1 ) Des trucs à savoir...utiliser. Page 1 sur 8 L'opposé d'un nombre a est le nombre qui additionné à a donne 0. En effet a + (-a) = 0. L'inverse d'un nombre non nul a est le nombre qui multiplié à a donne 1. Cet inverse est 1/a. On ne peut pas diviser un nombre par 0. Même 0 ne peut pas être divisé par lui-même! En effet, essayons par exemple e poser la division euclidienne de 52 par 0. Combien de fois y va-t-il de 0 dans 52? Réponse : une infinité... Soustraire un nombre a à quelque chose, c'est en fait ajouter à ce quelque chose l'opposé de a. En effet x - a = x + (-a). Diviser quelque chose par un nombre non nul a, c'est en fait multiplier ce quelque chose par l'inverse de a. En effet l s'agit là de trucs auxquels peu de gens pensent. Parfois, ils permettent de se tirer à bon compte d'une situation ompromise. Alors un conseil : pensez-y! 2 ) Des fractions en général. Les fractions commencent à être vues en Sixième. Tout au long du collège, de tenaces et obstinées personnes rappellent sans arrêt et continuellement les règles de calculs qui régissent ces fractions. On les appelle les profs de maths! Gloire à eux! Ce paragraphe constitue une ultime séance de révision, pour ceux qui n'auraient pas encore compris! ans tout ce qui suit, a et c sont des nombres réels quelconques. Ils seront les numérateurs de nos fractions. b et d sont eux es nombres réels non nuls. Ils seront les dénominateurs de nos fractions igne moins dans une fraction. a chose suivante est à retenir : insi par exemple, les fractions -7/2 et 7/-2 sont-elles en fait deux écritures fractionnaires (sous-entendu sous la forme 'une fraction) différentes d'un même nombre. implification d'une fraction. ans une fraction, lorsque le numérateur et le dénominateur ont un facteur en commun alors on peut simplifier par ce acteur. En clair : n a simplifié la fraction initiale par c.par exemple, dans la fraction 231/105, le numérateur st divisible comme le
dénominateur par 3. On peut donc simplifier par 3. Ainsi Page 2 sur 8 Comble de bonheur, 77 est divisible par 7 comme 35. Nous avons trouvé un nouveau facteur commun. Nous pouvons encore simplifier la fraction. Ces trois fractions représentent trois écritures d'un même nombre. 11 et 5 n'ont aucun facteur en commun. On dit alors que la fraction 11/5 est irréductible. Ecrire une fraction sous sa forme irréductible, c'est en fait simplifier au maximum cette fraction. Ne laisser aucun facteur commun au numérateur et au dénominateur. Egalité de deux fractions. Prenons par exemple les fractions 7/3 et 21/9. Ces deux fractions sont-elles égales? Avons-nous à faire à deux écritures d'un même nombre? La réponse est oui. Car 21 = 3 7 et 9 = 3 3. En simplifiant dans la seconde fraction par 3, on retombe sur la première fraction à savoir 7/3. Dans cet exemple, les fractions n'étaient pas compliquées. Mais il y a des cas où même avec la meilleure volonté du monde, on a du mal à voir si deux fractions sont égales. Heureusement, il existe un tel que permet de réponde au problème. Prenons deux fractions quelconques a/b et c/d. Supposons que ces fractions sont égales. Multiplions les deux membres de cette égalité par le produit b.d. Résultat deux simplifications plus tard : a.d = b.c. Nous tenons là, un critère permettant de dire si deux fractions sont égales. Addition de deux fractions. Certains pensent que :. 11.11.2004
Malheur à eux! Page 3 sur 8 Pour voir que cette formule est fausse, il suffit d'additionner avec cette formule deux fractions 1 / 2. Et alors : Or chacun sait que deux moitiés rassemblées forment un tout! Et non pas une autre moitié. La bonne formule est : En effet : D'où la formule! Multiplication de deux fractions. Chacun sait (normalement) que : 3 ) La puissance des exposants. Remarque : On ne considère la puissance négative d'un nombre que dans le cas où il est non nul. Dussions-nous le répéter, mais on ne peut pas inverser 0 (cela revient à diviser 1 par 0).
Page 4 sur 8 11.11.2004 Calcul de quelques puissances : ^ 1 1 = 1 Avertissement : Votre navigateur procède à des approximations. Pour ce qui est de l'exactitude des calculs, il ne vaut pas une bonne calculatrice. Pour déclencher les calculs, cliquer sur le bouton. En cas de problème, utiliser L'aide. Propriétés essentielles de la puissance : Les six propriétés à connaître sont les suivantes. Pour en savoir plus sur l'une d'entre elles, cliquer dessus. xaminons ces six propriétés dans le détail! utrement dit, la puissance (-n)ième de a est égale à l'inverse de la puissance n-ième de a. Démontrons cette formule dans le cas où m et n sont deux entiers positifs. a seule chose que nous allons faire, c'est compter le nombre de facteurs a. crivons ce que représentent a m et a n en termes de produit de a. ette propriété sert surtout lors de la simplification de produit dans lequel apparaissent plusieurs puissances d'un même nombre. Par exemple, dans les cas suivants, 2. 2 4 2 3 = 2 4 + 3 = 2 7 ou encore 2 4 2-3 = 2 4-3 = 2 1 = 2
Cette propriété découle directement des deux précédentes. Prouvons-le! Page 5 sur 8 ette propriété sert surtout lors de la simplification de fraction. Par exemple, dans le cas suivant, il y a une puissance de 2 u numérateur et une puissance de 2 au dénominateur. La propriété (iii) nous permet de simplifier la fraction. A l'instar de la propriété (ii), la démonstration se fera dans le cas où n est un entier naturel. Le gros du travail consiste à compter le nombre de facteurs a et de facteurs b. Une telle propriété sert surtout lors qu'il s'agit de développer une expression. Par exemple : (2.x) 3 = 2 3.x 3 = 8.x 3 Cette propriété découle des propriétés (i) et (iv). Démontrons-la! Comme la propriété (iv) dont elle est issue, elle sert surtout dans le cadre de développement. Par exemple : utrement écrit, l'exposant d'une puissance à la puissance est le produit des puissances! Montrons cette propriété dans le cas où m et n sont deux entiers naturels. La seule chose que nous ferons, c'est compter le nombre de facteurs a.
Page 6 sur 8 11.11.2004 xemple d'application : Comme la propriété (iv), la propriété (vi) sert surtout dans la simplification et le développement d'expression. Par exemple, (2 2 ) -3 = 2 2 (-3) = 2-6 ou bien encore (3-4 ) -2 = 3 8 Application de toutes ces propriétés. Toutes ces propriétés permettent de simplifier certaines écritures de nombre. titre d'exemple, simplifions l'expression 2 4 3-2 4-3 6 3 Ainsi 2 4 3-2 4-3 6 3 est-elle égale à 6. Au travers de cette simplification, nous avons utilisé les propriétés (vi), (iv) et (ii) et nous avons procéder à certains regroupements. Là comme ailleurs, c'est l'emploi combiné de nos connaissances qui ous a permis de résoudre le problème...a méditer! an sur les idées reçues : puissance et addition. ontrairement à ce que certains semblent croire (a + b) n n'est pas égal à a n + b n. La puissance d'une somme n'est donc pas égale à la somme des puissances!pour s'en convaincre, prenons a = 2, b = 3 et n = 2. (2 + 3) 2 = 25 et 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13 Et comme chacun sait, 13 est largement différent de 25! 4 ) La racine carrée. Vous êtes-vous un jour demandé(e) d'où venait le nombre? est un nombre que l'on a crée pour répondre à un problème. Car les mathématiciens sont comme cela : quand quelque chose n'existe pas et qu'ils en ont besoin, ils la créent puis l'étudient! est la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de côté de longueur 1. En effet, d'après le théorème de Pythagore, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à 1 2 + 1 2 = 2. Pour donner une mesure à cette hypoténuse, il a fallu créer un nombre positif dont le carré était égal à 2. Ainsi naquit!
De la même manière, on définit la racine carrée de tout nombre positif. Page 7 sur 8 Par exemple, la racine carrée de 1 est1, celle de 2 est et celle de 9 est-elle 3. Attention : Bien que 4 soit le carré de -2, ce dernier n'est pas pour autant la racine de ce premier. La racine de 4 est 2. La définition it clairement que la racine est un nombre positif. On ne peut pas considérer la racine d'un nombre négatif. En effet, un carré n'est jamais négatif. alcul de quelques racines carrées : a racine carrée de 1 est 1 Avertissement : Votre navigateur procède à des approximations. Pour ce qui est de l'exactitude des calculs, il ne vaut pas une bonne calculatrice. Pour déclencher les calculs, cliquer sur le bouton. En cas de problème, utiliser L'aide. Propriétés de la racine : Application de ces trois propriétés. Ces propriétés nous permettent de simplifier certaines expressions méga-rebutante au premier abord. A titre d'exemple, implifions. a racine de 72 est donc égale à six fois celle de 2! implification de certaines fractions comportant des radicaux.
Page 8 sur 8 Certaines fractions comportant des racines au dénominateur peuvent faire l'objet d'améliorations quant à leurs écritures. xaminons les deux cas suivants : 1/ est un nombre réel comme les autres. Sauf à recourir à la calculatrice, il n'est guère commode d'en connaître une aleur approchée. Si 1,73 est une valeur approchée de, la division de 1 par 1,73 s'avère hasardeuse. Pour résorber le problème, modifions l'écriture de 1/. Ainsi : (Le numérateur et le dénominateur ont été multipliés par ) Une autre écriture de 1/ est /3. Diviser 1,71 par 3 est quand même plus accessible que celle de 1 par 1,71. L'usage veut qu'on ne laisse subsister aucune racine au dénominateur. Pour faire disparaître la racine carrée du dénominateur, nous multiplierons numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée de 1 + qui est 1. Ainsi : L'expression conjuguée repose sur l'identité remarquable (a + b).(a - b) = a 2 - b 2. Dans le présent, a = 1 et b =. Diviser 1 par 1 + est moins facile que de diviser 1 par 2. Pour trouver une valeur approchée de ce réel, on utilisera de préférence cette dernière écriture. Remarquons que si 1 est la quantité conjuguée de 1 +, 1 + est aussi la quantité conjuguée de 1. Pan sur les idées reçues : racine carrée et addition. Certains croient à tort que la racine carrée de la somme est la somme des racines carrées. Ils s'imaginent que : Cette formule est fausse! Prenons par exemple a = 25 et b = 36. Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'irlandais. (c) AMLTI Août 1997/Janvier 2003. Tous droits réservés.