Une personne de 60 kg est à gauche d un canoë de 5 de long et ayant une asse de 90 kg. Il se déplace ensuite pour aller à droite du canoë. Dans les deux cas, il est à 60 c de l extréité du canoë. De cobien s est déplacé le canoë s il n y a pas de friction entre le canoë et l eau? www.alternativesjournal.ca/people-and-profiles/web-exclusive-ela-aluni-ake-splash Voyez la réponse à cette question dans ce chapitre
Luc Treblay Collège Mérici, Québec Jusqu ici, nous n avons pas considéré la taille des objets. Ça ne paraissait pas toujours, ais on considérait que les objets étaient ponctuels. Bien sûr, on plaçait les forces aux bons points d application sur l objet, ais cela n avait aucune influence sur nos équations des forces. Nous allons aintenant coencer à considérer la taille des objets puisque cela aura une influence au chapitre suivant. On pourra ensuite ontrer que, êe si on tient copte de la grosseur des objets, tout ce qu on a fait dans les chapitres précédents est valide. On décrivait sipleent le ouveent du centre de asse de l objet. Nous allons preièreent expliquer coent trouver le centre de asse d un systèe. Nous allons coencer par un cas siple pour ensuite trouver le centre de asse pour des systèes plus coplexes. Centre de asse d un systèe fait de particules La position du centre de asse est r r c i i On peut séparer cette forule en coposantes pour obtenir les trois coordonnées x, y et z de la position du centre de asse. Centre de asse d un systèe coposé de particules xc x i i yc y i i zc z i i où est la asse totale du systèe et x i i est la soe des positions en x ultipliée par la asse. Les petits i sont là pour identifier les asses puisqu on va donner un nuéro à chaque asse du systèe. Ces forules seblent sortir de nulle part, ais ce n est pas le cas. C est plus tard qu on va ontrer qu avec cette définition du centre de asse, on trouve la position du point dont le ouveent est décrit par les lois de Newton. Version 05 - Le centre de asse
Luc Treblay Collège Mérici, Québec Exeple.. Où est le centre de asse de ces trois particules? La position de centre de asse en x est xc x x x x 3 3 4kg 03kg 5kg 0kg 3kg 0kg 0,3 La position de centre de asse en y est yc y y y y 3 3 kg 3kg 35kg 0kg 5kg 0kg 0,5 Le centre de asse est donc à la position (-0,3, -0,5 ). Version 05 - Le centre de asse 3
Luc Treblay Collège Mérici, Québec Notez que si on augente la valeur d une des asses, le centre de asse se déplace vers cette asse. Centre de asse d un objet Pour trouver le centre asse d un objet, on utilise les êes forules que celles données précédeent. En prend l objet et on le sépare en particules inuscules. On applique ensuite les forules de la position du centre de asse avec toutes ces particules. Vous allez sureent dire que la soe sera longue à faire, ais rassurez-vous, cette soe devient une intégrale. (Est-ce que ça vous rassure vraient?) En effet, si on prend des orceaux infinitésiaux on aura li xii 0 0 li yii li z i i 0 xd yd zd On aura donc Centre de asse d un objet xc xd yc yd zc zd Dans l application de ces forules, trois quantités peuvent être utiles selon la fore de l objet. Ce sont : a) La asse linéique () Utilisée pour des objets en diension (tiges ou fil), elle nous indique la asse par unité de longueur. Elle est donc en kg/. On peut la calculer avec b) La asse surfacique () asse longueur Utilisée pour des objets en diensions (plaques), elle nous indique la asse par unité de surface. Elle est donc en kg/². On peut la calculer avec Version 05 - Le centre de asse 4
Luc Treblay Collège Mérici, Québec asse surface c) La asse voluique () Utilisée pour des objets en trois diensions, elle nous indique la asse par unité de volue. Elle est donc en kg/³. On peut la calculer avec asse volue Généraleent, le calcul de la position du centre de asse est très coplexe. Pour un objet en deux diensions, il faut faire deux intégrales doubles et pour un objet en trois diensions, il faut faire trois intégrales triples. Coe vous n avez jaais fait d intégrales doubles ou triples (ceux qui feront le cours de calcul avancé verront ces concepts), on ne deandera pas ce genre de calcul. Vous pouvez cependant coprendre coent faire le calcul en une diension, c est-à-dire pour une tige. Pour y arriver, on va séparer la tige en petits orceaux de longueur infinitésiale. Chaque orceau a donc une longueur dx et une asse d. La asse linéique de ce orceau est La asse du orceau est donc asse d longueur dx d dx Pour connaitre la position du centre de asse, on doit donc résoudre l intégrale Version 05 - Le centre de asse 5
Luc Treblay Collège Mérici, Québec Centre de asse d une tige xc xdx Il ne reste qu à ettre la asse linéique dans la forule. Elle pourrait être constante ou pourrait varier en fonction de la position. Exeple.. Où est le centre de asse d une tige de asse linéique constante? Avec le systèe de coordonnées sur la figure, la tige va de x = 0 à x = L. Avec une densité constante on a donc x c L 0 L 0 x L xdx xdx L 0 Or, la asse de la tige est = L. On a donc x c L L L L Ce qui nous indique que le centre de asse de la tige est au ilieu de la tige. Version 05 - Le centre de asse 6
Luc Treblay Collège Mérici, Québec Exeple..3 Où est le centre de asse d une tige de 4 de long dont la asse linéique est donnée par kg kg la forule x si l axe des x est coe celui ontré sur la figure? La tige va de x = 0 à x = 4. On a donc xc 4 0 4 0 4 0 xdx x kg kg 3 kg x x 3 4 4 3 kg kg kg kg xdx x x dx 4 3 kg 4 kg 0 Il faut trouver la asse de la tige. La asse est sipleent la soe de toutes les asses d. On la trouve donc avec Le centre de asse est donc a 4 0 4 0 dx x kg kg dx 4 kg x kg x 0 4 kg kg 4 6kg Version 05 - Le centre de asse 7
Luc Treblay Collège Mérici, Québec x c 3 kg 3 kg 6kg,333 On voit que aintenant, le centre de asse n est pas au centre de la tige (qui est à x = ), ais est un peu plus vers le côté droit de la tige. Ça seble noral parce que la tige est de plus en plus dense vers la droite. Le côté droit de la tige est donc plus assif que le côté gauche et il est donc noral que le centre de asse soit un peu plus vers la droite par rapport à ce qu on avait avec la tige unifore. Utilisation des syétries pour trouver le centre de asse d un objet On rearque qu avec la tige unifore, on a trouvé que le centre de asse de la tige est au centre de la tige. On se doutait bien que le centre de asse devait être au centre, car la tige est syétrique et que si le centre de asse n était pas au centre, cela briserait la syétrie. Coe les deux côtés de la tige sont identiques, on ne voit pas pourquoi le centre de asse serait plus d un côté que de l autre. Le centre de asse doit donc être sur l axe de syétrie. S il y a plusieurs axes, le centre de asse sera donc au croiseent des axes de syétrie. Sachez qu il est ipossible que les axes de syétrie ne se croisent pas tous au êe endroit. Centre de asse et axe de syétrie Si l objet possède un axe de syétrie, le centre de asse doit être sur cet axe. S il y a plusieurs axes de syétrie, le centre de asse est au croiseent des axes de syétrie. Notez qu il n y a pas que la fore de l objet qui doit être syétrique, la densité de l objet doit l être aussi. C était le cas avec notre tige de densité variable. L objet était syétrique, ais sa densité était plus grande à gauche qu à droite, ce qui brisait la syétrie. Cette siple utilisation de la syétrie nous peret donc de trouver le centre de asse d objets siples sans devoir faire de long calcul pour le trouver. Prenons une plaque triangulaire par exeple. Il y a trois axes de syétrie sur cette plaque en fore de triangle équilatéral. Le centre de asse est au croiseent de ces axes. Version 05 - Le centre de asse 8
Luc Treblay Collège Mérici, Québec (Petite note athéatique en passant : le centre de asse d une plaque triangulaire peut aussi se trouver en cherchant le point de croiseent des édianes du triangle. Cette éthode est encore plus générale, car on peut trouver le centre de asse êe si le triangle n est pas syétrique. Pour ceux qui ne savent pas ce qu est une édiane, c est une ligne qui va d un soet jusqu au ilieu du côté opposé.) www.newworldencyclopedia.org/entry/center_of_ass En utilisant ce truc, on peut donc trouver le centre de asse de plusieurs objets. On va se contenter ici de tiges ou de plaques, ais on pourrait appliquer cette idée pour des objets en trois diensions (le centre de asse se trouverait alors au croiseent des plans de syétrie) Si vous avez affaire à un objet qui n est pas syétrique, ais qui est coposé d objets syétriques, vous pouvez trouver son centre de asse en utilisant le truc suivant : Si un objet est coposé d objets oins assifs dont vous connaissez la position du centre de asse, replacez ces objets par des asses ponctuelles situées au centre de asse de l objet. Appliquer ensuite les forules pour trouver le centre de asse d un systèe foré de asse ponctuelle pour trouver le centre de asse. Version 05 - Le centre de asse 9
Luc Treblay Collège Mérici, Québec Exeple..4 Où est le centre de asse de cet asseblage de 3 tiges? La asse linéique de toutes les tiges est de kg/. On rearque preièreent qu il y a un axe de syétrie à 45. Cet axe a pour équation y = x. Il ne sera donc pas nécessaire de faire les calculs de la position du centre de asse pour les deux coordonnées. Quand on aura trouvé la position en x du centre de asse, on aura autoatiqueent celle en y, car les deux doivent être égales. Coe on sait que le centre de asse d une tige unifore est au ilieu de la tige, nous allons replacer chaque tige par une asse ponctuelle située au ilieu de la tige. La asse des tiges de 3 est de kg/ x 3 = 6 kg alors que celle de la tige qui fore l hypoténuse est de kg/ x 4,43 = 8,486 kg. On a alors la situation illustrée sur la figure de droite. Vous vous deandez peut-être coent on a trouvé le centre de la tige à 45. En fait, c est assez facile. En x, un des bouts de la tige est à x = 0 et l autre bout est à x = 3. Le ilieu est donc à x =,5. En y, un des bouts de la tige est à y = 0 et l autre bout est à y = 3. Le ilieu est donc à y =,5. On applique ensuite la forule du centre de asse pour trouver sa position. x x 06kg,56kg,58, 486kg 0,486kg,79kg 0,486kg,0607 c i i Le centre de asse est donc à la position (,0607,,0607) Version 05 - Le centre de asse 0
Luc Treblay Collège Mérici, Québec Exeple..5 Où est le centre de asse de cette plaque de bois si la asse surfacique est constante. www.chegg.co/hoework-help/questions-and-answers/physics-archive-0-ay- Ici, il n y a aucun axe de syétrie. On devra donc calculer la position du centre de asse en x et en y. Pour y arriver, on va séparer la plaque en deux plaques rectangulaires. Coe on sait que le centre de asse d une plaque unifore est au ilieu de la plaque, nous allons replacer chaque plaque par une asse ponctuelle située au ilieu de la plaque. On n a pas la valeur de la asse surfacique, ais vous allez voir que cela n a pas d iportance. La asse des plaques est aire 8 ² aire 6 ² On a donc la situation ontrée sur la figure de ci-bas. Version 05 - Le centre de asse
Luc Treblay Collège Mérici, Québec On applique ensuite la forule du centre de asse pour trouver sa position. x y x 8 ² 4 6 ² 4 ² 80 ³ 4 ² 3,333 c i i y 3 8 ² 6 ² 4 ² 40 ³ 4 ²,667 c i i Le centre de asse est donc à la position (3,333,,667 ) Exeple..6 Où est le centre de asse de cette plaque de étal dans laquelle il y a un trou si la asse surfacique est constante? www.chegg.co/hoework-help/questions-and-answers/assue-diskunifor-ass-density-radius-r-circular-hole-radius-cut-disk-distance-b-center--q706007 Version 05 - Le centre de asse
Luc Treblay Collège Mérici, Québec On va utiliser des axes x et y dont l origine est au centre de la plaque circulaire. Coe il y a un axe de syétrie (axe horizontal passant par le centre de la plaque circulaire), on peut déduire assez facileent que yc = 0. En x, c est plus difficile. Coe on ne peut pas séparer la plaque en orceaux circulaires ou rectangulaires, il faudra trouver un autre truc. On va iaginer qu on a une plaque circulaire sans trou forée de deux plaques. ) Une plaque circulaire avec un trou ) Une plaque circulaire qui viendrait boucher le trou La forule suivante donne alors la position de cette plaque sans trou x c xc x i i x x c c plaque sans trou On peut alors isoler la position du centre de asse de la plaque avec un trou c c plaque sans trou c plaque sans trou c c c plaque sans trou c c c x c x x x x x x x x x xc x plaque sans trou c De toute évidence, la position de centre de asse de la plaque sans trou est au centre de la plaque, donc à xc = 0 et il nous reste x c x c Le centre de asse de la plaque qui boucherait le trou est au centre de cette plaque, donc à x = 0,6. Coe à l exeple précédent, on trouve les asses en ultipliant la densité surfacique par l aire de la plaque. On a donc Version 05 - Le centre de asse 3
Luc Treblay Collège Mérici, Québec 0,3 0,3 On a donc x c x c 0,3 0,6 0,3 0,3 0, 6 0,3 0,05934 Le centre de asse est donc à 5,934 c à gauche du centre de la plaque. Notez que le centre de asse n est pas nécessaireent à l intérieur de la atière qui copose l objet. L iage ontre la position du centre de asse de 4 objets. Pour tous ces objets, le centre de asse est à l extérieur de la atière qui copose l objet, ce qui signifie qu on pourrait toucher le centre de asse avec notre doigt (en passant, on ne sentirait rien avec notre doigt en touchant le centre de asse) schools.wikia.co/wiki/center_of_mass Version 05 - Le centre de asse 4
Luc Treblay Collège Mérici, Québec Gravitation et centre de asse La force de gravitation On pourrait coencer par un rappel concernant la force de gravitation. On avait alors Poids (P) ou Force de gravitation (F g ) (forule valide près de la surface de la Terre) ) Grandeur de la force Fg g ) Direction de la force Vers le bas (centre de la Terre) 3) Point d application de la force À partir du centre de asse de l objet. On voit donc une preière raison pour laquelle le centre de asse est iportant. En réalité, la force de gravitation s applique sur tous les atoes du corps, ais pour calculer le ouveent d un objet, ça revient au êe si on fait coe si toute la force s appliquait au centre de asse. Nous ne ferons pas la preuve de cela ici, ais on va la faire au chapitre suivant. (En réalité, la force s applique au centre de gravité de l objet. Ce centre peut être à un endroit différent du centre de asse si l accélération gravitationnelle n est pas la êe partout dans l objet. Ce serait le cas, par exeple, si on cherchait le centre de gravité d une ontagne. Le centre de gravité serait un peu en dessous du centre de asse parce que l accélération gravitationnelle est un peu plus faible en haut de la ontagne qu en bas de la ontagne. Nous allons négliger cette différence dans ce cours.) L énergie gravitationnelle Le centre de asse va égaleent nous aider à résoudre un problèe délicat : que doit-on prendre pour la hauteur d un objet dans le calcul de l énergie gravitationnelle? Quelle valeur de y doit-on ettre dans gy dans le cas d une tige debout, posée sur le sol par exeple. Le bout d en bas de la tige? Le ilieu? Le bout d en haut? En fait, il faudrait calculer l énergie de chaque atoe et soer le tout. Regardons ce qu on obtient si on fait cela Version 05 - Le centre de asse 5
Luc Treblay Collège Mérici, Québec L énergie de chaque atoe de l objet est Ug gy L énergie gravitationnelle totale de l objet sera donc Or, puisque on arrive à U gy g i i y c y i i y i i y y i i c c g Ug iyi g y g Ainsi, cette soe donne exacteent le êe résultat si on calcule l énergie en faisant coe si toute la asse était au centre de asse. Centre de asse et énergie gravitationnelle Dans le calcul de l énergie gravitationnelle, on doit prendre la position du centre de asse La quantité de ouveent totale d un systèe Prenons la définition de la position du centre de asse sous fore vectorielle. r r c i i (Si on sépare cette équation en coposantes, on revient à nos 3 équations pour la position du centre de asse en x, y et z.) On a alors, en dérivant de chaque côté de l équation, Version 05 - Le centre de asse 6
rc r i i c dr i i d r dt dr dt v c c i i Luc Treblay Collège Mérici, Québec dt dri i dt v Coe le tere de droite représente la quantité de ouveent totale d un systèe, on a Quantité de ouveent totale d un systèe p tot v c Ainsi, si vous voulez calculer la quantité de ouveent d un bloc, il est inutile de séparer les blocs en tous ses atoes, de calculer la quantité de ouveent de chaque atoe et de soer. Vous n avez qu à prendre la asse totale et à ultiplier par la vitesse du centre de asse. Cela va donner exacteent le êe résultat que la soe sur tous les atoes, et ce, êe si le bloc tourne sur lui-êe. La preière loi de Newton Reprenons notre résultat obtenu avec la quantité de ouveent et dérivons encore vc ivi c dv i i d v dt dv dt a c dt dvi i dt a c i i Si on a séparé en particules si petites qu on peut les considérer coe étant ponctuelles, on peut dire que le côté droit est la soe des forces, car on sait que F = a pour des particules ponctuelles. On a alors a c F Les forces sur chaque atoe sont de deux types : il y a des forces internes et des forces externes. i Version 05 - Le centre de asse 7
Luc Treblay Collège Mérici, Québec a F F c iint iext On a déjà déontré au chapitre sur la quantité de ouveent que la soe des forces internes est toujours nulle à cause de la troisièe loi de Newton. a c F i int F i ext Exainons ce qui se passe si la soe des forces externes est nulle. On a alors Preière loi de Newton a c 0 si F ext 0 On retrouve alors le principe d inertie qui veut qu un objet ne peut odifier lui-êe son ouveent. Les forces internes, donc faites par les atoes de l objet lui-êe, ne peuvent odifier la vitesse d un objet, car elles s annulent toujours. La force doit être faite par un autre objet. En l absence d une telle force externe, l objet ne peut pas changer de vitesse. C est la preière loi de Newton. Cette version plus précise de la preière loi de Newton dit que la vitesse du centre de asse doit rester constante. Si vous êtes iobile dans l espace loin de toutes autres asses, il n y aura pas de forces externes et votre centre de asse restera toujours au êe endroit. Il n y a aucun ouveent que vous pouvez faire pour vous ettre le centre de asse en ouveent puisque ce sont tous des forces internes qui ne peuvent changer la vitesse du centre de asse. Si vous lancez quelque chose, disons une botte, vous allez partir dans la direction opposée, ais le centre de asse de vous et de la botte restera toujours à la êe place. Mêe si le centre de asse va en vitesse constante, l objet peut être en rotation. Par exeple, le ouveent de cet outil se fait en l absence de force externe. schools.wikia.co/wiki/center_of_mass Le seul point de l objet qui se déplace en ligne droite, coe le spécifie la preière loi de Newton s il n y a pas de force externe, est le centre de asse. Version 05 - Le centre de asse 8
Luc Treblay Collège Mérici, Québec Le reste des atoes de l objet peut faire un ouveent beaucoup plus copliqué que cela. Si on reprend l exeple dans lequel vous êtes pris dans l espace et qu il n y a pas de forces externes, cela veut dire que les ouveents ne peuvent changer la vitesse du centre de asse, ais ils peuvent vous ettre en rotation. Rearquez que si la troisièe loi de Newton était fausse, alors les forces internes ne s annuleraient pas et les forces internes pourraient ettre l objet en ouveent, ce qui serait en contradiction avec la preière loi de Newton. La troisièe loi de Newton doit donc être vraie pour que la preière loi de Newton soit vraie. Erreur dans les fils On voit souvent des erreurs dans les fils de science-fiction quand un vaisseau spatial explose. Coe l explosion est une force interne, elle ne devrait pas changer la vitesse du centre de asse. Le centre de asse de tous les débris devrait donc continuer avec la êe vitesse que le vaisseau. Pourtant, il arrive souvent qu après l explosion, le centre de asse de tous les débris change de vitesse (il seble devenir iobile bien souvent). Ça seble être le cas pour l explosion de ce vaisseau dans «star wars I» http://www.erici.ca/professeurs/luc-treblay/ecanique/explosion.wv Quand le vaisseau explose, le centre de asse des débris devrait continuer avec la êe vitesse et venir frapper le vaisseau qui l a détruit. Le vaisseau serait alors bobardé de fragents provenant de l explosion et plusieurs de ces fragents pourraient faire des doages considérables. Voici un exeple d application de cette version odifiée de la preière loi de Newton. Version 05 - Le centre de asse 9
Luc Treblay Collège Mérici, Québec Exeple.. Une personne de 60 kg est à gauche d un canoë de 5 de long et ayant une asse de 90 kg. Elle se déplace ensuite pour aller à droite du canoë. Dans les deux cas, elle est à 60 c de l extréité du canoë. De cobien s est déplacé le canoë s il n y a pas de friction entre le canoë et l eau? www.chegg.co/hoework-help/questions-and-answers/450-woan-stands-600-canoe-500-long-walks-point-00-end-point-00- end-figure-intro--figur-q370549 Notre systèe est foré ici du canoë et de la personne. Coe la soe des forces externe est nulle, cela signifie que le centre de asse garde la êe vitesse, qui est nulle ici. Si la vitesse du centre de asse est nulle, cela signifie que le centre de asse reste à la êe place quand la personne change de place dans le canoë. Initialeent, la position du centre de asse du systèe personne-canoë (esurée avec un x = 0 qui est à la position initiale du bout de gauche du canoë) est x x 0,660kg,590kg 50kg, 74 c i i Après le changeent de position, le canoë s est déplacé d une distance d vers la gauche. Cela déplace d une distance d le centre de asse du canoë, qui est aintenant à,5 d et de la personne au bout du canoë, qui est donc à 4,4 - d. On a donc Version 05 - Le centre de asse 0
Luc Treblay Collège Mérici, Québec x x 4, 4 d 60kg,5 d 90kg 50kg c i i 489kg 50kg d 50kg 3, 6d Puisque le centre de asse devrait être resté à la êe place, on peut écrire,74 3,6 d d, 5 Le canoë s est donc déplacé de,5 vers la gauche. Il faut se éfier de ce genre de déplaceent du bateau, surtout si on cherchait à débarquer du bateau. Si on est assis à l arrière du bateau et qu on arrive au quai, il ne faut pas se lever et archer vers l avant du bateau pour débarquer quand l avant touche au quai. En allant vers l avant, le bateau va reculer et l espace entre le quai et le bateau va augenter. Cet espace sera peut-être trop grand pour sauter sur le quai, et plouf à l eau, Dans l exeple, le centre de asse était au repos, ais il est possible que dans d autres situations, le centre de asse soit en ouveent. Il faudra alors trouver la vitesse du centre de asse. Pour y arriver, on peut utiliser l équation suivante. ptot vc vc ptot vc v i i On obtient finaleent, si on sépare en coposantes, v v v v c x i xi c y i yi La deuxièe loi de Newton S il y a des forces externes, on obtient Version 05 - Le centre de asse
Luc Treblay Collège Mérici, Québec Deuxièe loi de Newton F ext a c ou dp F ext dt tot Ces résultats ontrent que les lois de Newton décrivent en fait le ouveent du centre de asse. Par exeple, quand on affirait que les projectiles suivent une trajectoire parabolique, on affirait en réalité que c est le centre de asse de l objet qui suivait une trajectoire parabolique. www.ux.eiu.edu/~addavis/350/09mo/com.htl On peut voir dans ce vidéo la trajectoire parabolique faite par le centre de asse de plusieurs objets quand on les lance dans les airs. http://www.youtube.co/watch?v=dy3lyqvqy On voit que c est le centre de asse qui suit la trajectoire prévue par l application des lois de Newton. L énergie cinétique totale d un systèe Puisqu on peut calculer la quantité de ouveent d un systèe uniqueent en considérant le ouveent du centre de asse p tot v On peut se deander si on peut faire la êe chose avec l énergie cinétique. Peut-on calculer l énergie cinétique totale d un systèe en faisant sipleent c Version 05 - Le centre de asse
Luc Treblay Collège Mérici, Québec E ktot? v c Pour tenter de déontrer cela, nous allons calculer l énergie cinétique d une asse inuscule dans l objet et soer toutes ces énergies cinétiques pour obtenir l énergie cinétique totale. Ça va sebler un peu tordu, ais on aura un résultat utile. Selon notre figure, on a r r r c rel Si on dérive, on obtient dr drc dr dt dt dt v v v c rel rel Le dernier tere de cette équation est la différence de vitesse entre la asse et le centre de asse, qu on appelle la vitesse relative. Si la asse a la êe vitesse (en grandeur et en direction) que le centre de asse, alors v rel est nul. L énergie cinétique totale du systèe est donc Le deuxièe tere est E v ivc virel ivc vcvirel virel v v v v ktot i i i c i c irel i irel v v v v v v i c irel c i irel c c rel où on a utilisé le fait que la soe des quantités de ouveent peut se trouver avec la vitesse du centre de asse. Or, puisque v rel esure la différence de vitesse entre un objet et le centre de asse, v c rel est la différence de vitesse entre le centre de asse et le centre de asse! De toute évidence, cette vitesse est nulle. Le deuxièe tere est donc nul et il nous reste Version 05 - Le centre de asse 3
Luc Treblay Collège Mérici, Québec Ektot v i c v i irel i v v c i i rel Pour finaleent obtenir Énergie cinétique totale d un systèe E v v ktot c i irel Le preier tere s appelle l énergie cinétique du centre de asse alors que le deuxièe tere s appelle l énergie cinétique relative au centre de asse. On voit donc qu on ne peut pas trouver l énergie cinétique d un systèe sipleent avec le ouveent du centre de asse coe on pouvait le faire pour la quantité de ouveent. Évideent, si un objet se déplace et que tous ses atoes ont la êe vitesse que le centre de asse, alors tous les v seront nuls (puisqu il n y a pas de différence de vitesse entre les atoes et le centre de asse) et on aura alors E ktot v c Nos calculs d énergie cinétique dans les chapitres précédents étaient donc corrects puisque tous les atoes des objets allaient à la êe vitesse que le centre de asse des objets dans tout ce que nous avons fait jusqu ici. Mais si l objet est en rotation en êe teps qu il se déplace, alors certains atoes iront plus vite que le centre de asse (coe ceux au-dessus du centre de asse sur notre figure) et certains iront oins vite que le centre de asse (coe ceux en bas du centre de asse sur notre figure). Dans le cas de la quantité de ouveent, ces différences finissaient par s annuler, ais ce n est pas ce qui se produit dans le cas de l énergie cinétique. Dans ce cas, l énergie cinétique sera E v v ktot c i irel Coe le deuxièe tere de cette équation doit être positif, cela veut dire que l énergie cinétique de l objet en rotation est plus grande que l objet qui n est pas en rotation êe si leurs asses et leurs vitesses sont identiques. On Version 05 - Le centre de asse 4
Luc Treblay Collège Mérici, Québec pourrait penser que le calcul de ce deuxièe tere sera très long, car il faudrait faire une soe sur toutes les asses qui coposent l objet. Nous verrons cependant au chapitre suivant coent calculer le deuxièe tere si l objet tourne sur lui-êe. Notez qu il n y a pas que la rotation qui vient changer l énergie cinétique de l objet. Tout ce qui fait changer la vitesse des atoes par rapport au centre de asse fait changer l énergie cinétique. Par exeple, s il y avait des vibrations dans l objet, cela changerait l énergie cinétique. Exeple.. Une bobe explose en deux fragents tels qu illustrés sur la figure. a) Quelle est la vitesse du orceau de 8 kg? www.physicsclassroo.co/class/oentu/u4le.cf On peut trouver cette vitesse avec la conservation de la quantité de ouveent, ou en rearquant que la vitesse du centre de asse après l explosion doit être la êe que celle avant l explosion. Coe on a déjà fait des exeples avec la conservation de p, on va utiliser la forule de la vitesse du centre de asse. On a donc vc v i i 0 s kg 5 s 8kg v 0kg v,5 b) Quelle est l énergie cinétique du systèe après l explosion? On va le faire de deux façons. On peut preièreent additionner les deux énergies cinétiques. On a alors E v kg 5 s 8,5 375J ktot i i s kg s Version 05 - Le centre de asse 5
Luc Treblay Collège Mérici, Québec C est une réponse très correcte, ais on va aussi le faire d une autre façon, principaleent pour illustrer ce qu est vrel. On va utiliser notre autre forule de l énergie. On va alors obtenir E v v ktot c irel Ektot vc v i irel 0kg 0 kg 5 8kg 7,5 s s s Exainez bien les vitesses dans la parenthèse, qui viennent de la soe avec les v rel. Cette vitesse vrel est la différence de vitesse entre l objet et le centre de asse. Le orceau de kg va à 5 /s et le centre de asse va à 0 /s, la différence est donc de 5 /s. Le orceau de 8 kg va à,5 /s et le centre de asse va à 0 /s, la différence est donc de 7,5 /s. Inutile de s occuper des signes puisqu on va ettre v rel au carré. L énergie est alors E 0kg 0 kg 5 8kg 7,5 000 J 375 J ktot s s s Énergie du centre de asse 375J Énergie par rapport au centre de asse Centre de asse d un systèe coposé de particules xc x i i yc y i i zc z i i Centre de asse d un objet xc x d yc y d zc z d Version 05 - Le centre de asse 6
Luc Treblay Collège Mérici, Québec Centre de asse d une tige xc xdx Centre de asse et axe de syétrie Si l objet possède un axe de syétrie, le centre de asse doit être sur cet axe. S il y a plusieurs axes de syétrie, le centre de asse est au croiseent des axes de syétrie. Centre de asse et énergie gravitationnelle Dans le calcul de l énergie gravitationnelle, on doit prendre la position du centre de asse Quantité de ouveent totale d un systèe p tot v c Preière loi de Newton Deuxièe loi de Newton a c 0 si F ext 0 F ext a c ou dp F ext dt tot Énergie cinétique totale d un systèe E v v ktot c i irel Version 05 - Le centre de asse 7
Luc Treblay Collège Mérici, Québec. Position du centre de asse. Où est le centre de asse de ces trois asses? www.batesville.k.in.us/physics/apphynet/dynaics/center%0of%0mass/d_.htl. Où est le centre de asse de ces trois asses? (Mettez l origine de vos axes à la position de la asse de 3 kg) ww.chegg.co/hoework-help/questions-and-answers/physics-archive-0-april-5 3. Sachant que le centre de asse de ces 4 asses est à x = 4, déteriner la asse de la asse 4. www.wired.co/wiredscience/03//a-crane-a-tank-and-the-center-of-gravity/ Version 05 - Le centre de asse 8