Limites, continuité, dérivabilité

Limites, continuité, dérivabilité (3) () Analyse 1 / 47

Plan 1 Un peu de vocabulaire 2 Limites 3 Opérations sur les limites 4 Relations de comparaison locale, notations de Landau 5 Continuité 6 Fonctions dérivables 7 Dérivées successives 8 Propriétés des fonctions dérivables à valeurs réelles () Analyse 2 / 47

Dérivabilité en un point f désigne une fonction à valeurs réelles, définie sur un intervalle I et a un élément de I. Définition La fonction f est dite dérivable en a si, et seulement si, la fonction τ a, appelée taux d accroissement de f en a et définie sur I {a} par x I {a}, τ a (x) = f (x) f (a) x a admet une limite finie en a. Cette limite est appelé nombre dérivé de f en a, et notée f (a), Df (a) ou df (a). Autrement dit, si la limite existe, on a dx f f (x) f (a) f (a + h) f (a) (a) = lim = lim. x a x a h 0 h () Analyse 8 / 47

Exemple: 1 Soit α et β deux réels. La fonction f : x αx + β est dérivable en tout point a R et f (a) = α. 2 La fonction f : x x est définie sur R +. Si a > 0 alors f est dérivable en a et f (a) = lim x a x a x a = lim x a x a ( x a)( x + a) = lim x a = 1 2 a. x En 0, f n est pas dérivable car lim x 0 x = + 3 Le fonction définie sur R par ( 1 ) x R f (x) = x sin et f (0) = 0 x 1 x + a ( 1 ) est continue sur R mais n est pas dérivable en 0 car τ 0 : x sin x n a pas de limite en 0. () Analyse 9 / 47

Dérivée à droite et à gauche en un point Définition Si a n est pas une extrémité de I, on dit que f est dérivable à droite en a si le taux d accroissement τ a de f en a possède une limite finie à droite en a. Cette limite s appelle alors le nombre dérivé à droite de f en a et se note f d (a). Autrement dit, on a f d f (x) f (a) f (a + h) f (a) (a) = lim = lim. x a + x a h 0 + h dérivable à gauche en a si le taux d accroissement τ a de f en a possède une limite finie à gauche en a. Cette limite s appelle alors le nombre dérivé à gauche de f en a et se note f g (a). Autrement dit, on a f (a + h) f (a). h 0 f g f (x) f (a) (a) = lim = lim x a x a h () Analyse 10 / 47

Proposition Lorsque a n est pas une extrémité de I, la fonction f est dérivable en a si, et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en a et que f d (a) = f g (a). Exemple: 1 La fonction f : x x est dérivable à gauche et à droite en a mais n est pas dérivable en 0 puisque f d (0) = 1 et f g (0) = 1. { 2 exp( 1/x) si x > 0 La fonction f définie sur R par f (x) = 0 si x 0 est dérivable en 0. () Analyse 11 / 47

Dérivabilité et continuité Proposition Si f est dérivable (resp. à droite, resp. à gauche) en a alors elle est continue (resp. à droite, resp. à gauche) en a. ATTENTION : Une fonction peut être continue en a sans être dérivable en a. Par exemple la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n est pas dérivable en 0. Il existe des fonctions qui sont continues en tout point de R et nulle part dérivable. () Analyse 12 / 47

Interprétation graphique Le taux d accroissement τ a (x) représente la pente de la sécante joignant les points A(a, f (a)) et M(x, f (x)) de la courbe représentative de f. Si f est dérivable, cette sécante a une position limite, que l on appelle tangente à la courbe en A. Le nombre dérivé f (a) représente la pente de cette tangente. Proposition L équation de la tangente en A(a, f (a)) à la courbe représentative de f a pour équation y = f (a) + f (a)(x a). () Analyse 13 / 47

f (x) f (a) Remarque: Si lim = + ou x a x a f (x) f (a) ( respectivement si lim = + ou x a + x a f (x) f (a) respectivement si lim = + ou ), x a x a alors la fonction f n est pas dérivable en a mais la courbe en possède une tangente (resp. à droite, resp. à gauche) en a. () Analyse 14 / 47

Développement limité d ordre 1 Définition On dit que f admet un développement limité à l ordre 1 en a si, seulement si, il existe deux constantes réelles α et β tels que f (a + h) α βh = Proposition o h 0 (h). On écrit dans ce cas : f (a + h) = α + βh + o h 0 (h) La fonction f admet un développement limité à l ordre 1 en a si, et seulement si f est dérivable en a et dans ce cas, pour h au voisinage de 0, on a f (a + h) = f (a) + f (a)h + o h 0 (h). On peut aussi écrire, pour x au voisinage de a : f (x) = f (a) + f (a)(x a) + o ((x a)). x a () Analyse 15 / 47

Démonstration. Supposons que f admet un développement limité à l ordre 1 en a. Alors, il existe α et β tels que f (a + h) α βh = o (h) h 0 En faisant tendre h vers 0, on obtient f (a) = α et donc Ainsi, on a f (a + h) f (a) = βh + o h 0 (h) τ a (a + h) = f (a + h) f (a) h = β + o h 0 (1) autrement dit τ a (a + h) tend vers β quand h tend vers 0 ce qui signifie que f est dérivable et que β = f (a). () Analyse 16 / 47

Si f est dérivable en a, alors τ a (a + h) tend vers f (a) quand h tend vers 0 c est-à-dire f (a + h) f (a) h f (a) = o (1) h 0 On a donc f (a + h) f (a) f (a)h = o (h) h 0 Remarque: Ce résultat permet de retrouver que si f (a) 0, alors f (a + h) f (a) h 0 f (a)h. () Analyse 17 / 47

Le formulaire non officiel des o(). L avantage des développements limités (par rapport aux équivalents), c est qu il s agit d une véritable égalité. Toutes les opérations sont autorisées (addition, multiplication, fonctions...) à conditions qu on sache gérer les o(... ), qui sont DES fonctions inconnues qui tendent vers 0 à une certaine vitesse. On a essentiellement à savoir gérer les o(x n ) avec n Z (ou o((x a) n, ça fonctionne de la même manière). Soient n et p deux entiers relatifs et a un réel. o(x n ) ± o(x p ) = o(x n ) o(x n ) ± ax p = o(x n ) si n p Le o() avale les puissances supérieures ou égale à lui dans les additions et les soustractions. () Analyse 18 / 47

o(ax n ) = o(x n ) Le o() avale les constantes en multiplication/division. o(x n ) o(x p ) = o(x n+p ) o(x n ) ax p = o(x n+p ) o(x n ) ax p = o(x n p ) On peut regrouper, simplifier des puissances, on peut aussi en factoriser en les faisant sortir du o(). Exemple: Déterminer la limite en 0 de la fonction x tan(x) sin(x) + e x 1 () Analyse 19 / 47

Fonction dérivée Définition Lorsque la fonction f est dérivable en tout point de I on dit que f est dérivable sur I et la fonction I R est appelée fonction dérivée x f (x) de f, et se note f, Df ou df dx. Proposition Si f est une fonction dérivable sur I alors elle est continue sur I. () Analyse 20 / 47

Opérations sur les dérivées Proposition Soit f et g définies deux fonctions définies sur I. Si f et g sont dérivables en a I (resp. sur I ), alors 1 f + g est dérivable en a (resp. sur I ) et (f + g) (a) = f (a) + g (a) (resp. (f + g) = f + g ). 2 fg est dérivable en a (resp. sur I ) et (fg) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a) (resp. (fg) = f g + fg ). 3 si g ne s annule pas au voisinage a (resp. sur I ) alors f /g est dérivable en a (resp. sur I ) et ( f ) (a) f (a)g(a) f (a)g (a) ( = g g(a) 2 resp. ( f ) f g fg ) = g g 2. Démonstration. () Analyse 21 / 47

Proposition Soit f définie sur I et g définie sur J avec f (I ) J. 1 Si f est dérivable en a I et si g est dérivable en f (a) alors g f est dérivable en a et (g f ) (a) = f (a)g (f (a)). 2 Si f et g sont respectivement dérivables sur I et f (I ), alors g f est dérivable sur I et (g f ) = f.(g f ). () Analyse 22 / 47

Théorème (Dérivabilité de la bijection réciproque) Soit I un intervalle de R, et f une bijection continue de l intervalle I sur l intervalle J = f (I ). Soit a un point de I en lequel f est dérivable. Si f (a) = 0, alors f 1 n est pas dérivable en f (a) et le graphe de f 1 présente une tangente verticale au point d abscisse f (a). Si f (a) 0, alors f 1 est dérivable en f (a) et ( f 1) ( f (a) ) = 1 f (a). Corollaire Soit I et J deux intervalles de R, et f une bijection continue de I sur J. Soit K un intervalle inclus dans I. Si f est dérivable sur K et si sa dérivée f ne s annule pas sur K alors f 1 est dérivable sur f (K) et pour tout y f (K), ( f 1 ) (y) = 1 f (f 1 (y)). () Analyse 23 / 47

Dérivée successives Définition Si une fonction f : I R est dérivable sur I, sa dérivée f peut elle-même être dérivable sur I. On appelle alors dérivée seconde de f la dérivée de f et on la note f. On dit alors que f est deux fois dérivable sur I. Soit n N. Si f est n fois dérivable sur I, on note f (n) sa dérivée n-ième. Par convention, f (0) désigne la fonction f. Autrement dit, les dérivées successives de f sont définies par récurrence par f (0) = f et n 1, f (n) = ( f (n 1)). La dérivée n-ième de f est aussi notée D n f ou encore dn f dx n () Analyse 25 / 47

Définition On dit que f est de classe C n sur I si f est n fois dérivable sur I et si f (n) est continue sur I. L ensemble des fonctions de classe C n sur I est noté C n (I, R) On dit que f est de classe C sur I si f possède des dérivées de tous ordres sur I. Une telle fonction est dite indéfiniment dérivable. L ensemble des fonctions de classe C sur I est noté Remarque: C (I, R) 1 Les fonctions de classe C 1 sur I sur sont dites continûment dérivables sur I. 2 On a les inclusions suivantes : C (I, R) C n+1 (I, R) C n (I, R) C n 1 (I, R) C 2 (I, R) C 1 (I, R) C(I, R). () Analyse 26 / 47

Exemple: Les polynômes, les fonctions cos, sin, exp et ln sont de classe C sur leur ensemble de définition. La fonction f définie sur R par x R, f (x) = x 2 sin( 1 ), f (0) = 0 x est dérivable sur R mais n est pas de classe C 1 sur R. () Analyse 27 / 47

Etude de la fonction f : On a déjà vu que la fonction était continue sur R. Le graphe de la fonctions est le suivant Montrons que f est dérivable sur R. () Analyse 28 / 47

() Analyse 29 / 47

Opérations Proposition Soit f et g deux fonctions définies sur I de classe C n sur I et λ un réel. La fonction λf + g est également de classe C n sur I et l on a (λf + g) (n) = λf (n) + g (n). En particulier, l ensemble C n (I, R) est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel (F(I, R), +, ) des fonctions définies sur I et l application D n : C n (I, R) C(I, R) est linéaire. f f (n) Corollaire L ensemble C (I, R) est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel (F(I, R), +, ) et donc toute combinaison linéaire de fonctions de classe C sur I est de classe C sur I. () Analyse 30 / 47

Théorème (Formule de Leibniz) Si f et g sont deux fonctions définies sur I de classe C n sur I, alors la fonction f.g est également de classe C n sur I et (f.g) (n) = n k=0 ( ) n f (k) g (n k) (f.g) (n) = k Ce théorème se démontre par récurrence sur n. n Cn k f (k) g (n k) Corollaire Tout produit de fonctions de classe C sur I est de classe C sur I. k=0 () Analyse 31 / 47

Proposition Soit f et g deux fonctions respectivement définies sur deux intervalles I et J et de classe C n (resp. C ) sur ces intervalles, telles que f (I ) J. La fonction g f est également de classe C n (resp. C ) sur I. Proposition Soit f et g deux fonctions définies sur I, de classe C n (resp. C ) sur I, g ne s annulant pas sur I. La fonction f g est également de classe Cn (resp. C ) sur I. () Analyse 32 / 47

Extrema Théorème Soit f une fonction réelle dérivable sur un intervalle I et a un point de I qui n en est pas une extrémité. Si f admet un extremum local en a, alors f (a) = 0. Démonstration. Supposons que f possède un maximum local en a. Il existe alors un réel α > 0 tel que ]a α, a + α[ I et x ]a α, a + α[, f (x) f (a). Soit τ a le taux d accroissement de f en a. Comme pour x a, on a f (x) f (a) τ a (x) =, il est clair que τ a est positif à gauche de a et négatif x a à droite de a. Donc la limite à gauche de τ en a est positive et la limite à droite de τ en a est négative. Or ces deux limites sont égales à f (a) donc f (a) est nul. () Analyse 34 / 47

Remarque: 1 Graphiquement, la tangente en un extremum est horizontale. 2 Ce théorème ne concerne que les fonctions dérivables. Par exemple la fonction x x possède un minimum local en 0 et n est pas dérivable en 0. 3 Ce théorème ne s applique pas aux extrema locaux qui sont une extrémité du domaine de définition. Une extrémité peut être un extremum local sans que la dérivée ne s y annule. Par exemple, la fonction f : [0, 1] [0, 1] admet un maximum local en 1 et x x f (1) = 1 0. 4 Ce théorème n admet pas de réciproque : si une fonction admet une dérivée nulle en un point a, elle n admet pas nécessairement un extremum en ce point. Par exemple, f : x x 3 est définie et dérivable sur R, sa dérivée s annule en 0 et 0 n est pas un extremum local. () Analyse 35 / 47

Théorèmes des accroissements finis Théorème (égalité des accroissements finis) Soit f une fonction réelle continue sur un segment [a; b] (où a < b), et dérivable sur l intervalle ouvert ]a; b[. Il existe un nombre réel c ]a; b[ tel que f (c) = f (b) f (a) b a Remarque: 1 Graphiquement, ce théorème signifie que tout arc de la courbe représentative d une fonction dérivable possède au moins une tangente parallèle à la corde joignant les extrémités de cet arc. 2 Du point de vue cinématique, un mobile se déplaçant sur un axe pendant un intervalle de temps possède au moins une fois une vitesse instantanée égale à sa vitesse moyenne sur cet intervalle. Ainsi si une voiture réalise un parcours à la moyenne de 90 km/h, il existe un instant du trajet où sa vitesse instantanée a été de 90 km/h. () Analyse 36 / 47

Théorème (Inégalité des accroissements finis) Soit f une fonction continue sur le segment [a; b] (avec a < b), dérivable sur l intervalle ouvert ]a; b[. 1 Si pour tout t ]a; b[, on a m f (t) M, alors pour tout x, y [a; b] tel que x y, on a m(y x) f (y) f (x) M(y x). 2 Si pour tout t ]a; b[, on a f (t) k, alors pour tout x, y [a; b], on a f (y) f (x) k y x. () Analyse 37 / 47

Démonstration. Supposons que pour tout t ]a; b[, on ait m f (t) M. Soit x, y [a, b] tel que x < y. D après l égalité des accroissements finis appliquée sur [x, y], il existe c ]x; y[, tel que Or m f (c) M d où m f (y) f (x) y x f (y) f (x) y x M donc = f (c). m(y x) f (y) f (x) M(y x) puisque y x > 0. Le cas où x = y est évident. () Analyse 38 / 47

Applications du théorème des accroissements finis Proposition Soit f une fonction réelle dérivable sur un intervalle I. La fonction f est croissante sur I si, et seulement si, x I, f (x) 0. La fonction f est décroissante sur I si, et seulement si, x I, f (x) 0. La fonction f est constante sur I si, et seulement si, x I, f (x) = 0. () Analyse 39 / 47

Démonstration. Traitons le premier cas, le deuxième s en déduisant en considérant f. Supposons f croissante sur I. Soit x 0 I. Le taux d accroissement de f en x 0 τ x0 : x f (x) f (x 0) x x 0 est une fonction positive ou nulle sur I {x 0 } donc sa limite f (x 0 ) en x 0 est positive ou nulle. Ceci prouve : x I, f (x) 0. Supposons que l on a : x I, f (x) 0. Soit x 1 et x 2 deux éléments de I tels que x 1 < x 2. D après les hypothèses, la fonction f est continue sur [x 1 ; x 2 ] et dérivable sur ]x 1 ; x 2 [. L égalité des accroissements finis assure l existence d un réel c ]x 1 ; x 2 [ tel que f (x 2 ) f (x 1 ) = (x 2 x 1 )f (c) Or x 2 x 1 0 et f (c) 0, donc f (x 2 ) f (x 1 ) et f est croissante sur I. () Analyse 40 / 47

Remarque: Ce résultat n est valable que sur un intervalle. Par exemple, la dérivée de la fonction f : x 1 x sur R est négative sur R, mais f n est pas décroissante sur R : la négativité de f entraine la décroissance de f sur l intervalle ], 0[ et sur l intervalle ]0, + [ mais pas sur leur réunion R. () Analyse 41 / 47

Corollaire Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si f est dérivable sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points et si f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante sur I (resp. strictement décroissante sur I ). () Analyse 42 / 47

Remarque: Il ne faut pas croire que la positivité stricte de f en un point donné suffit à justifier la stricte monotonie de f au voisinage de ce point. Par exemple, la fonction f : R R { x + 2x x 2 sin(1/x) si x 0 0 pour x = 0 est continue et dérivable sur R. On a f (0) = 1 et pourtant f n est de signe constant dans aucun intervalle autour de 0. () Analyse 43 / 47

() Analyse 44 / 47

Théorème de prolongement de la dérivée Théorème (Théorème de prolongement C 1 ) Soit f une fonction continue sur [a, b] (où a < b) et de classe C 1 sur ]a, b]. Si f (x) admet une limite finie l lorsque x tend vers a, alors f est dérivable en a et l on a f (a) = l. Dans ce cas, f est de classe C 1 sur [a, b]. Si f (x) tend vers + (resp. ) lorsque x tend vers a, alors f (x) f (a) lim = + (resp. ) et f n est pas dérivable en a. Le x a x a graphe de f admet en ce point une tangente verticale. Remarque: Attention, la proposition précédente n est qu une condition suffisante. Il se peut que f (a) existe sans que la fonction f ne soit continue en a. () Analyse 45 / 47

Convergence de suites récurrentes de la forme u n+1 = f (u n ) L inégalité des accroissements finis peut s avérer utile pour prouver la convergence de certaines suites définies par la relation de récurrence : u n+1 = f (u n ) où f est une fonction dérivable sur un intervalle I. () Analyse 46 / 47

Dans les exercices, cela se passe souvent de la façon suivante : On fait démontrer qu un certain intervalle [a, b] inclus dans I est stable par f (c est-à-dire { si x [a, b], alors f (x) [a, b]) ce qui u0 = c prouve que la suite où c [a, b], est bien n N, u n+1 = f (u n ) définie. On fait ensuite montrer que f admet un unique point fixe α dans [a, b] (i.e. f (α) = α a une seule solution dans [a, b]). Puisque f est continue sur [a, b], si (u n ) a une limite l, alors nécessairement l = α. On fait alors démontrer que l on a : x [a, b], f (x) k pour un certain réel k [0, 1[. On demande ensuite d établir que pour tout n N, on a u n+1 α k u n α. Pour cela, on invoque l inégalité des accroissements finis, et on utilise que u n+1 α = f (u n ) f (α). On fait alors établir : n N, u n α k n u 0 α. Cela se démontre par récurrence, à partir de la relation obtenue précédemment, et prouve que la suite (u n ) converge vers α. () Analyse 47 / 47