Chapitre 3 cent NOMBRS 5 T RPÉRAGȘ RLATIFS Notion de nombre relatif 3 Comparaison 9 mille Repérage sur une droite et dans le plan Calcul littéral
ACTIVITÉS USAG DS NOMBRS RLATIFS ACTIVITÉ Dans la vie quotidienne À l entrée d un grand magasin, on peut lire le panneau ci-contre Par quel nombre pourrait-on noter le niveau rez-de-chaussée? Que signifie : niveau 3? niveau? Quelle est la signification des expressions «J 5», «l an 65» et «solde : 8, 34» employées dans les phrases ci-dessous? NIVAU 3 : Vêtements hommes NIVAU : Vêtements femmes NIVAU : Arts de la table RZ-D-CHAUSSÉ : Alimentation N Quincaillerie N Parking Information : «Nous sommes à J 5 des vacances d hiver» Fait historique : «Vers l an 65 vivait le scribe égyptien Ahmes, auteur du célèbre papyrus Rhind, sur lequel il consigna les connaissances mathématiques de son époque» Relevé de compte chèques : «Monnaie du compte : euros Solde : 8, 34» ACTIVITÉ n Géographie Voici une coupe verticale de la région des grands lacs d Amérique du Nord : lac Supérieur lac Huron lac Michigan lac rié chutes du Niagara lac Ontario océan Atlantique + 83 + 4 mesures données en mètre 3 a) Dans le graphique ci-dessus, que signifie le nombre? b) Que signifie le signe + avant certains nombres? et le signe? a) Que signifie le nombre + 83? et le nombre +? b) Que signifie le nombre 3? et le nombre 4? c) Les indications du graphique permettent-elles d en déduire la profondeur du lac Supérieur? Si oui, quelle est-elle? 3 a) Quel nom donne-t-on aux nombres supérieurs à zéro? b) Quel nom donne-t-on aux nombres inférieurs à zéro? c) Les nombres employés dans les activités et sont appelés des nombres relatifs Pour quelle raison? 48
ACTIVITÉS ACTIVITÉ 3 De la demi-droite graduée à la droite graduée Reproduire dans la partie droite d une feuille de papier non quadrillée, la demi-droite graduée représentée ci-dessous L unité de graduation est le centimètre Que peut-on dire d un point I lorsqu il est le centre de symétrie de deux points A et B? T R a) Quel est le point origine de cette demi-droite? Quelle est l abscisse de ce point? b) Placer le point A d abscisse 4,5 et le point L d abscisse 7 3 a) À l aide du compas et de la règle, construire le point C symétrique du point L par rapport au point T b) Que peut-on dire du point T par rapport aux points C et L? Justifier la réponse 4 a) Quel est le symétrique de la demi-droite [TL) par rapport au point T? b) Combien d unités de graduations y a-t-il entre les points C et T? entre les points T et L? c) Noter par un nombre relatif l abscisse du point C On dit que les points C et L ont des abscisses opposées Comment reconnaît-on deux nombres opposés? 5 a) Construire les points N et symétriques respectifs des points R et A par rapport au point T b) Prouver que les points N et appartiennent à la demi-droite [TC) c) Noter les abscisses des points N et Quel est l opposé de? de 4,5? ACTIVITÉ 4 De la droite graduée à la frise chronologique Reproduire sur du papier à petits carreaux la frise chronologique ci-dessous Y placer approximativement les événements suivants Proclamation de la république romaine en 59 avant Jésus-Christ (J-C) Fondation de Constantinople en 33 après J-C Vercingétorix est vaincu par César en 5 avant J-C Avènement de l empereur Trajan en 98 après J-C Premier combat de gladiateurs en 64 avant J-C Prise de Rome par les Gaulois en 39 avant J-C jour de naissance de Jésus-Christ : origine des dates 5 5 3 Précision : l an zéro n existe pas ; c est le jour de la naissance de Jésus-Christ qui est noté naissance de J-C an avant la naissance de J-C an an fin de l an - début de l an an après la naissance de J-C 3 NOMBRS RLATIFS T RPÉRAGS 49
ACTIVITÉS COMPARR DS NOMBRS RLATIFS ACTIVITÉ 5 Comparer des températures Le tableau ci-dessous indique des records de chaleur et de froid relevés jusqu à ce jour sur Terre a) Dans quel lieu a-t-il fait le plus froid? b) Dans quel lieu a-t-il fait le plus chaud? À 5 C, le niveau du liquide d un thermomètre est-il plus haut ou plus bas qu à C? année 989 884 983 93 9 933 lieu Alaska Algérie Antarctique Californie Libye Sibérie température (en C) 78, 5 53 89, 56,7 58 68 À l aide du symbole <, comparer les records de température entre : a) l Alaska et la Sibérie ; b) la Sibérie et l Antarctique ; c) la Californie et l Algérie ; d) la Libye et l Alaska 3 L un des modèles de thermomètre dessiné ci-contre ne convient pas pour mesurer les records de froid sur Terre Lequel? xpliquer pourquoi 4 Ranger les températures du tableau dans l ordre croissant C 39 C le mercure gêle C 4 C l alcool gêle ACTIVITÉ 6 Comparer à l aide de la droite graduée R M D B Quel est le nombre relatif associé à chacun des points R, M, D, B et? a) n parcourant cette droite graduée dans le sens de la flèche, quel point rencontre-t-on avant le point M? b) n utilisant le symbole <, comparer les abscisses de ces deux points c) De la même manière, comparer les abscisses des points : M et D ; B et R ; D et ; B et M 3 a) Reproduire la droite graduée ci-dessus et les points R, M, D, B et Placer les points A, I, L, O et F d abscisses respectives 3 ; 6, ; 6,5 ; 47, et 65, Quel mot lit-on? b) Certains points ont des abscisses opposées ; ranger ces abscisses dans l ordre croissant c) Ranger dans l ordre décroissant les abscisses des dix points marqués sur cette droite graduée 5
ACTIVITÉS RPÉRR DS POINTS DANS L PLAN ACTIVITÉ 7 Repérage des cases d un quadrillage La légende rapporte qu un jour du Que signifie XVII e siècle, le grand mathématicien et l expression : «donner ses philosophe français René Descartes coordonnées à observait une mouche se déplacer sur quelqu un»? les carreaux de sa fenêtre Lui vint alors l idée d un moyen de repérer les carreaux sur lesquels la mouche se posait Ainsi naquirent : «les coordonnées cartésiennes» et les «repères cartésiens» Pour chaque carreau sur lequel s est posée la mouche, indiquer un codage permettant de le repérer ACTIVITÉ 8 Repérage des points du plan Sur une feuille de papier millimétré, tracer deux droites graduées perpendiculaires, de même origine O Prendre un centimètre comme unité de longueur sur chaque axe On dit que l on a tracé un repère orthogonal Les nombres et 4 dans cet ordre sont les coordonnées du point G On les note : G( ; 4) a) Quelle est l abscisse du point G? et son ordonnée? H 4 axe des ordonnées G ( ; 4) b) Placer le point G dans le repère orthogonal tracé à la question 3 a) Quelles sont les coordonnées du point H? b) Quelle est l abscisse de H? l ordonnée de H? c) Placer le point H 4 a) Placer les points : I( ; 3), J( ; ), K( ; ) et L( ; ) b) Tracer les segments [ GH], [ HI], [ IJ], [ JK] et [ KL] Quelle lettre de l alphabet a-t-on dessinée? O axe des abscisses 5 a) Dans le même repère orthogonal, placer les points suivants : A( 4 ; ), B( 4 ; ), C( 3 ; ), D( ; ), ( ; ) et F( ; ) b) Tracer les segments [ AB], [ BC], [ CD], [ D] et [ F] Quelle lettre obtient-on? 6 a) Comparer les coordonnées des points G et A ; H et B ; I et C ; J et D ; K et ; L et F b) Pour quelle raison les mathématiciens ont-ils décidé de donner les coordonnées des points dans un ordre précis? 3 NOMBRS RLATIFS T RPÉRAGS 5
SAVOIR NOTION D LS NOMBRS RLATIFS exercices à 3 Définitions Les nombres relatifs sont constitués de nombres positifs et de nombres négatifs Les nombres négatifs sont toujours notés avec le signe Ils sont plus petits que zéro Les nombres positifs sont notés avec le signe + ou sans signe Ils sont plus grands que zéro Remarques : le nombre zéro est le seul qui est à la fois positif et négatif ; les nombres relatifs qui sont entiers sont appelés : les entiers relatifs ; dans certaines circonstances, les nombres relatifs se notent entre parenthèses xemples : Parmi les sept nombres relatifs suivants : 7 ; 5 ; + ; 68, ; ; 3, ; ( 9), quatre sont négatifs : 5 ; ; 68, et ( 9), quatre sont positifs : 7 ; + ; ; 3,, et cinq sont des entiers relatifs : 7 ; 5 ; + ; ; ( 9) RPÉRAG SUR UN DROIT GRADUÉ exercices 4 à 6 Droite graduée Une droite graduée (ou axe) est une droite sur laquelle on a fixé : un point appelé origine, repéré par zéro ; un sens de parcours ; une unité de longueur reportée régulièrement xemple : origine nombres négatifs unité de longueur O A sens nombres positifs Abscisse d un point Sur une droite graduée, chaque point peut être repéré par un nombre relatif appelé : abscisse du point Distance à zéro et nombres opposés Deux nombres relatifs opposés sont deux nombres qui ont la même distance à zéro et des signes contraires xemple : B O A 3,5 L abscisse de B est 5, ; on note B( 5, ) xemple : C O D unités unités 5 Remarques : Les points C et D sont de part et d autre de l origine O et à la même distance de O La distance à zéro de est la longueur du segment [ OC], c est-à-dire La distance à zéro de + est la longueur du segment [ OD], c est-à-dire Les nombres et + sont des nombres opposés
NOMBR RLATIF APPLIQUR Nombres relatifs Dans chacune des listes ci-dessous, quels sont les nombres relatifs positifs, négatifs, entiers? a) + 4 ; ; 5 ; 7, ; 8 ; 3, ;,6 et b) 7,5 ; 5, ; + 8, ; ; 9 ;, et On donne les nombres relatifs suivants : 4, 3 ; ; 35, ; + 5 ; ; 8 ;,6 et 4 a) Quels sont les nombres décimaux négatifs? b) Quels sont les nombres entiers négatifs? c) Placer ces nombres relatifs négatifs dans un schéma tel que celui ci-dessous : entiers négatifs décimaux négatifs 3 Lou décide de repérer les heures de la journée par rapport à midi xemple : lorsqu il est h, elle note h, ce qui signifie h avant midi Que note Lou lorsqu il est 7 h? Reproduire et compléter le tableau : heure habituelle 5 h 6 h h heure notée par Lou + 7 h 5 h 3 Voici trois durées : de 4 h à + 5 h ; de 3 h à + 8 h ; de 7 h à + 3 h a) Quelle est la durée la plus courte? b) Quelle est la plus longue? 4 Lorsque Lou note 5, h, quelle heure de la journée est-il? Repérage sur une droite graduée X RC IC GUIDÉ 4 On considère huit points dont les abscisses sont données dans le tableau suivant : points A C H B F D G abscisse 5, 7 6 4,5 3 7 4 On imagine que ces points sont placés sur une droite graduée comme celle ci-dessous O Corrigé p 77 5 Avec les bons mots On considère la droite graduée suivante :,5 O,8 Recopier les phrases ci-dessous en les complétant avec les mots qui conviennent a) Tous les nombres notés sur cette droite graduée sont des nombres b) Les nombres 5, et sont c) 4 est du point et 4 est de F d) Les nombres 4 et 4 ont la même et des signes ; ce sont donc des nombres F a) Citer les points situés après le point O b) Citer les points situés avant le point O c) Citer les points situés à la même distance du point O a) Reproduire la droite graduée et placer les huit points b) Vérifier les réponses données à la question 6 Pour chacune des droites graduées, trouver la lettre qui indique l origine du repère, puis donner l abscisse des autres points marqués A B C D F G H 3 I J K L M N O P 3 NOMBRS RLATIFS T RPÉRAGS 53
SAVOIR COMPARAISON D APRÈS LS SIGNS T DISTANCS À ZÉRO exercices 7 à Comparaison de deux nombres négatifs Si deux nombres sont négatifs, alors le plus petit est le plus éloigné de zéro, c est-à-dire celui qui a la plus grande distance à zéro xemple : S 4,6 4 U 3 3 unités P 4,6 unités Comparaison de nombres de signes contraires Si deux nombres sont de signes contraires, alors le plus petit est le nombre négatif Comparaison de deux nombres positifs Si deux nombres sont positifs, alors le plus petit est le moins éloigné de zéro, c est-à-dire celui qui a la plus petite distance à zéro xemple : U 3 Donc 46, < 3 P 3 est négatif et est positif ; donc 3< xemple : P unités R 3,8 és Donc < 3, 8 À L AID D LA DROIT GRADUÉ exercices à 7 Si, en parcourant une droite graduée dans le sens indiqué par la flèche, on rencontre un point A avant un point B, alors l abscisse du point A est inférieure à l abscisse du point B xemple : S 4,6 U 3 P R 3,8 On rencontre S avant U, puis U avant P, et ainsi de suite ; donc, le rangement de leurs abscisses dans l ordre croissant est : 46, < 3 < < < 3, 8 une MÉTHOD pour ranger une liste de nombres relatifs Ranger par ordre décroissant les nombres : 6, ; 3,4 ; ; ; 48, ; 3,9 3,4 ; ; 3,9 On trie les nombres positifs ; 6, ; ; 48, et les nombres négatifs 34, > 3, 9> > 6, > 48, 34, > 3, 9> > > 6, > 48, On range les nombres positifs par ordre décroissant On range les nombres négatifs par ordre décroissant On conclut 54
DS RLATIFS APPLIQUR Comparer d après les signes et distances à zéro xercices 7 et 8 : recopier et compléter par l un des signes < ou > 7 a) 54 45 ; b) 8 7 ; c) 87 88 ; d) 3 3 ; e) 8 3 ; f) 636 363 ; g) 77 77 ; h) 33 8 a) 48, 49, ; b) 7, 3 ; c) 9, ; d), ; e) 5,, ; f), 3 9, ; g) 66, 66, ; h) 4, 4, 9 Comparer les nombres relatifs suivants : a) ( 3) et ( ) ; b) ( + 8) et ( 6) ; c) ( 83, ) et ( 84, ) ; d) (, ) et (, ) ; e) ( 3, ) et ( ) ; f) ( 8, ) et (, ) Recopier et compléter par des nombres entiers relatifs : a) 34, < < < < < 38, ; b) 8, 9 < < < < < 4, 9 ; c) 3, < < < < <, Avec les bons mots Recopier et compléter les phrases suivantes à l aide des mots : petit, grand, inférieur, supérieur a) 6 est le plus entier relatif à 63, b) 3 est le plus entier relatif à, c), est le plus nombre décimal ayant un chiffre après la virgule et à d) 89, est le plus nombre décimal ayant un chiffre après la virgule et à 9 Ranger à l aide de la droite graduée ou sans X RC IC GUIDÉ Corrigé p 77 Sur une feuille de papier millimétré, tracer une droite graduée d origine T, en prenant cm pour unité de longueur Placer les points : A d abscisse 7, ; d abscisse 4, ; I( 7, ) ; L( ) ; R( 48, ) et F( 35, ) Quel mot lit-on sur la droite graduée? 3 a) Quel est le plus grand nombre de la liste? b) Quel est le plus petit? 4 Quel est le nombre qui a : a) la plus petite distance à zéro? b) la plus grande distance à zéro? 5 Ranger les nombres de la liste par ordre décroissant 3 Ranger dans l ordre croissant : 3 ; 8 ; ; 9 ; 4 ; ; 6 ; 7 Ranger dans l ordre décroissant : 4 ; 37 ; 9 ; 8 ; ; 4 ; 3 4 Recopier et placer dans le rangement ci-dessous, les nombres 36, ; 3 et 3, 8, > > 3, > > 38, > > 34, Dans quel ordre ce rangement a-t-il été fait? 5 Ranger dans l ordre croissant : 34, ; 5 ; 43, ; 5, ; 3 ; 5, Ranger dans l ordre décroissant : 6,5 ; 64, ; 6,3 ; 6, ; 6,4 ; 6, 6 Rectifier l erreur dans ce rangement : 84, < 836, < 8, 4 < 8, 3 < 8, 7 7 a) Tracer une droite graduée en prenant un côté de carreau du cahier comme unité de longueur b) Placer les points, D, C, I, T et R d abscisses respectives : ( ) ; ( 85, ) ; ; ( 7) ; ( + 35, ) et ( 4) a) Donner la liste des points en parcourant la droite dans le sens de la flèche b) Ranger leurs abscisses dans l ordre croissant c) Ranger leurs abscisses dans l ordre décroissant 3 NOMBRS RLATIFS T RPÉRAGS 55
SAVOIR 3 RPÉRAG DANS LIR DANS UN RPÈR T PLACR UN POINT Repère orthogonal du plan exercices 8 et 9 Définition Un repère orthogonal du plan est formé de deux droites graduées, perpendiculaires et de même origine La droite graduée «horizontale» est appelée : l axe des abscisses La droite graduée «verticale» est appelée : l axe des ordonnées origine du repère O axe des ordonnées axe des abscisses Coordonnées d un point Propriété Dans un repère du plan, chaque point peut être repéré par deux nombres relatifs appelés les coordonnées du point Le premier nombre cité est toujours l abscisse du point et le second est l ordonnée Remarque : abscisse est un nom féminin ; on dit «une abscisse» xemple : On «lit» sur le graphique que les coordonnées du point F sont 3 et On note : F( 3 ; ) abscisse ordonnée Les coordonnées des autres points sont : O( ; ) ; G( ; ) et H( ; ) F lire d abord 3 lire ensuite abscisse du point F O G ordonnée du point F H une MÉTHOD pour placer des points dans un repère exercices à Dans un repère, placer les points : A( ; ), C( 3 ; ) et D( ; ) 5 D 3 A 4 C O 3 On trace la parallèle à l axe des ordonnées passant par la graduation de l axe des abscisses On trace la parallèle à l axe des abscisses passant par la graduation de l axe des ordonnées On marque le point A au point d intersection de ces deux droites Le point C a pour ordonnée On le place donc sur l axe des abscisses à la graduation 3 Le point D a pour abscisse On le place donc sur l axe des ordonnées à la graduation 56
L PLAN APPLIQUR Lire des coordonnées dans un repère 8 Donner les coordonnées des points A, B, C, D,, F et G placés dans le repère ci-dessous : 9 Avec les bons mots On considère le repère suivant : F C B Citer les points qui ont la même abscisse 3 Citer ceux qui ont la même ordonnée 4 Citer le ou les points qui ont une abscisse positive et une ordonnée négative 5 Citer le ou les points qui ont une abscisse négative et une ordonnée positive A D G N R Recopier et compléter les phrases ci-dessous à l aide des mots : coordonnées, opposées, abscisse(s), ordonnée(s) a) Les points M et P ont la même, mais leurs sont b) Les du point R sont c) Les ordonnées des points P et N sont ; leurs aussi M P Placer des points dans un repère X RC IC GUIDÉ Corrigé p 77 Tracer un repère orthogonal d origine O en prenant un côté de carreau du cahier comme unité de longueur sur chaque axe a) Placer les points : A( 3 ; 4) ; B( 3 ; 3) et C( 3 ; ) b) Tracer la droite ( AB) Passe-t-elle par le point C? Pourquoi? 3 a) Placer les points : F( 5 ; ) ; G( 3 ; ) et H( ; ) b) Tracer la droite ( FG) Passe-t-elle par le point H? Pourquoi? 4 Tracer le segment [ CF] Il coupe l axe des abscisses au point I Les coordonnées de I sont-elles ( ; ) ou ( ; )? 5 Placer le point J( 3 ; ), puis tracer le segment [ JH] Les segments [ JH] et [ CF] se coupent en K Les coordonnées du point K sont-elles ( ;, 5) ou ( 5, ; )? a) Sur une feuille de papier à petits carreaux (5 mm de côté), tracer un repère orthogonal et d unité de longueur cm sur chaque axe b) Placer les points : R( 3 ; 5), S( 45, ; 3, 5), T( 4 ;, 5), U( 3 ; ), V( 5, ; 3, 5) et W( ; 3) À l aide de la règle et du compas, vérifier que l un de ces points est le milieu des deux autres Les citer a) Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère orthogonal en prenant cm comme unité de longueur sur chaque axe b) Placer les points : A( 5, ; ), B( ; ), C( ; ), D( 4 ; ), ( 3 ;, 5), F( 43, ;, 5), G( ;, 5) et H( 3 ; ) c) n utilisant certains des points marqués, citer sans les tracer, deux droites parallèles à la droite ( CH) Tracer les huit segments suivants : [ AB], [ BC], [ CD], [ D], [ F], [ FG], [ GH] et [ HA] 3 NOMBRS RLATIFS T RPÉRAGS 57
X S ÉVALU ÉVALU R QCM Pour chacun des exercices suivants, donner la (ou les) bonne(s) réponse(s) A B D Si échec, voir : 3 3, 5 ; ; 7 ; 3, ; 4 ; + 7 Dans cette liste, il y a : nombres positifs 4 nombres entiers 4 nombres négatifs ex et 4 53 et 53 sont des nombres : contraires symétriques opposés ex 5 5 Pour comparer 37, et 38, on peut écrire : 37, < 38, 38, < 37, 37, > 38, ex 8 et 9 6 Dans la série 78, ; 79, et 793,, le plus petit nombre relatif est : 78, 79, 793, ex 5 7 Les nombres 47, ; 48, ; 4, ; 48, ; 4 sont écrits dans : l ordre croissant l ordre décroissant aucun ordre ex 4 et 6 B P A I N,5 8 9 L abscisse du point A est : Dans l ordre décroissant on a : 5, 5, < 5, < N> I> P >, 5> ex 6 ex 7 3 Les points G( 4 ; 4) et H( 4 ; 4) ont des : abscisses opposées coordonnées opposées ordonnées opposées ex 9 C D 3 Les points C et A ont : pour abscisse pour ordonnée des ordonnées opposées ex 8 A B O C 3 Les points D et B ont : des abscisses opposées la même ordonnée que A des ordonnées opposées ex Vérifier les réponses en page 77 Cherchons un peu 33 Pour atteindre la salade, l escargot doit se déplacer de case en case et toujours vers le nombre immédiatement inférieur Pour se distraire, il récolte en chemin les lettres de ces cases qui forment un proverbe Quel est ce proverbe? A N O N N A U, I,3 R, C 4,7 5 I 5,4 R,3 I,4 Q,7 U,6 I S 4,5 B 4,3 R 5, A 5,3 U 4 3 X 3, Q 3 U 4, 4,4 D 49 N,5, 3,7 4 4, 58
XRCICS 34 Découvrir une méthode Quelle est la distance à zéro de ( 7)? Quelle est la distance à zéro de ( + 7)? 3 Quelle est la distance entre ( 7) et ( + 7)? 4 Pour calculer la distance entre deux nombres opposés, expliquer pourquoi il suffit de multiplier par la distance à zéro de l un de ces nombres? 35 Appliquer la méthode découverte dans l exercice 34 pour calculer, de tête, la distance : a) entre 3 et + 3 ; b) entre 4 et 4 ; c) entre 3, 5 et + 3, 5 ; d) entre 8, et,8 ; e) entre 4 et 4 ; f) entre 6 et 6 ; g) entre 5,7 et 57, ; h) entre 6,9 et 69, 36 Sur une droite graduée, quels sont les deux nombres relatifs situés : a) à 4 unités de 3? b) à 6 unités de? CALCUL MNTAL 37 Pour chaque cas, trouver le calcul qui permet de passer d un nombre à son suivant, puis compléter a) 7 ; 5 ; 3 ;? ;? ;? ;? ; 7 b) ; 7 ; 4 ;? ;? ;? ;? ; c) 5 ; 3 ; ;? ;? ;? ;? ; 9 d) 5 ; ; 7 ;? ;? ;? ;? ; 3 e) 4 ;,5 ; ;? ;? ;? ;? ; 65, 38 Voici les notes de Marco en Anglais : ; 6 ; 4,5 ; 7 ; ; 4,5 ; 3,5 ; 9 Il décide de repérer ses notes par rapport à la moyenne, en notant + 6 pour 6 et 6 pour 4 Dire, de tête, le nombre relatif noté par Marco pour chacune de ses notes Même consigne lorsqu il décide de repérer ses notes par rapport à la moyenne de la classe, CALCUL LITTÉRAL 39 La lettre x désigne un nombre relatif Pour dire : «le nombre x est compris entre 3 et», on note : 3 < x < C est ce qu on appelle un encadrement de x Dire par quels entiers relatifs on peut remplacer la lettre x dans cet encadrement Pour chaque encadrement ci-dessous, choisir, parmi les nombres proposés, ceux qui peuvent remplacer la lettre 4 Autre devinette Retrouver les trois entiers relatifs x, y et z à l aide des trois renseignements suivants : x > 6 ; z < 5, et x< y< z 4 On désigne par x l abscisse de chaque point du graphique, et par y son ordonnée 8 < a < 3 6 4 8 4 < b < 5, 39, 4,,9 F,5 C G 3 5, < c <, 4,, 6,,7 4 Devinette Retrouver les deux nombres relatifs a et b à l aide des trois renseignements suivants : a< b ; la distance à zéro du nombre a est ; b est un entier négatif non nul D H Recopier et compléter : Pour le point F, x = et y = Quel est le point pour lequel x = y? 3 Quel est le point pour lequel y = x? 4 Quel est le point pour lequel x= y? 3 NOMBRS RLATIFS T RPÉRAGS 59
XRCICS S NTRAÎNR Nombres relatifs et droite graduée 43 Imaginons qu un droïde décide de prendre le début de l année pour origine des dates 7 serait alors repérée par ( + 7) et 993 par ( 7) Donner les nombres relatifs permettant de repérer les années suivantes : a) 5 ; 99 ; 78 ; 5 ; 985 b) 58 : usage du calendrier grégorien c) 63 : invention de la première machine à calculer mécanique d) 946 : inauguration du premier ordinateur à lampes Donner les années qui correspondraient à : + 7 ; 6 ; + 35 ; 44 Écrire l opposé de chacun des nombres suivants : ; 45, ; 8, ; 3, ; ; + 7 ; Quels sont les nombres relatifs qui ont pour opposés les nombres : 3 8 7 ; + 9 ; 6, ; --------- ;,5 ; ------? 45 Sur papier quadrillé, reproduire la droite graduée ci-dessous :,5, Placer les points : C( 7, ), (, ), H( 4, ), I( 3, ) et N( 5, ) 46 Tracer un axe du temps, en prenant un centimètre pour dix ans Placer les points représentant la date de naissance des empereurs romains suivants : Tibère : 4 av J-C ; Néron 37 ap J-C ; Caligula : ap J-C ; César : av J-C ; Auguste : 63 av J-C ; Vespasien : 9 ap J-C 3 Lequel est né le premier? le dernier? 6 origine des dates 47 Historique Certains animaux ont commencé à être domestiqués au Proche-Orient Par exemple : le bœuf : 8 av J-C ; la chèvre : av J-C ; le chien : av J-C ; le mouton : 8 5 av J-C D autres animaux furent domestiqués en urope beaucoup plus tard Par exemple : le chat : 5 av J-C ; le cheval : 4 av J-C Tracer un axe gradué comme ci-dessous, en prenant cm pour ans Placer approximativement la date d aujourd hui, puis les dates citées ci-dessus 48 Voici la liste des abscisses des points A, B, C, D, et F que l on souhaite placer sur une droite graduée : ( 4) ; ( + 5) ; ( 7) ; ( + 45, ) ; ( 83, ) ; ( + 6, ) Pour cela, on dispose des renseignements suivants : A, D et F ont des abscisses positives ; B, C et ont des abscisses négatives ; OA < OD < OF ; OB < OC < O origine des dates Tracer une droite graduée d origine O en prenant cm comme unité de longueur Placer les six points 49 Tracer une droite graduée d origine O en prenant cm comme unité de longueur Placer les points R, S, T, U, V, W, X et Y tels que : les points R, S, T et U aient des abscisses négatives ; OR = OV = ; OT = OX = 5 ; OS = OW = 37, ; OU = OY = 65, 3 Recopier et compléter les phrases suivantes a) Les points S et W sont par rapport à O b) Le point O est le du segment [ UY] c) Les points T et X sont à la même de O ; leurs sont des nombres opposés
XRCICS Comparer des nombres relatifs 5 Ranger dans l ordre croissant : 4,5 ; 38, ; 4, ; 3,9 ; 36, ;, ; 5, a) Écrire les opposés des nombres ci-dessus b) Ranger ces opposés dans l ordre décroissant 5 Malgré certains chiffres cachés, certaines comparaisons sont possibles Dans ces cas-là, les recopier et remplacer les pointillés par les symboles < ou > a) 3,, ; b) 7,, 8 ; c), 4 44, ; d) 3,, ; e) 5, 6 47, ; f) 8,, 7 ; g),, 3 ; h) 6, 3 64, 5 Donner la distance à zéro de chacune des abscisses des points marqués sur la droite graduée ci-dessous N O A V S I Ranger par ordre croissant ces distances à zéro 53 Températures extrêmes La recherche de températures extrêmes a des applications pratiques Par exemple, on utilise de l hydrogène liquide à 53 C pour la propulsion des fusées Voici cinq autres températures extrêmes : 73, 5 C ; 5 C ; 7, 6 C ; 5 C ; 73, 48 C Retrouver à quelle situation ci-dessous chacune correspond a) Température la plus élevée observée (en 994) b) Hélium liquide utilisé pour de puissants aimants c) Zéro absolu ; température minimale encore jamais atteinte d) Noyau du Soleil e) Température la plus proche du zéro absolu : celle où l hélium se cristallise Ranger les six températures de cet exercice par ordre croissant 54 On veut placer sur une droite graduée les points suivants : point N A O I V abscisse,65 4,,8 5,, 5, a) Quelle longueur convient-il de choisir pour l unité de graduation? b) Placer ces points sur une droite graduée Ranger les abscisses de ces six points par ordre décroissant 55 Donner tous les nombres entiers relatifs situés dans la zone bleue ci-dessous : 7,5 3,5 a) Après avoir effectué une mesure, retrouver l unité de longueur qui a été choisie pour l unité de graduation b) Reproduire la droite graduée ci-dessus, puis colorier en rouge les points dont les abscisses sont comprises entre, 5 et 5, 3 Donner la liste des nombres entiers relatifs qui sont à la fois dans la zone bleue et dans la zone rouge 56 69, < 684, < 68, est un encadrement de 684, au dixième près, car 69, et 68, sont les nombres à une décimale qui lui sont le plus proche Donner un encadrement au dixième près de chacun des nombres suivants : a) 676, ; b),3 ; c) 987, ; d), 33 Utiliser un repère du plan 57 Tracer un repère orthogonal en prenant un côté de carreau du cahier comme unité de graduation sur chaque axe a) Placer les points : A( 5 ; ), B( ; 6) et D( 3 ; 4) b) Placer les points C et symétriques respectifs des points A et D par rapport à l axe des ordonnées Donner les coordonnées des points C et 3 Tracer les cinq segments suivants : [ AC], [ C], [ B], [ BD] et [ DA] 3 NOMBRS RLATIFS T RPÉRAGS 6
XRCICS 58 a) Dans un repère orthogonal ayant la même unité de longueur sur chaque axe, placer les points A( ; 4) et C( 3 ; ) b) Donner les coordonnées du milieu I du segment [ AC], puis construire la médiatrice ( d) de [ AC] a) On appelle B le point d abscisse et tel que B ( d) Placer B b) Marquer le point D pour que ABCD soit un losange Lire sur le graphique les coordonnées de D 59 Dans un repère orthogonal d origine O et d unité de longueur cm sur les deux axes, tracer le cercle ( ) de centre O et de rayon 5 cm Quelles sont les coordonnées des points appartenant à ce cercle et dont l abscisse est nulle? dont l ordonnée est nulle? 3 Quelle est la nature du quadrilatère dont les sommets sont les points d intersection du cercle ( ) et des axes du repère? 6 Le tableau ci-dessous indique les températures minimales (arrondies au degré près) relevées à Paris depuis plus d un siècle mois température minimale année janvier 8 C 985 février 5 C 956 mars 9 C 89 avril 4 C 879 mai C 874 juin 3 C 88 juillet 6 C 97 août 7 C 88 septembre C 889 octobre 3 C 887 novembre 4 C 89 décembre 4 C 879 n s inspirant du modèle ci-contre, construire un graphique représentant ces températures 6 4 O 4 température (en C) J F M A mois Devoir à la maison 6 Tracer une droite graduée d origine P en prenant un côté de carreau du cahier comme unité de longueur Placer les points : O( 3), c est-à-dire O d abscisse 3 ; T( ) ; C( 7) M et R tel que M soit le milieu des segments [ OT] et [ CR] ; le milieu du segment [ TR] 3 Lire graphiquement les abscisses de M, R et 4 a) Quelles sont les distances des points C, O, M, T, et R au point d origine P? b) Citer les points d abscisses opposées 6 a) Sur du papier millimétré, tracer un repère orthogonal en prenant un centimètre comme unité de longueur sur chaque axe b) Placer, dans ce repère, les points : B( 3, ;, 5), ( ;, 8), I( 5, ;, 8), N( 8, ; ), O( 4 ; 3), R( 3 ; 3, 5) et T(, ; 3, 5) a) Ranger les abscisses des points B,, I, N, O, R et T dans l ordre croissant b) Quel mot lit-on lorsqu on cite ces points en suivant cet ordre? 3 a) Ranger les ordonnées des points B,, I, N, O, R et T dans l ordre décroissant b) Quel mot lit-on lorsqu on cite ces points en suivant cet ordre? 63 Tracer un repère orthogonal du plan, d origine O et d unité de longueur,5 cm sur les deux axes Dans ce repère, placer les points : A( ; ), B( ; 3) et C( ; 3) 3 a) Placer le point D de façon à ce que le quadrilatère ABCD soit un rectangle b) n déduire les coordonnées du point D 4 a) Placer les points et F de façon à ce que le quadrilatère ADF soit un carré b) Quelles sont les coordonnées des points et F? Donner toutes les solutions 5 a) Placer les points G et H de façon à ce que le quadrilatère ACGH soit un losange de centre D b) Quelles sont les coordonnées des points G et H?
XRCICS S PRFCTIONNR 64 Bien lire Layla et Rodolphe choisissent chacun un nombre relatif Le nombre choisi par Layla est du même signe que l opposé de 7 L opposé du nombre choisi par Rodolphe est du même signe que l opposé de 45, Layla et Rodolphe ont-ils choisi des nombres ayant le même signe? 65 Sur une droite graduée marquer le point M d abscisse et le point B d abscisse Placer les points, O, N et R en respectant les données suivantes : a) l abscisse de est positive et B = 6 ; b) l abscisse de O est négative et BO = 4 ; c) l abscisse de N est négative et N = B ; d) l abscisse de R est positive et BR = BO Ranger les abscisses de ces six points dans l ordre décroissant 3 Citer deux points symétriques par rapport à un troisième : a) qui n ont pas d abscisses opposées ; b) qui ont des abscisses opposées 66 Écrire l entier le plus proche de chacun des nombres suivants : a) 8,47 ; b) 34, ; c),67 ; d) 638, ; e) 75, ; f) 6,48 Quelle remarque peut-on faire à propos des entiers relatifs obtenus? 3 Remplacer x et y par des nombres relatifs : a) 74, < x< y< 739, ; b) 8, < x< y< 8, 67 Des régions dans un repère du plan Des points ont pour abscisse x et pour ordonnée y On sait que : 3 < x < et 4 < y < Tracer un repère orthogonal et colorier en rouge la région où se trouvent ces points a) Marquer les points de cette région qui ont des coordonnées entières b) Nommer ces points et donner leurs coordonnées 3 Dans le même repère, colorier en bleu la région dont les points de coordonnées ( x ; y ) vérifient : < x < 3 et < y < 68 Donner la valeur approchée par défaut à l unité près de : a) 6,58 ; b) 658, ; c) 8, ; d) 8, ; e) 3, ; f) 38, 69 Dans l océan Atlantique À l aide d une mappemonde, d un planisphère ou de la carte à la page 47, rechercher : a) deux grands pays traversés par le parallèle de latitude 6 nord ; b) deux pays sous lesquels passe le parallèle de latitude 6 sud Le tableau ci-dessous donne les températures de l océan Atlantique relevées à plusieurs profondeurs aux latitudes 6 N et 6 S profondeur (en mètre) température de l Atlantique latitude 6 N latitude 6 S 5 7 C C 8 C 3, C, C,5 C 6 C,9 C a) Sur du papier millimétré, tracer un repère orthogonal en s inspirant du modèle ci-dessous profondeur (en m) température (en C) b) Prendre, sur l axe des abscisses, cm pour m de profondeur et, sur l axe des ordonnées, cm pour degré Celsius c) Représenter par des points les données du tableau Relier ces points par des segments : en rouge pour les données concernant la latitude 6 N, en vert pour celles concernant la latitude 6 S 3 Quelles observations peut-on faire? 3 NOMBRS RLATIFS T RPÉRAGS 63
RÉVISR DS SAVOIRS R É VISIONS R É VISIONS R É VISIONS R É VISIONS 7 Fractions et aires n l an, un immense iceberg s est détaché de la banquise de Ross en Antarctique Il s est ensuite scindé en plusieurs morceaux La partie visible au-dessus de l océan, c est-à-dire la partie émergée, mesurait pour l un d eux : 87 km de long, 37 km de large et 6 m de hauteur Sachant que la partie émergée ne représentait que un huitième de la hauteur totale de l iceberg, à quelle profondeur peut-on évaluer sa partie la plus basse? Si on considère que la partie émergée avait la forme d un parallélépipède rectangle (ou pavé droit), calculer la surface de glace visible au-dessus de l océan 7 Cercle circonscrit a) Sur du papier millimétré, tracer un repère orthogonal en prenant un centimètre comme unité de longueur sur chaque axe b) Placer les points : I( ; 3), A( 6 ; ) et L( ; 5) a) À l aide du compas et de la règle, tracer le cercle circonscrit au triangle IAL b) Lire sur le graphique les coordonnées de son centre 3 a) Placer les points : T( 3 ; ), R( ; ), N( 7 ; ) et G( 6 ; 4) b) Vérifier sur le graphique que ces points appartiennent au cercle de centre 4 a) Citer les cinq triangles ayant le diamètre [ TN] pour côté et dont le troisième sommet est un point du cercle b) Faire une conjecture sur la nature de ces cinq triangles 5 n utilisant des points déjà marqués, Maéva a trouvé quatre triangles isocèles dont est le centre du cercle circonscrit Nommer ces quatre triangles 64 7 Symétrie axiale a) Tracer un repère orthogonal Prendre le côté d un carreau du cahier comme unité de longueur sur chaque axe b) Placer les points suivants : A( ; ), B( 3 ; ), C( 7 ; 3) et D( ; 5) c) Tracer le quadrilatère ABCD a) Marquer sur l axe des ordonnées le point de façon que le triangle DA soit isocèle en A b) Quelles sont les coordonnées du point? 3 a) Quelles doivent être les coordonnées du point F pour que la droite ( AB) soit l axe de symétrie de la figure ADCBF? b) Quelles doivent être les coordonnées du point G pour que la figure AGD soit un losange? 73 Deux symétries Sur papier quadrillé, reproduire la figure cidessous dans un repère orthogonal O A C Donner les coordonnées des points A, B, C, D, et F 3 a) Placer les points A, B, C, D, et F symétriques respectifs des points A, B, C, D, et F par rapport à l axe des abscisses b) À l aide de ces points, tracer le symétrique du nombre 9 Que constate-t-on? c) n comparant les coordonnées des points A à F à celles de A à F, énoncer un procédé pour passer de l une à l autre 4 Suivre les mêmes consignes qu à la question 3 après avoir placé les points A, B F symétriques respectifs de A, B F par rapport au point O 5 Les figures obtenues aux questions 3 et 4 sontelles symétriques? Si oui, préciser de quelle symétrie il s agit B F D