Fonctions numériques d une variable réelle Site athstice de Adama Traoré Lcée Technique Bamako I Opérations sur les fonctions Soit f et g deu fonctions d ensembles de définitions respectives D f et D g. Nous retiendrons les résultats suivants : Somme Produit Quotient Notation Ensemble de définition Formule eplicite f + g D f D ( f + g)( = f ( + g( g f g D f D ( f g)( = f ( g( g f { D f Dg / IR, g( 0} f f ( ( = g g g( Eemples Soit f et g les fonctions définies par 1 ) calculer la fonction somme g 1 + 1 f ( = et g( =. + 3 s = f + 1 + 1 + 4 + 1 s ( = f ( + g( s( = + = ; + 3 ( + 3)( ) ) calculer la fonction produit P = f g + 1 P ( = f ( g( P( = ; ( + 3)( ) f f ( q =. q ( = q( =. g g( ( + 3)( + 1) 3 ) calculer la fonction quotient II Fonctions associées Dans le plan muni d un repère orthonormé (O, I, J) on considère une fonction f de représentation graphique (Cf) ; a et b deu nombres réels. On appelle fonctions associées à la fonction f les fonctions qui à : a f( ; a f( a ) ; a f( + b ; a k f ( ; a f (k 1 ) Fonction g : a f ( Soit la fonction f définie par sa représentation graphique (Cf) ci-dessous 4 0 1 1 3 Cours Fonctions associées Page 1 sur 6 Adama Traoré Professeur Lcée Technique
Quel est l ensemble de définition Df de f? Quel est le signe f( suivant les valeurs de Df? Représenter la courbe (Cg) de g dans un repère Que peut-on conclure? D f = [ 4, 3] 0 Dans [ 4, ] f ( 0 ; Dans [, 3] f ( 0. Représentation de la courbe de g 4 0 1 1 3 Pour tout élément de D f on a f ( = f ( si f ( = f ( si f ( 0 f ( p 0 Donc la courbe représentative (Cg) de g est la réunion des parties de courbes d équations respectives = f( et = f(, situées au dessus de l ae des abscisses (o. ) Fonction g : a f ( a), a nombre réel j 4 a 0 i Soit ( a ; f( a)) un point de (Cf). Le point ( ; f( a)) de (Cg) est l image de par la translation de vecteur ai. D où (Cg) est l image de (Cf) par la translation de vecteur ai. Cours Fonctions associées Page sur 6 Adama Traoré Professeur Lcée Technique
3 ) Fonction g : a f ( + b, b nombre réel f( + b j f( 0 i Soit ( a ; f( a)) un point de (Cf). Le point ( ; f(+b) de (Cg) est l image de par la translation de vecteur b j. D où (Cg) est l image de (Cf) par la translation de vecteur bi. Propriété : La courbe représentative de la fonction g : a f ( a) + b se déduit de celle de f par la translation de vecteur u = a i + b j. j f( 0 i D où (Cg) est l image de (Cf) par la translation de vecteur u = 3i + j. Cours Fonctions associées Page 3 sur 6 Adama Traoré Professeur Lcée Technique
4 ) Fonction g : a k f (, k nombre réel Soit f : [0 ; ] R qui a associe f( = ² et la fonction g : [0 ; ] R qui a associe g(= f(. 8 6 4 1 0 1 Soit l application A : P P a z z A s appelle l affinité orthogonale d ae D(O ; i ) et de rapport. et ont même abscisse, mais l ordonnée de est le double de celle de D où (Cg) est l image de (Cf) par l affinité A k de rapport k définie par A k : P P z a kz (Cg)= A k (Cf). Cours Fonctions associées Page 4 sur 6 Adama Traoré Professeur Lcée Technique
5 ) Fonction g : a f ( k, k nombre réel Soit f : [0 ; π] R qui a associe f( = cos( et la fonction g : [0 ; π] R qui a associe g(= f(=cos(. 1 1 0 π 4 π π et ont même ordonnée, mais l abscisse de est la moitié de celle de D où (Cg) est l image de (Cf) par l affinité A 1/k définie par. A 1/k : P P a k (Cg)= A 1/k (Cf). III Comparaison de fonctions 1- Activité Soient les fonctions f et g définies respectivement par leurs courbes représentatives dans le plan muni d un repère orthonormé. (Cg) (Cf) 4 3 1 0 1 3 4 5 Cours Fonctions associées Page 5 sur 6 Adama Traoré Professeur Lcée Technique
Résoudre graphiquement l équation f ( = g( Résoudre graphiquement les inéquations : f ( g( et f ( f g( - inoration, majoration Soit f une fonction définie sur un intervalle I = [a ;b] f est minorée sur I s il eiste un nombre réel m tel que : I, m ( f ; f est majorée sur I s il eiste un nombre réel tel que : I, f ( f est majorée sur I si elle est à la fois minorée et majorée sur I c'est-à-dire I, m f (. Eemple: Dans l activité ci-dessus déterminer un minorant et un majorant de chacune des fonctions f et g. 0 0 ; 1 sont des minorants de g ; 10 ; 11 sont des majorants de g. ; 3 sont des minorants de f ; 10 ; 11 sont des majorants de f. IV Représentations graphiques de deu bijections réciproques: Pour représenter la courbe (C f 1 ) de la bijection réciproque de la bijection f ; on trace le smétrique orthogonal de la courbe de f par rapport à la première bissectrice d équation =. Cf -1 1 ère bissectrice : = C f Cours Fonctions associées Page 6 sur 6 Adama Traoré Professeur Lcée Technique