Les Suites : Exercices Exercice 1 La suite (u n ) est une suite arithmétique de raison r. 1. On donne : u 5 = 7, r =. Calculer u 1, u 5 et u 100.. On donne : u = 1, u 8 = 0. Calculer r, u 0 et u 18.. On donne : u 7 = 7, u 1 = 1. Calculer u 0. Exercice La suite (u n ) est une suite géométrique de raison q. 1. On donne : u 1 = et q = -. Calculer u 4, u 8 et u 1.. On donne u = et u 7 = 18. Calculer u 0, u 15 et u 0. Exercice (u n ) est une suite arithmétique telle que u + u + u 4 = 15 et u 6 = 0. Calculer son premier terme u 0 et sa raison r. Exercice 4 Déterminer sept nombres impairs consécutifs dont la somme est 7. Exercice 5 Une suite arithmétique u de raison 5 est telle que u 0 = et, n étant un nombre entier, Calculer n. in ô i u i 6456 Exercice 6 Déterminer quatre termes consécutifs d une suite arithmétique sachant que leur somme est 1 et la somme de leurs carrés est 116. Exercice 7 Une suite géométrique v est croissante et ses termes sont strictement négatifs. 1. Justifier que la raison b de la suite est telle que 0 b 1.. On suppose que v 1 v 4 et v 1 v v 1. Calculer v 1, v, v et b. Exercice 8 Calculer les sommes S et S. S = + 6 + 18 +... + 118 08 S ½ 504 Fiche issue de http://www.ilemaths.net 1
Exercice Au cours d une bourse aux livres, un manuel scolaire perd chaque année 1% de sa valeur. Un livre a été acheté neuf en 185, il coûtait alors 150F. Quel est son prix à la bourse aux livres de 10? de 15? Fiche issue de http://www.ilemaths.net
Correction Exercice 1 Rappels : Si (u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r, alors pour tout entier naturel n, u n = u 0 + nr. Si (u n ) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous entiers naturels n et p, u n = u p + (n-p)r 1. On a : u 5 = u 1 + (5-1)r, donc u 1 = u 5-4r = 7-4 = 7-8 = -1 Donc : u 1 = -1 u 5 = u 5 + (5-5)r = 7 + 0 = 7 + 40 = 47 Donc : u 5 = 47 u 100 = u 5 + (100-5)r = 7 + 5 = 7 + 10 = 17 Donc : u 100 = 17. On a : u 8 = u + (8 - )r = u + 5r, donc : 0 = 1 + 5r soit : r = 1 5 u = u 0 + r, donc u 0 = u - r = 1-1 5 60 5 6 5 6 5 Donc : u 0 = 6 5 u 18 = u 0 + 18r = 6 5 Donc : u 18 = -4 18 1 Å 6 5 5 16 5 10 5 4. On a : u 7 = u 0 + 7r, donc r u 7 u 0 7 De plus, u 1 = u 0 + 1r, donc u 1 = u 0 + 1 u 7 u 0, donc : 7 7u 1 = 7u 0 + 1(u 7 - u 0 ) 7u 1 = 7 u 0 + 1u 7-1u 0 7u 1 = -6u 0 + 1u 7 u 0 7u 1 1u 7 6 Donc : u 0 = 0 7 1 1 7 6 Exercice Rappels : Si (u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q, alors pour tout entier naturel n, u n = u 0 q n Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous entiers naturels n et p, u n = u p q n-p 1. On a : u 4 = u 1 q 4-1 = u 1 q = (-) = (-8) = -4 Donc : u 4 = -4 Fiche issue de http://www.ilemaths.net
u 8 = u 1 q 8-1 = u 1 q 7 = (-) 7 = (-18) = -84 Donc : u 8 = -84 u 1 = u 1 q 1-1 = u 1 q 11 = (-) 11 = (- 048) = -6 144 Donc : u 1 = -6 144. Déterminons q : u 7 = u q 4, donc q 4 u 7 18 u. Donc q =. On a alors deux possibilités pour la raison q : q ou q. Si q, alors : u = u 0 q, donc u 0 = u q u 0 u 15 = u 0 q 15 = 15 7 7 7 = 6 = 1 458 u 0 = u 0 q 0 = 0 10 8 11 7 7 1 10 10 Donc : si q, alors u 0, u 15 = 1 458 et u 15 11 Si q, alors : u = u 0 q, donc u 0 = u q u 15 = u 0 q 15 = 15 7 7 7 = 6 = 1 458 u 0 = u 0 q 0 = 0 10 8 11 7 7 1 10 10 Donc : si q, alors u 0, u 15 = 1 458 et u 15 11 Exercice (u n ) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0, donc : u = u 0 + r, u = u 0 + r, u 4 = u 0 + 4r et u 6 = u 0 + 6r. On obtient alors le système suivant : u u u 4 15 u 6 0 u0 r 15 u 0 6r 0 u0 5 r u0 10 r 5 r 5 D où : u 0 = -10 et r = 5. Pour tout entier naturel n, u n = -10 + 5n. u0 r 5 u 0 6r0 u0 5 r u 0 0 6r u0 5 r 5 r0 6r Fiche issue de http://www.ilemaths.net 4
Exercice 4 Déterminons sept nombres impairs consécutifs dont la somme est 7 : La suite des impairs peut être notée : u n = n + 1, pour tout entier n. On cherche donc l entier p (et u p ) tel que : u p + u p+1 + u p+ + u p+ +... + u p+6 = 7 = 4. Or, u p + u p+1 + u p+ +... + u p+6 = (p + 1) + (p + ) +... + (p + 1) = 7 p + (1 + + 5 +... + 1. Å Or, 1 + + 5 +... + 1 = 7 1 6 premier terme 1 et de raison. Ainsi : 14p + 4 = 7 = 4, soit p = 1 ; puis u p = 4. D où : les sept nombres recherchés sont : 4, 45, 47, 4, 51, 5 et 55. = 4, somme des 7 premiers termes d une suite arithmétique de Exercice 5 Ôn Õr S n u... u n Ôn Õ u, u = + 5 = 17 Å 5Ôn Õ On cherche donc n tel que : Ôn Õ 17 6456 ; soit encore : (n - )(5n + 1) = 1 1. Il faut donc trouver les racines du polynôme 5n + n - 150 = 0 : 50 50 n 1 51,8 qui n est pas un entier! et n 50 10 10 Exercice 6 Soit (u n ) une telle suite de premier terme u 0 et de raison r. Il existe k tel que : u k u k 1 u k u k 1 et u k u k 1 u k u k 116 Or : u k u k 1 u k u k 4u k 6r et u k u k 1 u k u k u k Ôu k rõ Ôu k rõ Ôu k rõ u k u k 1 u k u k 4u k 1u kr 14r u k u k 1 u k u k Ôu k rõ 5r Or 4u k + 6r = 1 donc u k + r = 6 Ainsi : 6 + 5r = 116 Soit : r 4 Puis u k + r = 6 donc u k = - ou u k = Ainsi : -, 1, 5, conviennent ainsi que :, 5, 1, -. Exercice 7 Si (v n ) est une suite géométrique de premier terme v 0 et de raison b, alors pour tout entier n : v n = v 0 b n. 1. Si (v n ) est croissante et ses termes sont strictement négatifs alors 0 v n 1 v n 1, c est-à-dire 0 b 1.. v 1 v = v 1 b 1 b et v 1 v v v 1 1 b ; 1 - b = (1 - b)(1 + b + b ) On obtient donc le système : ³² v1b 4 ³² v 1 b ³± v 1 Ô1 b b Õ 1 soit encore : ³± Ô1 b b Õ 1 b Soit 6b + 5b + 6 = 0 ou 6b - 1b + 6 = 0 La première équation a deux solutions négatives (cf première questions) Donc b. v 1 = -1 ; v = ; v = 4. Exercice 8 Fiche issue de http://www.ilemaths.net 5
S = + 6 + 18 +... + 118 08 S est la somme des premiers termes d une suite géométrique de premier terme et de raison. u 0 = ; u 1 = ; u =... 118 08 = 5 04 = 10. 1 11 S u 0 u 1... u 1 0 u 0 177 146. S ½... 504 1 S est la somme des premiers termes d une suite géométrique de premier terme et de raison 1 Å. 11 1 1 De plus : 504 = 10. Donc S ½ 1 1 177 146 5 04. Exercice En 185 le prix du livre est u 0 = 150. En 186 il vaut : u 1 = 150 0,88,... ; en 10 (donc 5 ans après), il vaut : u 5 = 150 0,88 5 = 7, F. Et en 15, il ne vaut plus que : u 10 = 150 0,88 10 = 41,8 F. Fiche issue de http://www.ilemaths.net 6