ING PHYSIQUE S : Otique Géométrique Chaitre 7 -LES LENTILLES- Lamia ROUAI Année 008-09 rouai@ece.fr
7.. Définitions On a vu jusqu à résent (miroir lan et shérique, diotre lan et shérique) des systèmes otiques limités à un seul élément otique ( surface réfléchissante ou réfringente). Plusieurs éléments euvent être lacés à la suite l un de l autre our former un système otique lus ou moins comlexe. Le système sera centré si toutes les surfaces réfléchissantes et réfringentes ont même axe otique rincial. Le système centré formé ar l association de deux diotres (dont un au moins est shérique est aelé lentille.) On distingue : 7.. Catégories 7... Les lentilles éaisses (+) Σ Σ n n n 3 S S e axe otique du système Une lentille sera dite éaisse si la distance SS = e n est as négligeable ar raort aux distances focales des deux diotres qui la forment ou ar raort à leur différence dans le cas du ménisque divergent. Le rincie de l obtention de l image A B d un objet AB, donnée ar la lentille, est le suivant : Le diotre Σ de sommet S (diotre d entrée) donne de AB une image A B dont on sait déterminer la osition ar raort à S. Cette image intermédiaire sert d objet our le diotre de sommet S (diotre de sortie) qui en donne l image définitive A B dont on sait déterminer la osition ar raort à S. On a donc le schéma, qui sera valable our toutes les associations de systèmes simles : AB Diotre d entrée Σ A B Lentille Diotre de sortie Σ A B Remarque imortante : Cette méthode ermettra de réciser la osition des foyers objet et image de la lentille éaisse ar raort à S ou S.
7... Les lentilles minces Une lentille sera dite mince si la distance SS = e est négligeable ar raort aux distances focales des deux diotres ou ar raort à leur différence dans le cas du ménisque divergent. Le oint commun S, S sera désigné ar O, centre otique de la lentille. Il est ossible de montrer que tout rayon lumineux assant ar ce oint traverse la lentille sans déviation. Les lentilles minces se classent elles-mêmes en deux catégories selon la nature des diotres qui les forment. Les lentilles à bords minces O biconvexe lan convexe ménisque convergent Symbole Ces lentilles sont convergentes. Les lentilles à bords éais. O biconcave lan concave ménisque divergent Symbole Ces lentilles sont divergentes Remarque : On va étudier ces lentilles minces dans le cas articulier où les diotres d entrée Σ et de sortie Σ limitent un milieu d indice n (n = n), les indices n et n 3 étant ris égaux à (lentille lacée dans l air). Quand la lentille est lacée dans un milieu autre que l air il faut tenir comte de l indice de ce milieu n dans l exression de la relation de conjugaison. 3
A. 7. 3. Relation de conjugaison des lentilles minces d indice n, lacées dans l air (Σ ) (Σ ) (+) n = n = n n 3 = A S O S A C C A i Le roblème consiste à déterminer la osition A de l image d un oint objet A situé sur l axe de la lentille. Les deux oints A et A seront reérés ar raort au centre otique O de la lentille : OA =, OA = Soient SC et SC les rayons de courbure des diotres d entrée Σ et de sortie Σ (le rayon de courbure = si un diotre est lan). On alique la relation de conjugaison au diotre d entrée : A (objet) Σ A i (image) : n n = S A S A S C i Puis on l alique au diotre de sortie Σ : l image intermédiaire A i sert d objet our le deuxième diotre : A i (objet Σ A (image), on a alors : n n = S A S A S C i Dans l aroximation de la lentille mince, S et S sont confondus en O (centre otique de la lentille). En additionnant les deux relations récédentes, dans cette aroximation, on obtient = ( n ) ( ) OA OA OC OC Attention cette relation n est lus valable si on se trouve dans des milieux de art et d autre de la lentille différents de l air. Les autres cas ont été traités en cours 4
A. 7. 4. Foyers d une lentille mince. Coule : objet A à l infini, image corresondante Quand OA 0 et ( n )( ) OC OC Donc A F foyer image de la lentille. OF = f est aelée distance focale image. Elle est donnée ar : = = ( n ) ( ) f OF OC OC. Coule : Image à l infini, oint objet corresondant Inversement, si OA, 0 et (n-)( ) OC OC Pour que l image se forme à l infini, il faut lacer l objet en F foyer objet de la lentille. La distance OF = f est aelée distance focale objet. Elle est donnée ar : = = ( n ) ( ) f OF OC OC Remarque : Dans le cas d une lentille OF = OF. Les deux foyers F et F sont symétriques l un à l autre ar raort au centre otique O. Exemle n : lentille biconvexe. R R = = 0cm ; 0cm ; n =,5 3 = (0,5) ( ) = ; OF = 3,3cm OF 0 0 40 De même f = - 3,3 cm. Les deux foyers sont réels. La lentille est convergente. (+) (+) O O A ( ) F A F ( ) 5
On vérifiera que les lentilles lan- convexe et le ménisque our lequel R > R sont convergents. Exemle n : Lentille biconcave R = 0cm ; R = 0cm; n =, 5 3 = ( ) = OF = 3,3 OF 0 + 0 4 cm OF = OF = + 3,3cm Les deux foyers sont virtuels. La lentille est divergente. On vérifiera qu il en est de même our la lentille lan-concave et le ménisque our lequel R > R. (+) (+) A ( ) { F O O F }A ( ) Conséquences : Tout rayon incident arallèle à l axe se réfracte en assant ar le foyer image F. Tout rayon incident assant ar le foyer objet F se réfracte arallèle à l axe de la lentille. Remarque : Comme dans le cas du diotre, les lans erendiculaires à l axe, soit en F, soit en F, sont aelés resectivement lan focal objet, lan focal image. Tout oint de ces lans est un foyer secondaire. Foyer secondaire image F α : C est l image d un oint objet B à l infini, envoyant sur la lentille un faisceau incliné de α sur l axe otique. F F α = OF tg α 6
B (+) { α O π ι F F α Foyer objet secondaire : l image d un oint objet situé dans le lan focal objet, en F α sera renvoyée à l infini dans une direction inclinée de α sur l axe de la lentille. π 0 } B ( ) (+) F α F α A. 7. 5. Vergence de la lentille. Une lentille sera d autant lus convergente (ou divergente) que la distance de O à F sera lus courte. Par définition sa vergence, sera donnée ar : Φ = = ( n ) ( ) OF OC OC Φ > 0 : lentille convergente Φ < 0 : lentille divergente Remarque : Les vergences des diotres d entrée et de sortie sont resectivement : n n Φ = et Φ = OC OC 7
On voit donc que la convergence de la lentille mince obtenue ar l accolement de deux diotres (sommets confondus) est donnée ar : Φ = Φ + Φ Ce résultat est tout à fait général : la vergence d un ensemble de systèmes otiques accolés est égal à la somme des convergences de chacun des systèmes qui le comose. 7. 6. Autres formes de la relation de conjugaison On eut réécrire la relation de conjugaison en introduisant la vergence de la lentille : = ( n ) ( ) = Φ OC OC En utilisant les foyers, on retrouve : f f = = + = f f La relation de Newton qui ositionne l objet ar raort aux foyers et non au centre est, our une lentille mince, la suivante : ( OA OF )( OA OF) = FAFA. = OF. OF ou bien ( f )( f) = σ σ = f f 7. 7. Grandissement transversal γ D arès ce qui récède, A B sera erendiculaire à l axe en A image de A donnée ar la lentille. Sa osition OA est donnée ar la relation de conjugaison. Construction de B. On eut utiliser les roriétés des 3 rayons suivants : un rayon assant ar le centre otique O traverse la lentille sans déviation. les roriétés des rayons assant ar les foyers F et F (+) B A F O F A B Le grandissement transversal de l image est donné ar : γ = A B AB Dans les triangles OAB, OA B, on a immédiatement : 8
A B OA = = soit AB OA A B γ = = AB 7. 8. Exemles de construction d images. Lentille convergente 9
. Lentille divergente : ici l objet réel eut être entre O et F sans cas articulier 0
7. 9. Les doublets de lentilles 7. 9.. Définition Considérons un doublet de lentilles de sommet S et S, séarées d une distance e. Ces sommets sont alignés de telle sorte que leurs axes otiques rinciaux soient confondus, constituant ainsi l axe otique rincial d un système otique centré. D un oint objet A situé sur l axe, on obtient une image Ai à travers la ere lentille de sommet S uis une nouvelle image A à travers la seconde lentille de sommet S. Les relations de conjugaison des lentilles nous ermettent d écrire : f f + = et f f + = = = = et SA = i Avec SA ; SA i ; SA i Ce qui donne : Or et f f i = = et SA = i = f f SA sont reliés à la distance définie ar : e SS = SA i + AS i () = = Si on injecte les deux exressions récédentes dans celle de e, on eut écrire : ( ) + ( ) f ( ) e f f f f e + f + e + eff = 0 On eut ar exemle en tirer l exression de en fonction de = ( ) ( e f + f ) + f ( f e) f f + e eff : () Cette relation qui relie les ositions des objets et de leurs images à travers le doublet est une relation de conjugaison. Elle est comliquée mais ermet néanmoins de déterminer les ositions des foyers du doublets ar raort aux somment S et S. 7. 9.. Foyers d un doublet Le foyer image F corresond à un objet à l infini cest-à-dire et = SF condition est réalisée quand le dénominateur de l équation est nul, ce qui donne : SF = f ( e f ) ( e f + f ). Cette Inversement le foyer objet F corresond à une image rejetée à l infini, cest-à-dire + et = SF. Dans la relation, on écrit le raort des termes de lus haut degré en donne : SF = ( + ) f e f ( e f + f ), ce qui
La quantité ( e f f ) + aaraissant au dénominateur des deux exressions a une signification géométrique imortante car elle s écrit : e f f = + = + est donc la distance algébrique qui séare le foyer image SS SF SF F de la ère lentille au foyer objet F de la seconde lentille. On l aelle l intervalle otique du doublet ou l interstice. eut être négative ou ositive selon la configuration étudiée. Dans le cas articulier ou est nul, le foyer image de la ère lentille est confondu avec le foyer objet de la seconde lentille. Par ailleurs les distances SF et SF tendant vers l infini, les deux foyers du doublet sont rejeté à l infini et le système est dit afocal (voir Figure A. 7. 8. ). On alors our osition du foyer image du doublet objet : SF = ( + ) f e f ( e f + f ) SF = f ( e f ) ( e f + f ) et our osition du foyer Figure A. 7. 8. : Rerésentation d un doublet afocal convergent 7. 9. 3. Vergence On admettra la formule de Gullstrand qui donne la convergence C = dun ensemble de deux f lentilles minces de convergences C =, C f = f dont les centres otiques sont distants de e : C = C + C ecc. Si les deux lentilles sont accolées, alors e est négligeable et C = C + C.
7. 0. Alications Exercice Soit un objet onctuel A lacé au fond dune cuve de rofondeur d = 0 cm. Une lentille convergente L, de centre otique O et de distance focale 0 cm, est lacée à la distance d du fond de la cuve. a. La cuve est vide. On note A limage de A donnée ar la lentille L. Celle-ci se forme nettement sur un écran E (figure ). Calculer numériquement la distance séarant la lentille L de lécran E. axe otique orienté dans le sens de roagation de la lumière A écran E O lentille L cuve d A Figure b. On remlit la cuve dun liquide dindice otique n (figure ). La hauteur de liquide est h = 5 cm. On note H lintersection entre laxe otique et la surface libre du liquide. Pour observer une image nette A de lobjet A sur lécran E, celui-ci doit être éloigné de la lentille de telle sorte que la distance lentille-écran devient égale à 6 cm. axe otique orienté dans le sens de roagation de la lumière A écran E O H lentille L h A n d Figure. On note A i la osition de lobjet A vue à travers le liquide. Calculer numériquement la osition de l image intermédiaire. En déduire la valeur numérique de lindice n du liquide Exercice Un agrandisseur hotograhique est un aareil rincialement destiné à fournir dun négatif une image agrandie qui sera enregistrée ar un aier hotosensible. Cet agrandissement est obtenu grâce à un système otique aelé objectif que lon assimilera à une lentille mince. Celui-ci est monté sur un suort qui eut être délacé ar raort au lan du aier grâce à une crémaillère.. Limage fournie ar lobjectif doit-elle être réelle ou virtuelle? Justifier votre réonse.. Lobjectif doit-il être convergent ou divergent? Justifier votre réonse. 3. Laareil est initialement réglé our fournir une hotograhie au format (6x4) cm à artir dun négatif (4x36) mm. On veut maintenant lutiliser our obtenir une hotograhie au même format, à artir dun négatif (6x9) cm. Dans quel sens doit-on délacer lobjectif ar raort au aier hotosensible fixe sur le suort? Justifier votre réonse. 4. Illustrer le résultat ar un schéma. 5. Sachant que limage du négatif (6x9) cm recouvre exactement le aier (6x4) cm et que la distance entre lobjectif et le négatif est de 3,75 cm, calculer la distance focale de lobjectif 3
Exercice 3 Un téléobjectif est constitué de deux lentilles L et L assimilables à des lentilles minces dont les axes otiques sont confondus. Elles ont resectivement our vergence C = +0 δ et C = - 40 δ. La distance entre les centres otiques est OO = 0,08m. Un objet AB de hauteur h = 6 m est lacé à une distance d = 00 m de la lentille L (A est sur l axe otique).. Déterminer la osition et la grandeur de l image A B donnée ar la remière lentille et de l image définitive A B.. Quelle est la nature de l image A B? Ces résultats (grandeur et nature de l image) sont-ils conformes aux roriétés de l image que doit donner un téléobjectif sur la ellicule d un aareil hoto (format 4x36 mm ). 3. En considérant maintenant un objectif standard de distance focale 50 mm, calculer la taille de limage sur le film. Comarer à celle obtenue avec le téléobjectif et conclure. Exercice 4 Trouver lélément manquant. Où se trouve la lentille sur la figure?. Où se trouve le foyer F sur la figure? 3. Déterminer la osition de lobjet AB sur la figure Exercice 5 Une utilisation de la loue Une loue est en fait une lentille convergente. Dans lalbum" Le temle du Soleil ", Tintin allume la ie du Caitaine Haddock à laide dune etite loue de distance focale f = 0 cm.. Que eut-on dire des rayons du Soleil qui arrivent sur la loue?. Faire un schéma rerésentant la situation et tracer quelques rayons lumineux. 3. A quelle distance de la loue faut-il lacer la ie our ouvoir lallumer? Exercice 6 On assimile une lunette astronomique à un système de deux lentilles minces convergentes de même axe otique. La remière lentille L donne d un objet éloigné AB une image intermédiaire A B. La seconde lentille L joue le rôle de loue ; elle donne de A B une image virtuelle A B. On rend comme distances focales f = 0 cm et f = cm.. Etude de L seule. Soit un objet AB, symétrique ar raort à l axe otique, lacé devant L ; son diamètre aarent est ϑ (voir figure ). a) Quel nom donne-t-on à la lentille L? b) Lorsque l objet est très éloigné, où se trouve l image A B? c) Déterminer la dimension de l image A.N. La calculer our ϑ =. Etude de L seule. a) Quel nom donne-t-on à la lentille L? A b) Où doit-on lacer un objet ar raort à cette lentille our observer à travers celle-ci L une image virtuelle? c) Quelle doit être la osition de l objet our que l image soit à l infini? Calculer l angle ϑ sous lequel on voit l image, l œil étant lacé au foyer F. B θ 0 4
3. Etude du système comlet. L observateur regarde la Lune à travers l instrument, l image définitive étant située elle aussi à l infini. a) Que vaut alors la distance O O entre les deux lentilles? Comment réalise-t-on la mise au oint? b) Faire un schéma du disositif à l échelle. c) Exrimer le grossissement G = ϑ /ϑ de la lunette en fonction de f et f. Alication numérique. d) Le diamètre aarent de la Lune est d environ 30. Calculer le diamètre aarent de son image vue à travers la lunette. e) Rerésenter sur le schéma la marche d un faisceau lumineux de lumière arallèle incliné d un angle ϑ/ ar raort à l axe otique et couvrant toute la lentille L. Même question our un faisceau symétrique du récédent ar raort à l axe otique. f) Que fait aaraître la construction récédente? Intérêt? 5