Chap.1 La charge électrique, surce du champ électrstatique 1. Interactin entre deux charges électriques pnctuelles 1.1. Li de Culmb (rappels) 1.2. Cadre de l étude : dmaine de validité de la li de Culmb 2. Distributin de charge électrique : les différentes mdélisatins 2.1. Distributin discrète 2.2. Distributin cntinue vlumique 2.3. Distributin cntinue surfacique 2.4. Distributin cntinue linéique 3. Champ électrstatique généré par une distributin de charge 3.1. Définitin du champ électrstatique créé par une distributin quelcnque 3.2. Champ électrstatique créé par une charge pnctuelle 3.3. Champ électrstatique créé par une distributin discrète de charge 3.4. Champ électrstatique créé par une distributin vlumique de charge 3.5. Champ électrstatique créé par une distributin surfacique de charge 3.6. Champ électrstatique créé par une distributin linéique de charge 4. Intégrales et systèmes de cdnnées 4.1. Distributin linéique de charge 4.2. Distributin surfacique de charge 4.3. Distributin vlumique de charge 5. Exemples de champ créé par une distributin cntinue 5.1. Champ dans le plan médiateur d un segment unifrmément chargé 5.2. Champ sur l axe d un disque unifrmément chargé 6. Analgie avec la gravitatin Intr : Ceci est le premier chapitre du curs d électrmagnétisme. En sup, n étudiera séparément les effets électriques et les effets magnétiques. L étude des phénmènes cuplés électrique et magnétique (dits «électrmagnétiques») snt au prgramme de spé. On cmmence ici l étude des phénmènes électrstatiques, i.e. générés par un ensemble de charges au reps. Après quelques rappels cncernant la li de Culmb, n présente les différentes façns de mdéliser la répartitin (la distributin) de charge électrique dans l espace. On intrduit ensuite une nuvelle grandeur physique : le champ électrstatique, généré par un ensemble de charges. On insistera sur l idée clef que les charges électriques snt la surce (la cause) du champ électrstatique. On reviendra aussi sur les méthdes de calculs d intégrales multiples, sur quelques exemples simples. 1
1. Interactin entre deux charges électriques pnctuelles 1.1. Li de Culmb (rappels) Deux particules pssédant une charge électrique exercent l une sur l autre une frce. Cette frce est dnnée par la li de Culmb. Dnner la li de Culmb, et définir les différents termes en s appuyant sur un schéma. Rappeler les caractéristiques de la grandeur physique appelée charge électrique. Dnner des exemples de particules chargées. On rappelle que cette frce est centrale et cnservative. On reviendra sur l énergie ptentielle qui lui est assciée dans un chapitre ultérieur. On peut dire que la charge créée une frce qui s applique à la charge. Elle est la surce de cette frce. D après la trisième li de Newtn, la charge créée une frce ppsée sur la charge. La charge électrique est aussi une grandeur extensive : la charge électrique ttale d un ensemble de particules chargées est égale à la smme de la charge de chacune des particules. 1.2. Cadre de l étude : dmaine de validité de la li de Culmb La li de Culmb est dnnée pur deux particules chargées dans le vide. On purra assimiler en première apprximatin l air à du vide. La li de Culmb n est en tut rigueur valable que pur des particules immbiles, u se déplaçant à faible vitesse devant celle de la lumière. L étude des phénmènes électriques dans le cas général est au prgramme de spé. En sup, n étudie principalement les phénmènes électriques assciés à un ensemble de charges immbiles : c est le dmaine de l électrstatique. 2. Distributin de charge électrique : les différentes mdélisatins Dans sn état le plus stable, la matière est glbalement neutre (atmes, mlécules, crps qui nus enturent). Expérimentalement, n peut charger électriquement un crps par frttement, par cntact, par influence, mais aussi par une actin mécanique (piézélectricité). La répartitin de la charge électrique dans une zne de l espace peut être mdélisée de plusieurs manières. 2.1. Distributin discrète A l échelle micrscpique, la matière est cnstituée de crpuscules. On décrit alrs la répartitin de charge électrique par la dnnée de la psitin de chacune des particules chargées se truvant dans la zne de l espace cnsidérée. On parle de «distributin discrète» de charge électrique :. La charge ttale d une distributin discrète de charges est : 2
2.2. Distributin cntinue vlumique A l échelle macrscpique, la matière apparaît cntinûment répartie dans l espace 3D. Cette répartitin n est pas nécessairement unifrme. Il est dnc nécessaire de se placer à l échelle mésscpique, grande devant l échelle micrscpique pur adpter une mdélisatin cntinue de la matière, petite devant l échelle macrscpique pur puvir cnsidérer la répartitin lcalement unifrme. On définit une densité vlumique de charge à l échelle mésscpique, fnctin des crdnnées d espace, qui dnne la quantité élémentaire de charge située dans un vlume élémentaire : La fnctin représente la distributin vlumique de charge. La charge ttale cntenue dans un vlume V de l espace est la smme des quantités élémentaires de charge : Cette expressin se déduit de celle du cas discret par analgie, en remplaçant le symble «smme discrète» par le symble «intégrale» (smme cntinue de quantités infiniment petites). 2.3. Distributin cntinue surfacique A l échelle macrscpique, la distributin vlumique est la descriptin la plus précise de la répartitin de charge dans l espace. Lrsqu un crps électrisé pssède une dimensin très petite devant les autres (feuille de papier par exemple), n peut décrire la répartitin de la charge par une distributin surfacique. Dans l exemple de la feuille de papier, cela revient à négliger l épaisseur de la feuille devant sa lngueur et sa largeur. On définit une densité surfacique de charge à l échelle mésscpique, fnctin des crdnnées d espace, qui dnne la quantité élémentaire de charge située sur la surface élémentaire : La fnctin représente la distributin surfacique de charge. La charge ttale située sur une surface S est la smme des quantités élémentaires de charge : 2.4. Distributin cntinue linéique Lrsqu un crps électrisé pssède deux dimensins très petites devant une autre (fil par exemple), n peut décrire la répartitin de la charge par une distributin linéique. Dans l exemple du fil, cela revient à négliger l épaisseur et la largeur du fil devant sa lngueur. On définit une densité linéique de charge à l échelle mésscpique, fnctin des crdnnées d espace, qui dnne la quantité élémentaire de charge située sur une prtin de la curbe : La fnctin représente la distributin linéique de charge. La charge ttale située sur une curbe est la smme des quantités élémentaires de charge : 3
Remarque : Lrsque l n mdélise une répartitin de charge électrique dans l espace, il faut faire un chix entre les quatre distributins pssibles. Pur une même zne de l espace, n ne peut chisir simultanément deux mdélisatins différentes. 3. Champ électrstatique généré par une distributin de charge La li de Culmb définit la ntin de charge électrique d une particule, et la frce s exerçant entre deux particules chargées. On va à présent intrduire une nuvelle grandeur physique : le champ électrique. Puisque l n s intéressera uniquement au cas ù ce champ est indépendant du temps, car généré par une distributin de chargs immbiles, n parlera plutôt de champ électrstatique. Le champ électrique est un cncept clef de l étude des phénmènes électriques. 3.1. Définitin du champ électrstatique créé par une distributin quelcnque On cnsidère une distributin de charge quelcnque. Si une charge pnctuelle «test» est placée à prximité, la frce de Culmb qui s exercera sur elle sera la smme des frces de Culmb générées par chaque pint de la distributin. Chacune de ces frces étant prprtinnelle à, la frce ttale aussi. On définit le champ électrstatique généré par une distributin de charge, à partir de la frce ttale exercée par cette distributin sur une charge pnctuelle «test» («fictive») : Cmmentaires : L unité du champ électrstatique est le, u cmme n le verra plus tard le On admettra que le champ électrstatique existe même s il n y a pas de particule «test». Cet énncé est chérent puisque la valeur de la charge «test» n intervient pas dans l expressin math du champ. Le champ électrstatique mérite sn nm de «champ», car il apparaît cmme étant une grandeur définie en tut pint M d une régin de l espace. C est un champ vectriel. On dit que la distributin de charge est la surce du champ électrstatique. On le nmme ainsi car il ne dépend que des crdnnées d espace ; il ne dépend pas du temps (il est «statique»). L intrductin du cncept de champ électrique peut sembler superflue à ce stade du curs, n purrait en effet se cntenter de la frce de Culmb. En spé, dans le cas général, vus verrez que le champ électrique (électrmagnétique en fait) est une entité physique à part entière, qui peut se prpager (ndes électrmagnétiques), et que l n peut étudier indépendamment de sn influence sur les particules chargées. 3.2. Champ électrstatique créé par une charge pnctuelle Le champ électrstatique créé en un pint M par une charge pnctuelle située en P : Etablir cette expressin, puis dessiner le champ en quelques pints de l espace. Ce champ est radial et sa nrme en un pint M de l espace ne dépend que de la distance entre ce pint et la psitin de. Le champ n est pas défini au pint ù se situe la charge «surce» 4
3.3. Champ électrstatique créé par une distributin discrète de charge Le champ électrstatique est une grandeur additive. Pur une distributin discrète de N particules chargées, le champ créé en un pint M s écrit : Démntrer ce résultat, en utilisant le fait que les frces snt additives en mécanique newtnienne. Le champ électrique est une grandeur additive. 3.4. Champ électrstatique créé par une distributin vlumique de charge Le champ électrstatique généré par une distributin vlumique de charge située dans le vlume V s écrit : Par analgie avec l expressin précédente, justifier le résultat ci-dessus. 3.5. Champ électrstatique créé par une distributin surfacique de charge Le champ électrstatique généré par une distributin surfacique de charge située sur la surface S s écrit : 3.6. Champ électrstatique créé par une distributin linéique de charge Le champ électrstatique généré par une distributin linéique de charge située sur la curbe s écrit : 4. Intégrales et systèmes de cdnnées Dans le cas des tris distributins cntinues (vlumique, surfacique, linéique), les écritures sus frme d intégrales ne snt pur l instant que symbliques : elles représentent des smmes de quantités élémentaires. On présente ici la méthde de calcul de ces intégrales dans les situatins les plus simples, pur les tris systèmes de crdnnées : cartésiennes, cylindriques et sphériques. Dans cette sectin, n cherche à calculer la charge ttale d une distributin cntinue. Les calculs de champ électrique snt l bjet de la sectin suivante. 5
4.1. Distributin linéique de charge On cnsidère un fil rectiligne chargé électriquement, de lngueur L. Définir une rigine O et un axe cartésien (Ox) pur repérer la psitin de chaque pint du fil. Sur le schéma, en un pint du fil, représenter l élément de lngueur crrespndant à un déplacement élémentaire du pint M. Exprimer en fnctin de. On cnsidère une distributin linéique unifrme :. Calculer la charge ttale du fil. On cnsidère un fil circulaire de rayn R chargé électriquement. Définir une rigine O et une base plaire pur repérer la psitin de chaque pint du fil. Sur le schéma, en un pint du fil, représenter l élément de lngueur crrespndant à un déplacement élémentaire du pint M sur le fil. Exprimer en fnctin de et. On cnsidère une distributin linéique unifrme :. Calculer la charge ttale du fil. 4.2. Distributin surfacique de charge On cnsidère une surface carrée de côté L chargée électriquement. Définir un repère cartésien (axes x et y) pur repérer la psitin de chaque pint de la surface Sur le schéma, en un pint du carré, représenter l élément de surface crrespndant aux variatins élémentaires des deux crdnnées et du pint M. Exprimer en fnctin de et. On cnsidère une distributin surfacique, ù a est une cnstante. Calculer la charge ttale du carré. Retruver ce résultat en définissant une surface élémentaire petite suivant x uniquement, pur se ramener au calcul d une intégrale simple. On cnsidère une surface circulaire de rayn R chargée électriquement. Définir un repère plaire pur repérer la psitin de chaque pint de la surface. Sur le schéma, en un pint du disque, représenter l élément de surface crrespndant aux variatins élémentaires des deux crdnnées et du pint M. Exprimer en fnctin de et. On cnsidère une distributin surfacique unifrme. Calculer la charge ttale du disque. Refaire le calcul en cnsidérant une distributin surfacique, ù a est une cnstante. 4.3. Distributin vlumique de charge On cnsidère un cube de côté L, chargé électriquement. Le schéma représenté ci-dessus définit un repère cartésien pur repérer la psitin de chaque pint du cube. Sur ce schéma, en un pint du cube, est représenté l élément de vlume crrespndant aux variatins élémentaires des tris crdnnées du pint M. Exprimer en fnctin de,,. On cnsidère une distributin vlumique unifrme. Calculer la charge ttale du cube. 6
On cnsidère un cylindre de rayn R et de hauteur H chargé électriquement. Le schéma représenté ci-dessus définit un repère cylindrique pur repérer la psitin de chaque pint du cylindre. Sur ce schéma, en un pint du cylindre, est représenté l élément de vlume crrespndant aux variatins élémentaires des tris crdnnées du pint M. Exprimer en fnctin ntamment de, et. On cnsidère une distributin vlumique unifrme. Calculer la charge ttale du cylindre. On cnsidère une sphère de rayn R chargée électriquement. Le schéma représenté ci-dessus définit un repère sphérique pur repérer la psitin de chaque pint de la sphère. Sur ce schéma, en un pint de la sphère, est représenté l élément de vlume crrespndant aux variatins élémentaires des tris crdnnées du pint M. Exprimer en fnctin ntamment de, et. On cnsidère une distributin vlumique unifrme. Calculer la charge ttale de la sphère. 7
5. Exemples de champ créé par une distributin cntinue 5.1. Champ dans le plan médiateur d un segment unifrmément chargé On cnsidère un fil rectiligne de lngueur L unifrmément chargé ( ). On suhaite calculer le champ électrstatique qu il génère en tut pint M de sn plan médiateur (rthgnal au fil passant par sn milieu). Faire un schéma dans le plan défini par le fil et le pint M cnsidéré. On appelle l axe radial repérant la distance entre M et le fil Remarquer que le champ est nécessairement prté par l axe (symétrie de la distributin de charge). Intrduire l angle repérant la psitin du pint P par rapprt à l axe Exprimer le champ sus la frme d une intégrale seln l angle. Calculer l intégrale. Quelle est l expressin du champ lrsque le fil est infiniment lng? On remarque que le champ n est pas défini en tut pint du fil. Ce résultat est général, et est à retenir. Le champ électrstatique créé par une distributin linéique de charge est défini partut, sauf en tut pint de la distributin linéique de charge. 5.2. Champ sur l axe d un disque unifrmément chargé On cnsidère un disque de rayn R unifrmément chargé ( ). On suhaite calculer le champ électrstatique qu il génère en tut pint M de sn axe de symétrie (rthgnal au disque, passant par sn centre). Faire un schéma et définir un repère cylindrique pur repérer les pints P du fil, et le pint M. Remarquer que le champ est nécessairement prté par l axe z. Dessiner la surface élémentaire au niveau d un pint P, et exprimer le champ sus la frme d une intégrale duble prtant sur r et. Calculer l intégrale. Quelle est l expressin du champ lrsque le disque est infiniment étendu? On remarque la discntinuité du champ à la traversée de la surface chargée. Le champ ne diverge pas à l apprche de la surface, mais cette discntinuité mntre qu il n est pas défini sur le disque. L expressin de cette discntinuité sera démntrée dans le cas général en spé. Le champ électrstatique créé par une distributin surfacique de charge est défini partut, sauf en tut pint de la distributin surfacique de charge : il y a discntinuité du champ à la traversée de la surface. 8
6. Analgie avec la gravitatin On avait déjà mentinné l analgie frmelle entre la frce de gravitatin et la frce de Culmb, dans le cas de deux particules pnctuelles en interactin. Les expressins mathématiques de ces deux frces snt identiques : avec pur la frce de Culmb : et pur la gravitatin : La différence fndamentale est que la gravitatin est uniquement attractive : il n existe pas de «masse négative». Du fait de cette analgie frmelle, tut ce que l n a intrduit dans le cas électrique peut aussi l être dans le cas gravitatinnel. On peut en effet définir : différentes mdélisatins de la répartitin de masse : discrète, vlumique, surfacique, linéique le champ gravitatinnel : cmme le champ électrique, il se définit à partir de la frce assciée et d une particule «test», «fictive». Les expressins du champ gravitatinnel pur les différentes mdélisatins pssibles de la répartitin de la masse snt frmellement identiques à celles du champ électrique : Définir (frmule math) le champ gravitatinnel créé par une distributin de masse. Etablir sn expressin. Par analgie avec les expressins du champ électrique, dnner les expressins du champ gravitatinnel dans les cas de distributins de masse : discrète, vlumique, surfacique et linéique. Ntins clefs Savirs : Expressins frce de Culmb (et frce gravitatinnelle) + schémas pur définir les ntatins Différentes mdélisatins pssibles de la répartitin de charge (u de masse) + interprétatin physique des écritures mathématiques crrespndantes Définitin du champ électrstatique (et gravitatinnel) Le champ n est pas défini en tut pint d une distributin discrète, surfacique et linéique Le champ est une grandeur additive : expressins symbliques du champ pur les différentes distributins Analgies entre champ électrique et champ gravitatinnel Savirs faire : Calculer une intégrale simple, duble u triple : définir un système de crdnnées pur repérer les psitins des pints P et du pint M dessiner sur un schéma les vlumes, surfaces, et lngueurs élémentaires exprimer ces figures gémétriques élémentaires en fnctin des crdnnées transfrmer l écriture intégrale «symblique» en intégrale seln des crdnnées (pur calcul) tujurs essayer de se ramener (si pssible) à une intégrale simple Transpser dans le cas du champ gravitatinnel tus les résultats établis pur le champ électrique 9