Notions sur les lignes de transmission

Notions sur les lignes de transmission SOMMAIRE! 1. Introduction! 2. ircuit équivalent! Tension et courant! Exemple du guide d onde plan! Éléments du circuit équivalent! 3. igne continue infinie! Équation des lignes! Impédance caractéristique! 4. igne chargée! oefficient de réflexion! Taux d ondes stationnaires! Impédance ramenée! 5. Étude de quelques cas! igne demi-onde, quart-d onde! igne en court-circuit! igne en circuit ouvert! 6. Adaptation des lignes! Quelques exemples! 7. Aaque de Smith! oefficient de réflexion! Représentation des impédances dans le plan complexe! Exemples d applications Gérard Hincelin - Electronique B8 1

Introduction! Modèle théorique commun à tous types de guides d ondes! igne de transmission équivalente:! a théorie des ondes électromagnétique manipule des champs E et H! Dans la théorie des circuits les champs sont remplacés par des éléments de circuits! permet d associer des circuits actifs (représentés par des circuits équivalents)! e guide d onde est remplacé par un circuit équivalent! Inductances, capacités, résistances! es éléments ne sont pas discrets, mais continus! Permet de traiter à partir de notions d impédance les prolèmes! de raccordement de guides d onde! de connexion à une charge quelconque Gérard Hincelin - Electronique B8 2

circuit MMI Structure arorescente 2 étages.r. NAM ircuits Intégrés Microondes janvier 2002 53 Gérard Hincelin - Electronique B8 3

Tensions et courants! a structure est représentée par! Une Inductance série, unité H/m.! Une résistance série R, unité Ω/m! Une capacité en parallèle, en F/m! Une conductance parallèle G, en S/m! Relation entre hamp E et tension V: r r V = E. dl a) Représentation d un guide d onde plan ) Éléments de circuits c) igne de transmission! Relation entre champ H et courant (loi d Ampère): r r I = " H. dl! Puissance transportée: 1 1 r r Re VI = Re E H ds 2 2 S c Gérard Hincelin - Electronique B8 4

Illustration: guide d onde plan a E x w z H y Mode TEM dans le guide plan! Expression des champs:! ourant I: ( ω β ) Ex = E0 exp j t z E = η! Tension V : ( ω β ) 0 H y exp j t z a 0! Puissance moyenne (mode TEM) 2 1 r r 1 E0 wa P= Re E H ds ExHywa 2 = = 2 2η ( ω β ) V( z) = Exdx= ae0 exp j t z w E0 ( ) y exp η 0 ( ω β ) I z = H dy = w j t z S Gérard Hincelin - Electronique B8 5

Eléments du circuit équivalent! Inductance équivalente par unité de longueur:! aractérise la densité d énergie magnétique stockée dans le milieu! apacité équivalente par unité de longueur:! aractérise la densité d énergie électrique stockée dans le milieu.! On les calcule à partir du théorème de Poynting! Résistance série R:! aractérise les pertes par effet Joule à la surface des parois du guide! onductance parallèle G:! aractérise les pertes dans l isolant (le courant circule d une armature à l autre)! Traiter en exercice la cas du mode TEM dans le guide d onde plan Gérard Hincelin - Electronique B8 6

a ligne continue de longueur infinie! D après le schéma ): V + dv = V RdzI jωdzi! soit: dv dz ( ω) = R+ j I = ZI ourant et tension sur la ligne: a) Section de ligne de longueur dz ) ircuit équivalent! Pour le courant:! soit: di dz I + di = I GdzV jωdzv ( ω)! Équations des lignes: = G+ j V = YV 2 dv dz 2 2 di dz 2 ZYV = 0 ZYI = 0 Gérard Hincelin - Electronique B8 7

Impédance caractéristique! Solution générale pour les tensions: V( z) = VI exp( γz) + VRexp( γz)! variations sinusoïdales en exp( jωt)! V I : amplitude de l onde incidente! V R : amplitude de l onde rétrograde! onstante de propagation: 12 ( ZY ) ( R j )( G j ) 12 γ = = + ω + ω γ = α + jβ! partie réelle α: atténuation! partie imaginaire β: phase! igne sans perte:! Pour R = 0 et G = 0: α = 0 β = ω 2π! Onde TEM: β = λ! Impédance caractéristique Z : 1 dv γ I = = VI exp z VR z Z dz Z! igne infinie: V R = 0 Z! igne sans perte: ( γ ) exp( γ ) 12 V Z Z R+ jω = = = = I γ Y G+ jω Z = 12 Gérard Hincelin - Electronique B8 8

oefficient de réflexion à la charge onde incidente onde réfléchie Représentation d une ligne chargée : Z peut représenter éventuellement une autre section de ligne de transmission.! igne finie sans perte:! Impédance de charge Z en z = 0! Impédance Z(z) «vue en z»: V( z) VI exp( γz) + VRexp( γz) Z( z) = = Z I( z) VI exp( γz) VRexp( γz) VI + VR! En z = 0 : Z(0) = Z = Z V V! oefficient de réflexion à la charge: VR 1+ ρ ρ = Z = Z VI 1 ρ Z Z Z 1 ρ = = Z + Z Z + 1! Impédance normalisée: I R Z = Z Z Gérard Hincelin - Electronique B8 9

Ondes stationnaires! igne infinie, ou ρ = 0! Valeur moyenne de V constante! Impédance Z = V/I constante! Réflexion à la charge ρ < 1! Une partie de la puissance est renvoyée vers la source! Taux de réjection R( db) = 20log10 ρ! a ligne n est pas adaptée! V et I varient le long de la ligne! Réflexion totale ρ = 1! Il n y a plus de propagation Gérard Hincelin - Electronique B8 10

Taux d ondes stationnaires TOS ( 1+ ρ ) z/λ z/λ z/λ Enveloppes du courant et de la tension V I V I ( 1 ρ ) z! On montre l expression: 1+ ρ TOS = S = 1 ρ! Soit: TOS 1! Impédance ramenée Z(z):! «vue par l onde» en un point z V( z) Z( z) = I( z)! Z(z) varie avec la période λ/2! Mesures sur anc: Z( zmax ) = ZS Z( zmin ) = Z S ρ = ( S 1 ( S+ 1) Gérard Hincelin - Electronique B8 11

Impédance ramenée! On a étali l expression! En fonction de ρ : VI exp( γz) + VRexp( γz) Z( z) = Z V exp( γ z ) V exp( γ z ) ( ) Z z = Z I ρ exp( γz) + exp( γz) ρ exp( γz) + exp( γz) R! igne sans pertes: γ = jβ! Impédance ramenée en un point z = - :! En reportant l expression de ρ : Z = Z exp( jβ) + ρ exp( jβ) exp( jβ) ρ exp( jβ) Z Z Z + jztg( β) = Z + jz tg ( β )! impédance en un point de la ligne dépend de:! impédance de charge Z! impédance caractéristique Z! a distance réduite /λ : β = 2π λ Gérard Hincelin - Electronique B8 12

5 4 Exemple pratique n 1 Re Z! Impédance normalisée: Z = Z Z Z /Z 3 2 1 0! Exemple: Z = 0,5 + j1, 0 Z Z Z + jztg( β) = Z + jz tg ( β ) -1-2 Im Z -3-1 -0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 Parties réelle et imaginaire de l impédance Z, sur une ligne terminée par une charge Z Z = 0,5 + j1,0 z/λ! Équation de la coure (pour > 0) Z Z Z + jtg( β) = = Z 1 + jz tg( β)! Périodicité de λ/2 Gérard Hincelin - Electronique B8 13

Etude de quelques cas! igne demi-onde : = λ/2 soit β = π! Z = Z : on retrouve l impédance de la charge tous les nλ/2! igne quart d onde : = λ/4 soit β = π/2! Transformateur d impédance : adaptation par une section de ligne Z 2 Z 1 1 Z = Z = = Z Z Z Y! impédance normalisée en est égale à l admittance de charge normalisée! Z est fonction des caractéristiques de la section de ligne utilisée Gérard Hincelin - Electronique B8 14

igne en court-circuit! Impédance ramenée avec Z = 0: Z = jz tg ( β)! impédance est purement réactive! Sa valeur varie entre Z =+ et Z =! Adaptation d impédance Tension courant Tension et courant sur une ligne court-circuitée! oefficient de réflexion: ρ = - 1! Analogue à la réflexion d une onde plane sur un conducteur parfait! Tension et courant ( β ) V = 2jVI sin z 2V I I = cos( β z) Z Gérard Hincelin - Electronique B8 15

igne en circuit ouvert ircuit ouvert! Impédance ramenée avec Z = ( β ) Z = jz cot g! Peu commode à réaliser en pratique! es ondes rayonnent et voient donc l impédance de l espace lire hamps! hoke : simulation d un circuit ouvert Z = jz tg β! igne en court-circuit: ( )! Impédance ramenée à la distance λ/4 du court-circuit : Z =! Utilisé dans les portes des fours à microondes pour éviter les fuites d énergie ourt-circuit et ligne quart d onde «hoke». es champs qui voient une impédance infinie sont stoppés Gérard Hincelin - Electronique B8 16

Adaptation des lignes : ligne quart d onde Z Z! Z = Z entre la source et la section d adaptation.! Section de ligne en série! Avec une ligne quart d onde Z = Z Z 2 Z = Ω Z 2 = 61, 2 Ω Z = Z 3 = 75 Ω 1 50 Adaptation avec une ligne quart-d onde! Adapter un câle de 75 Ω (Z ) à un câle de 50 Ω (Z ) Z 2 = Z Z = 75 50 = 61,2 Ω Gérard Hincelin - Electronique B8 17

Un exemple d adaptation par «stu» court-circuit! Soit à adapter une charge d impédance: 1 Z = 0,5Z + jz = 0,5 + j1, 0 z! impédance caractéristique de la ligne est réelle: Z = R Z Z /Z Adaptation avec un stu en série! Première étape : déterminer sur la ligne un point X où Re[Z ] = R :! Graphiquement on trouve deux points (et tous les points distants de λ/2)! impédance ramenée est de la forme : Z = R + jx 0 0,25 0,5 d/λ! Deuxième étape : placer au point X une impédance de valeur - jx annule la partie réactive et adapte la ligne. Gérard Hincelin - Electronique B8 18

Stu parallèle court-circuit! Il est souvent plus facile d ajouter une portion de ligne en parallèle.! On résonne alors sur les admittances Gérard Hincelin - Electronique B8 19

Aaque de Smith : introduction! Due à P. Smith (Bell las. 1939)! Aide graphique pour traiter:! oefficients de réflexion! Ondes stationnaires! Impédances ramenées! Toujours utilisé dans les logiciels spécialisés, pour la présentation des résultats de simulation.! Aspect compliqué provenant de la grande quantité d informations Gérard Hincelin - Electronique B8 20

-1-2 y vers générateur oefficient de réflexion : plan complexe [ ρ] (Im ) vers le générateur 2 > 1-1 ρ 1 point de départ vers charge θ 1 x 0 z! Impédance ramenée en z = - (ligne sans pertes): exp( jβ) + ρ exp( jβ) Z = Z exp( jβ) ρ exp( jβ)! En fonction de ρ :! oefficient de réflexion ramené en z = : ρ = ρexp( 2 jβ)! Variation de ρ le long de la ligne:! Pas de pertes :! Vers générateur : rotation horaire! vers la charge : rotation anti-horaire Gérard Hincelin - Electronique B8 21 Z = Z 1+ ρ exp( 2 jβ) 1 ρ exp( jβ) vers la charge ρ2 = ρ 1exp 2 jβ( 1 2) 2 < 1-2 [ ρ] (Re ) ρ = const

Représentation des impédances normalisées dans le plan complexe : partie résistive y [ ρ] (Im ) P = 0 1/2 1 2 rayon unité x [ ρ] (Re )! Impédance ramenée Z en fonction de ρ : 1+ ρ Z = Z 1 ρ! Impédance normalisée : Z 1+ ρ Z = = = P+ jq Z 1 ρ! P est la composante résistive! Q est la composante réactive Partie résistive de l impédance normalisée! oures «équi-résistance» dans le plan du coefficient de réflexion xoy 2 2 2 1 P x + y = 1+ P 1+ P! Famille de cercles dans le plan xoy:! entrés en x = P/(1+P); y = 0! De rayons R = 1/(1+P) Gérard Hincelin - Electronique B8 22

Représentation des impédances normalisées dans le plan complexe : partie réactive y [ ρ] (Im ) 1 1/2 2! oures «équi-réactance» : 2 1 1 + y = Q Q ( x 1)! Famille de cercles dans le plan xoy: 2 2 Q = 0 x [ ρ] (Re )! entrés en x = 1; y = 1/Q! Rayons R = 1/Q rayon unité -1/2-1 -2 x =1 Partie réactive de l impédance normalisée Gérard Hincelin - Electronique B8 23

Aaque de Smith : description! Superposition des deux familles de cercles dans le plan xoy! omposante résistive: graduations de 0 à l infini sur l axe Ox.! omposante réactive :! Valeurs positives moitié supérieure! Valeurs négatives moitié inférieure! oefficients de réflexion! Pas de graduations radiales (utilisation d un compas)! Graduations sur la circonférence! D après = j = j ρ ρ exp( 2 β ) ρ exp( 4 π λ)! Un déplacement de = λ/2 sur la ligne correspond à un tour (2π)! Graduations externes en fractions de longueur d onde! Indication du sens de parcours (vers la charge ou vers le générateur)! Valeur de la phase du coefficient de réflexion! Taux d ondes stationnaires TOS (partie positive de l axe Ox) Gérard Hincelin - Electronique B8 24

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Exemple n 2 : aaque de Smith! Reprendre les valeurs de l exemple graphique n 1 avec! On pose ρ = ρ exp( jφ) ρ! alculer et vérifier cette valeur sur l aaque Z = 0,5 + j1, 0! Mesurer φ! Déterminer le module et l argument de ρ au point = 0,3 λ : Z! En déduire la valeur de et de Z (on donne Z = 50 Ω):! Vérifier graphiquement les résultats Gérard Hincelin - Electronique B8 26

Exemple n 3 : alcul du stu série! Dans l exemple fig. 18, déterminer la position et la longueur de ligne (impédance Z ) en court-circuit à utiliser pour adapter la charge:! Placer le point P 1 de coordonnées! Tracer un rayon de centre O passant par P 1 : graduation externe 0,133 λ! Tracer le cercle de centre O passant par P 1 (rayon = )! Première possiilité = 0,5 + j1, 0! Impédance normalisée au point P 2 :! ecture à l intersection du rayon et de la graduation externe : 0,18 λ! Valeur du déplacement : X 1 = 0,18 0,133 = 0,047 λ! Placer en X 1 une ligne en court-circuit, de réactance Q 1 = - 1,65! Point P 3 figuratif d une charge en court-circuit! Pour arriver à Q 1, il faut se déplacer vers le générateur de : 0,321 λ Z Z Z = 0,5 + j1, 0 ρ = 1+ j1,65! Procéder de même pour trouver la seconde possiilité Gérard Hincelin - Electronique B8 27

P 1 P 2 court-circuit P 3 Gérard Hincelin - Electronique B8 28