1.. Cas général d une perpendiculaire commune Quand deux droites sont orthogonales Une perpendiculaire commune à deux droites orthogonales est contenue dans le plan passant par l une des droites et perpendiculaire à l autre. Dans ce plan, elle passe par le point de percée de l autre droite et est perpendiculaire à la première droite. Quand deux droites sont gauches quelconques 1. Une perpendiculaire commune à deux droites gauches est perpendiculaire aux plans parallèles les contenant.. Elle est dans le plan passant par l une des droites et perpendiculaire aux plans parallèles. 3. Elle passe par le point de percée de l autre droite dans ce plan et dans le même plan elle est perpendiculaire à la première droite.
1..3 Critères de perpendicularité d une droite et d un autre plan Une condition nécessaire et suffisante de perpendicularité d une droite et d un plan est que la droite soit perpendiculaire ou orthogonale à deux droites sécantes du plan. 1..4 Unicité de la perpendiculaire commune Il n y a qu une seule perpendiculaire commune à deux droites gauches. Π1 et π sont deux plans parallèles contenant respectivement les droites D1 et D. D est la perpendiculaire commune à D1 et D. On suppose qu il existe une seconde perpendiculaire commune aux droites D1 et D, D. La droite et une droite parallèle à D1 dans π passant par l intersection de D et π. Si D est perpendiculaire à D1 et D, D serait perpendiculaire à puisqu elle est perpendiculaire à D1 et que D1 est parallèle à. Comme D est perpendiculaire à et à D, on
peut dire que D est perpendiculaire à π, tout comme D. D et D sont donc parallèles puisqu elles sont perpendiculaires au même plan. Puisque D et D sont parallèles et toutes deux perpendiculaires aux droites D1 et D, et que D et D ne sont pas confondues, on peut en conclure que le plan contenant D et D contiendrait aussi les droites D1 et D et donc que celles ci seraient coplanaires, ce qui n est pas le cas. En résumé : Si D est perpendiculaire à D1 et D, et que π1 est parallèle à π, D est perpendiculaire à π1 et π. De même pour D. D et D sont dès lors parallèles, puisqu elles sont perpendiculaires aux même plans. Puisque D et D sont toutes deux perpendiculaires à D1 et D, et que D et D sont toutes deux parallèles sans être confondues, D1 et D doivent alors être parallèles. 1..5 Distance entre deux droites gauches La distance entre les points d intersection de deux droites gauches avec leur perpendiculaire commune est la plus petite parmi les distances entre deux points quelconques appartenant respectivement à ces deux droites. D1 et D sont deux droites gauches, π1 et π sont les deux plans parallèles contenant ces droites, D est la perpendiculaire commune de ces droites. D est une droite sécante quelconque reliant D1 à D avec d1 et a comme intersections. Le triangle ad1d est un triangle rectangle car d1d est perpendiculaire à ad, donc ad1 > d1d. od est parallèle à o1d1, et o1d1 est parallèle à od. On a donc un parallélogramme. De là, on peut déduire que o1o = d1d. Dès lors ad1 > o1o.
B B.4 Définitions.4.1 Coordonnées d un point P dans l espace Le point P a pour coordonnées un triplet (X P,Y P,Z P ) où X p est l abscisse d un point P repérée sur l axe OX, Y p est l ordonnée du point P repérée sur l axe OY, Z p est la cote du point P repérée sur l axe OZ..4. Composantes du vecteur B où (X,Y,Z ) et B (X B,Y B BB,Z B ). Le vecteur B a pour composantes le triplet (XB - X, Y BB - Y, Z B B - Z)..4.3 Distance d un point P (X P,Y P,Z P ) à l origine du repère O (dans un repère orthonormé) OP = X + Y + Z P P P.4.4 Distance entre deux points P (X P,Y P,Z P ) et Q (X Q,Y Q,Z Q ) (dans un repère orthonormé) ( Q P) ( Q P) ( Q P) PQ = X X + Y Y + Z Z Remarque : Critère de perpendicularité Soit (X,Y,Z ) et B (X B,Y B BB,Z B ). B ΔOB est rectangle en O X X +Y Y +Z Z =0 Demo : ( X X ) ( Y Y ) ( Z Z ) B B B B B B ΔOB est rectangle en 0 B = O + OB + + = X + Y + Z + X + Y + Z X X Y Y Z Z = 0 B B B B B B X X +Y Y +Z Z =0 B B B.4.5 Produit scalaire de deux vecteurs Dans le plan, le produit scalaire de deux vecteurs de même origine est égal au produit scalaire du premier vecteur par le vecteur-projection orthogonale du second vecteur sur le premier. Dans l espace, on choisit comme représentants de deux vecteurs, ceux de même origine et qui sont donc situés dans un même plan. lors la définition du produit scalaire de deux vecteurs dans le plan reste valable dans l espace.
- Si les deux vecteurs sont parallèles et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs. O. O = O. O - Si les deux vecteurs sont parallèles et de sens contraire, leur produit scalaire est égal à l opposé du produit de leurs longueurs. O. O = O. O - Si les deux vecteurs sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul. O O =. 0 Si les deux vecteurs forment un angle α, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs et du cosinus de leur angle. O. O = O. O.cosα Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme du produit des premières composantes, du produit des deuxièmes composantes et du produit des troisièmes composantes des deux vecteurs. Soit O r,s,t et O u,v,w : OO. = r. u + s. v + t. w ( ) ( ) Démonstration de la formule du produit scalaire : Dans un repère de l espace, on a 3 vecteurs de base : e1 sur OX e sur OY de longueur 1 e3 sur OZ O = re. 1+ se. + te. 3 O = ue. 1+ ve. + we. 3 O.O = ( re. 1+ se. + te. 3).( ue. 1+ ve. + we. 3) = rue.. 1 + rve.. 1. e + rwe.. 1. e3+ sue.. e1+ Sve.. + swe... e3+ t. ue.. e + tve... e + twe.. 3 1 3 3
O = re. 1+ se. + te. 3 O = ue. 1+ ve. + we. 3 O.O = ( re. 1+ se. + te. 3).( ue. 1+ ve. + we. 3) = rue.. 1 + rve.. 1. e + rwe.. 1. e3+ sue.. e1+ Sve.. + swe... e3+ t. ue. 3. e1+ tve.. 3. e + twe.. 3 Or vu que ee 1. = 0, ee 1. 3 = 0 et ee. 3 = 0, on peut supprimer les produits où ils apparaissent. Et vu que e1 = e = e3 = 1,on peut aussi les simplifier, dès lors, on obtient : O.O = ru. + sv. + tw. Somme des produits des composantes Propriété du produit scalaire : 1 Distributivité par rapport à l addition des vecteurs ( B+ CD). MN = BMN. + CDMN. MN( B+ CD) = MN. B+ MNCD. ssociativité mixte pour tout réel r, r( BCD. ) = ( r. B). CD 3 Symétrie BCD. = CDB. 4 Positivité B > 0 1) Equations d une droite 1) Equation vectorielle et B points données définissent les droites B Le point P est un point quelconque de la droite B B = P P = k. B k éq. vectorielle ) Equation paramétriques ( X ; Y; Z ) OP = O + P B( X B; YB; ZB) OP = O + k. B vecteur directeur P( X; Y; Z) On passe aux composantes des vecteurs (X ;Y ;Z) = (X,Y,Z ) + k (X B B - X, Y BB - Y, Z B B - Z) X = X + k( XB X) B Y = Y + k ( YB Y) Système déquations paramétriques de la droite paramètre=k Z = Z + k( ZB Z)
3) Equations cartésiennes On élimine le paramètre k X X k = ( XB X ) XB X Y Y k = ( YB Y) YB Y Z Z k = ( ZB Z) ZB Z plan β X X Y Y Z Z B = = X X Y Y Z Z B B B Équation cartésienne d B eq du plan α Exemple : 1) (0;;) et B (3;1;0) B ( 3; 1; ) vecteur directeur Eq. Vect. : P= k. B x= 3k Eq. Para. : y = k z = k Eq. Cart. : x (1) = y 3 x z B B = y = x z 3 ou = 3 () (3) x 3y 6 0 x = 1 6y = 6 3z + = ( π1) B x+ 3z 6= 0( π ) π1oy = ( 0; ;0 ) πox = ( 3;0;0) π OX = 6;0;0 π OZ = 0;0; ) ( ) ( 1 ) Equations d un plan 1) Equation vectorielle π B = k. B + h. C B et C sont les vecteurs directeurs
) Equations paramétriques ( X-X );( Y-Y );( Z-Z ) = k. X -X ;Y -Y ;Z -Z + h. X -X ;Y -Y ;Z -Z X-X = k( XB-X ) + h( XC-X ) π Y-Y = k( YB-Y ) + h( YC-Y ) Z-Z = k( ZB-Z) + h( ZC-Z) X= X + k( XB-X) + h( XC-X) π Y = Y + k( YB-Y ) + h( YC-Y ) éq. paramétriques du plan π Z= Z + k( ZB-Z) + h( ZC-Z) X = X + k( ) + h ( ) π Y = Y + k( ) + h ( ) Z = Z + k( ) + h ( ) ( ) ( B B B ) ( C C C ) Coord. d 1 pt connu du plan composante des vecteurs directeurs 3) En éliminant les paramètres h et k, On obtient une équation du premier degré à 3 inconnues qui est l équation du plan. OU En développant un déterminant que l on égalise à 0, on obtient une équation premier degré à 3 inconnues qui est aussi l équation cartésienne du plan. X X X - X X -X Y Y YB - Y YC -Y Z Z Z - Z Z -Z 1 pt comp. de vect. direc de pi π ac + by + cz + d = 0 Exemple : ( 1;0;0 ) B( 0;1;0 ) C( 0;0;1) Eq. para : B C a B C ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) x= 1+ k -1 + h 1 x = 1 k h y = 0+ k 1 + h 0 y = k z 0 k 0 h 1 z = h = + + Eq. cart : x-1 1 1 = x 1 + 0 + 0 + z + y = 0 y 1 0 = x+ y+ z 1= 0 z 0 1 = 0 (on égalise à 0 car la colonne 1 est combinaison linéaire des deux autres (comme on l a dit au point ) )
4) Vecteur normale du plan π π ax + by + cz + d = 0 1 () P( xp; yp; zp) π ax. P + b. yp + cz. P + d = 0 ( ) ( 3:1 ) ( ) ( : ) a( x xp) + b( y yp) + c( z zp) = 0 ( P; P; P) ( ; ; ) V( abc ; ; ) ( 3 ) exprime que le produit scalaire est nulle PR x x y y z z oùr x yz estunptqcqdeπ PR V = 0 (produit scalaire) V PR V( abc ; ; ) est un vecteur orthogonal à tous les vecteurs du plan π. Il sappelle le vecteur normal du plan π Exemple : (;3;-1) π Vect. normal de π = V ( 1; 1;3 ) π x y+ 3x+ d = 0 π :4 3+ ( 3) + d = 0 d = π x y+ 3x+ = 0 Remarque : Deux plans parallèle ont même vecteur normal. 3) Distance d un point à un plan π ax + by + cz + d = 0 P( xp; yp; zp) d ( P, π ) =? R x; y; z ; π PR ( ) x= xp + ka PR y = y p + kb z = zp + kc ( p ) ( p ) ( p ) R π a x + ka + b y + kb + c z + kc + d = ax + ka² + by + kb² + cz + kc² + d = 0 p p p ( ² ² ² ) k a + b + c = axp byp czp d axp byp xz p d k = a² + b² + c² ( ; π ) = d( P; R) = ( ka) + ( kb) + ( kc) = k ( a² + b² + c² ) d P = k a² + b² + c² axp by p xz p d d( P; π ) =. a² + b² + c² a² + b² + c² axp by p xz p d d( P; π ) = a² + b² + c²
Exemple π x 3y+ z = 0 P ;1;5 (, π ) d P 4 4 = = + 3 + 1 14 ( ) ( ) 4) Condition de parallélisme et de perpendicularité ou orthogonalité entre droites, plans, 1 droite et 1 plan. 1) U( r, s, t) V ( u, v, w) U // V k : V = ku. ( uvw,, ) = k. ( rst,, ) u = k. r r s t ou v = k. s ou k = = = u 0; v 0; w 0 u v w w = kt. Les composantes des vecteurs U et V sont proportionnelles ) U V U.V = 0 produit scalaire est nul r.u+s.v+t.w=0 1) Condition de parallélisme 1 ) Entre deux plans : π1 ax + by + cz + d = 0 U ( a, b, c) π1 π a x+ b y+ c z+ d = 0 V ( a, b, c ) π a b c π1// π U // V = = a b c ( ) ) Entre deux droites x xa y ya z z a d = = U ( xu; yu; zu) vect. direct. de d xu yu zu x xb y yb z z b d = = V ( xv; yv; zv) xv yv zv xu yu zu d1// d U // V = = x y z 1 1 v v v 3 ) Entre une droite et un plan π ax + by + cz + d = 0 V ( a, b, c) π x xa y ya z z a d = = U ( xu; yu; zu) vect. direct. de d xu yu zu d // π V U axu + byu + czu = 0 1 1 produit scalaire nul
) Condition de perpendicularité ou d orthogonalité 1 ) Entre deux plans π1 ax + by + cz + d = 0 U ( a, b, c) π1 π a x+ b y+ c z+ d = 0 V ( a, b, c ) π π π U V aa + bb + cc = 0 1 ) Entre deux droites x xa y ya z z a d1 = = U ( xu; yu; zu) vect. direct. de d1 xu yu zu x xb y yb z z b d = = V ( xv; yv; zv) vect. direct. de d xv yv zv d d U V x x + y y + z z = 0 1 Remarque : Pour prouver que d et d sont perpendiculaires, il faut alors prouver quelles sont coplanaires 1 u v u v u v 3 ) Entre une droite et un plan π ax + by + cz + d = 0 V ( a, b, c) π x xa y ya z z a d = = U ( xu; yu; zu) vect. direct. de d xu yu zu a b c π d V//U = = x y z u u u Positions relatives de trois plans 3 plans parallèles distincts S= O plans parallèles distincts et 1 sécant S= O 3 plans sécants sur une même droite infinités simple de solutions (livre ouvert) 3 plans confondus infinité double de solution 3 plans sécants sur un point S = singleton 3 plans sécants à suivant des droites parallèles S = O (la tente)