Hedging delta et gamma neutre d un option digitale Daniel Herlemont 1 Introduction L objectif de ce projet est d examiner la couverture delta-gamma neutre d un portefeuille d options digitales Asset-Or-Nothing en utilisant une option vanille et le sous jacent. Les données sont celles du problème 19.29 de Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, dont nous rappelons les caractéristiques ci après. On se propose de couvrir un portefeuille de 1000 options digitales Asset-Or-Nothing de strike 52 et maturité, 20 semaines (T = 0.3836 = 20 7/365). A l instant t = 0, le prix du sous jacent est de 49. La volatilité du sous jacent, supposée constante, est de 30%. Le taux d intérêt est de 5%. Ce portefeuille sera couvert en delta et gamma neutre (voir les rappels ci après). le portefeuille sera couvert à l aide de du sous jacent et sur un call vanille de strike 55 et une maturité de 6 mois (T vanilla = 0.5). On réajustera les position une fois par semaine jusqu à échéance (soit 20 réajustements) de manière à être delta et gamme neutre à l issue de chaque réajustement. 2 A faire : Calculer l efficacité de la couverture, définie comme l écart type de l erreur de tracking terminale, divisée par la valeur du portefeuille à couvrir. efficacite = ecart type erreur tracking valeur du portefeuille Pour cela, on utilisera une méthode de Monte Carlo consistant à calculer les erreurs de tracking pour 1000 chemins aléatoires de prix du sous jacent jusqu à échéance. La variance peut être considérée comme le risque de couverture que l on pourra réduire par un réajustement quotidien. 1
3 RAPPELS Calculer la Value At Risk à 95% dans les deux cas, ajustements hebdomadaires ou quotidiens. La VaR pourra être calculé à partir des résulats de la simulation (a comparer avec la VaR en faisant une hypohtèse de normalité). Dans les précédents calculs, nous avons supposé que les coûts de transaction étaient nuls. Qu en est il avec des coûts de transaction que l on supposera de l ordre de 0.5% (les coûts de transaction incluent non seulement les frais de courtage, mais aussi et surtout la fourchette bid/ask). Conclusions et commentaires? Nota : on pourra commencer ce projet en réalisant une feuille Excel pour simuler la gestion de la couverture pour un seul chemin de prix et pour couvrir une option vanille en delta et gamma neutre par le sous jacent et une autre option vanille. Pour la simulation complète avec 1000, voire 100 000 chemins, Excel n est plus adapté. Le temps de calcul nécessaire à ce type de problème justifie amplement l utilisation de langage tels que C/C++. Les développements en C++ seront effectués en utilisant les Financial Numerical Recipes pour le pricing des différentes options. Notons ici, que nous nous sommes limité à des options avec forme explicite de calcul du prix et des grecques. Dans le cas d options plus complexes, chaque évaluation du prix à un instant de réajustement nécessite d autres calculs numériques : on atteint très rapidement les limites de capacité de calcul. 3 Rappels 3.1 Delta Hedging Le Delta d un produit dérivé (ou plus généralement d un portefeuille), est défini par f/ S. D où, f S pour de faibles variations du sous jacent S. Un portefeuille delta neutre est hedgé (couvert) dans le sens où il est immunisé contre de faibles variations du prix du sous-jacent. Le delta varie avec le prix du sous jacent. Un portefeuille delta neutre doit donc être ré ajusté périodiquement afin de maintenir la neutralité en delta. Dans la limite du continu, il s agit d un delta hedge parfait et la stratégie est auto finançante. Ce raisonnement est à la base de l évaluation du prix d une option. Pour un actif (disons une action) sans dividende, le portefeuille delta neutre couvre N options vendues avec N actions plus B empruntés de manière à vérifier : Nf + N S B = 0 Il s agit de la condition dite d auto financement. Daniel Herlemont 2
3.1 Delta Hedging 3 RAPPELS A chaque instant de réajustement, le delta change en, on doit donc acheter N( ) actions pour maintenir une position de N et emprunter B = N S Nf, avec f le prix de l option. Prenons un exemple numérique simple d un hedgeur qui souhaite couvre la vente de calls européens (Il est donc short en calls européens). Le delta est positif et augmente (diminue) lorsque le prix du sous jacent monte (baisse). Le hedgeur a donc une position longue sur le sous le jacent, il achète (vend) lorsque le prix du sous jacent monte (baisse) afin de maintenir un delta neutre. Il est short de N = 100000 calls européens à échéance 4 semaines, le strike est de 50 et chaque call a une valeur de f = 1.76791. La volatilité de l action de 30% et le taux d intérêt est égal à 6%. Le trader ajuste son portefeille toute les semaines. Le du call est égal à 0.538560, le hedgeur doit donc acheter N = 538560 actions pour un montant total de 26928000 = 538560 50, si on suppose que le prix de l action est 50 (le call est à la monaie). Le trader finance la position en empruntant B = N S Nf = 26928000 1767910 = 25160090 Le portefeuille a une valeur nette nulle. Une semaine plus tard, le prix de l action passe à 51. La valeur du call est égale à f = 2.10580. Avant réajustement, le portefeuille est évalué à : Nf + 538560 51 Be 0.06/52 = 171622 La valeur du portefeuille n est donc plus égale à zéro. Le delta hedge ne réplique donc pas parfaitement le call, il n est plus auto finançant, les 171 622 euros peuvent être retirés (dans ce cas, le surplus est positif, mais il aurait pu être négatif en cas de baisse de l action). Et ainsi de suite jusqu à échéance. L espérance de l erreur de tracking est nulle, en revanche, la variance ne l est pas. Elle représente donc un risque pour le delta hedgeur, risque qu il devra donc réduire. On peut montrer que l erreur de tracking du delta hedging est proportionnelle au Γ (qui représente les variations du second ordre). Afin de réduire cette erreur de tracking, on peut donc se mettre en Γ neutre. On peut aussi réduire l erreur de tracking en augmentant la fréquence des ajustements, rebalancer quotidiennement, par exemple. On défini l efficacité de la couverture par le rapport entre l écart type de l erreur de tracking du portefeuille et la valeur du portefeuille à couvrir : efficacite = ecart type erreur tracking valeur du portefeuille Pour une option classique, cette efficacité varie de la manière suivante : Daniel Herlemont 3
3.2 Delta-Gamma Hedging 3 RAPPELS périodicité de réajustement 5 4 2 1 0.5 0.25 en jours efficacité 0.43 0.39 0.26 0.19 0.14 0.09 Une efficacité de 0.43 pour des ajustements hebdomadaires est loin d être négligeable : si les erreurs de couverture sont gaussiens, la probabilité de perdre plus de 10% du portefeuille est N( 0.1; σ = 0.43), soit 40%! On peut aussi calculer la Value At Risk normale, à 95%, celle ci est de l ordre de -70% de la valeur du portefeuille. En ajustement quotidien, elle tombe à -30%. 3.2 Delta-Gamma Hedging Une position sur le sous-jacent (ou un contrat forward) possède un gamma nul ( 2 S/ S 2 = 0). On ne peut donc pas utiliser le sous jacent pour changer le gamma d un portefeuille. On pourra utiliser une option vanille. Pour réaliser une position gamma neutre, on commencera donc par calculer le nombre d options vanilles pour annuler le gamma du portefeuille à couvrir. Supposons que le gamma du portefeuille soit égal à Γ P et qu une option vanille possède un gamma de Γ O. Si on inclut w options dans le portefeuille, alors le gamma résultant est wγ O + Γ P. La position sera gamma neutre pour une position en option égale à Γ P /Γ O. Ayant neutralisé le portefeuille en gamma, on peut alors utiliser le sous jacent pour le rendre delta neutre, en tenant compte du delta du portefeuille à couvrir et du delta de l option vanille ayant servi à être gamma neutre. Reprenons l exemple précédent, avec le prix de l action à 50, chaque call a une valeur de f = 1.76791, = 0.53856 et Γ = 0.0957074 Pour couvrir en gamma neutre, nous choisissons une deuxième option dont les caractéristiques sont les suivantes : valeur du call f 2 = 1.99113, 2 = 0.543095 et Γ 2 = 0.085503. On notera que le Γ de l action est égal à 0. Pour mettre en place une stratégie delta-gamma neutre, nous devons résoudre l équation : Nf + 50n 1 + n 2 f 2 B = 0 condition d auto financement N + n 1 + n 2 2 = 0 delta neutre NΓ + n 2 Γ 2 = 0 delta neutre (1) On commence donc par la dernière équation donnant n 2, puis l avant derniere pour n 1, puis la première équation donne B. La solution est la suivante : on vend n 1 = 69.351 actions, on achete n 2 = 1119346 calls de l option 2, et on emprumte B = 3006695. Toutes les semaines, Daniel Herlemont 4
3.3 Le Prix, Delta et Gamma d une option digitale Asset-Or-Nothing 3 RAPPELS on effectue ces mêmes opérations, on vend/achète des actions et des options vanilles pour se couvrir en gamma. 3.3 Le Prix, Delta et Gamma d une option digitale Asset-Or- Nothing Le prix d un call Asset-or-Nothing est : V = SN(d 1 ) = N(d 1 ) + S N(d 1) S = N(d 1 ) + e d2 1/2 σ 2πT Γ = e d2 1/2 Sσ 2 T 2π d 2 Daniel Herlemont 5