S Devoir n 7 lundi 9 mars 05 Eercice : ( points) Soient A, B,C et D des points situés sur le cercle trigonométrique associés respectivement au réels:. a. Déterminer les réels de qui correspondent au points A, B, C et D b. Placer sur le cercle ci-contre les points A et B. Déterminer une mesure de l angle géométrique (en radian). Eercice : (3.5 points) Soit la fonction f définie sur R\{} par et C sa courbe représentative dans un repère (O,I,J). a. Calculer f () b. Montrer que. Etudier les variations de la fonction f 3. Calculer l équation de D, tangente à la courbe C au point d abscisse 4. Etudier la position relative de C et de la droite d équation y= Eercice 3 : (.5 points) L université d Harvard sélectionne ses étudiants au travers d épreuves composées de QCM. On a réalisé un QCM qui comporte 8 questions. On le teste sur un grand nombre d élèves. On admet que l absence de réponse est considérée comme une réponse fausse. On estime que le nombre X de bonnes réponses peut être considéré comme une variable aléatoire suivant la loi suivante : 0 3 4 5 6 7 8 0, 0, 0, 0,5 0,5 0,5 0, 0,05 0,05 Eercice 4 : ( points). Quel nombre moyen de bonnes réponses peut-on attendre d un candidat pris au hasard? Quel est l écart-type? (arrondir au centième ci nécessaire). On décide de réaliser un barème pour ce QCM de la façon suivante : le candidat part avec la note 8. Chaque bonne réponse apporte,5 pts et chaque mauvaise réponse retire point. On appelle Y la variable aléatoire associée au nombre de points obtenus par le candidat. a. Eprimer Y en fonction de X b. En déduire l espérance de Y et son écart-type (arrondir au centième si nécessaire). Un jeu de hasard est formé d un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante : BBBBBBBBBNNNVVRRVVNNNBBBBBBBBB La fléchette atteint toujours une lettre et une seule. Les trente lettres ont toutes la même probabilité d être atteinte. Si la fléchette atteint une lettre R, le joueur gagne 8 Si la fléchette atteint une lettre V, le joueur gagne 5 Si le joueur atteint une lettre N le joueur ne gagne rien et ne perd rien. Si la fléchette atteint une lettre B le joueur perd a euros, a étant un nombre réel positif. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté négativement quand il perd).
. Donner la loi de probabilité de X. Calculer le nombre réel a pour que le jeu soit équitable, c est-à-dire pour que l'espérance E(X) soit nulle. Eercice 5 : (4 points) Le plan est rapporté au repère (O, ). Tracer la droite d d équation. Préciser son coefficient directeur et donner un de ses vecteurs directeurs. Vérifier que les points A(3 ;4) et B( ;0) sont des points de d 3. Construire la droite passant par le point D( ;) et de vecteur directeur 4. Démontrer que les droites d et sont parallèles 5. a. Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AD] b. Construire le symétrique E du point B par rapport à I et déterminer ses coordonnées. 6. Démontrer que les droites (BD) et (AE) sont parallèles. Eercice 6 : ( points) Le plan est rapporté à un repère (O, ). Calculer les coordonnées des sommets A, B et C du triangle dont les côtés sont portés par les droites d équations respectives -y+6=0 ; 5+y4=0 ; y+3=0. Quelles sont les droites dont une équation est de la forme =k et qui n ont aucun point en commun avec l intérieur du triangle ABC? Eercice 7 : (4 points) Soit y une fonction numérique f définie sur [ ;5] et sa fonction dérivée f, dont la courbe représentative dans le repère 6 est tracée ci-dessous. 5 4 3 0 Courbe de. a. Etudier les variations de f sur [ ;5]. On veut tracer une représentation graphique C possible de la fonction f. On sait que : a. Placer dans le repère (O, ) ci-dessous les points de C d abscisses,, 3 et 4. 3 4 b. Tracer la tangente à C au point d abscisse 0.Justifier c.tracer de même les tangentes au points d abscisses, et 3 d. Proposer un tracé de la courbe C 3. On veut déterminer l epression de f(). On suppose que pour tout réel : 5 6 7 8 Déterminer les valeurs de a, b et c et donner l epression de f(). 4. Peut-on trouver d autres fonctions admettant f pour fonction dérivée? - y -5-6 j 0 i 3 4
Corrigé Eercice :. a. b..5 pts pt (0.5 pt/pt) 0.5 pt.. pt Eercice :. a. b.. Etudier les variations de la fonction f Signe de (+) - - - 0 + Signe de (+3) - 0 + + + Signe de (+)² + + 0 + + Signe de f () + 0 - - 0 + Variation de f 4 pts.5pts 3. y=f ()()+f() f ()= et f()= donc l équation de la tangente est y= 4. f()-=+ Signe de +3-0 + + Signe de + - - 0 + Signe de + 0 - + pt Sur ]- ;[ ]- ; + [ : C est au dessus de la droite d équation y = Sur ] - 3 ; - [ C est au-dessous de la droite d équation y = C et cette droite se coupent au point d abscisse 3 Eercice 3 : 0 3 4 5 6 7 8 0, 0, 0, 0,5 0,5 0,5 0, 0,05 0,05.5 pts
. Le nombre moyen de bonnes réponses est 3.43 au centième près 0.75 pt. a. Au départ, la note vaut 8. Elle augmente de.5 pour chaque bonne réponse et diminue de pour chaque mauvaise. On a donc b. On a donc E(Y)=E(.5X)=.5E(X)= pt 0.75pt Eercice 4 :. Lettre B N V R probabilité On en déduit la loi de probabilité de X Valeurs prises - a 0 5 8 par X probabilité pts pt. pt Eercice 5 : Le plan est rapporté au repère (O, ) y 4 A 4.5 pts 3 E I B - 0 3 4 5 6 7 8 D - -5-6. coefficient directeur : donc un vecteur directeur est. 3. Construire la droite 4. vecteur directeur de d et vecteur directeur de Les vecteur sont colinéaires donc les droites d et sont parallèles. pt 0.5 pt 0.5 pt
5. a. b. E symétrique de B par rapport à I donc 0.75pt (0.5+0.5) 6. coefficient directeur de (BD) : coefficient directeur de (AE) : donc les droites (BD) et (AE) sont parallèles. 0.75 pt Eercice 6 : Le plan est rapporté à un repère (O, ). A intersection de On résout le système.5 pts B intersection de On résout le système.5pt C intersection de On résout le système. Les droites dont une équation est de la forme =k sont des droites verticales. Si on regarde l abscisse la plus petite et celle la plus grande parmi les points A, B et C, on trouve et 4 pt Il faut donc que Eercice 7 :. a. Etudier les variations de f sur [ ;5] 4 pts 3 5 Signe de f () + 0-0 + Variation de f. On veut tracer une représentation graphique C possible de la fonction f. On sait que : a. Placer dans le repère (O, ) ci-dessous les points de C d abscisses,, 3 et 4. b. Tracer la tangente à C au point d abscisse 0.Justifier c.tracer de même les tangentes au points d abscisses, et 3 d. Proposer un tracé de la courbe C 0.75pt 0.5pt
y j 0 i 3 4-3. Donc pt On doit donc résoudre le système Donc on trouve 4. Oui, par eemple (il suffit de modifier la constante).