Introduction à la mécanique classique. cours ESAIP

Introduction à la mécanique classique cours ESAIP 13 avril 2006

Table des matières 1 Les vecteurs 2 1.1 Définition................................................. 2 1.2 Changement de base........................................... 2 1.3 Dérivée d un vecteur........................................... 2 1.4 Moment d un vecteur par rapport a un point............................. 2 2 La mécanique du point 3 2.1 La cinématique du point......................................... 3 2.1.1 Définitions............................................ 3 2.1.2 Mouvement à accélération constante.............................. 3 2.1.3 Mouvement parabolique..................................... 3 2.1.4 Mouvement relatif........................................ 4 2.1.5 Mouvement circulaire...................................... 4 2.2 Dynamique du point........................................... 4 2.2.1 Lois de Newton.......................................... 4 2.2.2 La friction............................................. 4 2.2.3 La gravitation.......................................... 5 2.2.4 Le travail............................................. 5 2.2.5 Le pendule............................................ 5 2.3 Problèmes................................................. 6 3 La mécanique des solides rigides 8 3.1 La cinématique des solides rigides.................................... 8 3.1.1 Centre de masses......................................... 8 3.1.2 Energie cinétique......................................... 8 3.1.3 Rotation.............................................. 9 3.1.4 Equilibre statique........................................ 9 3.2 Problèmes................................................. 10 4 La mécanique des fluides 11 4.1 Définitions................................................. 11 4.1.1 Equilibre hidrostatique...................................... 11 4.1.2 Principe de Pascal........................................ 11 4.1.3 Principe d Archimède...................................... 11 4.1.4 Equation de Bernoulli...................................... 11 4.2 Problèmes................................................. 12 1

Chapitre 1 Les vecteurs 1.1 Définition Un vecteur est défini comment un segment orienté AB où on a défini l origine sur A et l extrémité sur B. Pour définir un vecteur il est nécessaire d avoir défini préalablement un repère. Dans le repère utilisé le vecteur sera exprimé selon les trois composantes sur les trois axes du repère : Le vecteur peut s exprimer aussi d une façon plus compacte : où on considère la base implicitement. 1.2 Changement de base AB = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 (1.1) AB = (λ 1,λ 2,λ 3 ) (1.2) Pour changer le repère dans lequel le vecteur est exprimé, il faut exprimer les vecteurs directeurs du premier repère en fonction des vecteurs directeurs du deuxième. ei = j α ij ej (1.3) 1.3 Dérivée d un vecteur La dérivé d un vecteur est définie comme : C est à dire : d v dx = lim v x 0 x d AB dx = dλ 1 d e 1 e 1 + λ 1 dx dx + dλ 2 d e 2 e 2 + λ 2 dx dx + dλ 3 d e 3 e 3 + λ 3 dx dx (1.4) (1.5) 1.4 Moment d un vecteur par rapport a un point On définit le moment d un vecteur v appliqué à un point O exprimé en un autre point C comme : M = OC v (1.6) 2

Chapitre 2 La mécanique du point 2.1 La cinématique du point La cinématique du point s occupe de l étude du mouvement des corps en supposant toute la masse concentrée sur un seul point de l espace. La cinématique ne s occupe pas de l étude des forces qui provoquent le mouvement, c est le rôle de la dynamique. Pour décrire le mouvement d un corps il faut toujours le référencer dans un repère. Il y a deux types de repères : inertiel : le repère ne subit pas d accélérations au cours du temps. Ce type de repères n existent pas dans la nature, mais, pour chaque problème en particulier, on va en définir un. non inertiel : le repère subit d accélérations au cours du temps. 2.1.1 Définitions On définit la position d un corps comme la distance entre sa position en un instant donné et l origine du repère : r = OM (2.1) Pour connaître le mouvement du corps, il suffit de connaître sa position au cours du temps : r = (x(t),y(t),z(t)) (2.2) On définit la vitesse d un corps comme la dérivée de sa position par rapport au temps : d r v = dt Et son accélération comme la dérivée de la vitesse par rapport au temps : (2.3) d v a = (2.4) dt On définit aussi la quantité de mouvement d un corps comme la multiplication de sa masse et sa vitesse : p = m v (2.5) 2.1.2 Mouvement à accélération constante A étudier vous-même 2.1.3 Mouvement parabolique A étudier vous-même 3

2.1.4 Mouvement relatif On parle de mouvement relatif quand on met en relation le mouvement par rapport à deux repères différents. La relation de composition de positions est donné par : OM = OO + O M (2.6) Et on applique la définition de la vitesse pour trouver la relation entre les vitesses : d OM dt = d OO dt + d O M dt De la même façon on trouve des relations pour les accélérations : 2.1.5 Mouvement circulaire 2.2 Dynamique du point 2.2.1 Lois de Newton d 2 OM dt 2 = d2 OO dt 2 En 1687, Newton publie dans ces Principia les trois lois de la dynamique : (2.7) + d2 O M dt 2 (2.8) 1. Dans un repère inertiel, les corps gardent leur état initial, ou bien le repos, ou bien la vitesse, en absence de forces externes 2. Dans un repère inertiel, la variation de quantité de mouvement est proportionelle à la force qui agit sur le corps : d p dt = F (2.9) 3. Principe d action et réaction : quand un corps A produit une force sur un corps B, le corps B produit une force sur le corps A égale en direction et module, mais avec le sens inverse. 2.2.2 La friction Quand un corps est en equilibre sur une surface, cette surface peut exercer une force pour compenser la force qui ménerait le corps hors de équilibre. Cette force doit être toujours perpendiculaire à la surface, c est une force dite normale. Le frottement entre la surface et le corps va créer une résistance au mouvement, on va l appeler force de frottement. La force de fortement est proportionnelle à la normale exercée par la surface sur le corps et a un coefficient de frottement µ. Ce coefficient est différent en fonction de si il y a un mouvement relatif ou non. S il n y a pas de mouvement relatif : et s il y a un mouvement relatif : avec : F F µ s N (2.10) F F = µ d N (2.11) µ d : coefficient de frottement dynamique µ s : coefficient de frottement statique Ces deux coefficients sont déterminés d une façon empirique. µ d < µ s (2.12) 4

2.2.3 La gravitation Newton donna aussi une loi qui relie la force à laquelle est soumise une masse en présence d une autre masse. La force créée par la masse 2 sur la masse 1 est donnée par l expression : De la même façon, la masse 1 va exercer une force sur la particule 2 : F 12 = Gm 1m 2 r 12 3 r 12 (2.13) m i : masse de la particule i r 12 : distance entre les particules 1 et 2 F 21 = Gm 1m 2 r 21 3 r 21 (2.14) 2.2.4 Le travail Le travail est défini comme : W = tf t 0 F d x (2.15) On peut l interpréter comme la capacité de réaliser un travail. On associe une énergie à chaque force qui dérive d un potentiel. On aura donc l énergie potentielle de la gravité : L énergie potentiel d un ressort : E = mgh (2.16) E = 1 2 mx2 (2.17) Et on associe aussi une énergie à la vitesse, on l appele énergie cinétique : E = 1 2 mv2 (2.18) On peut utiliser le theorème de conservation de l énergie pour calculer la dynamique d un sytème : W = E (2.19) 2.2.5 Le pendule 5

2.3 Problèmes Exercice 1 : Gravité avec frottement de l air Un objet qui tombe dans l atmosphère est soumis à la force de la gravité et à une force de frottement avec l air qui est proportionnelle à la vitesse, avec une constante de proportionalité K. Calculer la vitesse et la position de l objet en fonction des conditions initiales x 0 et v 0. Exercice 2 : Trajectoire d un ballon Un ballon est lancé avec une vitesse initiale v 0, un angle avec l horizontal de 45, à une hauteur h, et à une distance d une paroi verticale 2h. A quelle distance de la paroi le ballon va t il tomber? (quand le ballon arrive à la parois, la composante verticale du ballon change de signe et la composante verticale reste invariante) Exercice 3 : Angle de tir Deux balles sont lancées, depuis un bâtiment avec des vitesses, égales en module, mais avec des angles par rapport à l horizontal differents α < 0, β > 0. Montrer que les deux balles vont arriver au sol avec la même vitesse et calculer cette vitesse en fonction de la hauteur du bâtiment, et du module initial de la vitesse. Exercice 4 : Calcul d un rayon de courbure Un mobile M décrit une hélice circulaire d axe Oz, définie par les équations, en coordonnées cartésiennes : x = R cos θ y = R sin θ z = H 2π θ On posera h = H 2π 1. Le mouvement est défini par la loi θ(t) = ωt (avec ω constant). 1.1. Déterminer la vitesse V du mobile : on précisera son module et son orientation. Déterminer l accélération A, en module et direction. En déduire l expression du rayon de courbure R C de la trajectoire. 1.2. Reprendre la même étude en coordonnées cylindriques. 2. Utiliser encore les coordonnées cylindriques, et la loi θ(t) étant maintenant quelconque. 2.1. Exprimer V et A dans la base ( e r, e θ, e z ) associée aux coordonnées cylindriques, en fonction des données et des dérivéees de θ(t). 2.2. En introduisant le rayon de courbure R C, montrer que : ( T, N) étant les vecteurs de base du repère mobile. V = RRC θ T A = RRC θ T + R θ2 N Exercice 5 : Mouvement rectiligne uniforme Un navire N est animé d un mouvement rectiligne uniforme de vitesse v le long d une droite D. Un sous-marin immobile S tire une torpille T à l instant où l angle ( v, NS) a la valeur α. T étant animée d un mouvement rectiligne uniforme de vitesse u, quelle doit être la valeur de l angle de tir θ = ( SN, u ) si l on veut couler N. Si l on veut que T atteigne N en un temps minimum, à quel instant, c est-à-dire pour quelle valeur de α, convient-il de tirer? Calculer la valeur de l angle de tir θ 0 correspondant. Exercice 6 : Mouvement circulaire La Terre décrit autour du Soleil, d un mouvement uniforme, une orbite assimilée à un cercle de rayon R = 150 millions de kilomètres en T = 365 jours. Déterminer par rapport au référentiel lié au Soleil : la vitesse linéaire du centre de la Terre l accélération du centre de la Terre Exercice 7 : Composition des vitesses 6

Un nageur parti de A, se déplace à la vitesse constante V par rapport à l eau d une rivière de largeur d dont les eaux sont animées d un courant de vitesse constante v (v < V ). 1. Le nageur effectue les trajets aller et retour AA 1 A en un temps t 1 et AA 2 A en un temps t 2. 1.1. Exprimer le rapport t2 t 1 en fonction du rapport des vitesses v V. 1.2. Sachant que t 2 = 2t 1 = 7 min, déterminer la direction de la vitesse V du nageur qui se déplace à contre courant pour atteindre A (en partant de A 1 ). 2. Le nageur quitte le bord A, au moment où il se trouve à la distance d de l avant d un bateau, de largeur l, qui se déplace à la vitesse constante u par rapport à l eau, en suivant le bord de la rivière dans le sens de A vers A 2. 2.1. Déterminer la direction et la grandeur de la vitesse absolue minimale du nageur pour ne pas être heurté par le bateau. A.N. l = 20m, d = 98m, u = 19,8km/h, v = 1,8km/h. 2.2. Déterminer alors la direction et la grandeur de la vitesse V du nageur par rapport à l eau. Exercice 8 : Composition d un mouvement d entraînement circulaire et d un mouvement relatif circulaire Dans le plan xoy, un cercle de diamètre OA tourne à la vitesse angulaire constante ω autour du point O. On lie à son centre mobile O deux axes rectangulaires O x et O y ; l axe O x est dirigé suivant OA. A l instant initial, A est sur Ox. Un point M initialement en A parcourt la circonférence dans le sens positif avec la même vitesse angulaire ω. 1. Calculer directement les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M dans le référentiel lié à Oxy (en dérivant les composantes de OM). 2. Calculer les composantes de la vitesse et de l accélération de M dans son mouvement relatif (c est-à-dire dans le référentiel lié à O x y z ). 3. Calculer la vitesse d entraînement, l accélération d entraînement et l accélération complémentaire. Montrer qu en appliquant les lois de composition des vitesses et des accélérations, on retouve les résultats du 1. Exercice 9 : Mouvement d un disque autour d un autre Un disque (d) de rayon r, roule sans glisser autour d un disque (D) de rayon R. Soit M un point de la périphérie de (d). Exprimer la vitesse et l accélération de M dans le repère lié à (D). Exercice 10 : Train d engrenages Un train d engrenages est constitué par 4 roues dentées (1), (2), (3), (4), de rayons R 1, R 2, R 3, R 4 dont les centres O, A, B, C restent alignés sur le bras OC tournant autour de Oz dans le plan (Ox,Oy) à la vitesse angulaire Ω. La roue dentée (1) étant fixe dans le plan (Ox,Oy), calculer les vitesses angulaires ω 2, ω 3, ω 4 des roues (2), (3), (4) par rapport au repère (Ox,Oy). Exercice 11 : Mouvement d un cône sur un plan horizontal Un cône plein homogène de demi-angle au sommet α, de hauteur h et de sommet O, roule sans glisser sur un plan horizontal. On appelle u le vecteur unitaire porté par la génératrice de contact cône-plan, et l on repère la position du cône par l angle θ(t) que fait u avec l axe Ox d un référentiel R, appartenant au plan horizontal. 1. Déterminer l axe instantané de rotation du cône. 2. Déterminer la vitesse dans R du centre C de la base du cône, en fonction de h, α et θ. 3. En déduire l expression du vecteur rotation instantané du cône dans R. 4. Déterminer la vitesse et l accélération d un point de la périphérie de la base du cône au moment où il coïncide avec le point de contact cône-plan. 7

Chapitre 3 La mécanique des solides rigides 3.1 La cinématique des solides rigides On définit un solide rigide comme un ensemble de particules qui gardent les distances entre elles. 3.1.1 Centre de masses On définit le centre de masses comme : X CM = x dm dm (3.1) On va noter : M T = dm (3.2) Pour un système discret de particules la formule devient : x i x i m i CM = i m i Et en dérivant ces expressions on trouve aussi la vitesse et l accélération du centre de masses : (3.3) v CM = v dm dm (3.4) a CM = Et on peut appliquer aussi le lois de Newton au système : a dm dm (3.5) F ext = d dt (M T v CM ) (3.6) On peut annoncer la troisième loi de Newton en disant que le centre de masse d un système bouge comme une particule avec une masse égale à la somme de toutes les masses du système, sous l action des forces externes au système. De la même façon, en absence de forces exterieures la quantité de mouvement du système est conservé. 3.1.2 Energie cinétique L énergie cinétique d un système est définie de la façon suivante : E c = 1 v (m) 2 dm (3.7) 2 V 8

3.1.3 Rotation Pour décrire le mouvement d un solide rigide, il ne suffit pas de connaître la position d un des points du solide, il faut aussi connaître son orientation dans l espace. La cinématique étudie la variation de l orientation du solide. La rotation d un solide rigide a toujours lieu autour d un axe privilégié qui est l axe de rotation. L axe de rotation n est pas forcement constant, il peut varier au cours du temps. La magnitude qui décrit la rotation est la vitesse de rotation : ω = dω dt où Ω est un angle qui décrit l orientation du solide est ω est la vitesse angulaire On définit aussi l accélération angulaire comme le taux de variation de la vitesse angulaire : (3.8) α = dω (3.9) dt La dynamique, qui va s occuper d étudier les forces qui provoquent ces changements de vitesse, utilise une nouvelle quantité, appelée moment d inertie, et qui est définie comme : I = r 2 dm (3.10) V r est la distance entre le différentiel de masse et un axe (l axe de rotation), donc le moment d inertie est défini par rapport à une distribution de masses et par rapport à un axe aussi. La même masse aura des moments d inertie différents par rapport à des axes differents. La relation entre le moment d inertie de la même masse par rapport à l axe qui passe par le centre de masses et un axe parallèle situé à une distance h est : L équivalent de la deuxième équation de Newton pour la rotation est : 3.1.4 Equilibre statique I = Mh 2 + I CM (3.11) M ext = Iα (3.12) Un cas particulier de la cinématique est la statique, qui s occupe d étudier les corps qui sont en repos ; lorsque la vitesse de tous les points du corps est nulle. Pour un solide rigide, il y a deux conditions d equilibre : F ext = 0 (3.13) Mext = 0 9

3.2 Problèmes Exercice 1 : Calcul du centre de gravité Pour localiser le centre de gravité d une personne on fait l expérience suivante. On place une personne de masse m allongée sur une table de longueur l. La table est appuyé sur les deux côtés et sur un côté on y a mit un dynamomètre qui mesure une force N. Quelle est la position du centre de gravité de la personne? Exercice 2 : Equilibre d une boîte Une boîte carrée de côté l et de masse uniforme est placée à l extrémité d un plan incliné avec un angle d inclinaison variable θ. En sachant que la force de frottement est assez grande pour empécher le glissement de la boîte, calculer l angle θ max auquel on peut arriver sans faire tomber la boîte. Exercice 3 : Equilibre d un cylindre Un cylindre de masse homogène m et rayon R repose sur une surface horizontale et sur une marche de hauteur h (h < R). Calculer la force F qu il faut appliquer sur l axe pour faire monter la marche au cylindre. Exercice 4 : Forces sur les charnières Une porte de poids 200N est soutenue par deux charnières (une au plus haut de la porte, et l autre tout un bas) et par un câble, comme montre la figure. 1. Quelle est la force du cable en sachant que la charnière supérieure n a aucune composante horizontale? 2. Quelle est la composante horizontale de la charnière inférieure? 3. Quelles sont les forces verticales sur les deux charnières? 10

Chapitre 4 La mécanique des fluides 4.1 Définitions La mécanique des fluides s occupe d étudier le mouvement d un ensemble de particules, quand elles ne conservent pas les distances entre elles, et quand elles sont assez nombreuses pour appliquer les lois de la statistique. Elle s occupe aussi d étudier les causes qui provoquent ces mouvements. Pour cette étude, il faut définir la densité comme le coefficent entre une masse et le volume qu elle occupe : ρ = m V (4.1) La pression sur un fluide est le coefficient entre la force et la surface sur la quelle la force est appliquée : P = F S (4.2) 4.1.1 Equilibre hidrostatique A étudier vous-même 4.1.2 Principe de Pascal "Toute pression appliquée à un liquide confiné dans un récipient, est transmise sans pertes sur tous les points du liquide et sur les parois du réservoir qui le contient." 4.1.3 Principe d Archimède "Tout corps partiellement ou complètement submergé dans un fluide subit une force ascensionnelle égale au poids du fluide déplacé" 4.1.4 Equation de Bernoulli L équation de Bernoulli éxprime la conservation de l énergie dans un fluide : où : h : différence de hauteur par rapport à une référence v : vitesse du fluidee P : pression P + ρg h + 1 2 ρv2 = cte. (4.3) 11

4.2 Problèmes Exercice 1 : Reservoir d eau Un grand réservoir d eau de profondeur H, a un trou à une distance h de la surface. Calculer la distance x à laquelle l eau va tomber par terre. Exercice 2 : Dimensionnement d une pompe Une source dimensionnée pour produire une colonne verticale d eau de 12m a un diamètre à la sortie d 1cm. La pompe d eau est à 3m sous terre. Le tube jusqu à la sortie de la source a un diamètre de 2cm. Quelle doit être la pression de la pompe? Exercice 3 : Temps de vidange Un grand récipient à bière de hauteur H et d aire transversale A 1 est rempli de bière et il est ouvert à la pression atmosphérique. En bas du récipient, il y a un robinet d aire A 2, avec A 2 << A 1. 1. Montrer que pour une hauteur de bière h la vitesse de sortie est 2gh. 2. Montrer que la variation de hauteur est donnée par : 3. Calculer le temps necessaire pour vider le récipient. dh dt = A 1 A 2 2gh (4.4) 12

Bibliographie [1] Goldstein H. : Mécanique Classique. Presses Universitaires de France [2] Landau & Lifchitz : Mécanique [3] Tipler P. A. : Modern Physics 13