Méthodes de résolution des équations différentielles linéaires Table des matières 1 Résolution d équations différentielles du 1er ordre 1 1.1 Equations différentielles linéaires sans second membre....................... 1 1.1.1 Conséquences de la linéarité :....... 1 1.1.2 Recherche de solution........... 2 1.2 Solution avec second membre........... 2 1.2.1 Principe................... 2 1.2.2 Méthodes.................. 3 2 Equation différentielle du second ordre 4 2.1 Equation linéaire sans second membre...... 4 2.1.1 Principe................... 4 2.1.2 Détermination des différentes solutions.. 4 2.2 Equation avec second membre........... 5 1 Résolution d équations différentielles du 1er ordre Une équation différentielle du 1 er ordre, sans second membre, portant sur une fonction x(t), de la variable t définie sur l intervalle de définition D f est de la forme : F(x(t),ẋ(t)) = où ẋ(t) = dx dt (t) Nous chercherons généralement en physique des solutions réelles à ses équations c est-à-dire : t D f, x(t) R car les grandeurs physiques auxquelles nous nous intéressons sont à valeurs réelles. L intervalle de définition D f est à définir en fonction de la situation physique à étudier et des valeurs prises par la variable t ; il est usuellement de la forme [,a] ou [,+ [ ou éventuellement R. Exemples : position d un point matériel x(t) tension u(t) intensité i(t) température T(t)... 1.1 Equations différentielles linéaires sans second membre Les équations différentielles du 1 er ordre que nous rencontrerons le plus fréquemment en physique sont linéaires à coefficients constants de la forme : On peut alors l écrire sous une autre forme : aẋ(t) + bx(t) = ẋ(t) + 1 τ x(t) = en posant τ = a b 1.1.1 Conséquences de la linéarité : La conséquence la plus importante de la linéarité pour nous, qui est en fait la définition d une équation différentielle linéaire, est : Si x(t) est solution alors λx(t) (où λ est une constante) est solution. Si x(t) et y(t) sont solutions alors αx(t) + βy(t) (où α et β sont des constantes) est solution. 1
1.1.2 Recherche de solution Méthode N 1 On cherche la solution de cette équation sous la forme : x(t) = Ae rt où A et r sont des constantes à déterminer. En remplaçant dans l équation différentielle, on montre que la solution générale est : t D f, x(t) = Ae t τ avec r = 1 τ où A est une constante à déterminer en fonction des conditions initiales. Si on pose : x(t = ) = A = x, on obtient : t D f, x(t) = x e t τ Méthode N 2 : Méthode des variables séparables Une autre méthode très pratique, même dans des cas plus compliqués, est d écrire : x dx dt dx x x dx x = = 1 τ x = 1 τ dt lnx lnx = 1 τ t d où x(t) = x e t τ Remarque sur la continuité des conditions initiales 1 τ dt La détermination de la constante d intégration grâce à la condition initiale portant sur la grandeur x en t = doit parfois être faite avec précaution ; en effet, le problème physique étudié permet souvent de déterminer la valeur de la grandeur physique x(t = ) (t = indique mathématiquement la limite quand t mais avec t < ). Dans le cas où l équation différentielle est valable pour t, il faut alors déterminer x(t = + ) = lim t,t> x(t). Or, il arrive fréquemment en physique que la grandeur étudiée subissent une discontinuité c est-à-dire que x(t = + ) x(t = ) ; en fait, cela correspond à une variation très brusque de la fonction x(t) pour une très petite variation de la variable t. 1.2 Solution avec second membre 1.2.1 Principe On considérera l équation avec second membre suivante : ẋ(t) + 1 x(t) = s(t) τ où s(t) est le second membre connu La détermination de la solution générale de cette équation différentielle se décompose en : La détermination de la solution de l équation sans second membre donnée dans le paragraphe précédent appelée solution homogène. 2
La détermination de la solution particulière notée x P (t) que l on peut déterminer de façon générale par la méthode de la variation de la constante. La solution générale en présence d un second membre s écrit alors : t D f, x(t) = Ae t τ + xp (t) Conséquence de la linéarité Si x P (t) est solution particulière de l équation avec s(t) et si y P (t) est solution particulière de l équation avec f(t) alors x P (t) + y P (t) est solution particulière de l équation avec s(t) + f(t). 1.2.2 Méthodes a)- Exemple de recherche d une solution particulière Cependant, dans les cas qui nous intéresserons en générale, il est préférable de déterminer la solution particulière au cas par cas qui est souvent plus facile. Voici quelques méthodes courantes : 1. Si s(t) = E est une constante, alors x P (t) = τe est une solution particulière immédiate 2. Si s(t) = αt où α est une constante, on cherche la solution sous la forme : x P (t) = at + b. Alors ẋ P (t) = a et x P (t) est solution ssi : a + 1 τ (at + b) = αt (a + b τ ) + a τ t = αt { a = ατ b = ατ 2 La solution particulière s écrit donc : x P (t) = ατt ατ 2 Remarque : De façon plus générale, si le second membre est un polynôme, on cherche une solution particulière sous la forme d un polynôme de même degré. 3. Si s(t) = αe βt où α et β sont des données du problême étudié. On cherche la solution sous la forme : x P (t) = ae bt où a et b sont les inconnus. On a alors ẋ P (t) = abe βt. x P (t) est solution particulière si et seulement si : { b = β t D f (ab + a τ )ebt = αe βt a = α β+τ 1 4. Si s(t) = αe βt alors on cherche la solution sous la forme : x P (t) = ae βt où seul a est inconnu. 5. si s(t) = S m cos(ωt + ϕ) alors on cherche la solution particulière sous la forme : x P (t) = Acos(ωt + ϕ) + B sin(ωt + ϕ) où A et B sont des constantes à déterminer. Il faut donc retenir, qu en général, on recherche une solution particulière sous la même forme que le second membre. b)- Méthode de la variation de la constante Cette méthode a l avantage de donner l expression formelle de la solution particulière lorsque que le second membre s(t) est quelconque. On cherche la solution particulière sous la forme : x P (t) = A(t)e t τ où A(t) est une fonction à déterminer. En remplaçant cette solution dans l équation différentielle, on vérifie que : Ȧ(t) = s(t)e t τ En intégrant, on obtient une expression intégrale de A(t) où on impose que A() = de sorte que x P () = c est-à-dire x() = x : La solution générale s écrit donc : A(t) = x(t) = x e t τ + s(t )e t τ dt s(t )e (t t ) τ dt Pour déterminer la (ou les) constante d intégration, il faut appliquer la (ou les) condition initiale à la solution complète de l équation différentielle (avec second membre) mais pas à la solution de l équation homogène (sans second membre). 3
2 Equation différentielle du second ordre Une équation différentielle du second ordre sans second membre portant sur une fonction x(t) définie sur l intervalle de définition D f s écrit de la forme : G(x(t),ẋ(t),ẍ(t)) = 2.1 Equation linéaire sans second membre 2.1.1 Principe En physique, nous nous intéresserons essentiellement à des équations linéaires à coefficients constants de la forme : t R, aẍ(t) + bẋ(t) + cx(t) = où a,b et c sont des constantes du problème. On recherche la solution de cette équation sous la forme : x(t) = Ae rt où (A,r) C 2 sont des constantes à déterminer. x(t) est solution de l équation différentielle si et seulement si r vérifie l équation caractéristique suivante : ar 2 + br + c = Le discriminant de cette équation s écrit : = b 2 4ac. La nature de la solution dépend du signe de. 2.1.2 Détermination des différentes solutions 1 er cas : < Dans ce cas, l équation caractéristique admet 2 solutions complexes conjuguées : r + = b + i et r = b i On pose usuellement : 1 τ = b et ω = soit r ± = 1 τ ± iω La solution générale est alors une combinaison linéaire (a priori, à coefficients complexes) des 2 solutions linéairement indépendantes de l équation homogène sans second membre. x(t) = αe t τ +iωt + βe t τ iωt avec (α,β) C 2 Si on impose à la solution x(t) d être à valeurs réelles, on a nécessairement : t R, x(t) = x(t) soit α = β Finalement, ce qu il faut retenir est que lorsque l on travaille avec des grandeurs réelles, on cherche la solution sous la forme suivante : t R, x(t) = e t τ (Acos(ωt) + B sin(ωt)) avec (A,B) R 2 4
2ème cas : = L équation caractéristique admet donc une solution unique : r = b. La solution générale est alors de la forme : t R, x(t) = (At + B)e rt avec (A,B) R 2 3ème cas : > L équation caractéristique admet alors 2 solutions réelles distinctes : r + = b + et r = b La solution générale de l équation homogène sans second membre est alors de la forme : 2.2 Equation avec second membre x(t) = Ae r+t + B e r t avec (A,B) R 2 Les règles de recherche des solutions particulières pour les équations différentielles linéaires du second ordre sont les mêmes que celles présentées précédemment pour les équations du premier ordre. 5