COURS 9 : TARIFICATION Aspects mathématiques 9.1 RAPPEL Prime théorique = Fréquence X gravité + Frais La gravité est souvent appelée «sévérité» (anglicisme commode) Certains facteurs influencent la fréquence Certains facteurs influencent la sévérité Certains facteurs influencent à la fois la fréquence et la sévérité Prime facturée = Taux de base X ajustements Le taux de base est le point de départ de toute la tarification Les taux de base sont révisés à chaque année Ils ont un impact direct sur la rentabilité de l assureur Les ajustements sont basés sur des relativités observées sur une assez longue période Les ajustements ne sont pas nécessairement révisés à chaque année 9.2 QUELQUES DÉFINITIONS Prime pure C est le coût du risque. Autrement dit, c est ce que coûterait l assurance si l assureur n avait pas de frais administratifs ni de marge de risque Dans la vraie vie, l assureur a plusieurs sortes de frais : Administration générale (rémunération des employés de l assureur, loyer ou coût d utilisation des lieux d affaires, papeterie, etc.) Administration des réclamations (frais d analyse, experts externes, frais juridiques, etc.) - 162 -
Rémunération des représentants (sous forme de commission ou de salaire ou d une combinaison de commissions et de salaires) Charge de profit (rémunération du capital immobilisé selon la formule du BSIF) Taxe provinciale interne sur les primes d assurance (à ne pas confondre avec la taxe externe communément appelée «taxe de vente sur les primes d assurance») Certains de ces frais sont exprimés en dollars par police D autres frais sont exprimés en proportion (%) des primes L assureur a aussi une marge de risque On a vu au Cours 1 que si un assureur qui n a aucun surplus accumulé veut avoir une probabilité raisonnable de ne pas faire faillite, il doit exiger une prime pure plus élevée que l espérance mathématique de la perte En réalité, tous les assureurs doivent avoir un surplus minimum (et plusieurs excèdent ce minimum), alors la marge de risque sert plus à stabiliser l expérience de l assureur qu à lui éviter la faillite. Cette marge est souvent combinée à la marge de profit Prime souscrite (PS) Totalité de la prime correspondant à une police vendue excluant la «taxe de vente» Prime acquise (PA) Portion de la prime souscrite qui correspond à la période écoulée de la police depuis son entrée en vigueur. Note: Cette portion de la prime souscrite n est pas remboursable si l assuré décide de résilier sa police. L assureur à déjà assumé le risque durant la période écoulée de la police. - 163 -
Prime non acquise (PNA) Portion de la prime souscrite qui correspond à la période non-écoulée de la police depuis son entrée en vigueur. Note: Cette portion de la prime souscrite est remboursable si l assuré décide de canceller sa police. L assureur n a pas encore assumé le risque de la période non-écoulée de la police. Prime en vigueur («Prime en force») PEF La prime en force est égale à la prime souscrite si la police sous-jacente est en vigueur au moment de l évaluation. La prime d une police expirée n est plus en force. Exemple : M. Simard achète une police d assurance habitation pour sa maison au montant de 1200$ pour une période de couverture allant du 1er janvier 2005 au 31 décembre 2005. a) Déterminer la PS. b) Déterminer la PA au 1er avril 2005. c) Déterminer la PNA au 1er avril 2005. d) Déterminer la PEF au 1er août 2005 et au 1er février 2006. a) PS = 1200$ b) La période allant du 1er janvier au 1er avril représente _ d année. PA = _ * 1200$ = 300$ c) La période allant du 1er avril au 31 décembre représente _ d année. PNA = _ * 1200$ = 900$ d) La police est toujours en effet au 1er août 2005, mais ne l est plus au 1er février 2006. PEF(1er août 2005) = 1200$ PEF(1er février 2006) = 0$ - 164 -
Unités d exposition (UE) De la même manière que les primes, les unités d exposition peuvent être traitées comme étant souscrites, acquises, non-acquises ou en force. UE souscrite Totalité de l unité d exposition qui est exposée au risque. UE acquise Portion de l UE correspondant à la durée courue de la police. UE non-acquise Portion de l unité d exposition qui correspond à la durée non-courue de la police. UE en vigueur («en force») Unité exposée à un sinistre à un moment précis. Égale UE souscrite si la police est effective au moment de l évaluation de UE en force. Sinon UE en force=0. Taux de sinistres (Loss Ratio) C est le rapport du coût des sinistres encourus aux primes acquises correspondantes Taux de frais (Expense Ratio) C est le rapport du coût des frais encourus aux primes acquises correspondantes Taux Combiné (Combined Ratio) C est la somme du taux des sinistres et du taux des frais - 165 -
Sinistres encourus C est le total des sinistres subis au cours d une période, lorsque le dernier sinistre a été réglé (cela peut prendre quelques années) Sinistres encourus (estimation) C est le total des sinistres payés + la provision (ou réserve) pour cas en cours de règlement + la provision pour sinistres encourus mais non rapportés (IBNR pour «Incurred But Not Reported») (aussi appelée «provision pour sinistres subis mais non déclarés» ou SSND) 9.3 MÉTHODES DE TARIFICATION Deux méthodes de tarification Méthode de la prime pure Méthode du «Loss Ratio» 9.4 MÉTHODE DE LA PRIME PURE Ti = Pp + D (1-V-Q) Où Ti = Taux indiqué (taux facturé) Pp = Prime pure D = Dépenses fixes par UE V = Facteur de dépenses variables Q = Facteur de profit et de risque (contingence) - 166 -
Fréquence = F = Nb de sinistres Nb d UE Sévérité = S = Coût des sinistres ($) Nb de sinistres Pp = F * S = Nb de sinistres X Coût des sinistres ($) Nb d UE Nb de sinistres = Coût des sinistres NB d UE N. B. Ti = Pp + D 1-V - Q Afin de trouver le taux indiqué (Ti), il faut calculer la prime pure (Pp). On la calcule à partir des données d expérience (information du passé). L information du passé sur les sinistres encourus permet d estimer la prime pure. 9.4.1 Étapes pour calculer la prime pure (Pp) 1) Estimer le montant ultime de sinistres encourus durant la période d expérience. 2) Projeter les sinistres encourus (SE) du passé à la valeur des coûts des sinistres qui seront subis durant la période où les taux seront en vigueur. On effectue cet ajustement à l aide des facteurs de projection. 3) Diviser le montant ultime et projeté des sinistres par le nombre d unités d exposition (UE) de la période d expérience. - 167 -
9.4.2 Montant ultime des sinistres Les sinistres encourus d une année x doivent être développés jusqu à leur montant ultime, c est-à-dire le montant final qui sera payé pour ces sinistres. Ce développement des sinistres encourus reflète: La variation des réserves au dossier (montant de réserve sur les dossiers ouverts). Les sinistres encourus mais non rapportés («IBNR»: Incurred but not reported). Un facteur de développement («LDF»: Loss Development Factor) est appliqué aux sinistres d une année x selon le temps écoulé entre le début de l année x et la date d évaluation. Exemple de LDF : LDF 12-ult : si le temps écoulé est de 12 mois LDF 24-ult : si le temps écoulé est de 24 mois LDF 36-ult : si le temps écoulé est de 36 mois Etc. Exemple de calcul : Date d évaluation: 1er janvier 2006 SE 2004 : 10M$ SE 2005 : 7M$ LDF 12-ult = 1.50 LDF 24-ult = 1.20 SE 2004 à l ultime = SE 2004 * LDF 24-ult = 10 * 1.20 = 12M$ SE 2005 à l ultime = SE 2005 * LDF 12-ult = 7 * 1.50 = 11.5M$ - 168 -
Facteur de projection Le coût des sinistres change avec le temps dû à des changements dans: 1. La fréquence des sinistres Exemples : Changement dans la propension à réclamer des assurés Changement dans les mesures de prévention des accidents 2. La gravité (sévérité) des sinistres Exemples : L inflation Changement dans les décisions juridiques On applique un facteur de projection aux sinistres de la période d expérience analysée. FP = (FP fréquence* FP sévérité) sur la période de projection Exemple La fréquence d accident décroît à un rythme de 1% par année. La gravité (sévérité) croît à un rythme de 3% par année. La période de projection est de 2 ans. FP = (FP fréq * F psév ) sur la période de projection = (.99 * 1.03) 2 = 1.0197 2 = 1.040-169 -
Période de projection Les facteurs de projection doivent être appliqués aux sinistres d une période d expérience donnée à partir de la date moyenne de sinistre (DMS) de la période d expérience jusqu à la date moyenne de sinistre de la période effective pour laquelle on veut évaluer les taux. Période de projection = DMS eff DMS exp Date moyenne Date effective Date moyenne de sinistre des taux de sinistre Date moyenne de sinistre de la période d expérience (DMS exp ) La DMS exp représente la date moyenne à laquelle les assurés ont subi leurs accidents durant la période d expérience. Date moyenne de sinistre de la période effective (DMS eff) La DMS eff représente la date moyenne à laquelle les assurés subiront leurs accidents durant la période pour laquelle nous voulons évaluer les taux. Comment déterminer la DMS eff Pour déterminer DMS eff, il faut connaître la période effective où les taux seront appliqués. Par exemple, pour des taux prenant effet le 1er janvier 2005 pour une durée de 1 an (après un an les taux seront réévalués), la DMS eff sera le 1er janvier 2006. - 170 -
Pourquoi 1er janvier 2006? Date moyenne de souscription: 1er juillet 2005 Délai moyen avant d avoir un sinistre: 6 mois (On suppose que les polices ont un terme de 12 mois) 1er juillet 2005 + 6 mois = 1er janvier 2006 Exemple Période d expérience: Année d expérience 2003 Date effective des taux: 1er janvier 2005 Taux en vigueur pendant 1 an DMS période d expérience : 1er juillet 2003 DMS période effective : 1er janvier 2006 Période de projection = DMS eff DMS exp = 2.5 années Date moyenne Date effective Date moyenne de sinistre des taux de sinistre - 171 -
9.4.3 Calcul de la nouvelle prime pure à partir des données d expérience On a les données suivantes : Données d'expérience Année UE Sinistres d'accident acquises Encourus Facteurs de projection 2002 1 800 1 425 000 $ Fréquence 1.01 2003 2 100 1 330 000 $ Sévérité 1.03 2004 2 200 1 350 000 $ Caractéristiques du changement de taux Facteurs de développement - Date d'évaluation: 31 déc 2004 LDF 12-Ult 1.500 - Date effective du changement de taux: 1 er juil 2005 LDF 24-Ult 1.200 - Les taux seront effectifs pendant un an LDF 36-Ult 1.050 - Les polices ont un terme de 12 mois LDF 48-Ult 1.000 1. Développement des sinistres à l ultime Date d évaluation : 31 déc. 2004 Temps entre début Année de l année et de sinistre 31/12/2004 LDF à l ultime 2002 36 mois LDF 36-ULT 2003 24 mois LDF 24-ULT 2004 12 mois LDF 12-ULT Année de sinistre {1} {2} {3} = {1} X {2} SE au 31/12/2004 LDF à l ultime Sinistres à l ultime 2002 1 425 000 1.05 1 496 250 2003 1 330 000 1.20 1 596 000 2004 1 350 000 1.50 2 025 000-172 -
2. Projection des sinistres ultimes {1} {2} {3} = {2} - {1} Année Période de DMA exp DMA eff d'accident projection 2002 01/07/2002 01/07/2006 4 2003 01/07/2003 01/07/2006 3 2004 01/07/2004 01/07/2006 2 {4} {5} {6} = [{4}*{5}] {3} Année d'accident FP fréq FP sév FP 2002 1.01 1.03 1.1712 2003 1.01 1.03 1.1258 2004 1.01 1.03 1.0822 {7} {8} {9} = {7} * {8} Année d'accident Sinistres à l'ultime FP Sinistres ultimes et projetés 2002 1 496 250 $ 1.1712 1 752 408 $ 2003 1 596 000 $ 1.1258 1 796 777 $ 2004 2 025 000 $ 1.0822 2 191 455 $ 3. On divise les sinistres ultimes projetés par le nombre d unités d exposition pour obtenir la Pp. {1} {2} {3}={2}/{1} Année d'accident UE acquises Sinistres ultimes et projetés Prime pure 2002 1 800 1 752 408 $ 974 $ 2003 2 100 1 796 777 $ 856 $ 2004 2 200 2 191 455 $ 996 $ Total 6 100 5 740 640 $ 941 $ Pp = 941 $ - 173 -
9.4.4 Calcul du Taux indiqué (prime à facturer) à partir de la prime pure Pp = 941$ D = 90$ V = 20% Q = 10% Ti = Pp + D = 941 + 90 = 1 473$ 1-V-Q 1-.20-.10 Changement de taux _ taux = (T i / T c ) - 1 où T c = Taux courant Si T c = 1 300 $, alors _ taux = T i / T c - 1 = (1473 / 1300) - 1 = + 13.3% - 174 -
9.5 MÉTHODE DU «LOSS RATIO» 9.5.1 Principe Loss ratio = LR = $ sinistres $ primes acquises Un LR de 70% indique que pour chaque dollar de prime payé par les assurés, 70 ont servis à payer les sinistres. T i = A X T c Où T i = Taux indiqué T c = Taux courant A = Facteur d ajustement A = LR observé LR cible LR cible = 1-V-Q Où V = Taux de dépenses variables 1+G Q = Facteur de P&C G = Ratio des dépenses fixes sur les sinistres G = D X E où E = nombre d UE $ sinistres où D= dépense fixe - 175 -
9.5.2 Étapes pour calculer le facteur d ajustement (A) 1) Calcul du LR actuel Le LR actuel est calculé à partir des données d expérience selon la formule suivante: LR actuel = SE ultimes projetés PA aux taux actuels Les sinistres ultimes projetés sont calculés de la même manière qu avec la méthode de la Prime pure Les primes acquises de la période d expérience doivent être mises au niveau actuel des taux. 2) Calcul du LR cible 3) Calcul de A LR cible = 1-V-Q 1+G A = LR actuel LR cible 9.5.3 Calcul du facteur d ajustement (A) à partir des données d expérience Année de sinistre Primes acquises au taux actuel Sinistres encourus 2002 2 300 000 $ 1 500 000 $ 2003 2 500 000 $ 1 300 000 $ 2004 3 000 000 $ 1 250 000 $ - 176 -
Facteurs de projection Fréquence 1.01 Sévérité 1.03 Calcul du Loss ratio actuel Année de sinistre Primes acquises au taux actuel Sinistres ultimes projetés Loss ratio 2002 2 300 000 $ 1 844 654 $ 80% 2003 2 500 000 $ 1 756 307 $ 70% 2004 3 000 000 $ 2 029 170 $ 68% Total 7 800 000 $ 5 630 131 $ 72% Note : les sinistres actuels projetés se calculent de la même manière qu avec la méthode de la Prime pure Loss Ratio actuel = 72 % - 177 -
Calcul du Loss ratio cible V = 20% Q = 8% Dépenses fixes = 500,000$ LR cible = (1-V-Q)/(1+G) = (1-.20-.08) 1+(500,000/5,630,131) = 66% A = LR actuel LR cible = 72% 66% = 1.091 9.5.4 Changement de taux Changement de taux = A 1 = 1.091 1 = +9.1% Si T c = 1 200 $, alors Ti = A X Tc = 1.091 * 1 200 $ = 1 309 $ - 178 -