FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES T LE STMG ÉQUATION D'UNE DROITE ET SIGNE D'UNE EXPRESSION AFFINE Soient A( x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points tels que x A x B. La droite ( AB) a pour équation y=a x+b avec a= y B y A x B x A. Pour déterminer b, on résout l'équation y A =a x A +b ou l'équation y B =a x B +b. Si a 0, on a : x b a + a x+b Signe de a 0 Signe de a TAUX D'ÉVOLUTION Calcul d'un taux : Une quantité évolue d'une valeur initiale y 1 à une valeur finale y 2. Le taux d'évolution t de y 1 à y 2 est t= y 2 y 1 y 1. Appliquer un taux : Faire subir une évolution de taux t, c'est multiplier une quantité par le coefficient multiplicateur 1+ t. Calcul du taux réciproque : Si une quantité subit une évolution de taux t 1, l'évolution réciproque de taux t ' vérifie t '= 1 1+ t 1. Calcul d'un indice : y 1 et y 2 sont deux valeurs d'une même grandeur. Définir l'indice base 100 de cette grandeur correspondant à y 1, c'est associer à y 1 la valeur I 1 =100. Par proportionnalité, on a donc I 2 =100 y 2 y 1. Calcul du taux global : Si une quantité subit n évolutions de taux respectifs t 1, t 2,, t n, alors le taux global T vérifie T =(1+ t 1 )(1+ t 2 ) (1+ t n ) 1. FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES T LE STMG : 1/6
P ( x)=a x 2 + b x+ c (avec a 0 ) Discriminant : Δ=b 2 4ac POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ Forme canonique : P( x)= a ( x+ b 2a ) 2 Δ 4 a Coordonnées du sommet : S( b 2a ; Δ 4a ) 0 =0 0 Solutions de l'équation a x 2 b x c=0 x 1 = b Δ 2 a x 2 = b+ Δ 2a et x 0 = b 2a (racine double) Pas de solution Factorisation de a x 2 b x c a(x x 1 )(x x 2 ) a (x x 0 ) 2 Pas de factorisation Représentation graphique quand a 0 Représentation graphique quand a 0 x x 1 x 2 + x x 0 + x + Signe de a x 2 + b x+ c P (x) sig sig sig ne 0 ne 0 ne de de de a a a P (x ) signe 0 signe de a de a P (x) signe de a (en notant x 1 la plus petite racine) FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES T LE STMG : 2/6
STATISTIQUES Valeur du caractère x 1 x 2... x p Effectif n 1 n 2... n p Effectif total : N =n 1 +n 2 +...+n p Fréquence de la valeur x i : f i = n i N Moyenne : x= n 1 x 1 +n 2 x 2 +...+n p x p N ou x= f 1 x 1 + f 2 x 2 +...+ f p x p Pour la médiane et les quartiles : On suppose que les valeurs de la série d'effectif N sont rangées par ordre croissant (chacune d'elles étant répétée autant de fois que son effectif) : x 1 x 2... x N. Médiane : Si N est impair, Me=x N + 1 2 (c'est le terme de rang N + 1 2 ) x N + x N 2 2 Si N est pair, Me= + 1 (c'est la moyenne des termes de rang N 2 2 et N 2 + 1 ) Premier quartile : Le premier quartile Q 1 de la série est la valeur x i dont l'indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à N 4. Troisième quartile : Le troisième quartile Q 3 de la série est la valeur x i dont l'indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à 3 N 4. Écart interquartile : E i =Q 3 Q 1. P(Ω)=1 et P( )=0 Pour tout évènement A, 0 P ( A) 1 PROBABILITÉS nombre d'issues de A Dans une situation d'équiprobabilité, P( A)= nombre total d'issues de Ω P( A)=1 P ( A) P( A B)= P ( A)+P (B) P ( A B) A B= A B et A B= A B Si P( A) 0, P A (B)= P ( A B) P ( A) Si P( A) 0, P( A B)= P ( A) P A (B) FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES T LE STMG : 3/6
SUITES NUMÉRIQUES Suites arithmétiques Suites géométriques u n+ 1 en fonction de u n u n+ 1 =u n +r u n+ 1 =u n q Terme général à partir de u 0 u n =u 0 +n r u n =u 0 q n Terme général à partir de u 1 u n =u 1 +(n 1) r u n =u 1 q n 1 Terme général à partir de u p u n =u p +(n p)r u n =u p q n p Utilisation de la calculatrice pour les sommes : calcul de u 1 +u 2 + +u 100 avec u n =2n+3. Texas Instruments Casio «catalog» («2nde», puis «0»), appuyer sur «ln» : somme(suite(2x+3,x,1,100)) «CALC» («OPTN», «CALC» (F4), (F6)), «Σ(» (F3) : Σ(2X+3,X,1,100) «CATALOG» («SHIFT», puis «4», appuyer sur «x» (multiplier)) : 100 X=1 (2 X+ 3) Dérivées usuelles DÉRIVÉES D f f x = D f ' f ' x = R k (constante) R 0 R x R 1 R x 2 R 2 x ] ; 0[ ]0 ;+ [ 1 x ] ; 0[ ]0 ;+ [ 1 x 2 R x n (avec n N * ) R n x n 1 Opérations sur les dérivées f ( x)= k u(x) (avec k constante) u(x)+v(x) u(x) v(x) f '(x)= k u'(x) u'(x)+v '(x) u' (x)v(x) v' (x)u(x) [ v(x)] 2 FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES T LE STMG : 4/6
LOI BINOMIALE X suit la loi binomiale de paramètres n (un entier naturel non nul) et p [ 0;1]. E(X )=n p V ( X )=n p(1 p) σ ( X )= n p(1 p) Calcul de P(X =7) Utilisation de la calculatrice : exemple avec n=20 et p=0,6. Texas Instruments Casio «var»), «binomfdp» : binomfdp(20,0.6,7) «STAT», «DIST»), «BINM» : binomialpd(7,20,0.6) Calcul de P(X 7) «var»), «binomfrép» : binomfrép(20,0.6,7) «STAT», «DIST»), «BINM» : binomialcd(7,20,0.6) LOI NORMALE X suit une loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ. L'aire sous la courbe d'une loi normale a pour aire 1. P( X μ)=0,5 et P( X μ)=0,5 P( X a)=1 P ( X<a ) et P( a X b)= P( X b) P ( X<a) P(μ 2σ X μ 2 σ) 0,95 Utilisation de la calculatrice : exemple avec μ=21 et σ=7. Calcul de P(10 X 30) Calcul de P(X 40) Calcul de P( X 25) Texas Instruments «var»), «normalfrép» : normalfrép(10,30,21,7) «var»), «normalfrép» : normalfrép(-10^99,40,21,7) «var»), «normalfrép» : normalfrép(25,10^99,21,7) Casio «STAT», «DIST») : normcd(10,30,7,21) «STAT», «DIST») : normcd(-10^99,40,7,21) «STAT», «DIST») : normcd(25,10^99,7,21) FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES T LE STMG : 5/6
ÉCHANTILLONNAGE ET ESTIMATION Échantillonnage On connait p, fréquence théorique d'un caractère sur une population. On a un échantillon de taille n. n] L'intervalle [ p 1 n ; p+ 1 est appelé intervalle de fluctuation au seuil 95 % de la fréquence de ce caractère aléatoire de taille n issu de la population. Estimation On connait f, fréquence observée d'un caractère sur un échantillon de taille n d'une population. n] L'intervalle [ f 1 n ;f + 1 est appelé intervalle de confiance au seuil 95 % de la proportion p de ce caractère aléatoire de la population. Conditions de validité : n 30, n p 5 et n(1 p) 5. FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES T LE STMG : 6/6