& Introduction à la Mécanique classique. L1 Semestre 1 Année universitaire

Généralités en Physique & Introduction à la Mécanique classique L1 Semestre 1 Année universitaire 2014-2015 Professeur Marie-Pierre Gaigeot LAMBE Laboratoire Analyse et Modélisation pour la Biologie et l Environnement, UMR-CNRS 8587, Université d Evry val d Essonne Site internet: http://mpgaigeot-research.fr Les fichiers pdf du cours et des TD sont à télécharger à cette adresse en cliquant sur Teaching

2 Le cours qui est écrit et présenté ici est fortement et librement inspiré du livre en langue anglaise de Jearl Walker et intitulé Fundamentals of Physics. Les images en particulier ont été scannées à partir du fichier pdf du livre. Edition John Wiley & Sons, 9ème Edition.

Chapitre 7 Energie cinétique et travail Maintenant que nous avons les clefs des lois des mouvements de la mécanique classique d objets ponctuels, nous pouvons définir une grandeur incontournable en physique (mécanique, électricité, etc) qui est l énergie. On sait tous que nous avons besoin d énergie pour de nombreux mouvements : un avion qui traverse l océan atlantique a besoin d énergie ; monter du matériel de construction du sol vers un étage supérieur d un batiment requière de l énergie ; lancer une balle en l air requière de l énergie ; et évidemment bien d autres exemples. Mais qu est-ce que cette notion d énergie exactement? C est l enjeu des chapitres 7 et 8. Définition. Techniquement, l énergie est une quantité scalaire (un nombre) associée à un état (ou une condition physique) d un ou plusieurs objets. C est toutefois assez vague, et ne nous renseigne pas beaucoup... Ce qu il faut retenir, c est que si une force est appliquée à un système et le met donc en mouvement, comme nous l avons vu dans les chapitres précédents, alors l énergie du système considéré change. Conservation de l énergie. L ensemble des expériences qui a été réalisé par le passé a montré une propriété fondamentale de l énergie : l énergie peut être transformée et transférée d un objet à un autre, mais l énergie totale est toujours la même. Il existe donc un principe de conservation de l énergie qui s applique systématiquement. Dans ce chapitre nous définissons un type d énergie, ce sera l énergie cinétique, et une manière de transférer de l énergie qui est le travail. Dans le chapitre 8 suivant, nous définirons un autre type d énergie, l énergie potentielle, et nous définirons l énergie totale et sa conservation. 65

66 CHAPITRE 7. ENERGIE CINÉTIQUE ET TRAVAIL 7.1 Energie cinétique Définition. L énergie cinétique, notée E cin en français, et très souvent écrite comme E kin (kin=kinetics en anglais) en anglais ou simplement K (K de kinetics), est associée à l état de mouvement d un objet. Si un objet est au repos, E cin = 0. Si un objet est en mouvement, E cin 6= 0 et par est toujours E cin > 0. Plus l objet se déplace rapidement, plus son énergie cinétique est grande, et inversement plus l objet se déplace lentement plus son énergie cinétique est petite. La définition mathématique de l énergie cinétique est : E cin = 1 2 mv2 (7.1) où m est la masse de l objet (en kg) etv est la vitesse de l objet (en m.s 1 ). L unité de E cin est donc : kg.m 2.s 2 ce qui définit dans le système d unités SI l unité Joule (J, du nom de son inventeur James Prescott Joule scientifique anglais des années 1800) telle que : 1Joule =1J =1kg.m 2.s 2 =1kg.m 2 /s 2 (7.2) Ainsi par exemple un canard de masse 3 kg qui vole à une vitesse de 2.0 m/s possède une énergie cinétique de E cin =0.5 3 2 2 =6J. Par comparaison et voir déjà les ordres de grandeur possiblement très di érents de l énergie cinétique suivant les objets, prenons l exemple suivant réalisé aux USA en 1896 (pour démonstration) de 2 locomotives chacune de masse 1.22 10 5 kg lancées à la vitesse de 40.8 m/s (c est très lent, nous sommes en 1896... le TGV n existe pas, nous sommes au début de l ère des trains...), séparées l une de l autre d une distance totale de 6.4 km et qui se déplacent en sens opposé et vont se heurter au milieu du chemin. L énergie cinétique de chaque locomotive au moment de la collision est E cin =0.5 1.22 10 5 40.8 2 = 1015 10 5 =1.015 10 8 J, ce qui est énorme car c est l ordre de grandeur de l énergie obtenue lors de l explosion d une bombe. 7.2 Travail Si on accélère le mouvement d un objet en lui appliquant une force (supposons que ce soit une personne qui applique cette force à l objet), on augmente l énergie cinétique de l objet (1er cas). Inversement, si l application de la force consiste à réduire le mouvement de l objet, son énergie cinétique décroit (2ème cas). On dit que la force appliquée a transféré de l énergie vers l objet (1er cas) ou que la force appliquée a conduit l objet à transférer de l énergie vers la personne qui a appliqué la force (2ème cas). On définit la notion de travail à partir de ces transferts d énergie de la façon suivante :

7.3. CALCUL DU TRAVAIL 67 Définition. Le travail est l énergie (le travail possède donc l unité de l énergie, le Joule J) transférée vers l objet si positif, et est l énergie transférée à partir de l objet si négatif. Faire du travail est donc l acte de transférer de l énergie. Le travail est par convention noté W, et son unité est le Joule J. 7.3 Calcul du travail Prenons l exemple du mouvement unidimensionnel de la figure 7.1 où on considère une balle de masse m qui se déplace le long de l axe x (sans friction). Une force constante! F est appliquée à la Figure 7.1 balle, et comme on le voit sur le dessin cette force vectorielle est telle qu elle possède la composante F x = Fcos suivant l axe des x qui est l axe du mouvement de la balle. D après la seconde loi de Newton : F x = ma x La balle se déplace du vecteur! d sous l application de la force. Cette force change donc l énergie cinétique de la balle, la faisant passer de 1 2 mv2 0 à l instant initial de l application de la force à la valeur de 1 2 mv2 lorsque la balle s est déplacée de la distance d. Le mouvement s e ectue sous l e et d une force constante et donc à accélération constante, et les équations du mouvement à accélération constante s appliquent. On applique en particulier l équation du mouvement 4.10 vue au chapitre 4 et résumée dans le tableau 4.1 : v 2 v 2 0 =2a x d

68 CHAPITRE 7. ENERGIE CINÉTIQUE ET TRAVAIL qui nous donne en termes de variation d énergie cinétique : soit : 1 1 2 mv2 2 mv2 0 = 1 2 m2a xd = ma x d = F x m md = F xd 1 1 2 mv2 2 mv2 0 = F x d (7.3) L équation 7.4 est fondamentale : le 1er terme de l équation à gauche est l énergie cinétique de la balle E cin,f à la fin du déplacement d, le 2nd terme à gauche est l énergie cinétique de la balle E cin,i au début du déplacement : le terme complet de gauche nous donne donc bien la variation d énergie cinétique de l objet sous l action de la force constante appliquée. Le terme de droite de l équation 7.4 nous dit que cette variation d énergie cinétique est exactement égale au produit de la force (ici F x suivant l axe des x) par le déplacement d réalisé (ici selon l axe des x). Le terme de gauche de l équation 7.4 est l énergie cinétique transférée, c est donc le travail réalisé W, et ce travail est égal au produit de la force (ici F x suivant l axe des x) par le déplacement d réalisé (ici selon l axe des x). Soit : W = F x d (7.4) Ici : W = F x d = Fd cos (7.5) pour le mouvement ayant lieu suivant l axe des x seulement. Le terme Fdcos n est rien d autre que la projection du vecteur force! F sur le vecteur déplacement!!! d, mathématiquement écrit comme le produit scalaire F. d Définiton générale. donc : La définition générale (à retenir) à 3-dimensions du travail est W =! F.! d = F d cos (7.6) où on applique la définition du produit scalaire, càd F est la norme du vecteur! F et d est la norme du vecteur! d, étant l angle entre les 2 vecteurs! F et! d. Signe de W. Suivant que cos > 0 ou cos < 0, le travail W>0ou W<0. Il est important de noter tout de suite que si la force! F appliquée à l objet est perpendiculaire au déplacement! d de l objet, soit! F?! d, alors W =! F.! d = 0. Une force appliquée perpendiculaire au déplacement ne contribue pas au travail de l objet.

7.3. CALCUL DU TRAVAIL 69 Addition des travaux. Lorsque l objet subit plusieurs forces, chaque force contribue à un travail, et le travail total est la somme des travaux. Attention. L expression 7.6 du travail est correct pour une force! F appliquée constante, càd de direction et d amplitude constantes. Cette expression est correcte pour un objet ponctuel. Théorème travail-énergie cinétique. L équation 7.4 et sa généralisation 7.6 disent : W = 1 2 mv2 1 2 mv2 0 = Ecin,f Ecin,i = E cin = K f K i = K W =! F.! d Soit E cin = W (7.7) qui dit que la variation d énergie cinétique de l objet en mouvement est égale au travail des forces (constantes) appliquées sur cet objet. On utilise l équation 7.7 comme on veut : E cin = W, Ecin,f = Ecin,i + W, Ecin,i = W Ecin,f Test. Une particule se déplace suivant l axe des x. Est-ce que l énergie cinétique de cette particule augmente ou décroit ou reste constante suivant les cas où la vitesse change : 1) de -3 m/s à - 2 m/s ; 2) de -2 m/s à 2 m/s. Dans chaque situation, est-ce que le travail appliqué sur la particule est positif, négatif, nul? Test. La figure 7.2 nous montre deux voleurs de co re fort (industriel) faisant glisser ce co re sur le sol afin de le déplacer jusqu à leur camion de transport. Le co re était initialement stationnaire (sans mouvement). Les 2 voleurs déplacent le co re du vecteur déplacement (horizontal)! d d amplitude d =8.50 m. La poussée exercée par le voleur 1 est F! 1 d amplitude 12 N et formant un angle de 30 vers le bas avec le sol, alors que le voleur 2 tire le co re avec la force F! 2 d amplitude 10 N et formant un angle de 40 vers le haut avec le sol. Ces forces sont constantes pendant le déplacement d.

70 CHAPITRE 7. ENERGIE CINÉTIQUE ET TRAVAIL Figure 7.2 1) Quel est le travail appliqué sur le co re fort par les forces F! 1 et F! 2 au cours du déplacement! d? Quel est la travail résultant? 2) Deux autres forces agissent sur ce co re pendant le déplacement : la force de pesanteur et la force de réaction. Quels sont les travaux associés? 3) Le co re était initialement au repos. Quelle est sa vitesse à la fin du déplacement? 7.4 Puissance Définition. La variation du travail W e ectué par une force pendant un intervalle de temps t est appelée la puissance de la force, et est mathématiquement définie comme : P moy = W t (7.8) ce qui correspond à une puissance moyenne, d où la notation P moy. On définit la puissance instantanée (comme pour vitesse instantanée, accélération instantanée vues au chapitre 4) : P = dw dt (7.9) où l on a maintenant la dérivée du travail par rapport au temps. L unité SI de P est le watt W (du nom de James Watt, scientifique anglais du 18ème siècle) défini par 1 watt =1W =1J/s =1J.s 1 (7.10)

7.5. DES APPLICATIONS. 71 7.5 Des applications. 7.5.1 Travail de la force de pesanteur Comme illustré sur la figure 7.3 une tomate, considérée comme un objet ponctuel, est lancée en Figure 7.3 l air verticalement avec une vitesse initiale de norme v 0 et une énergie cinétique initiale 1 2 mv2 0. Au fur et à mesure où la tomate s élève en l air, elle est ralentie par la force de gravitation! F g (chute libre) : l énergie cinétique de la tomate va décroitre à cause de l application de la force! F g qui applique un travail sur cette tomate. Calculer le travail W appliquée à la tomate selon qu elle monte en l air ou qu elle descend (après avoir atteint son ordonnée maximale suivant l axe verticale). 7.5.2 Travail réalisé pendant que l on soulève un paquet Supposons que l on soulève une caisse en appliquant une force! F a verticale (voir schéma 7.4). Pendant le déplacement vers le haut de cette caisse, la force appliquée exerce un travail W a sur l objet, alors que la force gravitationnelle! F g qui agit également sur cette caisse exerce un travail W g. La force! F a dirigée vers le haut sur le schéma 7.4 exerce un travail positif alors que la force! F g dirigée vers le bas exerce un travail négatif, opposé en signe : la force se exerce un travail W g. La force transfère de l énergie vers l objet alors que la force! F g retire de l énergie de l objet. Calculer W a, W g suivant que le mouvement de l objet s e ectue vers le haut (vecteur déplacement! d vers le haut sur le schéma 7.4) ou que le mouvement de l objet s e ectue vers le bas (vecteur déplacement! d vers le bas sur le schéma 7.4).

72 CHAPITRE 7. ENERGIE CINÉTIQUE ET TRAVAIL Figure 7.4 7.5.3 Travail réalisé au cours de l accélération d un ascenseur Un ascenseur de masse m = 500 kg descend avec une vitesse constante v i =4.0 m/s, lorsque son cable de support commence à mal fonctionner et l ascenseur se retrouve alors à tomber à accélération constante! a =! g/5. Figure 7.5 Pendant une chute de d = 12 m, quel est le travail de la force de pesanteur s exerçant sur l ascenseur? Pendant cette chute, quel est le travail de la force de tension qu exerce le cable sur l ascenseur? Travail total? Quelle est l énergie cinétique finale de l ascenseur au bout de la chute de d = 12 m? Le TD 5 illustre les définitions et concepts vus dans ce chapitre.

Table des matières 1 Formules mathématiques indispensables 3 1.1 Relations trigonométriques................................ 3 1.2 Nombres complexes..................................... 4 1.3 Dérivation.......................................... 5 1.3.1 Dérivées à connaître ci-dessous........................... 5 1.3.2 Règle de la chaîne................................. 5 1.3.3 Dérivée partielle.................................. 6 1.3.4 Di érentielle d une fonction............................ 6 1.3.5 Composition de dérivation............................. 6 1.4 Intégration......................................... 7 1.5 Solutions d une équation du second degré........................ 9 1.6 Déterminants........................................ 9 2 Généralités sur les mesures et unités 13 2.1 Le système international d unités SI........................... 14 2.2 Définitions et ordres de grandeur de trois unités de base du système SI........ 15 3 Les vecteurs 19 3.1 Vecteurs et scalaires.................................... 19 77

78 TABLE DES MATIÈRES 3.2 Addition géométrique de vecteurs............................. 20 3.3 Composantes de vecteurs................................. 23 3.4 Vecteurs unitaires...................................... 25 3.5 Addition de vecteurs composante par composante.................... 27 3.6 Multiplication de vecteurs................................. 27 3.6.1 Multiplication d un vecteur par un scalaire................... 27 3.6.2 Produit scalaire de 2 vecteurs........................... 28 3.6.3 Produit vectoriel de 2 vecteurs.......................... 29 3.7 Retour sur les composantes de vecteurs......................... 30 4 Mouvement linéaire 33 4.1 Position et déplacement.................................. 34 4.2 Vitesse moyenne...................................... 35 4.3 Vitesse instantanée..................................... 36 4.4 Accélération......................................... 37 4.5 Mouvement à accélération constante : un mouvement particulier........... 38 4.6 Mouvement de chute libre : un autre cas particulier................... 41 5 Mouvement à 2- et 3-dimensions 45 5.1 Position et déplacement.................................. 45 5.2 Vitesse instantanée..................................... 46 5.3 Accélération......................................... 48 5.4 Mouvement d un projectile dans un plan à 2-dimensions................ 49 5.4.1 Mouvement suivant l axe horizontal....................... 49 5.4.2 Mouvement suivant l axe vertical......................... 51 5.4.3 Equation de la trajectoire suivie par un projectile............... 52 5.4.4 Portée horizontale maximale du mouvement d un projectile.......... 52

TABLE DES MATIÈRES 79 6 Forces et mouvement 55 6.1 1ère loi de Newton..................................... 55 6.2 Unité de force........................................ 55 6.3 2ème loi de Newton..................................... 56 6.4 Forces typiques s exerçant sur des objets......................... 57 6.4.1 Force gravitationnelle............................... 58 6.4.2 Poids........................................ 58 6.4.3 Réaction ou force normale............................. 58 6.4.4 Friction....................................... 60 6.4.5 Tension....................................... 60 6.5 3ème loi de Newton..................................... 61 6.6 Des illustrations de l application des lois de Newton.................. 61 6.6.1 Un bloc sur une table, un bloc qui pend, les deux blocs sont reliés par une corde........................................ 62 6.6.2 Un bloc se déplace sur une rampe inclinée.................... 62 6.6.3 Un bloc se déplace sur une rampe inclinée et est accéléré par une corde tendue 63 6.6.4 Forces à l intérieur d un ascenseur........................ 63 6.6.5 Un bloc poussant un autre bloc.......................... 64 7 Energie cinétique et travail 65 7.1 Energie cinétique...................................... 66 7.2 Travail............................................ 66 7.3 Calcul du travail...................................... 67 7.4 Puissance.......................................... 70 7.5 Des applications....................................... 71 7.5.1 Travail de la force de pesanteur.......................... 71 7.5.2 Travail réalisé pendant que l on soulève un paquet............... 71 7.5.3 Travail réalisé au cours de l accélération d un ascenseur............ 72