MA 09 CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) DURÉE : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée, conformément à la réglementation. La clarté et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l appréciation des copies. L énoncé comporte trois exercices indépendants. Il n est pas obligatoire de traiter les exercices dans l ordre de l énoncé, à condition d indiquer clairement l exercice et la question traitée en respectant l indexation du texte. Pour poursuivre la résolution d un exercice, les candidats peuvent admettre les résultats d une question, à condition de l indiquer clairement sur la copie.
Exercice I Analyse Le but de l exercice est la recherche des fonctions f définies sur R, à valeurs dans l intervalle [,], vérifiant pour tout réel x la relation f (x) = f (x), telles que f (0) = et que f (x) admette une limite lorsque x tend vers 0, que l on notera a. On rappelle que tout x de [,] s écrit de façon unique x = cos(ϑ) avec ϑ dans [0, π ]. cos(ϑ). (a) Vérifier lim = (On pourra utiliser une formule donnant cos(α)). ϑ 0 ϑ [ (b) Montrer, pour ϑ dans 0, π ], les relations : ϑ ϑ sin(ϑ) et cos(ϑ) π π. Soit f une fonction solution du problème On se donne un réel x et l on pose, pour tout entier naturel n, f ( x n ) = cos(ϑ n ), avec ϑ n dans [0, π ]. (a) Montrer que f est continue en 0 et que lim ϑ n = 0. (b) Vérifier l existence d un entier N tel que pour n N on ait ϑ n+ = ϑ n (c) Établir que a est positif et que f (x) = cos ( x a ). x Exercice II Probabilités Jouons aux dés Je joue avec 4 dés à 0 faces. Chacun de ces dés, dont la forme est un icosaèdre, a ses faces numérotées de à 0. Lorsqu on le lance, chaque face apparaît sur le dessus avec la même probabilité de 0 Lorsque, parmi les 4 dés, une face apparaît au moins deux fois, je marque le nombre de points correspondant à cette face. Ainsi : avec la combinaison 3-4 - - 6, je ne marque rien ; avec la combinaison - 8 - -, je marque points ; avec la combinaison 4-9 - 9-9, je marque 9 points ; avec la combinaison 7-7 - 4-4, je marque points ; avec la combinaison - - -, je marque points.. Quelle est la probabilité que je ne marque rien?. Soit a compris entre et 0. Déterminer pour tout k 4 la probabilité d avoir exactement k nombres a parmi les dés lancés. 3. Pour tout a on note X a la variable aléatoire qui vaut s il y a au moins deux dés égaux à a parmi les quatre du lancer, et à 0 sinon. Préciser la loi de X a et exprimer le gain G à l aide de ces variables. Combien de points puis-je espérer en moyenne?
4. Quelle est la probabilité que je marque exactement 8 points? On suppose à partir de maintenant qu après avoir lancé les 4 dés, je sois autorisé à relancer entre 0 et 4 dés pour améliorer mon score. 5. J ai obtenu - 7 - -. J hésite entre tout relancer, garder le, et garder les deux. Que dois-je faire? 6. On suppose que j ai obtenu 4 dés différents a > a > a 3 > a 4. Quels dés dois-je relancer? Exercice III Arithmétique Étant donné deux entiers a et b, on désigne par a,b l ensemble des nombres entiers compris au sens large entre a et b. On considère une suite finie à n termes U = (u,u,...,u n ). On dit qu un entier strictement positif p est une période de U si l on a u i = u i+p pour tout entier i tel que i n p. Une suite peut avoir plusieurs périodes.. On considère deux entiers strictement positifs a et b premiers entre eux. (a) On définit r k comme le reste de la division de ka par a + b. Montrer que lorsque k varie dans, a + b, r k prend toutes les valeurs de, a + b. (b) En déduire que si a et b sont périodes de U et si n a + b alors U est constante.. On suppose à présent que a et b sont des entiers strictement positifs de PGCD d. Montrer que si U est périodique de périodes a et b et si n a + b d, alors U est de période d. 3. On considère deux entiers a et b strictement supérieurs à et premiers entre eux. (a) Montrer que l on peut partager l intervalle, a +b en deux sous-ensembles non vides A et B de manière que la suite V égale à sur A et à 0 sur B soit de périodes a et b. (b) Le partage obtenu à la question précédente est-il unique? Montrer que, pour tout x de A, a + b x est dans A. Quelle propriété de la suite V traduit-on ainsi? 3
Exercice I. (a) Par cos(ϑ) = cos sin(ϑ) (ϑ) et lim =. ϑ 0 ϑ (b) Par variation pour la première et par intégration de la première entre 0 et ϑ pour la deuxième. [ 0, π ] pour. (a) Par continuité de f en 0 ( f (x) ax ) lim cos(ϑ n ) =, donc ϑ n est dans n assez grand. [ f ( x ] ) π n Pour de tels n ϑ n et donc lim ϑ n = 0. D après la relation satisfaite par f, on obtient : cos(ϑ n ) = cos(ϑ n+ ). Donc si on choisit un rang N à partir duquel ϑ n est dans [0, π ] on obtient : ϑ n+ = ϑ n. (b) On aura donc : ϑ n = ϑ ( N x ) ( ) et f ϑn = cos. n N n n N f (x) cos(ϑ) Mais, lim = a et lim = x 0 x ϑ 0 ϑ, donc lim ϑ N x = a, a 0 et, au signe près, ϑ N = x n N a. N ( n ( ) x x a On obtient : f = cosϑ N = cos, puis par récurrence sur k N, f ( x N k ) = cos ) ( N x a N k N ) ce qui donne le résultat pour k = N.. La probabilité que je ne marque rien est Exercice II 0 9 8 7 0 4 = 680 60000 = 907 4000 0,7675.. Loi binomiale : P(N a = 0) = 94 0 = 303 4 60000, P(N a = ) = 4 93 0 = 7436 4 60000, P(N a = ) = 6 9 0 = 66 4 60000, P(N a = 3) = 4 9 0 = 76 4 60000, P(N a = 4) = 0. 4 3. X a est une variable de Bernoulli de paramètre P(N a ) = 43 = p. Soit G le gain, on a 60000 0 G = a X a, donc a= 4. Quatre possibilités de gain :P(88x y) = 0 0 E(G) = p = 47030 60000,94 9 8 6 = 05 0 4 0, P(888x) = P(N 4 8 = 3) = 76 0, P(8888) = 4 6, et les trois P(xx yy) = avec x > y et x + y = 8 (trois couples possibles). Total : 4 04 05 + 76 + + 3 6 0 4 = 47 60000,34%
5. Si je relance tout, l espérance de gain est celle de G précédemment calculée. Si je garde les deux, la probabilité du motif xx, à x fixé, est + x, dans le cas contraire je gagne. Ainsi l espérance de gain est E(G ) = x + x 0 + ( 9 0 ) = 008 400 =,5, et dans ce cas je gagne 0 Si je garde le, soit M a le nombre de a dans les quatre lancers. Si a, la loi de M a est P(M a = 0) = 93 0, P(M 3 a = ) = 3 9, P(M 0 3 a = ) = 3 9, et P(M 0 3 a = 3) = 0 3 En particulier, P(M a ) = 58 000 Pour M, on décale tout de et on a P(M ) = 4 8000 L espérance de gain est alors E(G ) = a a P(M a ) + P(M ) 99 58 + 4 = = 4093 8000 8000 3,0 Conclusion : il est préférable de garder le, mais de peu. Il n est pas intéressant de garder les 6. Si je relance tout, l espérance de gain est g 0 = 47030 60000 Si je garde a, l espérance de gain est (cf les calculs précédents) : Si je garde a > a, l espérance est g (a ) = (0 a ) 58 + 4 a 8000 = 80 + 083a 8000 g (a, a ) = et ainsi g (a, a ) = 0 + 39(a + a ) 400 = = 400 (0 a a ) (motif a a xx) 38 400 (a + a ) (motif a a a k x) 400 (a + a ) (motif a a a a ) Si je garde a > a > a 3, l espérance est g 3 (a, a, a 3 ) = a + a + a 3 0 Enfin, si je garde tout, je ne gagne rien. On résout les inégalités : g g 0 a 0,5 g g 0 a + a 387030 5600 4,8 g 3 g 0 a + a + a 3 47030 58,88 impossible! 8000 Enfin g g 780a 7980+303a, mais comme a a, l inégalité g g implique que 780(a ) 7980 + 303a et donc que a 8,36. Pour résumer, la démarche est la suivante : si a 8, garder a et a. Sinon, si a, garder uniquement a. Sinon tout rejouer.
Exercice III. (a) a et b étant premiers entre eux, il en est de même pour a et a + b ; il s en suit que ka n est divisible par a + b que si a + b divise k, et par conséquent les entiers r k, k a + b, sont bien éléments de, a + b. Il suffit donc de montrer que ces entiers sont distincts. Or r k = r l si, et seulement si, a + b divise a(k l ), c est à dire a + b divise (k l ), soit k = l puisque k l < a + b. (b) La différence r k+ r k vaut a ou b selon que r k est inférieur ou supérieur à b. Donc U (r k ) = U (r k+ ) et d après ce qui précède et une récurrence finie, U est constante égale à U (a) sur, a + b. SupposonsU ( j) définie pour un j a+b. Il existe q entier tel que j = aq+r avec r a donc r, a + b. Alors U ( j) = U (r) = U (a).. Posons a = d a, b = db et soit i dans,d. La suite qui à k associe u i+(k )d est définie pour i + (k )d a + b d donc en particulier pour k dans, a + b. Elle admet a et b, qui sont premiers entre eux, pour période, donc, d après la question précédente, elle est constante. C est le résultat annoncé. 3. (a) Puisque b est au moins égal à, on a r = a < a + b. L entier m tel que r m = a + b est donc au moins égal à. Par ailleurs r a+b = b < a + b, donc m est au plus égal à a + b. Prenons A = {r = a,r,...,r m = b } et B = {r m+ = a,r m+,...,r a+b = b}. A et B sont non vides et la suite V n est pas constante. Montrons que V est de période a. Soit i un entier au plus égal à a + b a = b. On a donc i = r k avec k m et k a +b donc si i est dans A (respectivement B), il en est de même pour i + a = r k+. Montrons que V est de période b. Soit i un entier au plus égal à a + b b = a. On a donc, pour un certain k, i = r k, reste de la division de r k + a par a + b. On constate pareillement que si i est dans A (respectivement B), il en est de même pour i + b = r k. (b) La décomposition est unique à l échange près de A et B car les propriétés de périodicité font que si par exemple a = r A, alors r,, r m sont dans A. La suite k V (a +b k) possède les mêmes propriétés que V. Par unicité elle est égale à V : V est un palindrome. 3