PC* / PC* / PC CORRECION DU DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N 3 5 novembre 6 Problème CHOURI, ROSEA E PHILAE On applique la troisième loi de Kepler à la comète chouri en orbite elliptique de demi grand axe pér + aph a ch = = 3,46 ua et de période ch, et à la terre en orbite circulaire de rayon d = ua et de période = an pour le même attracteur, le soleil : ch a = 3 ch d soit = a ch 3 ch d AN : ch = 6,4 ans ou environ 6 ans et 5 mois Lorsque les comètes passent à proximité d une planète, et ce d autant plus si celle ci est grosse, leur trajectoire peut être modifiée. En passant près du soleil, elles peuvent en plus aussi être exposées au vent solaire et à une pression de radiation. 3 La comète est en orbite elliptique, sa trajectoire est fermée, c est un état lié d énergie mécanique négative. 3 4 Le champ gravitationnel extérieur créé par une sphère isotrope est simple : G ch = GM ch r On a immédiatement M ch = 4πR 3 ch 3 ch soit R ch = 3M ch 4π ch 3 AN : R ch =,8 km ur 5 L effet de marée exercé par le soleil a un effet dislocateur Le terme de marée s écrit C mar = GM R S astre pour l action du soleil sur un corps céleste Pour la terre de rayon R = 64 km, à D =,5. m, C mar = 5. -7 m.s - D 3 Pour la comète au périhélie, R = 8 m à D =,4 ua =,86. m, C mar = 7,46. - m.s - Ces valeurs sont à comparer au champ de pesanteur existant sur la comète : G ch = GM ch =. 4 m.s - R ch le document indique improprement - que Philae, pour une masse de kg ne pèse que g sur la comète, ce qui correspond bien à une pesanteur 5. 4 fois plus faible soit de. -4 m.s -. Ainsi, sur la terre, le terme de marée du au soleil représente 5. -6 % de la pesanteur, tandis que sur la comète, 3,7. -5 % de la pesanteur. Une comète passant plus près du soleil pourrait subir un effet de marée conduisant à une force dislocatrice supérieur à sa force de cohésion. Ce phénomène peut d ailleurs aussi se produire à proximité de grosses planètes : Jupiter a fait exploser la comète Shoemaker-Levy en 994. 6 Le champ de pesanteur est la superposition du champ gravitationnel et de l accélération d entrainement due à la rotation de la comète. Cette dernière est maximale dans le plan équatorial de la comète, toujours modélisée comme une sphère homogène : a e = Ω R ch soit a e = 3,6. 5 m.s -. Avec un champ gravitationnel G ch = GM ch R ch =,. 4 m.s -, g pole = G ch =,. 4 m.s - et g équ = G ch a e =,7. -4 m.s - soit une variation relative de 9%. En comparaison, sur la terre, cette variation relative n est que de,3% Le champ de pesanteur n est pas uniforme à la surface de la comète. Janson de Sailly PC* / PC* / PC Correction du devoir surveillé de physique n 3
7 On peut exprimer le champ de gravitation à l instant du largage, à d =,7+,8 =,5 km du centre de la comète : G ch d = GM ch et sur la surface de la comète G d ch R ch = GM ch soit Le champ gravitationnel ne peut en aucun cas être considéré comme uniforme R ch G ch d G ch R ch = 8 Par analogie avec le référentiel géocentrique, d origine le centre de la terre et d axes d orientations constantes par rapport à des étoiles très lointaines, on peut définir un référentiel chouricentrique R,ch centré en sur la comète et d axes d orientations constantes. Dans ce référentiel, la sonde assimilée à un point matériel R de masse m R n est soumise qu à la force gravitationnelle de la comète : F ch Ros = GM ch m R r ur En appliquant le théorème du moment cinétique au centre C de la comète, il vient d L " = R F dt ch Ros = R u r F ur ch Ros = donc L "" = R m R v R est constant : le vecteur position est perpendiculaire à un vecteur constant, donc M appartient au plan qui passe par le centre de chouri et qui est perpendiculaire au vecteur fixe, la trajectoire est donc plane 9 On applique le principe fondamental de la dynamique à la sonde dans le référentiel R,ch, en utilisant la v base polaire contenue dans le plan de la trajectoire : m R ur R = GM m ch R u r r r d R ch = 56 soit v R = Gm ch r et = πr v AN : v =,5 m.s - =,6. 6 s = 4 jours et 5 h Le demi grand axe de l ellipse est a = r + r a p soit E m Ros = GM m ch R r a + r p L énergie mécanique étant conservée, on a GM ch m R r a + r p v p = GM ch v r p r a + r p =,3 m.s - p = m v GM m ch R R p r p soit La vitesse de la sonde en orbite circulaire de rayon r p est v p cir = GM ch r p =,6 m.s -. La variation de vitesse est donc Δv = GM r ch soit une diminution de vitesse de,4 m.s - p r p r a + r p GM ch L altitude r = 8 m est atteinte en 7 h soit 5 s pour la 4 ème courbe à partir de la gauche v =,75 m.s - 3 On applique le théorème de l énergie cinétique m v P Ph f m v P = W avec W le travail de Ph i la force gravitationnelle : δw = GM ch m Ph r ur.dr u r = GM m ch Ph dr et W = GM r ch m Ph r r i r f soit v f P = v i P + GM ch avec r r f r i = 5 m et r f i La vitesse de Philae au moment de l impact est de, m.s - = 8 m Janson de Sailly PC* / PC* / PC Correction du devoir surveillé de physique n 3
Dans le référentiel lié à la comète, il faudrait prendre en compte la force d inertie d entrainement, déjà étudiée, et aussi la force de Coriolis. On peut estimer sa valeur maximale pour un largage de Philae à la verticale de l équateur F c = m Ph Ωv soit pour une vitesse de l ordre de m.s -, F c,8 N à comparer à son poids :, N au niveau de la surface : la force de Coriolis est du même ordre de grandeur que le poids de Philae. L étude de la phase d atterrissage a certainement pris en compte la force de Coriolis.. 3 4 On peut comparer la pesanteur à la surface de chouri et à l altitude h = km g R ch g R ch + h = R + h ch R =,4 la force de gravitation exercée par chouri sur Philae varie plus du simple ch au double, et ne peut pas être considérée comme constante pendant le rebond de Philae. On va quand même faire cette hypothèse grossière mais bien pratique... Dans ce cas, le rebond de Philae se ramène à l équation simple : m Ph a P = mph g avec g = GM ch R dans le référentiel de la comète supposé galiléen. En projection dans la base cartésienneox,oy avec Oy vertical ascendant, et O le point de rebond x = y = g soit x = v x y = g t + v y et x t = v x t y t = g t + v y t Le sommet de la trajectoire y = est atteint pour t s = v y g. On a alors y s = v y g La portée correspond à y = soit t = : trivial, instant initial, et t p = v y g Numériquement, la vitesse au rebond est la vitesse d impact divisée par soit v =,55 m.s -. On x p = v x t p = v x v y g Avec un angle de rebond de 5, v x =,4 m.s - et v y =,53 m.s - et g =. 4 m.s - On trouve : y s = 75 m x p = 756 m t p = 533s = h 9 min Le document propose des valeurs du même ordre de grandeur mais assez différentes : y s = m x s > m t p = 7h 5 5h 34 = h 5 min Ces écarts sont dus essentiellement à l hypothèse abusive d une gravité uniforme. La pesanteur diminue avec l altitude, la valeur de g est sur-estimée, ce qui revient à sous évaluer les trois grandeurs calculées. Pour les perfectionnistes, on pourrait reprendre les calculs avec un g moyen Janson de Sailly PC* / PC* / PC Correction du devoir surveillé de physique n 3
Problème FREINAGE D UN LINGO SUR UN CONVOYEUR A ROULEAUX 4 l l y B Solide S N O + z x O O Xt M g Rouleau n Xt Figure d Rouleau n G I I N A h Il y a non glissement en I : v I S = v I R S est en translation donc tous ses points ont la même vitesse : v I S = v G = X e x Avec v I R = v O il vient + ω O I = ω re x X = ω r La vitesse de glissement en I de S sur le rouleau n, est donnée par Avec v I S = v G = X e x et v I R = v O + ω O I = ω re x il vient v g = X e x ω r e x et D après les lois de Coulomb, la composante tangentielle de la force de frottement est, en cas de glissement, de sens opposée à la vitesse de glissement. Avec ω > et X > au moins au début du mouvement vg est orienté selon le sens de ex, donc est orienté selon e x : < v g = X + rω Par ailleurs, en cas de glissement, = N. Avec N >, il vient = N 3 Le solide S est soumis à son poids M g, et aux réactions et R. Le théorème de la résultante cinétique donne Ma G = Mg + R + R soit en projection sur ex et ey : MX = + 3 = N + N Mg 4 4 R est soumis de la part de S à la réaction R, à son poids et à la réaction de l axe O z. Ces deux dernières forces «passent» par l axe O z, leur moment O est donc nul. Il reste pour l application en O du théorème du moment cinétique à R : d L """" /O = O dt I R = r e y ex N ey = r e y ex = r ez et avec d L /O = J "ω ez J ω dt = r 5 5 Le solide S est en translation, donc L G = Le solide S est soumis à son poids, à la réaction R appliquée en I et à la réaction R appliquée en I. Le théorème du moment cinétique appliqué en G à S, compte tenu de L G = donne : dl G = Γ soit dt G R + Γ G R + Γ G M g = GI R + GI R + = GI R + GI R = Or GI = l X d et = l X ; il vient : e x h e y GI Janson de Sailly PC* / PC* / PC Correction du devoir surveillé de physique n 3 e x e x h e y R v g = v I S v I R
5 l X d GI R = h N = soit l X d N + l X N 6 On dispose des relations : X = ω r = N l X GI R = h N = et l X d N + h l X N + h + h + = 6 3 MX = + 4 N + N = Mg 5 J ω = r l X d N + l X N + h + = On peut réécrire 6 : l X d N + N + dn + h + = et en utilisant 3 et 4 : l X d Mg + dn + hmx = Il ne reste plus qu à éliminer N : et 6 J ω JX MX MX MX N =, puis avec 3 : N = et 5 : N = r et enfin avec : N = r J d J + M X + hmx = Donc N = + M X et en remplaçant : l X d Mg r r d J On réorganise : M + hm X + MgX = l d Mg et r 7 Cette équation est celle d un oscillateur si On considère d J h + X + X = l d g Mr d d J h + est positif. g Mr g d h d d d d d = h. Le rapport = 8h et h = 79h vaut 8 donc > g g g h Le mouvement est oscillant de pulsation Ω = d J + g Mr autour de la position d équilibre X e = l d 8 La solution générale de cette équation est de la forme X t = AcosΩt + B sin Ωt + l d Les conditions initiales X = et X = X conduisent à : = A + l d et X = BΩ soit X X sin Ωt. On en déduit la solution complète : X t = d l cosωt + Ω Ω X A ses débuts, Ωt <<, et on peut linéariser : X t Ωt d l + t et X t Ω d l Ω On est en présence d un mouvement uniformément freiné. A = d l et B = 9 a La vitesse X t = d l Ω sin Ωt + X cosωt s annule à l instant τ tel que : X soit tan Ωτ = AN : tan Ωτ = d l Ω sin Ωτ + X cosωτ = d l Ω Le solide est en appui sur le rouleau R tant que X reste inférieur à l d =,4 m X A t = τ, X τ = d l cosωτ + sin Ωτ Ω Avec tan Ωτ =, cosωτ = sin Ωτ = donc numériquement, X m = X τ =,5 m Janson de Sailly PC* / PC* / PC Correction du devoir surveillé de physique n 3
Le solide est toujours en appui avec le rouleau R à l instant τ. b Avec et 5, = J ω = J X et avec X = Ω l d X, r r = JΩ r Le non glissement persiste si reste inférieur à N entre t = et t = τ X l + d 6 est fonction croissante de X, N est fonction décroissante de X, donc N Il faut donc vérifier que N X = X M < AN : N X = X M =,5 < Le non glissement persiste entre t = et t = τ On a N = J r + M X et avec X + Ω X = Ω l d N X = Ω M + J r X l + d, Avec 4, N = Mg N soit N X = Ω M + J r l d X X = Ω l d X soit + Mg Il n y a pas basculement si N et N restent positifs entre les instants t = et t = τ N étant par hypothèse fonction croissante de X t, il suffit que N t = soit positif. est fonction croissante de X De même, N étant fonction décroissante de X t, il suffit que N t = τ soit encore positif. Les deux conditions demandées sont donc N t = > et N t = τ > AN : N t = = N X = > puisque d l > N t = τ = N X = X m = 6. 3 N > Les conditions de non basculement sont bien vérifiées. Pour R en rotation : E c =, et pour S en translation : Jω = J X r E cs = M X On en déduit l énergie cinétique de : E c + E cs = J r + M { S + R X } On peut appliquer le théorème de l énergie cinétique entre les instants t = et t = τ : E τ E = W c c Avec, il vient W = E C = J r + M X E c τ =, résistant correspondant à l action de 3 a La puissance P fournie par le moteur au rouleau R est aussi celle transmise par le rouleau à S soit encore l opposée de celle transmise par S à la roue R : P =. v I rouleau n =. rω ex P = r ω et W = rω dt τ = N = M + J r X = M + J r X P = rω M + J r X On intègre : W = rω M + J τ r Xdt = rω M + J r X τ X Le travail fourni par le moteur est donc : W = rω M + J r X = r ω Janson de Sailly PC* / PC* / PC Correction du devoir surveillé de physique n 3
b Le moteur a fourni le travail W à la roue n, et les deux parties mobiles le solide S et la roue n ont reçu l énergiew ; la différence W W a été dissipée en chaleur au niveau du contact avec frottement 7 et glissement de la roue n : Q = W W Q est aussi l énergie dissipée par le roulement avec glissement Q = v g dt τ Problème 3 LE CRISSEMEN DE LA CRAIE On applique le théorème de la résultante cinétique au pavé soumis à son poids P = mg u z, à la force de rappel du ressort = kl t u x et la force de contact R = u x + N u z : m a G = P + + R soit en projection = mx kl et N = mg Rq : le pavé est en translation donc x G = x t a Si le pavé est fixe, x t = x A = cte et l t = Vt + b x A l t est fonction affine du temps. Ces phases sont représentées par les tronçons pentus sur le graphe. b Avec x t = cte, x = et l équation donne = kl est négatif Pendant la phase de non glissement, on a < f s N soit kl mx < f s mg ou avec x > l < f s mg k l M = f s mg k On en déduit : f s = kl M mg On lit sur le graphe kl M mg =,37 soit f s =,37 3 a Lorsque le glissement commence, on a = f d N ou avec < : = f d mg soit en utilisant la question kl t mx = f d mg Le ressort a alors une longueur l t égale à sa longueur l M augmentée du déplacement Vt du point B pendant la durée t et diminuée du déplacement x t du pavé : on a bien pour t t l t = l M +Vt x t En remplaçant, il vient k l M +Vt x t Avec kl M = f s mg on obtient mx = f d mg soit mx + kx = k l M +Vt f d mg est la pulsation des oscillations libres de ce système. x + k m x = k m Vt + f f s d g soit la forme demandée avec ω = k m qui b On résout l équation x + ω x = ω Vt + f s f d g La solution générale est la somme de la solution générale de l équation sans second membre x g t = Acosωt + B sinωt et d une solution particulière de l équation complète que l on cherche sous la forme d une fonction affine comme le second membre : x p t = αt + β On détermine les coefficients α et β en injectant la solution particulière dans l équation : ω αt + β = ω Vt + f s f d g soit en identifiant les monômes : α = V et β = f s f d g ω La solution générale de l équation complète est : x t = Acosωt + B sinωt +Vt + f s f d g ω On détermine les constantes A et B avec les conditions initiales : Janson de Sailly PC* / PC* / PC Correction du devoir surveillé de physique n 3
8 x = = A + f s f d g ω soit A = f f s d g ω et x = = Bω +V soit B = V ω Finalement, x t = f s f d g ω cosωt V ω sinωt +Vt + f f s d g ω ou x t = V t sinωt ω + f f s d g ω cosωt et x t = V cosωt + f s f d g ω sinωt 4 La vitesse de glissement est définie ici par la vitesse d un point quelconque du pavé par rapport au support fixe : v g = x u x. Le glissement cesse quand x = soit à un instant t défini par : V cosωt + f s f d g ω sinωt = ou cosωt = f sinωt s f d g Vω ωt On passe à l angle moitié : cosωt = sin et sinωt = sin ωt cos ωt Il vient : sin ωt V sin ωt + f f s d g ω cos ωt = soit ωt = π ou tan ωt = f f s d g Vω Comme tan ωt < et t >, π < ωt < π donc π < ωt < π. Cette deuxième solution intervient avant la première, c est la solution recherchée. On garde ωt = arctan f f s d g + π ωv On en déduit finalement t = ω π arctan f f s d g Vω 5 Le graphe montre que lorsque le pavé résiste au glissement jusqu à ce que le ressort ait atteint, par une évolution linéaire, une longueur maximale l M. A ce moment, le pavé se met à glisser et la longueur du ressort diminue : le pavé «rattrape» le point B. La phase de glissement dure jusqu à l instant t où le ressort a une longueur minimale l m et s oppose au déplacement du pavé, faisant cesser le glissement. On lit sur le graphe kl m mg =,3 soit f d f s =,3 Avec f s =,37, on en déduit f d =,34. On a un écart relatif f f s d 9% ce qui justifie l approximation f f s f d s La phase de glissement est représentée par une droite verticale : sa durée est négligeable devant la durée d une phase de non glissement. 6 a La durée de la phase de glissement étant négligeable devant celle de non glissement, la période s identifie avec cette dernière, pendant laquelle la longueur du ressort passe de l m à l M en subissant un étirement à la vitesse V ; on a V = l M l m soit une période = f s mg f f d s mg = f s f d mg Vk et une fréquence ν = V k k V k f s f d mg b En cassant la craie en deux, sa masse est diminuée de moitié. Par ailleurs, un demi ressort subit à traction égale un allongement deux fois plus faible ; sa raideur est deux fois plus grande. La fréquence est donc multipliée par 4 et passe à 4 khz, c est à dire dans le domaine des ultrasons. Votre chat, qui perçoit les sons jusqu à 6 khz, ne va pas apprécier, mais vous, vous ne risquez pas d entendre la craie... Janson de Sailly PC* / PC* / PC Correction du devoir surveillé de physique n 3