieur à 3000e? On modélise la situation par la suite géométrique c de premier terme c 0 = 000 et de raison q =,05. c n est donc le capital obtenu après n années et on a c n = c 0 q n = 000,05 n e. On cherche donc à résoudre l inéquation : 000,05 n 3000 L inconnue n étant un exposant, nous avons besoin du logarithme (que nous étudierons plus tard)pour la résoudre... On s en sort avec l algorithme suivant : 5
Algorithme 3 INITIALISATION C prend la valeur 000 n prend la valeur 0 TRAITEMENT Tant que n<3000 C prend la valeur.05*c n prend la valeur n+ Fin Tant que SORTIE Afficher n On obtient en sortie : 8 À partir de la 8ème année, le capital sera donc supérieur à 3000e. Remarque Dans cet exemple, la raison de la suite géométrique étant strictement supérieure à, la suite est croissante et la question posée est : trouver le plus petit entier n à partir duquel c n dépasse une certaine valeur (le seuil). Dans le cas d une suite géométrique (u n ) de raison strictement inférieure à, et donc décroissante, la question serait du type : trouver le plus petit entier n à partir duquel u n devient inférieur à une certaine valeur (le seuil). Dans ce cas, la boucle aurait été "Tant que n >..." 3 Suite arithmético-géométrique 3. Définition Définition 5 On appelle suite arithmético-géométrique toute suite (u n ) définie par une relation de récurrence du type u n+ = au n +b où a et b sont deux réels, et un terme initial u 0. Remarque 3 Si a =, (u n ) est arithmétique de raison b. Si b = 0, (u n ) est géométrique de raison a. Pour de telles suites, on ne dispose pas de définitions explicites faciles (du typeu n = u 0 +nr pour les suites arithmétiques ou u n = u 0 q n pour les suites géométriques) permettant d obtenir directement des renseignements sur les variations ou la convergence. On peut cependant représenter graphiquement les suites arithmético-géométriques ce qui permet de visualiser certaines propriétés de la suite. On peut aussi ramener l étude d une suite arithmético-géométrique à celle d une suite géométrique. C est l objet des deux paragraphes qui suivent. 6
3. Représentation graphique On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 5 et u n+ = u n+. On a donc a = et b =. La relation u n+ = u n + peut s écrire u n+ = f(u n ) où f est la fonction affine définie sur R par f(x) = x+. Par exemple f(u 0 ) = u 0 + = 5+ = 7 = u. Dans un repère, on représente sur l axe des abscisses les termes de la suite (u n ) en suivant la méthode suivante : On place u 0 sur l axe des abscisses. On trace la droite d équation y = x+ : cette droite permet d obtenir graphiquement l image de u 0 par f soit u. On obtient donc u sur l axe des ordonnées. Pour reporter u sur l axe des abscisses, on trace la droite d équation y = x qui est formée de tous les points qui ont leur abscisse égale à leur ordonnée. Une fois u représentée sur l axe des abscisses, on recommence le procédé... 4 u = f(u 0 ) 3 u 3 u 3 u 4 u 0 = 5 On peut maintenant émettre des conjectures sur la suite(u n ). Elle semble être décroissante et converger vers (qui est l abscisse du point d intersection des deux droites tracées). Pour démontrer ces conjectures, on va ramener l étude à celle d une suite géométrique. 7
3.3 Étude à l aide d une suite auxiliaire Considérons la suite (v n ) définie par v n = u n. Montrons que (v n ) est géométrique : Il s agit d établir une relation du type v n+ = qv n. On a, pour tout n 0 : v n+ = u n+ = u n + = u n = u n = (u n ) = v n On a prouvé que (v n ) est géométrique de raison q =. Ainsi, pour tout( n ) 0 : v n = v 0 q n. Or v 0 = u 0 = 5 = 3 n D où : v n = 3. ( ) n Et, puisque v n = u n, alors u n = +v n = +3. Nous avons ainsi réussi à obtenir une définition explicite de (u n ) par le biais de la suite géométrique (v n ). La suite (v n ) est géométrique de raison 0 < q = < donc elle est décroissante et converge vers 0. Ainsi, limu n = lim(v n +) =. Remarque 4 En TES, la suite auxiliaire est toujours donnée. Pour information (ceci est hors-programme), la suite v n à introduire est définie par v n = u n b a. En effet, si la suite (u n ) converge, elle converge nécessairement vers le réel l solution de l équation : l = al+b c est-à-dire l = b a. On montre, dans le cas général que la suite (v n) définie par v n = u n b est géométrique. a 8
4 Annales de Bac Les annales de 03 sont disponibles ici : http://www.apmep.asso.fr/img/pdf/baccalaureates03.pdf Voici les exercices portant sur ce chapitre : Pondichéry juin 03 ex4 Amérique du Nord mai 03 ex3 Liban mai 03 ex Polynésie juin 03 ex3 Asie juin 03 ex3 Centres étrangers juin 03 ex QCM Métropole juin 03 ex Métropole juin 03 (sujet dévoilé!) ex Polynésie septembre 03 ex4 9