11 mars 014 Calcul matriciel I IA Matrices : définition, opérations et propriétés Définitions et structure d espace vectoriel Définition 1 (Définition Une matrice de type (n, p est un tableau à n lignes et p colonnes de coefficients a i,j K, où i est l indice de ligne et j l indice de colonne On l écrit : a 1,1 a 1, a 1,p a,1 a, a,p A (a i,j 1 i n a n,1 a n, a n,p On note M n,p (K l ensemble des matrices de type (n, p à coefficients dans K Exercice I1 : Écrire la matrice A (i j 1 i 1 j 3 Définition (Somme de matrices et produit d une matrice par un scalaire Soient A (a i,j 1 i n et B (b i,j 1 i n M n,p (K, et λ K : 1 On dit que A et B sont égales si leurs coefficients sont égaux (ie (i, j [[1,n]] [[ 1, p ]], on a a i,j b i,j On définit la somme de A et B par : A + B (a i,j + b i,j 1 i n a 1,1 + b 1,1 a 1, + b 1, a 1,p + b 1,p a,1 + b,1 a, + b, a,p + b,p a n,1 + b n,1 a n, + b n, a n,p + b n,p 3 On définit le produit de A par le scalaire λ K de la manière qui suit : λa (λa i,j 1 i n λa 1,1 λa 1, λa 1,p λa,1 λa, λa,p λa n,1 λa n, λa n,p Proposition 1 (Propriétés des opérations dans M n,p Soient A, B et C des matrices de M n,p (K et λ K 1 A + B B + A A + (B +C (A + B +C A + B +C 3 λ(a + B λa + λb Remarque 1 : La matrice nulle, (le vecteur nul de (M n,p (K,+, est : 0 0 0 0 0 0 0 Mn,p (K 0 0 0 Lycée Jean Perrin 013/014 1 / 8
IA Définitions et structure d espace vectoriel 11 mars 014 (( ( ( ( 1 0 0 1 0 0 0 0 Exemples 1 : 1,,, est une base de M 0 0 0 0 1 0 0 1, (R Nous démontrerons en effet que toute matrice de M, (R s écrit de façon unique comme combinaison une linéaire de ces quatre matrices Quelques exemples de calculs élémentaires Définition 3 (Matrices particulières 1 Une matrice a 1 a a n de M n,1(k est appelée matrice colonne d ordre n Une matrice ( a 1 a a n de M1,n (K est appelée matrice ligne d ordre n a 1,1 a 1, a 1,n a,1 a, a,n 3 Une matrice de M n,n(k est appelée matrice carrée d ordre n a n,1 a n, a n,n Définition 4 (Matrices carrées particulières Soit A (a i,j 1 i n M n (K : 1 j n 1 A est dite diagonale si a i,j 0 pour i j λ 1 0 0 0 λ A 0 0 0 λ n diag(λ 1,λ,,λ n A est dite triangulaire supérieure si a i,j 0 pour i > j a 1,1 a 1, a 1,n 0 a, A an 1,n 0 0 a n,n 3 A est dite triangulaire inférieure si a i,j 0 pour i < j a 1,1 0 0 a,1 a, A 0 a n,1 a n,n 1 a n,n Lycée Jean Perrin 013/014 / 8
IB Produit matriciel 11 mars 014 IB Produit matriciel Définition 5 (Produit d une matrice par une matrice colonne Soient A (a i,j 1 i n M n,p (K et X x 1 x x p M p,1(k Le produit AX est la matrice colonne obtenue par combinaison linéaire des colonnes de A avec les coefficients de X, c est à dire :* x 1 a 1,1 + x a 1, + +x p a 1,p x 1 a,1 + x a, + +x p a,p AX M n,1(k x 1 a n,1 + x a n, + +x p a n,p ( 0 1 Exemple : Effectuons le produit matriciel de A 1 On pose l opération ainsi : ( Le résultat obtenu est donc AX 4 ( 0 1 1 ( 1 par X ( 1 ( 4 Obtenu par combinaison linéaire des lignes de colonnes de A avec les coefficients de X Définition 6 (Produit de deux matrices Soient A (a i,j 1 i n M n,p (K et B (b i,j 1 i p 1 j q On définit le produit C AB (c i,j 1 i n 1 j q M p,q (K des matrices A et B par :c i,j p a i,k b k,j k1 Remarques : 1 La j-ième colonne de C est le produit de la matrice A par la j-ième colonne de B La i-ième ligne de C est obtenu comme le produit de la i-ième ligne de A par la matrice B 3 Le produit AB n a de sens que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B! Calcul pratique : On dispose A et B ainsi : Ligne i a i,1 a i, a i,p colonne j b 1,j b,j b p,j c i,j On calcule c i,j a i,1 b 1,j + a i, b,j + + a i,p b p,j en additionnant les produits «terme à terme» des éléments de la ligne i de la matrice A et de la colonne j de la matrice B Lycée Jean Perrin 013/014 3 / 8
IB Produit matriciel 11 mars 014 ( 0 1 Exemple 3 : Effectuons le produit matriciel de A 1 ( 1 1 1 B 0 1 1 On pose l opération ainsi : ( 0 1 1 Le résultat obtenu est donc C 3 1 ( 0 1 1 par ( 1 1 1 0 1 1 ( 0 1 1 3 1 Exercice I : On donne les matrices : ( 1 1 0 A 1 1 1 1 ( B 1 1 1 3 1 C 3 1 0 1 Calculer AB puis (ABC Calculer BC puis A(BC Conclusion? Remarques 3 : 1 Si A M n,p (K et B M p,q (K, alors AB existe, mais si n q, B A n existe pas En général, si A M n,p (K et B M p,n (K alors AB B A (non commutativité ( ( ( ( ( ( 1 1 1 1 1 1 Par exemple : mais 0 1 1 1 1 1 0 1 3 AB 0 / A 0 ou B 0 Par exemple : On dit que M n (K n est pas intègre Propositions (Propriétés du produit matriciel ( ( ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 }{{}}{{} 0 0 1 Le produit matriciel est associatif, soit A M n,p, B M p,q, C M q,r alors : A(BC (ABC Distributif à gauche par rapport à l addition matriciel soit A M n,p, B M p,q, C M p,q alors : A(B +C AB + AC 3 Distributif à droite par rapport à l addition matriciel soit A M n,p, B M n,p, C M p,q alors : (A + BC AC + BC 4 Commute avec la loi externe : λ K, soit A M n,p, B M p,q alors : λ(ac (λac A(λC Remarques 4 (ATTENTION : 1 Le produit matriciel n est pas commutatif Le produit matriciel ne vérifie pas la propriété du «produit nul» Lycée Jean Perrin 013/014 4 / 8
IC Puissance d une matrice carrée 11 mars 014 IC Puissance d une matrice carrée Définition 7 On appelle matrice { identité d ordre n la matrice carrée notée I n : δi,i 1 I n (δ i,j avec δ i,j 0 si i j 1 0 0 0 1 0 I n 0 0 1 Remarque 5 : A M n,p (K, on a I n A AI p A, et A M n (K, on a I n A AI n A donc toute matrice carrée commute avec la matrice identité! Définition 8 (Puissance d une matrice A M n (K, on définit la puissance n-ième de A par : i A 0 I n ii A n AA n 1 pour n > 0 ( 1 1 Exercice I3 : Soit A 0 1 ( Démontrer que A n 1 n 0 1 Remarque 6 : On ne peut pas écrire d identités remarquables : (A + B A + B + AB en général Et de même, la formule du binôme ne s applique pas pour les matrices sauf dans le cas où A( et B commutent DONC : Dans le cas où A et B commutent, ie AB B A alors, on peut écrire : (A + B n kn n A k B n k k Exercice I4 : Reprendre l exercice précédent en remarquant que A peut s écrire comme somme de la matrice identité et d une autre matrice dont la puissance n-ième est simple ( 1 3 Exercice I5 (Calcul de la puissance d une matrice : Soit M Démontrer que M 3M + I 4 O, Après avoir déterminé le reste de la division euclidienne de X n par X 3X + en déduire M n pour tout entier n k1 II Matrices (carrées inversibles Définition 9 A M n (K est dite inversible (dans M n (K s il existe B M n (K tel que AB B A I n On note alors B A 1 Proposition 3 On note GL n (K l ensemble des matrices inversibles de M n (K (GL n (K, est un groupe dont l élément neutre est I n On l appelle groupe linéaire Lycée Jean Perrin 013/014 5 / 8
11 mars 014 Exercice II1 : On donne la matrice A 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 Calculer A, puis montrer que A A + I 3 En déduire que A est inversible et calculer A 1 Remarques 7 : Soit A est une matrice carrée d ordre n : Si on note Y et X des vecteurs-colonne on a : Y AX X A 1 Y ce qui fournit une méthode de calcul de A 1 A est donc inversible si et seulement si tout système AX Y, où X et Y sont des matrices colonnes, admet une unique solution Donc si et seulement si le nombre de pivot de Gauss pour ce système est n, donc si le rang de ce système est n Méthode générale pour déterminer l inverse d une matrice : On va exposer cette méthode sur un exemple 4 1 Soit : A 1 3 x x 1 et X y et Y y 1 1 z z x 4 1 Y AX y 1 3 x z 1 y 1 1 z x x + 4y z x z y z (L 1 L 3 y x y + 3z z z x + y + 1 y 3y 5 z (L 3 L z z x + y + 1 z (L 3 y z x z ( L 1 z (z y 3(x z 3x y + 8z (L 3L 1 x z y 1 z z + 5 x + y 7z + 3 x + y 4z (L 3 y 5 x y + 7z z 3x y + 8z x 4x + 3y 10z 4 3 10 Donc A 1 5 7 3 8 Y AX x y z 4 3 10 5 7 3 8 1 1 Exercice II : Déterminer l inverse de la matrice A 1 1 1 x y z Remarques 8 (Cas des matrices diagonales : produit, puissance, inverse : Si A diag(λ 1,λ,,λ n et B diag(µ 1,µ,,µ n, alors : 1 AB diag(λ 1 µ 1,λ µ,,λ n µ n p N, A p diag(λ p 1,λp,,λp n Lycée Jean Perrin 013/014 6 / 8
11 mars 014 3 A est inversible si et seulement si i [[1,n]], on a λ i 0 Dans ce cas : ( 1 A 1 diag, 1 1,, λ 1 λ Propositions 4 λ n Soient A et B deux matrices de GL n (K 1 A 1 est unique Si AB I n ou si B A I n alors B A 1 ( A 1 1 A 3 AB est inversible, et (AB 1 B 1 A 1 Démonstration AB(B 1 A 1 A BB }{{ 1 1 A AA 1 In, donc AB est inversible et (AB } 1 B 1 A 1 I n Exercice II3 : Déterminer les inverses des matrices : A 0 1 0 1 1 0 1 et B ( 1 1 1 1 III Applications linéaires de K p dans K n IIIA Remarque 9 : Linéarité, écriture matricielle d une application linéaire de K p dans K n On peut identifier l ensemble K p à l ensemble M 1,p [K] e 1 e En effet, tout élément e (e 1,e,,e p K p peut s écrire Définition 10 Soit A (a i,j 1 i n M n,p, l application définie par : e p { K p K n ϕ : X Y AX est une application linéaire de K p dans K n cela signifie : 1 (X, X K p K p alors ϕ(x + X ϕ(x + ϕ(x c est à dire A(X + X AX + AX X K p et λ K alors ϕ(λx λϕ(x c est à dire A(λX λax Démonstration Ces propriétés sont directement issues des propriétés du produit matriciel déjà démontrées Exemple 4 : On considère l application : { R R 3 f : (x, y (x, x y, x + y On a f ( e 1 (,1,1 f 1 + f + f 3 et f ( e (0,1, f + f 3, donc la matrice de f relativement aux bases canoniques de R et R 3 est : 0 f 1 1 1 f M at f 1 f 3 f ( e 1 f ( e Lycée Jean Perrin 013/014 7 / 8
IIIB Noyau et image d une matrice 11 mars 014 Définition 11 Soit A M n,p (K On appelle application linéaire canoniquement associée à A l application linéaire f : K p K n dont la matrice est A dans les bases canoniques Exercice III1 : Déterminer les applications canoniquement associées aux matrices : A 1 1 3 0 1 0 0 1 1, A ( 1 0 1 0 0 1, A 3 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 5 IIIB Noyau et image d une matrice Définition 1 On appelle noyau d une matrice A M n,p (K l ensemble des éléments X de K p qui vérifient AX 0 Mn,1 On note ker A cet ensemble ker A { X M p,1, AX 0 } Exercice III : En utilisant l exercice III1 déterminer le noyau de chacune de ces matrices Définition 13 On appelle image d une matrice A M n,p (K l ensemble des éléments Y de K n qui peuvent s écrire Y AX avec X M p,1 On note Im A cet ensemble Im A { Y M n,1, X M p,1,y AX } Exercice III3 : En utilisant l exercice III1 déterminer l image de chacune de ces matrices Table des matières I Matrices : définition, opérations et propriétés 1 IA Définitions et structure d espace vectoriel 1 IB Produit matriciel 3 IC Puissance d une matrice carrée 5 II Matrices (carrées inversibles 5 III Applications linéaires de K p dans K n 7 IIIA Linéarité, écriture matricielle d une application linéaire de K p dans K n 7 IIIB Noyau et image d une matrice 8 Lycée Jean Perrin 013/014 8 / 8