ctivité 1 : Trouve le plus court chemin 1. Conjecture a. De la rive gauche d'un fleuve, lexia crie à amid qui est assis de l'autre côté du fleuve qu'elle ne sait pas nager. Trop éloigné d'elle, amid l'entend très mal. eproduis le schéma ci-contre en plaçant amid (représenté par le point ) sur la rive droite au plus près d'lexia. rive gauche rive droite b. xplique précisément comment tu as placé le point sur ton schéma. 2. Démonstration et définition a. Sur le schéma précédent où est placé comme indiqué à la question 1., place sur la rive droite un point L distinct de. Quelle est la nature du triangle L? b. Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [] et [L]? Justifie. c. ecopie et complète les phrases suivantes : «La distance d'un point à une droite est la longueur du segment [] où est le pied de la... à... passant par.... C'est la plus courte des distances entre... et....» ctivité 2 : rends la tangente! 1. u voisinage d'un cercle et d'une droite a. vec Tracenoche, à l'aide du bouton, trace un cercle ( ) de centre et de raon deux unités de longueur puis trace une droite (). Construis la perpendiculaire à () passant par et nomme le point d'intersection de ces deux droites. b. Selon toi, combien de points communs peuvent avoir le cercle ( ) et la droite ()? De quoi cela dépend-il? Cite alors tous les cas possibles en précisant à chaque fois la position du point par rapport au cercle. c. n utilisant le bouton, indique combien semblent valoir les distances de à la droite () dans chacun de ces cas? 2. tude du cas limite, définition Dans cette seconde partie, on se place dans le cas où appartient au cercle ( ). a. Soit un point, distinct de, sur la droite. xplique pourquoi <. b. Le point peut-il être sur le cercle ( )? Justifie. De combien de points est constituée l'intersection de la droite et du cercle ( )? c. Soient ( ) un cercle de centre et un point de ( ). ecopie et complète les phrases suivantes : «La tangente à ( ) en est la droite perpendiculaire au raon [] passant par. Le point est le seul point.... n dit que est le point de contact de la... et du....» 174 DISTNCS T TNGNTS - CIT G3
ctivité 3 : De qui est-ce la trace? Dans cette activité, tu vas manipuler la figure Tracenoche disponible à l'adresse : http://manuel.sesamath.net dans les compléments du niveau 4 e. 1. Nature d'une trace a. Quel point peux-tu déplacer sur cette figure? Quels points bougent alors automatiquement? Comment, selon toi, a-t-on obtenu les points F et G? Vérifie avec Tracenpoche. b. Lorsqu'on déplace le point, il laisse parfois une trace rouge. our quelles positions du point cela se produit-il? Vérifie avec Tracenoche. Déplace le point afin d'avoir la plus grande trace rouge possible. 2. Une conjecture a. À l'aide du bouton, trace la bissectrice de x. Que remarques-tu? b. lace un point N sur la bissectrice de x en utilisant le bouton. c. Une fois les constructions nécessaires effectuées, fais afficher les distances de N à chacun des deux côtés de l'angle. Que remarques-tu lorsque tu déplaces N? d. Complète les deux propriétés suivantes (qu'on utilise dans la éthode 3 et qu'on démontre dans l'exercice 38.) : «Si un point est situé... des côtés d'un angle alors il appartient à....», et réciproquement : «Si un point appartient à... alors il est situé... de cet angle.». ctivité 4 : Un cercle bien calé 1. Construction et observation a. vec Tracenoche, à l'aide du bouton, construis un cercle de centre et de raon trois unités de longueur. lace trois points, et C sur ce cercle, trace les trois raons [], [] et [C] puis les trois tangentes au cercle en ces points. b. Déplace si besoin, et C afin que ces trois tangentes forment un triangle contenant le cercle. Nomme D, et F les trois sommets de ce triangle. c. Utilise Tracenoche pour dire si le triangle DF peut posséder un angle obtus. eut-il être rectangle? eut-il être équilatéral? récise alors la position du centre du cercle. d. est-il plus proche de (D) ou de (DF)? Justifie. Que peut-on en déduire concernant le point et l'angle DF? t que dire du point et des angles DF et FD? Vérifie ta réponse à l'aide de Tracenoche en effectuant les tracés nécessaires. 2. ise en situation et démonstration D a. Sur ton cahier, trace un grand triangle DF puis les bissectrices des angles DF et DF qui se coupent en. b. Démontre que est équidistant des trois côtés du triangle DF. F c. Comment tracer la bissectrice de FD en n'utilisant que ta règle non graduée? Justifie. d. n t'inspirant de la première partie, trace un cercle particulièrement intéressant! CIT G3 - DISTNCS T TNGNTS 175
éthode 1 : Déterminer l'ensemble des points situés à une même distance d'une droite À connaître : Distance d'un point à une droite Soit une droite et un point n'appartenant pas à, la distance du point à la droite est égale à où désigne le pied de la perpendiculaire à passant par. emarque : La longueur est alors la plus courte distance entre le point et tous les points de la droite. xemple 1 : Soit une droite et un point n'appartenant pas à. esure la distance du point à la droite. n trace la droite perpendiculaire à qui passe par le point. n mesure la longueur où est le pied de la perpendiculaire à. À connaître L'ensemble des points situés à une même distance d'une droite est défini par deux droites parallèles à situées de part et d'autre de. xemple 2 : Soit une droite. Construis en rose l'ensemble des points situés à 3 cm de la droite. ( ) ( ) 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm ' ' n trace ( ) une perpendiculaire à. n appelle le point d'intersection des deux droites. n place un point sur ( ) tel que = 3 cm et un point ' de l'autre côté de tel que ' = 3 cm. n trace les parallèles à qui passent respectivement par par '. L'ensemble recherché est constitué des deux droites roses. À toi de jouer 1 Construis un triangle N, rectangle en, tel que N = 6,5 cm et N = 2,5 cm. a. Calcule la distance du point à la droite (N). b. eux-tu trouver un point sur la droite (N) tel que = 5,8 cm? ourquoi? 2 Soit ( ) une droite. Construis en rouge l'ensemble des points situés à 26 mm de ( ). 3 Soit ( ) une droite. Colorie en bleu l'ensemble des points situés à moins de 1,4 cm de ( ). 176 DISTNCS T TNGNTS - CIT G3
éthode 2 : Utiliser la tangente à un cercle en un point À connaître : Tangente à un cercle La tangente à un cercle ( ) de centre en un point de ( ) est la droite passant par et perpendiculaire au raon []. emarque : La distance entre le centre d'un cercle et toute tangente à ce cercle est égale au raon. ( ) xemple 1 : Soit ( ) un cercle de centre et un point de ce cercle. Trace la droite ( ) tangente au cercle ( ) en. ( ) ( ) ( ) n trace le raon []. n trace la droite ( ) perpendiculaire en à la droite (). La droite ( ) est la tangente en au cercle ( ). xemple 2 : n considère une droite et un point extérieur à la droite. Construis le cercle ( ) de centre et tel que la droite soit tangente à ( ). ( ) Comme est tangente au cercle ( ), le point de contact de et de ( ) est le pied de la perpendiculaire à passant par. n trace la droite perpendiculaire à qui passe par. n appelle le pied de la perpendiculaire à passant par. n trace le cercle ( raon. ) de centre et de À toi de jouer 4 Trace un cercle ( ) de centre et de raon 2 cm. lace trois points, N et sur le cercle puis construis les tangentes à ( ) en, N et. 5 Soit ( ) un cercle de diamètre []. Trace ( ) et les tangentes au cercle ( ) respectivement en et. Démontre que les droites ( ) et sont parallèles. 6 Soit ( ) un cercle de centre et de raon 3 cm. est la tangente à ( ) en un point. La demi-droite [) telle que = 50 coupe en. Calcule, en justifiant, la longueur. CIT G3 - DISTNCS T TNGNTS 177
éthode 3 : Utiliser les propriétés de la bissectrice d'un angle À connaître : ropriétés de la bissectrice d'un angle Si un point est situé à la même distance des côtés d'un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle. éciproquement, si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors il est situé à la même distance des côtés de cet angle. xemple 1 : Soit un triangle C. lace à l'intérieur du triangle un point afin qu'il soit à égale distance des côtés [] et [C]. Le point se situe à égale distance des côtés [] et [C]. r, si un point est situé à la même distance des côtés d'un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle. À connaître : Centre du cercle inscrit dans un triangle C Donc le point se situe sur la bissectrice de l'angle C formé par les segments [] et [C]. Les trois bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle. emarque : Les trois côtés d'un triangle sont tangents au cercle inscrit dans ce triangle. xemple 2 : Construis un triangle et son cercle inscrit de centre. n trace les bissectrices de deux des trois angles du triangle. lles se coupent en, le centre du cercle inscrit. n trace la perpendiculaire à () passant par le point. lle coupe [] en. n obtient ainsi un raon [] du cercle inscrit dans le triangle. n trace le cercle de centre passant par. À toi de jouer 7 Construis un triangle N. n note d 1 la droite (), d 2 la droite (N) et d 3 la droite (N). lace le point U afin qu'il soit équidistant des droites d 1 et d 3 et équidistant des droites d 1 et d 2. 8 Construis un triangle S tel que = 7 cm ; S = 8 cm et S = 9 cm puis son cercle inscrit. 9 Soit un cercle ( ). Trace un triangle IL tel que ( ) soit inscrit dans le triangle IL. 178 DISTNCS T TNGNTS - CIT G3
6 cm Distance d'un point à une droite S 1 bserve, recopie et complète : 8 cm 10 cm L 6 cm N T a. La distance du point S à la droite (LT) est.... b. La distance du point T à la droite... est 6 cm. c. Le point... est situé à 10,5 cm de la droite.... d. Le point... est situé à... de la droite (F). e. La distance du point à la droite (N) est comprise entre... et.... 13,5 cm 10,5 cm F 5 Calcule la distance du point à la droite (C) sachant que l'aire du triangle C vaut 7,2 cm². 6 Construis le triangle FG tel que G = 5 cm, FG = 6 cm et GF = 68. a. Construis le point S équidistant de F et G, le plus proche possible du point. b. Démontre que les droites (S) et (FG) sont parallèles. 7 Soient une droite et un point situé à 2 cm de. Fais une figure puis place tous les points situés à la fois à 4 cm de et à 3 cm du point. 4,8 cm C 2 ïe, aïe, aïe... (m) 8 Soient une droite et un point T appartenant à la droite. Fais une figure puis colorie en bleu la région du plan contenant les points situés à la fois à plus de 2 cm de et à moins de 3 cm de T. Tangente à un cercle Sur ton cahier, trace deux droites (m) et ainsi qu'un point, comme sur le dessin. a. Jean, debout sur la digue, veut aller se baigner mais il doit d'abord passer par le parasol (au point ) pour prévenir ses parents. eprésente sur ton schéma le trajet que Jean doit emprunter afin de marcher le moins longtemps sur le sable rendu brûlant par les raons du Soleil. 3 ires de triangles a. Trace un segment [N] de longueur 7 cm. b. lace trois points S, T et U situés à 5 cm de la droite (N) et tels que les triangles NS, NT et NU soient respectivement rectangle, quelconque et isocèle. c. Calcule l'aire de chacun de ces triangles. 9 bserve la figure ci-dessous et en te référant au codage, indique pour chacune des droites (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) et (d 4 ) à quel cercle et en quel point elles sont tangentes. ( 2) (d 1) (d 2) (d 3) N V Q U S T ( 1) (d 4) 4 Un point étant donné, construis trois droites (d 1), (d 2) et (d 3) telles que soit situé à 4 cm de chacune d'entre elles. W ( 3) CIT G3 - DISTNCS T TNGNTS 179
@options; @figure; = point( -7.2, 6.87 ) { (0.23,- 0.8) }; = point( -7.03, 0.77 ) { i }; C = point( -5, 6.37 ) { i }; sc = segment(, C ) { i }; s = segment(, ) { i }; sc = segment(, C ) { i }; d = bissectrice(,, C ) { rouge }; = pointsur( d, -3.04 ) { (0.37,- 0.57) }; demi = demidroite(, ) { i }; demic = demidroite(, C ) { i }; perpdemi = perpendiculaire(, demi ) { i }; perpdemic = perpendiculaire(, demic ) { i }; F = intersection( perpdemic, demic ) { (0.23,-0.47) }; = intersection( demi, perpdemi ) { (-0.6,-0.23) }; s = segment(, ) { vert }; scf = segment(, F ) { vert }; s = segment(, ) { orange }; sf = segment(, F ) { orange }; var mes = { -90 }; angle = angle(,, ); anglecf = angle( C, F, ); sf = segment( F, ) { orange }; 10 Un cercle et trois tangentes a. Trace un cercle ( ) de raon 3,5 cm, trace un diamètre [] de ce cercle puis place un point sur ( ) à 4 cm de. b. Construis trois tangentes (d ), (d ) et (d ) en, et au cercle ( ). 11 Distances et tangentes a. Trace une droite et place un point à 5 cm de puis trace le cercle ( 1) de diamètre 5 cm, passant par et dont la droite est une tangente. b. eux-tu tracer un cercle ( 2) de diamètre 4,6 cm passant par et dont la droite est une tangente? Justifie. 12 Trace deux droites parallèles et (d'). Construis un cercle ( ) tel que et (d') soient toutes les deux tangentes à ( ). Quelle est la position de son centre? 13 Cercles tangents intérieurement Une droite est tangente en un point à deux cercles distincts ( 1) et ( 2), situés du même côté de. 1 et 2 sont les centres respectifs des cercles ( 1) et ( 2). Démontre que les trois points, 1 et 2 sont alignés. 14 Un quadrilatère bien connu a. Trace un cercle ( ) de centre et deux raons [] et [] perpendiculaires. Trace les tangentes à ( ) passant par et et place, leur point d'intersection. b. Quelle est la nature du quadrilatère? Justifie. 15 Sur la figure ci-contre, est la tangente en au cercle ( ) de centre et L est un point appartenant à tel que L = 38. Calcule, en justifiant, la mesure de l'angle L. 1 2 ( 1) L ( 2) issectrices et cercle inscrit 16 our chacune des six figures ci-dessous, indique si la demi-droite [) est la bissectrice de l'angle t. Justifie tes réponses. t t fig.1 fig.2 fig.3 fig.5 t t 17 Sur la figure ci-contre, la droite () est la bissectrice de l'angle F. Démontre que le triangle F est isocèle en. 18 Deux triangles isocèles bleus de sommets principaux S et U recouvrent presque entièrement le quadrilatère STU. Le point U appartient-il à la bissectrice de ST? Justifie. 19 Trace un cercle ( ) de centre puis place deux points et non diamétralement opposés sur ce cercle. Trace les tangentes en et en au cercle ( ) et place, leur point d'intersection. Démontre que le point appartient à la bissectrice de l'angle. fig.4 fig.6 U t t F S T 180 DISTNCS T TNGNTS - CIT G3
20 bserve le dessin à main levée ci-contre. Démontre que le point U est équidistant des droites (S) et (T). U S T 25 Une histoire d'angles (ter) Dans la figure ci-dessous, est le point de contact du segment [F] et du cercle de centre, inscrit dans le triangle IF. F = 23 21 Une histoire d'angles F = 38 I U a. Calcule la mesure de l'angle F. Justifie. 70 b. Déduis-en la mesure de l'angle IF. Justifie. 25 a. Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle I b. Que représente le point I pour le triangle U? Justifie. c. Déduis-en les mesures des angles UI et IU. 22 Cercle inscrit Dans chaque cas, construis le triangle C puis son cercle inscrit. a. C = 8 cm, C = 60 et C = 50. b. C = 10 cm, = 8 cm et C = 45. c. C est isocèle en tel que = 9 cm et C = 6 cm. d. C est un triangle équilatéral de côté 7,5 cm. 23 Trace un triangle dont le cercle inscrit a un raon de 2,7 cm. 24 Une histoire d'angles (bis) a. Trace un triangle C rectangle en tel que = 8 cm et C = 30. Trace les bissectrices des angles C et C. b. n appelle I le centre du cercle inscrit dans le triangle C. Calcule, dans cet ordre, les angles C, IC, CI et IC. I 30 30 26 Soient C un triangle isocèle en et le centre du cercle ( ), inscrit dans le triangle C. n note m la mesure en degrés de l'angle a. Fais une figure et place J le point de contact du segment [] avec le cercle ( ). b. Démontre que J = 90 m. c. Démontre que C = 180 2m 2 d. Déduis-en que J = C. xercices de snthèse 27 ( ) est un cercle de diamètre [GT] et V est un point de ce cercle. ( ') est le cercle de centre G passant par le point V. T ( ) V. Démontre que la droite (VT) est tangente en V au cercle ( '). 28 Sachant que le périmètre du triangle DF ci-dessous est égal à 18 cm, détermine à 0,01 cm près la distance du point G à la droite (F). Justifie. F CIT G3 - DISTNCS T TNGNTS G ( ') D G 181
@options; @figure; = point( -1.77, 2.23 ); = point( -1.13, 5.13 ); ce = cercle(, ); s = segment(, ) { i }; perps = perpendiculaire(, s ); = pointsur( perps, -4.99 ); var dis = { 4.99 }; p_dis = milieu(, ) { i }; t_dis1 = texte( p_dis,"$dis$") { magenta, dec1 }; s = segment(, ) { 7 }; var dis = { 2.96580886474874 }; p_dis = milieu(, ) { i }; t_dis1 = texte( p_dis,"$dis$") { magenta, dec1 }; 29 Construire une tangente... sans équerre! ut : Un cercle de centre et passant par étant donné, on souhaite construire la tangente en au cercle sans utiliser l'équerre. a. Fais une figure et place un point sur le cercle tel que =. b. Construis le point N smétrique de par rapport. Démontre que la droite (N) est la tangente cherchée. 30 n considère le triangle rectangle N représenté ci-contre. Calcule l'arrondi au millimètre de la distance du point N à la droite (). 31 Dans la figure ci-dessous, la droite est la tangente en au cercle ( ) de centre et de raon 3 cm. D'autre part, = 5 cm. Calcule la longueur, arrondie au millimètre. 3 cm N 5 cm ( ) 8 cm 3 cm 34 UL est un triangle tel que L = 28, UL = 45 et U = 53. Quelle est la distance du point U à la droite (L)? Justifie. 35 Dans le dessin à main levée suivant, est un point d'un cercle ( ) de centre et de raon 5 cm. Le point est tel que = et = 7 cm. a. Fais une figure en vraie grandeur. Quelle conjecture peut-on faire au sujet de la droite () et du cercle ( )? b. Cette conjecture est-elle vraie? Justifie. 36 vec le cosinus 5 cm ( ) Construis un cercle ( ) de centre et de raon 24 mm et place un point de ( ). a. Trace, la tangente en au cercle ( ) et place un point sur tel que = 66. b. Calcule et donne son arrondi au mm. c. Déduis-en la mesure arrondie au mm du segment []. 7 cm 32 Soit ( ) un cercle de diamètre []. est un point de ( ) distinct de et de. n appelle ( ') le cercle de diamètre [] et la tangente en au cercle ( '). a. Fais une figure. b. Démontre que les droites et () sont parallèles. 33 Dans la figure ci-dessous, un segment [] de longueur 15 cm a ses extrémités sur un demi-cercle de centre et de raon 8,5 cm. Le milieu de [] appartient au demi-cercle de centre et de raon 4 cm. Démontre que la droite () est tangente au cercle de centre et de raon 4 cm. 37 vec le cosinus (bis) Lors d'un ralle dans le désert, un pilote et son copilote n'ont pas vu qu'il fallait prendre à droite à une bifurcation. Les deux pistes sont rectilignes. Ils se rendent compte de l'erreur et s'arrêtent après avoir parcouru 43 km sur la mauvaise piste. Leur carte indique qu'ils se trouvent à 14 km de la bonne. Calcule la mesure de l'angle x, qui donne la direction permettant de rejoindre la bonne piste en effectuant le moins de chemin possible. x 182 DISTNCS T TNGNTS - CIT G3
38 ropriétés de la bissectrice Démontrons les propriétés de la bissectrice d'un angle (voir éthode 3). Considérons la figure ci-contre : 40 À la recherche du sommet perdu S ropriété directe Dans cette première partie, est situé à la même distance des côtés [S) et [S) de l'angle. a. Démontre que les longueurs des côtés des triangles S et SQ sont identiques. b. Que peut-on en déduire concernant les mesures des angles S et SQ? ù se trouve alors le point? c. Écris la propriété que tu viens de démontrer. ropriété réciproque Dans cette seconde partie, on considère la même figure de départ mais on suppose dorénavant que (S) est la bissectrice de SQ. d. Démontre que S = SQ et déduis-en que S = SQ. e. Que peut-on en déduire concernant les triangles S et SQ? Que peut-on alors dire de et Q? f. Écris la propriété que tu viens de démontrer. 39 Droites remarquables et triangle isocèle Dans la figure ci-dessous, C est un triangle isocèle en et est le milieu de [C]. a. appelle la définition d'une médiane d'un triangle. La droite () est-elle une médiane de C? Justifie. b. appelle la définition de la médiatrice d'un segment. La droite () est-elle la médiatrice du segment [C]? CJustifie. c. appelle la définition d'une hauteur dans un triangle. La droite () est-elle une hauteur de C? Justifie. d. La droite () est-elle la bissectrice issue de dans le triangle C? Justifie. e. Dans un triangle isocèle, que dire de la droite passant par le sommet principal et par le milieu de la base? Q eproduis une figure analogue à la figure ci-dessus puis construis le point C tel que soit le centre du cercle inscrit au triangle C. Justifie. 41 n angle droit a. eproduis la figure ci-dessous dans laquelle, et C sont alignés. Trace [) et [), les bissectrices respectives des angles et C. b. Que peut-on dire de ces deux bissectrices? Justifie ta réponse. c. lace un point sur []. La perpendiculaire à () passant par coupe respectivement [) et [) en et S. La perpendiculaire à (C) passant par coupe (C) en. La parallèle à () passant par S coupe (C) en N. lace les points, S, et N. d. Démontre que + SN = S. 42 Des bissectrices aux fractions a. Trace un triangle C tel que = 5 cm, C = 3 cm et C = 6,4 cm. Trace la bissectrice issue de du triangle C qui coupe [C] au point. Le but de cet exercice est de démontrer que = 4 cm. b. Trace la demi-droite [x) contenant le point puis trace la bissectrice de l'angle Cx. Démontre que et () sont perpendiculaires (tu peux t'inspirer de l'exercice 41). c. Trace la parallèle à () passant par C. lle coupe [x) en. Démontre que est la hauteur issue de du triangle C. d. Déduis-en que C est un triangle isocèle en. e. Démontre que C =. Déduis-en la valeur de. C CIT G3 - DISTNCS T TNGNTS 183
@options; @figure; = point( -4.27, -5.2 ); = point( -6.53, -2.63 ); demi = demidroite(, ) { sansnom }; C = point( -2.87, -0.9 ); demic = demidroite(, C ) { sansnom }; sc = segment(, C ); = pointsur( demi, 2.43 ) { i }; bissc = bissectrice(,, C ) { i }; bissc = bissectrice(,, C ) { i }; D = intersection( bissc, bissc ); = projete( D, demic ) { i }; ced = cercle( D, ); 43 Cercle tangent à une droite en un point donné et passant par un autre point donné a. Trace un triangle FG tel que F = 5,5 cm, FG = 4,8 cm et G = 7,3 cm. b. Trace un cercle ( ) de centre, tangent à (F) en et passant par le point G. récise la position du point. Justifie. c. Démontre que les droites (FG) et () sont parallèles. 44 Quatre points «coccliques» I et sont deux points distincts non diamétralement opposés d'un cercle ( ) de centre. Le point est le point d'intersection des tangentes à ( ) en et. Soit I le milieu du segment []. Démontre que les points, et appartiennent au cercle de centre I passant par. 45 Tangentes passant par un point donné a. Trace un cercle ( ) de centre et place un point à l'extérieur du disque. b. Construis les deux tangentes à ( ) passant par (tu peux t'inspirer de l'exercice 44). Justifie. 46 Un problème d'optimisation Construction et conjecture a. Soit C un triangle rectangle en et soit un point du segment [C]. Les parallèles à () et (C) passant par coupent respectivement [C] et [] en et N. Construis cette figure à l'aide du logiciel Tracenoche. Trace le segment [N]. b. n utilisant le bouton «règle», affiche la longueur N. ouge le point et détermine sa position pour que la longueur N soit la plus petite possible. ffiche la mesure de l'angle pour cette position de. c. Quelle conjecture peux-tu faire? Démonstration d. Détermine la nature du quadrilatère N. e. Chercher à minimiser la longueur de [N] revient à minimiser une autre longueur, laquelle? Justifie. f. Démontre la conjecture faite au c. ci-dessus. 47 Cercles tangents extérieurement a. Trace un segment [] de longueur 6 cm et place un point sur ce segment. Trace les cercles ( ) et ( ) de centres respectifs et passant par. b. Démontre que est le seul point commun aux cercles ( ) et ( ). n dit que ces cercles sont tangents extérieurement en. c. Construis un cercle ( ) de centre et de raon 25 mm tangent extérieurement aux cercles ( ) et ( ). d. Quel est le périmètre du triangle? 48 our aller plus loin... Cercles exinscrits à un triangle L C Étant donné un triangle C, tout cercle tangent à l'un de ses côtés et aux prolongements des deux autres est appelé cercle exinscrit au triangle. Ci-contre, on a tracé le cercle exinscrit relatif au côté [C]. a. n t'inspirant de la partie 2 de l'activité 4 de ce chapitre, démontre qu'il existe un seul cercle exinscrit relatif au côté [C] dans le triangle C et précise la position du centre de ce cercle. b. Combien de cercles exinscrits totalise un triangle? Construction avec Tracenoche c. vec le logiciel Tracenoche, trace trois droites sécantes deux à deux et formant un triangle C. Construis le cercle inscrit à C et les cercles exinscrits à C. d. Toujours dans Tracenoche, place, et C, les milieux respectifs des segments [C], [C] et [] puis construis le cercle circonscrit au triangle C. Quelle particularité semble posséder ce dernier cercle? emarque : Cette conjecture a été prouvée par arl Feuerbach (mathématicien allemand, 1800-1834). (source : http://fr.wikipedia.org) 184 DISTNCS T TNGNTS - CIT G3
@options; @figure; = point( -5.23, -4.6 );&&- 5.23&-4.6& { i }; = point( 6.04, -4.2 );&&6.04&- 4.2& { i }; ce = cercle(, ) { rouge, plein20 }; ce = cercle(, ) { rougeclair, plein20 }; C = intersection( ce, ce, 1 );&&0.059&5.36& { i }; C1 = intersection( ce, ce, 2 );&&0.751&-14.16& { i }; sc = segment(, C ) { i }; sc = segment( C, ) { i }; s = segment(, ) { i }; cec = cercle( C, ) { rougefonce, plein20 }; = milieu(, C );&&- 2.586&0.38& { i }; J = milieu(, C );&&3.049&0.58& { i }; I = milieu(, );&&0.405&- 4.4& { i }; sj = segment(, J ) { i }; s = segment(, ) { i }; sic = segment( I, C ) { i }; sj = segment(, J ) { i }; sji = segment( J, I ) { i }; si = segment(, I ) { i }; L = milieu( I, );&&-2.413&- 4.5& { i }; = milieu( I, );&&3.223&- 4.3& { i }; sl = segment(, L ) { i }; = intersection( sj, sl );&&- 2.47&-2.873& { i }; cel = cercle(, L ) { vert, 2, plein40 }; sj = segment( J, ) { i }; Q = intersection( s, sj );&&3.165&-2.673& { i }; ceq = cercle( Q, ) { vertclair, 2, plein40 }; = intersection( s, sic );&&0.29&-1.147& { i }; ce = cercle(, ) { jauneclair, 2, plein40 }; cec = cercle(, C ) { jaune, 3, plein20 }; N = milieu(, C );&&- 1.264&2.87& { i }; sjn = segment( J, N ) { i }; S = intersection( sjn, sic );&&0.174&2.107& { i }; cesn = cercle( S, N ) { vertfonce, 2, plein40 }; cesc = cercle( S, C ) { vertfonce, 2, plein20 }; ce = cercle(, ) { vert, 2, plein20 }; ceqj = cercle( Q, J ) { vertclair, 2, plein20 }; = milieu( I, J );&&1.727&- 1.91& { i }; ce = cercle(, ) { blanc, 2, plein50 }; 1 lan de ville Utiliser la carte à l'échelle 1/ 5 000 disponible à l'adresse : http://manuel.sesamath.net dans les compléments du niveau 4 e. 1 re partie : Trouver un lieu Vous deve retrouver sur la carte les emplacements des lieux décrits ci-dessous. a. Le lieu de rende-vous de Chaema et bel : à 200 mètres de l'écluse de Condé, à 625 mètres du collège et à 400 mètres du poste de police. b. La maison de quartier : à 200 mètres au nord de la route de Saint-Gilles et à 325 mètres du château. c. La demeure de Callista : à 350 mètres du poste de police, le long de la rue tangente au gros rond-point. d. L'épicerie : à égale distance du canal, de la route de Saint-Gilles et de l'avenue principale. e. L'emplacement de pêche de hilippe : sur la rive sud de la Naise, à 200 mètres à l'est du point de cette rive qui est le plus près du centre d'équitation. 2 e partie : epérer un lieu f. Choisisse un nouveau lieu sur la carte et mesure les distances entre ce lieu et les trois maisons, et C. Convertisse ces trois mesures en distances réelles et note-les sur une feuille. Échange ensuite les mesures avec celles d'un autre groupe puis retrouve le lieu repéré par les coordonnées. g. Choisisse un autre lieu sur la carte et mesure les distances entre ce lieu et la Naise, l'avenue principale et la route de Saint-Gilles. Convertisse ces trois mesures en distances réelles et note-les sur une feuille. Échange ensuite les mesures avec celles d'un autre groupe puis retrouve le lieu repéré par les coordonnées. h. Choisisse un dernier lieu sur la carte, mesure les distances entre ce lieu et : la cabane, la bissectrice de la Naise et du canal, ne coupant pas l'avenue principale, la tangente au rond-point, passant par le poste de police et la plus proche de la caserne de pompiers. Échange ensuite les mesures avec celles d'un autre groupe puis retrouve le lieu repéré par leurs mesures. 2 elles figures 1 re partie : Suivre un programme de tracé L'ensemble de la construction pourra soit être faite sur papier au craon soit à l'aide d'un logiciel de géométrie dnamique. a. Construise un triangle équilatéral C puis trace les trois cercles aant pour centre chacun des sommets et passant par les autres sommets. b. Trace les trois bissectrices de ce triangle. Les bissectrices issues de, et C coupent les côtés opposés respectivement en I, J et. c. Trace le cercle inscrit dans le triangle C puis en remarquant que les bissectrices du triangle sont aussi les médiatrices, trace le cercle circonscrit au triangle C. d. Trace les triangles équilatéraux J, I, CIJ et IJ. Trace leurs cercles inscrits et circonscrits. e. epasse les cercles de votre figure en couleur, efface les segments et les points puis colorie la figure à votre convenance. 2 e partie : diter un programme de tracé f. Choisisse une figure parmi celles proposées à l'adresse : http://manuel.sesamath.net dans les compléments du niveau 4 e. uis, en vous aidant du bouton du sixième menu du logiciel Tracenpoche, écrive un programme de tracé de la figure. La couleur des objets vous indique la chronologie du tracé, allant du rouge au violet dans l'ordre des couleurs de l'arc-en-ciel. g. Échange ensuite avec le programme de construction d'un autre groupe et trace la figure du programme reçu sur papier ou à l'aide d'un logiciel de géométrie dnamique. CIT G3 - DISTNCS T TNGNTS 185
1 C La distance de à la droite (C) est [] 2 La longueur est la distance de à la droite dans le(s) cas suivant(s) : 3 Les points à égale distance d'une droite ( ) se trouvent sur... 4 Si la droite (T) est la tangente en T à un cercle de centre alors... 5 Une droite et un cercle ont... 1 2 3 4 () une droite unique le triangle T est rectangle en T au plus deux points d'intersection La distance de C à la droite () est C V deux droites parallèles à ( ) la droite (T) touche le cercle en plusieurs points au moins deux points d'intersection La distance de C à la droite () est C 28 63 V deux droites perpendiculaires à ( ) pour tout point de (T), distinct de T, > T parfois un seul point d'intersection Si (C) alors 3,6 cm 4,5 cm un cercle 2,7 cm V la distance de à la droite (T) est T parfois aucun point d'intersection 6 (G) est la tangente en G au cercle de centre passant par G dans les cas suivants : G G G G 7 est la bissectrice de l'angle C. Si alors = 8 Si UL = U U alors (UV) est la bissectrice L V de LV 9 Si X est le centre du cercle inscrit au triangle WYZ alors... X est à égale distance des trois côtés du triangle WYZ Si est à égale distance de () et de (C) alors La droite (LV) est tangente au cercle de centre U passant par X est le point d'intersection des médiatrices du triangle WYZ passe par le milieu de [C] Les droites (U) et (UL) sont tangentes au cercle de diamètre [UV] (WX) est la bissectrice de l'angle YWZ Si alors est à égale distance de () et de (C) Si (UV) est la bissectrice de LV alors UV = LUV WX = YX = ZX Troisième angle Quadrilatère particulier?? 100 Quelle est la nature du quadrilatère formé par l'intersection des bissectrices des angles d'un parallélogramme? t si le parallélogramme est particulier? Égale distance, et C sont trois points non alignés. Construis une droite passant par qui soit à égale distance des points et C. Y a-t-il plusieurs solutions? 186 DISTNCS T TNGNTS CIT G3