Eléments de probabilités

.. Eléments de probabilités Michaël Genin Université de Lille 2 EA 2694 - Santé Publique : Epidémiologie et Qualité des soins michael.genin@univ-lille2.fr

Plan. 1 Introduction. 2 Expérience aléatoire. 3 Probabilité Approche fréquentiste Axiomatique de Kolmogorov Calcul de la probabilité d un événement Ensemble fondamental équiprobable Probabilité conditionnelle Indépendance Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 1 / 51

Introduction Point étudié.1 Introduction.2 Expérience aléatoire.3 Probabilité Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 2 / 51

Introduction Introduction Théorie des probabilités modélisation de l incertitude Premières notions de probabilités issues des jeux de hasard (16ème siècle) Gains moyens... Théorie mathématique, composée d axiomes, qui n a pas à être justifiée Intuitivement : une probabilité est une fréquence Exemple 1 : Echantillon de 100 personnes 10 malades Extrapolation à toute la population : % de malades = probabilité d être malade = 10% Exemple 2 : lancé d une pièce de monnaie Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 3 / 51

Expérience aléatoire Point étudié.1 Introduction.2 Expérience aléatoire.3 Probabilité Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 4 / 51

Expérience aléatoire Expérience aléatoire On appelle expérience aléatoire tous processus qui engendre des résultats ou des observations dont il est impossible de connaître à l avance l issue. Exemple Lancé de dé, d un pièce de monnaie, choix d une carte dans un jeu, temps de survie d un patient... Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 5 / 51

Expérience aléatoire Ensemble fondamental On appelle ensemble fondamental (ou univers des possibles) l ensemble de tous les résultats possibles d une expérience aléatoire. Il est noté Ω. Exemple : lancé d un dé Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Remarque : Tout résultat de l expérience aléatoire correspond à un élément et un seul de l ensemble fondamental Ω. Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 6 / 51

Expérience aléatoire Evénement Un évènement A est un ensemble d éléments de Ω (A Ω). L évènement A est dit réalisé si le résultat de l expérience aléatoire appartient à A. Evénement simple : si a Ω, l ensemble {a} réduit à l élément a est appelé événement élémentaire. Exemple : Le lancé du dé donne le chiffre 1 Evénement composé : notion générale d événement Exemple : Le lancé du dé donne un chiffre impair Evénement impossible : événement qui ne contient aucun élément de Ω. Il est noté. Exemple : Le lancé du dé donne un chiffre négatif Evénement certain : évènement qui contient tous les éléments de Ω. Par abus de langage il est noté Ω. Exemple : Le lancé du dé donne un chiffre compris entre 1 et 6 Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 7 / 51

Expérience aléatoire Opérations sur les événements - 1 Union : Soient A, B Ω A B Ω et A B = A ou B ou les deux Intersection : Soient A, B Ω A B Ω et A B = A et B en même temps Si A et B ne peuvent se réaliser en même temps (A B = ) alors A et B sont incompatibles Différence : Soient A, B Ω A B Ω et A B = A mais pas B Si A B = alors A B = A Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 8 / 51

Expérience aléatoire Opérations sur les événements - 2 Complémentaire Ā : Soient A Ω Ā Ω et Ā = Ω A, tout sauf A Union exclusive : : Soient A, B Ω A B Ω et A B = (A B) (B A) Rappel : Cardinal card : Soient A Ω card(a) correspond au nombre d éléments de Ω compris dans A Un événement élémentaire a un cardinal égal à 1 Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 9 / 51

Expérience aléatoire Quelques propriétés A Ā = Ω A Ā = A Ω = A A Ω = Ω A = A A = Règles de Morgan : A B = Ā B A B = Ā B Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 10 / 51

Expérience aléatoire Système complet d évènements Soient {A 1, A 2,..., A n } un ensemble d évènements de Ω. On dit que les {A 1, A 2,..., A n } forment un système complet d évènements si : { i j Ai A j = n i=1 A i = Ω Exemple du diagramme circulaire. A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 11 / 51

Expérience aléatoire Exercice - 1 On lance un dé non pipé. On observe le résultat obtenu. Décrire l ensemble Ω. Donner son cardinal Donner un exemple de résultat de l expérience aléatoire Donner un exemple d événement de cette expérience aléatoire Décrire l évènement A = On obtient un chiffre pair en extension Décrire l évènement B = {1, 3, 5} en compréhension Décrire l événement certain en extension et en compréhension Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 12 / 51

Expérience aléatoire Exercice - 2 Toujours sur l histoire du dé Soient A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5} et C = {1, 2}. Exprimer en extension et de façon compréhensive les événements suivants : Ā C B C B C B C Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 13 / 51

Expérience aléatoire Exercice - 3 On lance une pièce de monnaie jusqu à ce qu elle tombe sur pile et on compte le nombre de lancés nécessaires. Quel est l univers des possibles associé à cette expérience aléatoire? On attend le métro et observe le temps d attente. Quel est l univers associé à cette expérience aléatoire? Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 14 / 51

Expérience aléatoire Ensemble discret d événements Un ensemble fondamental Ω est dit discret s il contient un nombre fini ou infini dénombrable d éléments. si Ω est fini et contient n éléments, on note Ω = {a 1, a 2,..., a n } Exemple : lancé de dé si Ω est infini dénombrable, ses éléments peuvent être écrits comme une suite infinie a 1, a 2,..., a n,... Exemple : nombre d enfants dans une famille Dans tous les cas, on notera Ω = {a i } i I avec I N Par la suite, nous nous restreindrons aux ensembles fondamentaux discrets Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 15 / 51

Point étudié.1 Introduction.2 Expérience aléatoire.3 Probabilité Approche fréquentiste Axiomatique de Kolmogorov Calcul de la probabilité d un événement Ensemble fondamental équiprobable Probabilité conditionnelle Indépendance Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 16 / 51

Introduction La réalisation d un évènement est lié au résultat d un expérience aléatoire Sa réalisation est donc probable (pas déterministe) On cherche à évaluer les chances de réalisation de cet événement lors d un expérience aléatoire Notion de probabilité d un évènement Théorie des probabilités est basée sur un ensemble d axiomes. Le calcul d un probabilité peut être souvent réalisé en utilisant directement les axiomes Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 17 / 51

Approche fréquentiste Point étudié.1 Introduction.2 Expérience aléatoire.3 Probabilité Approche fréquentiste Axiomatique de Kolmogorov Calcul de la probabilité d un événement Ensemble fondamental équiprobable Probabilité conditionnelle Indépendance Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 18 / 51

Approche fréquentiste Approche fréquentiste On se base sur l expérience pour approcher la probabilité d un évènement. Exemple : lancé d une pièce de monnaie Objectif : Estimer P( Pile ) On effectue N lancés de pièce et on note le nombre de Pile N P. Intuitivement, la proportion N P nous donne une idée de P( Pile ). N Que se passe-t-il si on augmente la valeur de N? Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 19 / 51

Approche fréquentiste Approche fréquentiste Pourcentage de Pile en fonction du nombre de lancés de pièce Pourcentage de Pile 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0 2000 4000 6000 8000 10000 Nombre de lancés Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 20 / 51

Approche fréquentiste Approche fréquentiste A mesure que N augmente, nous constatons que N P N tend vers 1/2 On définit la probabilité de tomber sur Pile de la manière suivante : P( Pile ) = N P lim N + N Problème : Nécessité de réaliser plusieurs expérimentations Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 21 / 51

Axiomatique de Kolmogorov Point étudié.1 Introduction.2 Expérience aléatoire.3 Probabilité Approche fréquentiste Axiomatique de Kolmogorov Calcul de la probabilité d un événement Ensemble fondamental équiprobable Probabilité conditionnelle Indépendance Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 22 / 51

Axiomatique de Kolmogorov Axiomatique de Kolmogorov Probabilité théorique qui ne nécessite pas d expérimentation notion de connaissance a priori Exemple : lancé d un dé parfait Pas de lancer de dé P( Obtenir un 5 ) = 1 6 Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 23 / 51

Axiomatique de Kolmogorov Axiomatique de Kolmogorov Définition axiomatique d une probabilité Soient Ω un ensemble fondamental associé à une expérience aléatoire et I une classe de parties de Ω (ensemble de tous les évènements de Ω). On appelle probabilité sur {Ω, I} une application P de I dans [0, 1] (P [0, 1]), qui vérifie :.1 P(Ω) = 1.2 Soit (A i ) i I, I N, une famille d évènements de I deux à deux disjoints (si i j, A i A j = ), alors : ( ) P A i = i I i I P(A i ) Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 24 / 51

Axiomatique de Kolmogorov Axiomatique de Kolmogorov Propriétés Soient A, B Ω.1 P( ) = 0.2 P(Ā) = 1 P(A).3 Si A B alors P(A B) = P(A) + P(B) P(A B).4 P(A B) = P(A) P(A B) Si B A alors P(A B) = P(B) et donc P(A B) = P(A) P(B).5 Si B A alors P(B) P(A) Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 25 / 51

Axiomatique de Kolmogorov Axiomatique de Kolmogorov Théorème des probabilités totales Soit B i un système complet d évènements sur Ω. A Ω : P(A) = i P(A B i ) Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 26 / 51

Calcul de la probabilité d un événement Point étudié.1 Introduction.2 Expérience aléatoire.3 Probabilité Approche fréquentiste Axiomatique de Kolmogorov Calcul de la probabilité d un événement Ensemble fondamental équiprobable Probabilité conditionnelle Indépendance Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 27 / 51

Calcul de la probabilité d un événement Calcul de la probabilité d un événement Soit Ω = {a i } i I, I N un ensemble fondamental fini ou dénombrable. Soit A Ω. La probabilité de l événement A est définie par : P(A) = P({a i }) i:a i A Autrement dit, la probabilité de A est égale à la somme des probabilités de tous les évènements élémentaires {a i } qui composent A Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 28 / 51

Ensemble fondamental équiprobable Point étudié.1 Introduction.2 Expérience aléatoire.3 Probabilité Approche fréquentiste Axiomatique de Kolmogorov Calcul de la probabilité d un événement Ensemble fondamental équiprobable Probabilité conditionnelle Indépendance Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 29 / 51

Ensemble fondamental équiprobable Ensemble fondamental équiprobable Définition Si tous les éléments de Ω ont la même probabilité d apparition alors l ensemble Ω est appelé ensemble fondamental équiprobable. Propriété Soit Ω équiprobable (card(ω) = n) et A Ω contenant n A éléments : P(A) = 1 n + 1 n + + 1 = n A }{{ n } n = card(a) card(ω) n A P(A) = Nb de cas favorables Nb de cas total Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 30 / 51

Ensemble fondamental équiprobable Ensemble fondamental équiprobable Exemple On jette un dé parfait et on s intéresse à l évènement A = Obtenir un chiffre supérieur ou égal à 5. Intuitivement, la probabilité d obtenir un chiffre est égale à 1/6 (ensemble équiprobable) A = {5, 6} P(A) = 1 6 + 1 6 = 2 6 = card(a) card(ω) = 1 3 Remarque : il est important de savoir dénombrer les évènements!! Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 31 / 51

Ensemble fondamental équiprobable Rappels sur le dénombrement Le calcul du nombre de cas favorables d un évènement peut devenir rapidement fastidieux. Exemple : Un jeu de 32 cartes. Combien de mains possibles contenant 5 cartes? Combien de mains possibles contenant 3 As? Nécessité de techniques mathématiques pour dénombrer. Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 32 / 51

Ensemble fondamental équiprobable Rappels sur le dénombrement Définition Soit E un ensemble à n éléments. On appelle combinaison de E à p éléments, tout ensemble de E à p éléments distincts. Le nombre de combinaisons possibles est donné par : C p n = Avec n! = n (n 1) (n 2) 1 n! p!(n p)! Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 33 / 51

Ensemble fondamental équiprobable Rappels sur le dénombrement Retour à l exemple Combien de mains possibles contenant 5 cartes? C 5 32 = 32! 5!(32 5)! = 201376 Combien de mains possibles contenant exactement 3 As? C 3 4 C 2 28 = 4! 3!(4 3)! 28! 2!(28 2)! = 1512 Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 34 / 51

Ensemble fondamental équiprobable Rappels sur le dénombrement Retour à l exemple On peut donc calculer la probabilité de tirer une main contenant 3 As : P = Nb de cas favorables Nb de cas total = 1512 = 7, 5.10 4 201376 Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 35 / 51

Probabilité conditionnelle Point étudié.1 Introduction.2 Expérience aléatoire.3 Probabilité Approche fréquentiste Axiomatique de Kolmogorov Calcul de la probabilité d un événement Ensemble fondamental équiprobable Probabilité conditionnelle Indépendance Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 36 / 51

Probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle Exemple introductif Soit une population de 1000 individus (N=1000). Dans cette population, on dénombre 450 individus sont des hommes 150 individus sont atteints d un pathologie M. On tire au hasard un individu (expérience aléatoire) dans cette population. On définit les évènements suivants : H : L individu est un homme M : L individu est atteint par la pathologie Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 37 / 51

Probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle Chaque individu à la même probabilité d être tiré (1/1000) ensemble fondamental Ω équiprobable. On peut donc calculer les probabilités des deux évènements précités : P(H) = card(h) card(ω) = 450 1000 = 0.45 P(M) = card(m) card(ω) = 150 1000 = 0.15 Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 38 / 51

Probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle On tire un individu au hasard et on observe que c est un homme. Maintenant on s intéresse à la sous-population des hommes (450), dans laquelle 22 hommes sont atteints de la pathologie. On cherche à évaluer la probabilité qu un homme soit atteint de la pathologie. card(m H) card(h) = 22 450 = 0.049 On a donc calculé la probabilité d être atteint de la pathologie SACHANT qu on est un homme. On note cette probabilité P(M/H) = card(m H) card(h) = P(M H) P(H) Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 39 / 51

Probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle Définition Soient B Ω un événement de probabilité non nulle (P(B) > 0) et A Ω. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B le rapport noté P(A/B) : P(A/B) = P(A B) P(B) Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 40 / 51

Probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle Théorème de la multiplication P(A B) = P(A/B).P(B) = P(B/A).P(A) Autre propriété : P(Ā/B) = 1 P(A/B) Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 41 / 51

Probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle Formules de Bayes : objectif exprimer P(B/A) en fonction de P(A/B) 1. Soient A, B Ω P(B/A) = P(A/B).P(B) P(A) 2. Soit B i un système complet d évènements. On peut écrire P(A B i ) = P(A/B i ).P(B i ) Le théorème des probabilités totales devient : P(A) = i P(A/B i ).P(B i ) Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 42 / 51

Probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle On en déduit la deuxième formule de Bayes : P(B i /A) = P(A/B i).p(b i ) i P(A/B i).p(b i ) Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 43 / 51

Probabilité conditionnelle Exercice 4 Dans une population on sait que 40% des individus sont fumeurs, 25% sont atteints d une pathologie M et que 15% sont à la fois fumeurs et atteints de la pathologie. On tire un individu au hasard dans cette population..1 Décrire les informations de l énoncé en termes de probabilités.2 Quelle est la probabilité que l individu soit atteint de M sachant qu il est fumeur?.3 Quelle est la probabilité que l individu soit fumeur sachant qu il est malade?.4 Quelle est la probabilité qu un individu ne soit pas malade sachant qu il est fumeur?.5 Quelle est la probabilité qu un individu soit fumeur sachant qu il n est pas malade? Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 44 / 51

Probabilité conditionnelle Exercice 5 Dans un population de 100 patients, on sait que 40 ont reçu un médicament M A, 35 ont reçu un médicament M B et 25 ont reçu un médicament M C. On sait par ailleurs, que ces médicaments donne des effets indésirables : M A dans 20% des cas M B dans 30% des cas M C dans 50% des cas Quelle est la probabilité d avoir un effet indésirable? Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 45 / 51

Indépendance Point étudié.1 Introduction.2 Expérience aléatoire.3 Probabilité Approche fréquentiste Axiomatique de Kolmogorov Calcul de la probabilité d un événement Ensemble fondamental équiprobable Probabilité conditionnelle Indépendance Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 46 / 51

Indépendance Indépendance de deux événements Définition Soient A, B Ω. On dit que A est indépendant de B si P(A/B) = P(A) Autrement dit, la connaissance de B n apporte pas d information à la réalisation de A. Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 47 / 51

Indépendance Indépendance de deux événements Propriété importante Si P(A/B) = P(A) alors : Donc P(A) = P(A B) P(B) P(A B) = P(A) P(B) Si P(A B) = P(A) P(B) alors A et B sont indépendants. Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 48 / 51

Indépendance Indépendance mutuelle Définition Soient {A 1, A 2,..., A n } un ensemble d événements. Ceux-ci sont dit mutuellement indépendants si pour toute partie I de 1 l n [ ] P A i = P(A i ) I I Exemple : soient A, B et C des événements mutuellement indépendants, alors : P(A B C) = P(A).P(B).P(C) P(A B) = P(A).P(B) P(A C) = P(A).P(C) P(B C) = P(B).P(C) Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 49 / 51

Indépendance Indépendance mutuelle Remarques La condition d indépendance mutuelle est beaucoup plus forte que l indépendance deux à deux. En application, il est rare de démontrer cette indépendance mutuelle propriété de l expérience aléatoire Tirage avec remise dans une population : les événements relatifs aux différents tirages sont indépendants entre eux. Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 50 / 51

Indépendance Exercice 6 Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On tire une boule au hasard et on considère les événements suivants : A = tirage d un nombre pair B = tirage d un multiple de 3 Les événements A et B sont-ils indépendants? Même question avec 13 boules. Michaël Genin (Université de Lille 2) Probabilités Version - 19 février 2015 51 / 51